數(shù)學(xué)建模案例分析-線性代數(shù)建模案例(20例)65959

數(shù)學(xué)模型線性代數(shù)建模案例匯編年6月數(shù)學(xué)建模案例分析

數(shù)學(xué)模型目

錄案例一.交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問題.案例二.配方問題.案例三。投入產(chǎn)出問題.案例四。平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布問題.案例五.CT圖像的代數(shù)重建問題.案例六.平衡結(jié)構(gòu)的梁受力計算.案例七.化學(xué)方程式配平問題.案例八?；ジ豆べY問題.案例九.平衡價格問題.案例十。電路設(shè)計問題.案例十一.平面圖形的幾何變換.案例十二.太空探測器軌道數(shù)據(jù)問題.案例十三.應(yīng)用矩陣編制Hill密碼.案例十四。顯示器色彩制式轉(zhuǎn)換問題.案例十五。人員流動問題.案例十六.金融公司支付基金的流動.案例十七.選舉問題.案例十八.簡單的種群增長問題.案例十九.一階常系數(shù)線性齊次微分方程組的求解案例二十.最值問題.附錄數(shù)學(xué)實驗報告模板.數(shù)學(xué)建模案例分析

這里收集了二十個容易理解的案例和各類數(shù)學(xué)建模競賽的題目相比，這些案例確實顯得過于簡單但如果學(xué)生能通過這些案例加深對線性代數(shù)基本概念、理論和方法的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的意識，那么我們初步的目的也就達到了案一交網(wǎng)流分問城市道路網(wǎng)中每條道路、每個交叉路口的車流量調(diào)查,是分析、評價及改善城市交通狀況的基礎(chǔ)根據(jù)實際車流量信息可以設(shè)計流量控制方案必要時設(shè)置單行線,免大量車輛長時間擁堵。圖1某地交通實況圖2某城市單行線示意圖【模型準(zhǔn)】某城市單行線如下圖所示，中的數(shù)字表示該路段每小時按箭頭方向行駛的車流量(單位：輛).1

124341241214124341241214234110400500

1

x

2

300x

x100

3

x

4

300200圖3某城市單行線車流量(1)建立確定每條道路流量的線性方程組(2）為了唯一確定未知流量還需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計？（當(dāng)=350時，確定,,的值。（若=，則單行線應(yīng)該如何改動才合理【模型假設(shè)】(1）每條道路都是單行線。）每個交叉路口進入和離開的車輛數(shù)目相等.【模型建立】根據(jù)圖3和上述假設(shè)，在①，②，③，④四個路口進出車輛數(shù)目分別滿足500=400+=x300x+=+200x=x+【模型求解】根據(jù)上述等式可得如下線性方程組

①②③④其增廣矩陣

x50012x1x30023003

10

，b）=

00

由此可得

x1x6002x34即2

4412341234412341231231279x348xx56x10012xx34為了唯一確定未知流量，只要增添統(tǒng)計的值即可當(dāng)x=時,確定x=x50.若x=，則===〈。這表明單行線“④”應(yīng)該改為“③”才合理?！灸Ｐ头?)由（,)的行最簡形可見，上述方程組中的最后一個方程是多余的.這意味著最后一個方程中的數(shù)據(jù)“”可以不用統(tǒng)計x100500500x2001212(2)由可，300這2323xxx100xxx344143就是說x，x,,這四個未知量中，任意一個未知量的值統(tǒng)計出來之后都可以確定出其他三個未知量的值。參考文獻陳懷琛,高淑萍,楊威,工程線性代數(shù)北京:電子工業(yè)出版社2007頁碼:—Matlab驗題某城市有下圖所示的交通圖，每條道路都是單行,需要調(diào)查每條道路每小時的車流量圖中的數(shù)字表示該條路段的車流數(shù).如果每個交叉路口進入和離開的車數(shù)相等,整個圖中進入和離開的車數(shù)相等。

x

x

x

x

11

x

x

x

10

12

x

x

290圖4某城市單行線車流量（1）建立確定每條道路流量的線性方程組.（2）分析哪些流量數(shù)據(jù)是多余的.(3）為了唯一確定未知流量需要增添哪幾條道路的流量統(tǒng)計3

