2022年高考數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化和實(shí)際民生為載體的創(chuàng)新題及答案

@專屬教育

考試復(fù)習(xí)專用

考試參考習(xí)題一系統(tǒng)復(fù)習(xí)

備考題庫訓(xùn)練一習(xí)題強(qiáng)化

考前模擬測(cè)試一模擬演練

通關(guān)寶典梳理一真題體驗(yàn)

技巧提升沖刺一技能技巧

注：文本內(nèi)容應(yīng)以實(shí)際為準(zhǔn)，下載前需仔細(xì)預(yù)覽

@助你一戰(zhàn)成名

2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化和實(shí)際民生為載體的創(chuàng)新題及答案

精研考綱歸納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)01數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化和實(shí)際民生

為載體的創(chuàng)新題

命題趨勢(shì)

2022年新高考難度也不會(huì)太大，但是新高考趨勢(shì)是重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)活學(xué)活用和重視科

技發(fā)展與進(jìn)步與生活的實(shí)際應(yīng)用。如果知識(shí)點(diǎn)不理解那么將很難做題。所以考生死記硬背肯

定難拿到高分了，只有知識(shí)點(diǎn)融入貫通不能留下知識(shí)盲區(qū)才能考好試，考生掃描知識(shí)點(diǎn)肓區(qū)

尤為重要。

每年高考過后，數(shù)學(xué)習(xí)題都會(huì)上熱搜，颼榜第?名，近年來，高考出題的角度更是接近

生活與文化，從去年高考試題中可以看出，題型越來越接近文化，比如今年的測(cè)量珠穆朗瑪

峰高度（三角高程測(cè)量法），前兩年的埃及金字塔、“一朵云”、斷臂維納斯這些在當(dāng)年都是

難倒了很多考生的。歸根結(jié)底來說，數(shù)學(xué)考試也沒有那么難，只是考題比較新穎，換了一種

出題方式，知識(shí)點(diǎn)是不變的，這就需要同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)做題時(shí)要打開思路，更廣的解題思維！

數(shù)學(xué)與文化的考查在突出所要考查的數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，不僅可以

讓學(xué)牛.理解數(shù)學(xué)文化形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也讓學(xué)生感受我們古代數(shù)學(xué)的偉大成就，增強(qiáng)愛國(guó)

情懷，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化以教化人的本質(zhì)內(nèi)涵。這是新高考考察的目的，

從而這類問題也是新高考必考題型。

滿分技巧）

高考數(shù)學(xué)與文化命題的角度常有以下四個(gè)方面：

（1）源于數(shù)學(xué)名著，如《九章算術(shù)》《算法統(tǒng)宗》《周髀算經(jīng)》《律學(xué)新說》等.

（2）以數(shù)學(xué)成就為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如斐波那契數(shù)列、楊輝三角等.

（3）以數(shù)學(xué)故事為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如阿基里斯悖論、貝特朗悖論等.

（4）以數(shù)學(xué)名詞、數(shù)學(xué)中有名的猜想或結(jié)論為背景創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題，如阿波羅尼斯圓、哥德

巴赫猜想、勾股定理、阿基米德三角形、蒙日?qǐng)A等.這些內(nèi)容在歷年高考中時(shí)有考查，因

此在復(fù)習(xí)備考中，有意識(shí)地加強(qiáng)時(shí)這方面的訓(xùn)練是很有必要的，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的探

究、創(chuàng)新精神，拓寬思維視野，提升解題能力.

無論是以數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化還是實(shí)際民生為載體的創(chuàng)新題，都要求學(xué)生們?cè)诙虝r(shí)內(nèi)讀懂并理

解一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問題的情景，然后運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和己掌握的解題技能靈活的進(jìn)行解題。

這類問題的關(guān)鍵就是通過認(rèn)真閱讀，深刻理解題意，從中找到數(shù)學(xué)信息。提煉信息我們可以

從這幾方面入手：（1）緊扣信息，深刻發(fā)掘問題的本質(zhì)；（2）緊扣信息，類比推理；（3）

緊扣信息，探索出本質(zhì)內(nèi)容，并進(jìn)行數(shù)學(xué)加工；（4）緊扣信息，擺脫傳統(tǒng)思維約束，創(chuàng)新

思維。

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熱點(diǎn)解讀

近年來不管是新高考還是新課標(biāo)的高考題滲透「大量的數(shù)學(xué)文化、國(guó)家的前沿科技和實(shí)

際民生等問題。我們現(xiàn)在的社會(huì)在飛速發(fā)展，無論是科技還是人的思想都不斷地變化。為了

讓學(xué)生能夠更好地適應(yīng)未來社會(huì)的發(fā)展，我們的教育也在及時(shí)更新，不僅僅要反映在教材，

考試也都在與時(shí)俱進(jìn)。

如：2021年新高考H卷第4題以我國(guó)航天事業(yè)的重要成果北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)

為試題情境設(shè)計(jì)立體兒何問題，考否考生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。

2021年新高考I卷第16題，以我國(guó)傳統(tǒng)文化剪紙藝術(shù)為背景，來說明翻折的現(xiàn)象。2021

年全國(guó)甲卷文、理科第2題，以我國(guó)在脫貧攻堅(jiān)「作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，引

導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)與經(jīng)濟(jì)發(fā)展。2021年全國(guó)甲卷理科第8題以測(cè)量珠穆朗瑪峰高程的方法之

?（三角高程測(cè)量法），取材真實(shí)情境，解決實(shí)踐問題。

限時(shí)檢測(cè)

A卷（建議用時(shí)60分鐘）

一、單選題

1.（2021?全國(guó)?高考真題）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，時(shí)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)杳,

將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如卜.頻率分布直方圖：

根據(jù)此頻率分布巴方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

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D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

2.（2021?全國(guó)?高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星

導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌

道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是?個(gè)球心為O,半徑，?為6400km的球，

其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止

同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為。，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S=2%/（l-cosa）

（單位：km?）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

3.（2021?廣東?高三月考）歐拉公式屋=cos6+isin。把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三

角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋“，若復(fù)數(shù)z滿足

（*+iAz=i,則|z|=（）

A.立B.1C.J2D.2

2

4.（2021?北京?高考真題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、

流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級(jí)劃

分如下：

等級(jí)24h降雨量4精確到0.1）1200mmT

????????????

小雨0.1-9.9

中雨10.0~24.9

大雨25.0-49.9

暴雨50.0~99.9

????????????

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面宜徑為20（）mm,高為300mm的圓錐形雨量器.

若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨

量的等級(jí)是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

5.（2021?全國(guó)?高考真題（理））魏晉時(shí)劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，

其中第一題是測(cè)海島的高.如圖，點(diǎn)E,H,G在水平線AC上，OE和FG是兩個(gè)垂直于

水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為''表高"，EG稱為“表距”，GC和都稱為“表目距”,

GC與附的差稱為“表目距的差”則海島的高AB=（）

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表高x表距表高x表距主,

A-------------------------1~BD.表目距的差一表局

表目距的差

表高X表距+表距D至圖遜-表距

表目距的差衣表目距的差衣必

6.（2021?全國(guó)?高考真題（理））2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新

高程為8848.86（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)

量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水平面上的投影4.8',。'滿足

N/VCS=45。，ZA'B'C'=6O°.由C點(diǎn)測(cè)得8點(diǎn)的仰角為15。，與CC'的差為100;由

8點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面A'8'C的高度差A(yù)4'-CC'約為

（731.732）（）

7.（2020?北京?高考真題）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（萬Day）.歷史上,

求圓周率”的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似.數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是:

當(dāng)正整數(shù)〃充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6〃邊形的周長(zhǎng)和外切正6〃邊形（各邊均與圓相

切的正6〃邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2萬的近似值.按照阿爾?卡西的方法，乃

的近似值的表達(dá)式是（）.