1212案二方題在化工、醫(yī)藥、日常膳食等方面都經(jīng)常涉及到配方問題。在不考慮各種成分之間可能生某些化學(xué)反應(yīng)時，配方問題可以用向量和線性方程組來建模。圖5日常膳食搭配

圖6幾種常見的作料【模型準(zhǔn)備】一種佐料由四種原A、B、D混合而成.這種佐料現(xiàn)有兩種規(guī)格，兩種規(guī)格的佐料中，種原料的比例分別為2:3:1112:1:2.現(xiàn)在需要四種原料的比例為：7:3:5的第三種規(guī)格的佐料。：三種規(guī)格的佐料能否由前兩種規(guī)格的佐料按一定比例配制而成？【模型假設(shè)】(1）設(shè)四種原料混合在一起時不發(fā)生化學(xué)變化（）假設(shè)四種原料的比例是按重量計算的.（假設(shè)前兩種規(guī)格的佐料分裝成袋,比如說第一種規(guī)格的佐料每袋凈重克（其中AB、C、D四種原料分別為2，3，1克，1)第二種規(guī)格的佐料每袋凈重6（其中A、B、C、四種原料分別為克，克，1,2）.【模型建立】根據(jù)已知數(shù)據(jù)和上述假設(shè)可以進一步假設(shè)將袋第一種規(guī)格的佐料與袋第二種規(guī)格的佐料混合在一起，到的混合物中ABD四種原料分別為4，7，克，5,則有以下線性方程組

xyy7,xyxy5.【模型求解】上述線性方程組的增廣矩陣

14

0

,）=

212

100

，可見

xy2.

又因為第一種規(guī)格的佐料每袋凈重克第二種規(guī)格的佐料每袋凈重克，所以第三種規(guī)格的佐料能由前兩種規(guī)格的佐料按：的比例配制而成.【模型分析】(1）若令（3,1，1）T，=（，1，T，=（，，，3)T，則原問題等價“性方程組Ax=是否有解"也等價于“能否,線性表示”.（2）四種原料的比例是按體積計算的,則還要考慮混合前后體積的關(guān)系未必是簡單的疊加）,因而最好還是先根據(jù)具體情況將體積比轉(zhuǎn)換為重量比,然后再按上述方法處理。4

(3)上面的模型假設(shè)中的第三個假設(shè)只是起到簡化運算的作用。如果直接設(shè)克第一種規(guī)格的佐料與y克第二種規(guī)格的佐料混合得第三種格的佐料，則有下表表1混合后四種原料的含量原料佐料規(guī)格

A

B

C

D第一種第二種

2716

xy

3726

xy

1716

xy

1726

xy第三種

419

（x+y)

719

+y）

319

（x+y）

519

（x+y）因而有如下線性方程組14xy(xy),7xy(xy),xy(xy),x(x).

【模型檢驗】把=7,y=代入上述方程組（則各等式都成立可見模型假設(shè)中的第三個假設(shè)不影響解的正確性。Matlab實題蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪是人體每日必須的三種營,但過量的脂肪攝入不利于健康.人們可以通過適量的運動來消耗多余的脂肪設(shè)三種食物(脫脂牛奶大豆面粉乳清每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑分鐘消耗蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的量如下表.表2三種食物的營養(yǎng)成分和慢跑的消耗情況營養(yǎng)

每克食物所含營養(yǎng)（克）慢跑分鐘牛奶大豆面粉乳清消耗量（克)