",3030

A.3叫sin-----+tan-----B.6〃

Inn

8.（2020?海南?高考真題）日皆是中國(guó)古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與屏面垂直的孱針投

射到唇面的影r來測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球（球心記為。），地球上一點(diǎn)A的緯度是指

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OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與QA垂直的平面.在點(diǎn)4

處放置一個(gè)日辱，若3面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40。，則昌針與點(diǎn)A處

的水平面所成角為（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

9.（2020?全國(guó)?高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、卜三層,

上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每

環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后-一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，

已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

10.（2021?湖北?高三期中）2021年7月24日，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于

進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，這個(gè)政策就是我們所說的

“雙減”政策，"雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而"內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競(jìng)爭(zhēng)使人精

疲力竭.數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示"內(nèi)卷''這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它

的原意是“旋卷”或"纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如

圖（1）所示.如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：

正方形A88的邊長(zhǎng)為4,取正方形A8CQ各邊的四等分點(diǎn)E,F,G,H,作第2個(gè)正

方形EFGH,然后再取正方形EFG”各邊的四等分點(diǎn)M,N,P,。，作第3個(gè)正方形

MNPQ,依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案.設(shè)正方形A8C￡＞邊長(zhǎng)為《，

后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為生,%，…，?.....如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形AE"而

積為4,后續(xù)各直角三角形面積依次為4，4........b,.....下列說法鎮(zhèn)米的是（）

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C.使得不等式d>g成立的〃的最大值為4D.數(shù)列｛〃,｝的前〃項(xiàng)和S“<4

二、多選題

11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十

四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的辱長(zhǎng)損益相同（展是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，號(hào)長(zhǎng)即為所測(cè)量影子

的長(zhǎng)度）.二十四節(jié)氣及輕長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣卷長(zhǎng)減少或增加的限相同，周而

復(fù)始.已知每年冬至的密長(zhǎng)為一丈三尺五寸，夏至的暮長(zhǎng)為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺

等于十寸），則下列說法正確的是（）

輕長(zhǎng)逐漸變小

春分

雨水驚160清明谷雨

立春立夏

林30060小海

小東芒料

冬至27090更￡

小暑

120大暑

立立秋

霜降寒露白霖處密

秋分

善長(zhǎng)逐漸變大

A.相鄰兩個(gè)節(jié)氣皆長(zhǎng)減少或增加的量為一尺B.春分和秋分兩個(gè)節(jié)氣的展長(zhǎng)相同

C.小雪的署長(zhǎng)為一丈五寸D.立春的辱長(zhǎng)比立秋的暑長(zhǎng)短

12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）千百年來，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走

向、速度、厚度顏色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語,

如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”、“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云

里走，雨在半夜后”，隨機(jī)觀察「他所在地區(qū)的10（）天日落情況和后半夜天氣，得到如下2x2

列聯(lián)表，

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后半夜天氣

日落云里走總計(jì)

下雨未下雨

出現(xiàn)25530

未出現(xiàn)254570

總計(jì)5050100

并計(jì)算得到/=19.05,下列小波對(duì)該地區(qū)天氣的判斷正確的是（）

A.后半夜下雨的概率約為3B.未出現(xiàn)“日落云里走”時(shí)，后半夜下雨的概率約為

5

9

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，可以認(rèn)為““日落云里走'是否出現(xiàn)''與"后半夜是

否下雨”有關(guān)

D.根據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若出現(xiàn)“日落云里走“，則后半夜有99.9%的可能會(huì)下雨

13.（2021?全國(guó)全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）2021年2月28日國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布了《2020年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和

社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》，全面展示了一年來全國(guó)人民頑強(qiáng)奮斗取得的令世界矚目、可載入史冊(cè)

的偉大成就，來之不易，催人奮進(jìn).如圖是2016-2020年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：億元）及其

增長(zhǎng)速度走勢(shì)圖和三次產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比重圖，據(jù)圖可知下列說法正確的是

（）

圖I2016-2020年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值及其增長(zhǎng)速度圖22016—2020年三次產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比爪

A.2020年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值突破百萬億大關(guān)

B.2016-2020年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值逐年增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)速度逐年降低

C.2016-2020年第二產(chǎn)業(yè)增加值占國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的比重整體呈卜降趨勢(shì)

D.2016-2020年第三產(chǎn)業(yè)增加值逐年增長(zhǎng)

13.（2021?山東?棗莊市第三中學(xué)高三期中）顆粒物過濾效率〃是衡量口罩防護(hù)效果的一個(gè)

r-C

重要指標(biāo)，計(jì)算公式為1=胃500%,其中表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒

Loul

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物數(shù)量（單位：ind./L）,0表示經(jīng)口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量（單位:

ind./L）.某研究小組在相同的條件下，對(duì)兩種不同類型M罩的顆粒物過濾效率分別進(jìn)行了4

次測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如圖所示.圖中點(diǎn)4的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第/次測(cè)試時(shí)GM的值，縱

坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測(cè)試時(shí)Q的值（.i=l,2,；=1,2,3,4）.

Cin（ind/L）.

?414

?人2:個(gè)3“24

我；?4243

6Coutiind/L）

該研究小組得到以下結(jié)論，正確的是（）

A.在第2種口罩的4次測(cè)試中，第3次測(cè)試時(shí)的顆粒物過濾效率最高

B.在第1種口罩的4次測(cè)試中，第4次測(cè)試時(shí)的顆粒物過濾效率最高

C.在每次測(cè)試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高

D.在第3次和第4次測(cè)試中第1種口罩的顆粒物過漉效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效

率低

14.（2021?重慶?模擬預(yù)測(cè)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今

還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（圖1）,明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的

工作原理（圖2）.

圖1圖2

現(xiàn)有一個(gè)半徑為3米的筒車按逆時(shí)針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，簡(jiǎn)車的軸心距離水面的高度為2

米，設(shè)簡(jiǎn)車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛

水筒。剛浮出水面為初始時(shí)刻，經(jīng)過1秒后，下列命題正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：

2

cos48°?-）

A.d=2—3sin其中sin，=g,且B.d=2+3sin,其中

sin0=|,且研0,?

C.當(dāng)心38時(shí)，盛水筒P再次進(jìn)入水中D.當(dāng)，=22時(shí)，盛水筒P到達(dá)最高點(diǎn)

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15.（2021?海南?三模）如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月

球球心F為圓心的圓形軌道1上繞月飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以廣為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓

軌道n上繞月飛行，最后在。點(diǎn)處變軌進(jìn)入以下為圓心的圓形軌道in繞月飛行，設(shè)圓形軌

道I的半徑為R,圓形軌道H【的半徑為r,則以下說法正確的是（）

A.橢圓軌道II上任意兩點(diǎn)距離最大為2RB.橢圓軌道II的焦距為R-r

C.若r不變，則/?越大，橢圓軌道n的短軸越短D.若R不變，則，?越小橢圓軌道n的離

心率越大

16.（2021?廣東?高三月考）提丟斯?波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)

規(guī)則，它是1766年由德國(guó)的一位中學(xué)老師戴維斯，提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)

長(zhǎng)波得歸納成一條定律，即數(shù)列｛?“｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是

太陽系第〃顆行星與太陽的平均距離（以天文單位AU.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列｛"“｝的各項(xiàng)乘以

10后再減4得數(shù)列低｝,可以發(fā)現(xiàn)也｝從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說法

正確的是（）

A.數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為2=3x27B.數(shù)列｛q｝的第2021項(xiàng)為0.3、2初+0.4