每日需要的營養(yǎng)量(克)蛋白質(zhì)碳水化合物脂肪

365113103352347420451071153問怎樣安排飲食和運動才能實現(xiàn)每日的營養(yǎng)需求？5

案三投產(chǎn)問在研究多個經(jīng)濟部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系。提出了投入產(chǎn)出模這為經(jīng)濟學(xué)研究提供了強有力的手段因此獲得了1年Nobel濟學(xué).圖7三個經(jīng)濟部門這里暫時只討論一個簡單的情【模型準(zhǔn)備地有一座煤一個發(fā)電廠和一條鐵經(jīng)成本核算，每生產(chǎn)價值1元錢的煤需消耗0.3元的;為了把1錢的煤運出去需花元的運費每生產(chǎn)1元的電的煤作燃料；為了運行電廠的輔助設(shè)備需消耗本元的電,還需要花元的運費；作為鐵路局每提供1元運費的運輸需消耗0元的,輔助設(shè)備要消元的電現(xiàn)煤礦接到外6萬元煤的訂電廠10萬元電的外地需求問：煤礦和電廠各生產(chǎn)多少才能滿足需【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮價格變動等其他因素。【模型建立】設(shè)煤礦，電鐵路分別產(chǎn)出x元，y元,z元剛好滿足需求則有下表表3消耗與產(chǎn)出情況產(chǎn)出(1元）煤電運

產(chǎn)出消耗

訂單消耗

煤00.65y+0。電0.3yx++1運。21z0.2x+0.1y

600001000000根據(jù)需求，該有

x(0.6yz)y(0.3xy0.1)100000zxy即0.60.9y0.1z100000

xy【模型求解】Matlab命令窗口輸入以下命令6

z0000.2yA=[1,-0.6,-0.5;—0。3,0，—0.1，1b=；0];>〉=A\bMatlab執(zhí)行后得x=1.0e+005。99661.84150.5835可見煤礦要生產(chǎn)15

元的電廠要生產(chǎn)184155

元的電恰好滿足需

0

60000

【模型析令x=，A=0.30.1，b=100000，其x稱總產(chǎn)值列向,稱消耗系數(shù)矩稱為終產(chǎn)品向則

0

x

0.6

=y=x根據(jù)需,應(yīng)該x=，即()x=.x=(E).Matlab實題某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有甲、乙、丙三個企業(yè)甲企業(yè)每生產(chǎn)元的產(chǎn)品要消耗。25元乙企業(yè)的產(chǎn)品和0.25元丙企業(yè)的產(chǎn)品乙企業(yè)每生的產(chǎn)品要消耗065元甲企業(yè)的產(chǎn)0.05元自產(chǎn)的產(chǎn)品和005元丙企業(yè)的產(chǎn)品。丙企業(yè)每生1元的產(chǎn)品要消0.5元甲企業(yè)的產(chǎn)品1元乙企業(yè)的產(chǎn)在一個生產(chǎn)周期甲、丙三個企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品價值分別100萬120萬元,萬元,同時各自的固定資產(chǎn)折舊分別為20萬元，萬元5萬（1)求一個生產(chǎn)周期內(nèi)這三個企業(yè)扣除消耗和折舊后的新創(chuàng)值(2）如果這三個企業(yè)接到外來訂單分別萬,萬元，萬元，么他們各生產(chǎn)多少才能滿足需7

12342414243123424142431442案四.板穩(wěn)溫分問在熱傳導(dǎo)的研究中，個重要的問題是確定一塊平板的穩(wěn)態(tài)溫度分布。根據(jù)定律,只要測定一塊矩形平板四周的溫度就可以確定平板上各點的.度圖8一塊平板的溫度分布圖【模型準(zhǔn)備如9所示的平板代表一條金屬梁的截面知四個節(jié)點處的溫度（單°C)，求中4個點處的溫度,,TT10090

T

608060

T50

50圖9一塊平板的溫度分布圖【模型假設(shè)】假設(shè)忽略垂直于該截面方向上的熱傳且每個節(jié)點的溫度等于與它相鄰的四個節(jié)點溫度的平均【模型建立】根據(jù)已知條件和上述假有如下線性方程組T100)21(8060)14160)1T)【模型求解】將上述線性方程組整理得8

131241234lurduuul16Trl27Tr131241234lurduuul16Trl27Trl5TTrddd190T14014

.在Matlab命令窗口輸入以下命令A(yù)=［4,-1，-1；—1,4,0,-1—1;0，，—1，4];b=；140；140；100];〉>x=；’Matlab執(zhí)行后得ans=82.9167。8333。8333。4167可T=82.9167,T=70，=70。8333，60。4167。參考文獻陳懷琛，淑萍，威工程線性代北:電子工業(yè)出版社2007。頁碼：15-16.Matlab實題假定下圖中的平板代表一條金屬梁的截并忽略垂直于該截面方向上的熱傳導(dǎo)。知平板內(nèi)部有30個節(jié)每個節(jié)點的溫度近似等于與它相鄰的四個節(jié)點溫度的平均設(shè)4邊界上的溫度分別等于每位同學(xué)學(xué)號的后四位倍，例如學(xué)號1同學(xué)計算本題時選T===0,T=。TT

TTT

TTT

T2627

TTT

TT

10T

30T

T圖10一塊平板的溫度分布圖(1)建立可以確定平板內(nèi)節(jié)點溫度的線性方程(2)用軟件求解該線性方程（3Matlab中的函esh繪制三維平板溫度分布9

123123456456789792512312345645678979258143i1312369案五CT像代重問X射線透視可以得維對象2維平面上的投影CT通過不同角度X射線得維對象的多個2維投并以此重建對象內(nèi)部圖代數(shù)重建方法就是從這2維投影出發(fā)通過求解超定線性方程獲得對象內(nèi)維圖像的方法。圖11雙層螺

圖12CT像這里我們考慮一個更簡單的模從2維圖像1投影重建原先2維圖像。一個長方形圖像可以用一個橫豎均勻劃分的離散網(wǎng)格來覆每個網(wǎng)格對應(yīng)一個像素它是該網(wǎng)格上各點像素的均這樣一個圖像就可以用一個矩陣表元素就是圖像在一點的灰度值（黑白圖面我們以3像為例來說明。表4消耗與產(chǎn)出情況3圖像水平方向上各點的灰度值的疊加值x=1x=0=0+x=1x=0=0.5=0.5x+x=1x=05x=0=1x+=1.5豎直方向上x++x+xx++的疊加值=1.5=05=1.5每個網(wǎng)格中的數(shù)代表其灰度范圍[0，］內(nèi).0表示白示黑,0.5表示灰.如果我們不知道網(wǎng)格中的數(shù)只知道沿豎直方向和水平方向的疊加值，為了確定網(wǎng)格中的灰度可以建立線性方程含個方程，個未知)46

36顯然該方程組的解是不唯一為了重建圖必須增加疊加值如我們增加從右上方到左下方的疊加值，則方程組將增5個方程x=1,x+=0,x++=，x+=0.5,x=1,和上面6個方程放在一起構(gòu)成一個含個方,未知數(shù)的線性方程組。10

145678145678191312345678【模型準(zhǔn)備】圖像中第一3點的灰度值依次,x，第二3點的灰度值依次為x,，x，第三個點的灰度值依次x,,沿豎直方向的疊加值依次為1.5，。5,沿水平方向的疊加值依次，1,15,沿右上方到左下方的疊加值依次，，。51。確x，x，…,x的.【模型建立】由已知條件可得（含個方程，9個未知數(shù)的）線性方程組46

9【模型求解】Matlab命令窗口輸入以下命令A(yù)=[1，1,0,0，0,0；0，0,1，0,0，0,0，1，1,1；1，0，0,1，0,0,1，0,0;0,1，0,0；0,0，0，0，01,0,0，0,0，1，0,0,0,0，1，1,0，0;0，0，0，0，1,0,1，0,0,0,0，0，1];>〉=[1;1;1.5；1.5；0。5;1；0；1];>>x=A\b;Matlab執(zhí)行后得Warning：deficient,rank=8tol=—015.ans=1.00000.00000—000。50000.5000—0。00001.0000可見上述方程組的解不唯其中的一個特解為x===0，x=x=，=x=0。5,x=1。【模型分析】上述結(jié)果表僅有三個方向上的疊加值還不以再增加從左上方到右下方的疊加在實際情況由于測量誤差，上述線性方程組可能是超定這時可以將超定方程組的近似解作為重建的圖像數(shù)據(jù)。Matlab實題給定一圖像2個方向上的灰度疊加值：沿左上方到右下方的灰度疊加值依次為1.2,17，。，；右上方到左下方的灰度疊加值依次為0.6,。21.6，1，0.6(1）建立可以確定網(wǎng)格數(shù)據(jù)的線性方程組Matlab求.(2)將網(wǎng)格數(shù)據(jù)乘以256,再取整，繪制該灰度圖像。11