C.數(shù)列｛““｝的前〃項(xiàng)和S“=0.4”+0.3X2"T-0.3D.數(shù)列｛，以｝的前“項(xiàng)和7；=3（〃-1）2"“

三、填空題

17.（2021?四川資陽?高三月考）九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成

串，環(huán)環(huán)相扣，以解開為勝，趣味無窮.中國(guó)的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個(gè)精美

的由九個(gè)翡翠韁相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有〃個(gè)圓環(huán)，用怎表示按照某種規(guī)則

解下〃個(gè)圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動(dòng)次數(shù)，且數(shù)列｛4｝滿足4=1,%=2,

a?=an_2+2"T(〃N3,〃wN),則aw=

銀和軍區(qū)制九連環(huán)

18.（2019?全國(guó)?高考真題（文））中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印

信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多

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而體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了

數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表

面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.

圖1圖2

19.（2021?安徽?合肥市第八中學(xué)高三月考）滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃

所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鷲齊3秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，流放后世.如圖，

在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得閣頂端點(diǎn)戶的仰角分別為300,60%45°.

且A8=8C=75米，則滕王閣高度OP=米.

20.（2021?全國(guó)?高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某

條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為20dmxl2dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折I次共可以得至I]10dmx12dm,

20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和E=240dma,對(duì)折2次共可以得到

5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和邑=ISOdn?,以

此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果時(shí)折〃次，那么

￡=dm2.

Jt=l

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B卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

1.（2020?全國(guó)?高考真題（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視

為一個(gè)正四棱錐，以該四極錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面

積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

C石+1D小+1

'4'2

2.（2021?山東高三月考）意大利‘‘美術(shù)三杰”（文藝復(fù)興后三杰）之一的達(dá)芬奇的經(jīng)典之作

—《蒙娜麗莎》舉世聞名.畫中女子神秘的微笑數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者入迷.某數(shù)學(xué)兼藝術(shù)

愛好者對(duì)《蒙娜麗莎》的同比例賬像作品進(jìn)行了測(cè)繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧,

在嘴角A,C處作圓弧的切線，兩條切線交于B點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：=6.98cm,

8C=7.03cm,AC=12.6cm,根據(jù)測(cè)得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作

的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角位于以下哪個(gè)區(qū)間（）.

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將楊輝三角中的每?個(gè)數(shù)C：都換成分?jǐn)?shù)證記，可得到

如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形“，從萊布尼茨三角形可以看出，存在x使得

111

再記+而后=不,則x的值是（）

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1

一1...一1~

22

121

363*

1111

,,一“

4124

11111

,■<—/

52030205

111111

6306060306

A.rB.r-1C.r+1D.r+2

4.（2021?重慶梁平?高三月考）天文學(xué)中為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰

斯（Hipparchus,又名依巴谷）在公元前二世紀(jì)首先提出J'星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越

小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度

測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)家普森（MRPogson）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概

念.天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足

2.5（lga-lgEj.其中星等為見的星的亮度為E,（i=l,2）.已知“心宿二”的星等

是1.75.“天津四”的星等是15“天津四”的亮度是“心宿二”的r倍，則與，?最接近的是（）

（當(dāng)W較小時(shí)，10,=1+2.3x+2.7/）

A.1.24B.1.26C.1.25D.1.27

5.（2021?湖北?高三月考）如圖是古箏鳴箱俯視圖，鳴箱有多根弦，每根弦下有一只弦碼，

弦碼又叫雁柱，用于調(diào)節(jié)音高和傳振.右圖是根據(jù)左圖繪制的古箏弦及其弦碼簡(jiǎn)易直觀圖.在

直觀圖中，每根弦都垂直于X軸，左邊第一根弦在y軸匕相鄰兩根弦間的距離為I,弦碼

所在的曲線（又稱為雁柱曲線）方程為y=1.1',第〃（〃GN,第（）根弦表示與y軸重合的弦）根

20

弦分別與雁柱曲線和直線/：y=x+i交于點(diǎn)A“（x,“%）和&（X',“y?）,則?“y”=（）

n?0

參考數(shù)據(jù)：1.產(chǎn)=8.14

6.（2021?湖北?武漢市第六中學(xué)高三月考）占桁臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基

米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,8的距離之比wl）為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.