111222132411311411143721111122213241131141114372118256案六平結(jié)的受計在橋梁、房頂、鐵塔等建筑結(jié)構(gòu)涉及到各種各樣的梁。對這些梁進行受力分析是設(shè)計師、工程師經(jīng)常做的事情。圖13埃菲爾鐵塔全景

圖14埃菲爾鐵塔局部下面以雙桿系統(tǒng)的受力分析為例說明如何研究梁上各鉸接點處的受力情況?！灸Ｐ蜏?zhǔn)備】在所示的雙桿系統(tǒng)已知重G=200頓，長L=2米，與水平方向的夾角桿2重G=牛頓，長=2米，與水平方向的夾角=三個鉸接點，C所在平面垂直于水平求12在鉸接點處所受到的力。C桿1

桿2

圖15雙桿系統(tǒng)【模型假設(shè)】假設(shè)兩桿都是均勻的。在鉸接點處的受力情況如16所【模型建立】對于1水平方向受到的合力為零，=,豎直方向受到的合力為故+G1以點為支點的合力矩為故Lsin+（LcosN=（Lcos2NN

CC

NN

桿1N

N

桿2N

N圖16兩桿受力情況對于類似地有12

5656222222341281N=N=+G，(N=Lcos+（L。2此外還N=N=N于是將上述8個等式聯(lián)立起來得到關(guān)N，…，N的線性方程:

NN13NN21NN48【模型求解】Matlab命令窗口輸入以下命令；L1=2；G2=100;（2)；theta2=pi/4;〉>A=，-1，0,0,0,0;0，0，0,0，0;0,0,L1＊sin（theta1)，L1*cos，0,0,0,1，0，—10—1（theta2（theta2);0，0,1，，0；0,0,0,1,0,0，0,-1>>b=。5*L1＊cos(theta1)*G1＊L2*cos(theta2)*G2;0;0];〉>x=；’Matlab執(zhí)行后得ans=。096245.09620962145.096295.096245.0962【模型分析】最后的結(jié)果沒有出現(xiàn)負值說明圖中假設(shè)的各個力的方向與事實一致.如果結(jié)果中出現(xiàn)負值，則說明該力的方向與假設(shè)的方向相反。參考文獻陳懷,高淑萍楊威，工程線性代北:電子工業(yè)出版頁碼：157—。Matlab實題有一個平面結(jié)構(gòu)如下所有13條梁圖中標(biāo)號的線段）和8鉸接(圖中標(biāo)號的聯(lián)結(jié)在一起其1鉸接點完全固定，8號接點豎直方向固定并在2號,5號6號鉸接點上分別有圖示的10噸，15噸20噸的負載在靜平衡的條件,任何一個鉸接點上水平和豎直方向受力都是平衡的已知每條斜梁的角度都45。（1)列出由各鉸接點處受力平衡方程構(gòu)成的線性方程（2)用軟件求解該線性方程組，定每條梁受力情13

圖17一個平面結(jié)構(gòu)的梁14

2222221232467222222212324672,即2222案七化方式平題在用化學(xué)方法處理污水過程中，有時會涉及到復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)。這些反應(yīng)的化學(xué)方程式是分析計算和工藝設(shè)計的重要依在定性地檢測出反應(yīng)物和生成物之后,可以通過求解線性方程組配平化學(xué)方程圖18污水處理【模型準(zhǔn)備】某廠廢水中含KCN，其濃度現(xiàn)用氯氧化法處理發(fā)生如下反應(yīng)：KCN+2KOH+Cl=KOCN2KClH。投入過量液氯，可將氰酸鹽進步氧化為氮配平下列化學(xué)方程KOCN+KOH+Cl===CONHO（注題目摘自福建省廈門外國語學(xué)學(xué)年高三第三次月考化學(xué)試【模型建立】設(shè)則

xKOCN＋xKOH＋xCl===CO＋x＋xKCl＋HO，

xx162xxx14147xx1xx15xx272x【模型求解】Matlab命令窗口輸入以下命令>〉=［1,1,0—1，0;1，1,0，，0,0，-1；1,0,0，-1,0,0,0;1,0,0，0；0,1，0，2,0，，0];>〉=null（A,r)；format，xMatlab執(zhí)行后得ans=123/211/231可見上述齊次線性方程組的通解為x=(1,2，3/2，1，1/2，，1)。取k=2得x=，，2,，6，.可見配平后的化學(xué)方程式如下+4KOH+3Cl===2CO++O。15

422442244232232322【型分】利用線性方程組配平化學(xué)方程式是一種待定系數(shù)關(guān)鍵是根據(jù)化學(xué)方程式兩邊所涉及到的各種元素的量相等的原則列出方程齊次線性方程=所含方程的個數(shù)等于化學(xué)方程式中元素的種未知數(shù)的個數(shù)就是化學(xué)方程式中的項數(shù)n.當(dāng)（)n，=基礎(chǔ)解系中含1（線性無關(guān))解量。這時在通解中取常數(shù)k為各分量分母的最小公倍數(shù)即可例如本例中1，，，1/2,3,分母的最小公倍數(shù)2,故k=2。當(dāng)）,=基礎(chǔ)解系中含2個以上的線性無關(guān)的解向這時可以根據(jù)化學(xué)方程式中元素的化合價的上升與下降的情況方程組中添加新的方參考文獻陳懷琛，高淑萍,楊威,工程線性代,北京：子工業(yè)出版頁碼：。Matlab實題配平下列反應(yīng)式(1)+KMnO+SO——KSOMnSO+（)++↓（2Al（SO+CO+O——）↓+↑SO16

案八付資互付工資問題是多方合作相互提供勞動過程中產(chǎn)生的。比如農(nóng)忙季節(jié)，多戶農(nóng)民組成互助組,共同完成各戶的耕、種、收等農(nóng)又如木工電工，油漆工等組成互助組,共同完成各家的裝潢工作.由于不同工種的勞動量有所不,為了均衡各方的利益，就要計算互付工資的標(biāo)準(zhǔn)。圖19農(nóng)忙互助

圖20裝修互助【模型準(zhǔn)備】現(xiàn)有一個木工電工油漆工。相互裝修他們的房子，他們有如下協(xié)議：(1)每人工作10(包括在自己的日子）每人的日工資一般的市價在～元之間（3)日工資數(shù)應(yīng)使每人的總收入和總支出相等。表5工作天數(shù)在誰家

工人

木工電工

油漆工木工家電工家油漆工家

244

613求每人的日工資.【模型假設(shè)】假設(shè)每人每天工作時間長度相.無論誰在誰家干活都按正常情況工作，不偷懶,也不加班?！灸Ｐ徒ⅰ吭O(shè)木工，電工，油漆工的日工資分別為，y，z元則由下表表6各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入在誰家

工人

木工電工油漆工各家應(yīng)付工資木工家電工家油漆工家各人應(yīng)得收入

24410

15410

61310

2++64+y+4+y+3可得xzyy,

4xyz

4【模型求解】在命令窗口輸入以下命令17

>>A=[—8，1，6；4,；4，4,—7>>x=null（A，'r)；formatrat，x’Matlab執(zhí)行后得ans=31/368/91可見上述齊次線性方程組的通解為=k（31/36，，1)。因而根據(jù)“每人的日工資一般的市價在～元之間"可知31216060kk〈k，即。363182160也就是說,木工電工油漆工的日工資分別為元，k元元其中。36為了簡便起見,可取=72,于是木工，電工,油漆工的日工資分別為元64,元【模型分析】事實上各人都不必付自己工資這時各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入如下表7各家應(yīng)付工資和各人應(yīng)得收入在誰家