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后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系

.、，、PA\1

xOy中，A（-2,0）,B（4,0）,點(diǎn)P滿足焉=力，設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C,下列結(jié)論正確的是（）

ro\Z

A.C的方程為（x-4>+y2=i6B.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，面積的最大值為

12

C.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線尸。是NAP8的角平分線D.在C上存在點(diǎn)M,使得

|MO|=2|M4|

7.（2020?全國(guó)?高考真題（理））0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿

足”{0,1}"=1,4）,且存在正整數(shù)〃?，使得4,“=q（i=12L）成立，則稱其為0-1周期序列,

并稱滿足=q（i=12L）的最小正整數(shù)，〃為這個(gè)序列的周期.時(shí)于周期為，"的0-1序列

a,a2L??L,C（左）」%,*伏=L2,L,*1）是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo)，下列周期為5的0-1

m2

序列中，滿足c（幻v/k=123,4）的序列是（）

A.11010LB.11011LC.10001LD.11001L

8.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.

早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時(shí)

返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的

安全間隙（船底到海底的距離），下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深.

時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m時(shí)刻水深/m

0：005.09：002.518：005.0

3：007.512：005.021：002.5

6：005.015：007.524：005.0

若選用?個(gè)三角函數(shù)/（x）來近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中不

正確的有（）

A.f（x）=2.5cos（：x]+5B,/（x）=2.5sin+

C.該貨船在2：00至4：00期間可以進(jìn)港D.該貨船在13：00至17：00期間可以進(jìn)港

二、多選題

9.（2021?重慶?高三月考）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由

純音合成的，純音的數(shù)學(xué)函數(shù)為y=4sins,其中A是影響音的響度和音長(zhǎng)，。是影響音的

頻率.平時(shí)我們聽到的音樂都是有許多音構(gòu)成的復(fù)合音，假設(shè)我們聽到的聲音函數(shù)是

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/(x)=sinx+—sin2x+-sin3x+L+—sin/tr+L，令，(x)=￡；由依.已知一個(gè)音的發(fā)音的

23n777k

頻率為200Hz,發(fā)音函數(shù)y=4/"3，）?＞。），則下列說法正確的有（)

3

A.啰=400乃B.卜=力（力的最大值為5

c.y=A（x）在與）上單調(diào)遞減D.y=_A（x）圖象過y=￡（x）圖象的最值點(diǎn)

10.（2021?山東?肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）巴塞爾問題是一個(gè)著名的數(shù)論問題，這個(gè)

問題首先由皮耶特羅?門戈利在1644年提出，由歐拉在1735年解決.由于這個(gè)問題難倒了以

前許多的數(shù)學(xué)家，歐拉一解出這個(gè)問題，馬上就出名了，當(dāng)時(shí)他28歲.這個(gè)問題是精確計(jì)算

H]11

所有平方數(shù)倒數(shù)的和，也就是以下級(jí)數(shù)的和加=二/=產(chǎn)+域+系+L.巴塞爾問題是尋找

這個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確值，歐拉發(fā)現(xiàn)M的準(zhǔn)確值是二.不過遺憾的是：若把上式中的指數(shù)2換成其他

6

工1111

的數(shù)，例如N=ZF=7T+w+m+L,則N的精確值為多少，至今未解決.下列說法正確

的是（）

A.所有正奇數(shù)的平方倒數(shù)和為二

8

B.記尸$-5■+?-―+城-/+L，則尸的值為全

29

C.N的值不超過五

“1I11

D.記。=2：=；+彳+:+1,則存在正常數(shù)4,使得對(duì)任意正整數(shù)。＜義，恒有。＜彳

11.（2021?江蘇?無錫市第一中學(xué)高三月考）數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就

是其中比較特別的一類.螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或"纏卷小明對(duì)

螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個(gè)正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，

其具體作法是：在邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，作它的內(nèi)接正方形EFG”,且使得

4EF=15。；再作正方形EFG”的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得NFAW=15。；類似地，依次

進(jìn)行卜.去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設(shè)第〃個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為““（其中第1個(gè)正

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方形的邊長(zhǎng)為第2個(gè)正方形EFG”的邊長(zhǎng)為/=EF,…），第〃個(gè)直角三

角形（陰影部分）的面積為S.（其中第I個(gè)直角三角形AE"的面積為5,第2個(gè)直角三角形

EQM的面積為身，…），則（）

7

A.數(shù)列｛可｝是公比為:的等比數(shù)列B.￡=2

C.數(shù)列｛，｝是公比為I的等比數(shù)列D.數(shù)列｛SJ的前〃項(xiàng)和7；＜；

12.（2021?重慶市蜀都中學(xué)校高三月考）曼哈頓距離（或出租車幾何）是由十九世紀(jì)的赫爾

曼?閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語.例如，在平面上，點(diǎn)

?（再，X）和點(diǎn)Q（々）的曼哈頓距離為：”?=帆-WI+1K-%I.若點(diǎn)p（X1,y）為

C:x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn)，%）為直線l:kx-y-2k-4=O（ke[-^,2]）上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)L（k）

為P，Q兩點(diǎn)的曼哈頓距離的最小值，則UQ的可能取值有（）

A.1B.2C.3D.4

三、填空題

13.（2021?廣東?廣州市真光中學(xué)高三月考）人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解

問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線''的方法求方程的近似解如圖，方程

八用=。的根就是函數(shù)/CO的零點(diǎn)r,取初始值不處的切線與x軸的交點(diǎn)為國(guó)J（x）在再處的

切線與x軸的交點(diǎn)為七，一直這樣下去，得到補(bǔ)勺士,...乙，它們?cè)絹碓浇咏黵.若

3

/（x）=.r-x+l,x0=-l,則用牛頓法得到的r的近似值七約為（結(jié)果保留兩位

小數(shù)）.

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14.（2021?山西?長(zhǎng)治市第八中學(xué)高三月考）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾在研窕天文的過程中，通

過對(duì)運(yùn)算體系的研究，最終找到了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，發(fā)明了對(duì)數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的

大事件.他的朋友布里格斯構(gòu)造了現(xiàn)在常用的以10為底的常用對(duì)數(shù)Igx，并出版了常用對(duì)

數(shù)表，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)（保留到小數(shù)點(diǎn)后三位），瑞士數(shù)學(xué)家歐拉則在1770年指出了“對(duì)數(shù)

源于指數(shù)”，根據(jù)下表中的參考數(shù)據(jù)和指對(duì)數(shù)之間關(guān)系，判斷下面的結(jié)論，其中正確的序號(hào)

是.

①4"）在區(qū)間（⑹/。，）內(nèi)；②250是15位數(shù)；③若3-"=kxl0m（ld<10,加eZ）,則，”=一9：

④若"嚴(yán)（meZ）是一個(gè)70位正整數(shù)，則加=5.參考數(shù)據(jù)如下表:

真數(shù)X235711131719

Igx（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279

15.（2021?河北保定?高三月考）如圖所示，太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱

陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：能夠?qū)A。的周長(zhǎng)和面

積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱為圓。的一個(gè)“太極函數(shù)”，則下列有關(guān)說法中：

①函數(shù)/（?=&+1是圓0：/+。-1尸=1的一個(gè)太極函數(shù);

②函數(shù)是圓。：（x-lf+（y-2）2=l的一個(gè)太極函數(shù);

?Mi*）是圓。"+丁=1的一個(gè)太極函數(shù);

③函數(shù)f(x)=

④函數(shù)f（x）=In（廬I+x）是圓O：/+丁=1的一個(gè)太極函數(shù).

所有正確的是

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2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化和實(shí)際民生為載體的創(chuàng)新題及答案

精研考綱回納核心題海訓(xùn)練M納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

16.（2021?四川?雙流中學(xué)高三月考）“雙紐線”象數(shù)字“8”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、

簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美，是形成其它一些常見的漂亮圖案的基

石，也是許多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.曲線C:（Y+y2y=4卜2一?。┦?，，雙紐線”，

下而是關(guān)于曲線C的四個(gè)結(jié)論：

①曲線C的方程中xe[-2,2]；②曲線C經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

③若直線.'，=丘與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)出的取值范圍是（YO,-l）U（l,y）；

④曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離不超過2.則上述結(jié)論正確的是.

四、解答題

17.（2022?上海?高三專題練習(xí)）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉.

通過“小步道”，走出"大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，A-13-

C-A為某區(qū)的一條健康步道，A3、AC為線段，HC是以8c為直徑的半圓，A8=2x/5kni,

AC=4km,Z.BAC--.

6

（1）求次7的長(zhǎng)度；（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計(jì)

劃新建健康步道A-D-C（B,D在AC兩側(cè)），其中人力，為線段.若NA/）C=。，求新建

的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少長(zhǎng)度？（精確到

0.01km）

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2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化和實(shí)際民生為載體的創(chuàng)新題及答案

精研考綱回納核心題海訓(xùn)練M納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）十三屆全國(guó)人大四次會(huì)議3月11日表決通過了關(guān)于國(guó)民經(jīng)

濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要.

綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已

成功實(shí)現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國(guó)產(chǎn)化，包括中束流、大束流、高能、特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)

體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28nm,為我國(guó)芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片

制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說為國(guó)產(chǎn)芯片的制造做出了

重大貢獻(xiàn).該企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).

（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的/批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四

道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的

次品率分別為4=（，5=2，A=（.①求批次/芯片的次品率5；②第四道工序中智能

自動(dòng)檢測(cè)為次品的芯片會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知

批次/的芯片智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為92%,求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)

芯片恰為合格品的概率（百分號(hào)前保用兩位小數(shù)）.

（2）已知某批次芯片的次品率為P（（）<P<1）,設(shè)100個(gè)芯片中恰有1個(gè)不合格品的概率為

夕（P），記。（P）的最大值點(diǎn)為外，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次1/的芯片的次品率6=4.某手機(jī)生

產(chǎn)廠商獲得/批次與?/批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對(duì)使用這款手機(jī)的用戶回

訪，對(duì)開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，回訪的100名用戶中，安裝/批次有40部，其中

對(duì)開機(jī)速度滿意的有28人；安裝1/批次有60部，其中對(duì)開機(jī)速度滿意的有57人.求玲，并

判斷是否有999%的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對(duì)開機(jī)速度滿意度有關(guān)？

n^ad-bc)'

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

19.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場(chǎng)館——國(guó)家速滑館的設(shè)計(jì)理念

來源于一個(gè)冰和速度結(jié)合的創(chuàng)意，沿著外墻面由低到高盤旋而成的“冰絲帶”，就像速度滑冰

運(yùn)動(dòng)員高速滑動(dòng)時(shí)留下的?圈圈風(fēng)馳電掣的軌跡，冰上劃痕成絲帶，22條“冰絲帶”又象征

北京2022年冬奧會(huì).其中“冰絲帶”呈現(xiàn)出圓形平面、橢圓形平面、馬鞍形雙曲面三種造型，

這種造型富有動(dòng)感，體現(xiàn)了冰上運(yùn)動(dòng)的速度和激情這三種造型取自于球、橢球、橢圓柱等空

間幾何體，其設(shè)計(jì)參數(shù)包括曲率、撓率、面積體積等對(duì)幾何圖形的面積、體積計(jì)