工人

木工

電工

油漆工

各家應(yīng)付工資木工家電工家油漆工家個人應(yīng)得收入

0448

1045

6107

y+z4+44y由此可得z,y

4

4可見這樣得到的方程組與前面得到的方程組是一樣的Matlab實題甲，乙,丙三個農(nóng)民組成互助組每人工作6天包括為自己家干活的天數(shù)）,剛好完成他們?nèi)思业霓r(nóng)活,其中甲在甲乙，丙三家干活的天數(shù)次為：，2。5，1.5;乙在甲乙，三家各干2活丙在甲,乙，三家干活的天數(shù)依次為:1。5，。5.根據(jù)三人干活的種速度和時他們確定三人不必相互支付工資剛好公平隨后三人又合作到鄰村幫忙干了2（各人干活的種類和強度不變)，共獲得工資500。問他們應(yīng)該怎樣分配這元工資才合理18

1212案九平價問為了協(xié)調(diào)多個相互依存的行業(yè)的平衡發(fā)有關(guān)部門需要根據(jù)每個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配情況確定每個行業(yè)產(chǎn)品的指導(dǎo)價格行業(yè)的投入與產(chǎn)出都大致相等。圖21三個行業(yè)【模型準(zhǔn)備】假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)組成業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所示：表7行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配煤炭電力鋼鐵

購買者00.406煤炭061。2電力0.40.2鋼鐵每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價【模型假設(shè)】假設(shè)不考慮這個系統(tǒng)與外界的聯(lián)【模型建立】把煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格分別,表示,則

xx0.60.41212xx，xx2313xxxx3133【模型求解】Matlab命令窗口輸入以下命令>>A=—0。4。6,0.9，；—0。4,—0.5，0.8]；x=，r'；format，x’Matlab執(zhí)行后得ans=0.93940.8485可見上述齊次線性方程組的通解為x=9394，0.8485,.這就是說，果煤炭、電力、鋼鐵行業(yè)每年總產(chǎn)出的價格分億,。19

8485億元，億,那么每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相【型分】實際,一個比較完整的經(jīng)濟系統(tǒng)不可能只涉及三個行業(yè)此需要統(tǒng)計更多的行業(yè)間的分配數(shù)Matlab實題假設(shè)一個經(jīng)濟系統(tǒng)由煤炭、石油、電力、鋼鐵、機械制造、運輸行業(yè)組個行業(yè)的產(chǎn)出在各個行業(yè)中的分配如下表所表8行業(yè)產(chǎn)出分配表產(chǎn)出分配煤炭石油電力鋼鐵制造運輸

購買者0020.10.2。2煤炭00.1石油0.50。10。10.2。10電力040。10。20.10鋼鐵00。1

0.600.2

制造0.10。70.100。4運輸每一列中的元素表示占該行業(yè)總產(chǎn)出的比求使得每個行業(yè)的投入與產(chǎn)出都相等的平衡價參考文獻DavidC。Lay,線性代數(shù)及其應(yīng)用沈復(fù)興，傅鶯鶯等,北:人民郵電出版社,頁碼:49—。20

i1ii1iii211212和112235案十電設(shè)問電路是電子元件的神經(jīng)系統(tǒng)。數(shù)的計算是電路設(shè)計的重要環(huán)節(jié)。依據(jù)來自兩個方面:一是客觀需要，二是物理學(xué)定律圖22USB展板【模型準(zhǔn)設(shè)圖中的方框代表某類具有輸入和輸出終端的電路用1記錄輸入電壓和輸入電流(電壓v伏特為單位,電流i以安培為單位)，用記錄輸出電壓和輸入電流。若=A，則稱矩陣A為轉(zhuǎn)移矩陣。i

1

i

2輸入終端v

電路

輸出終端v圖23具有輸入和輸出終端的電子電路圖圖24出了一個梯形網(wǎng)絡(luò),左邊的電路稱為串聯(lián)電路，電阻為（單位:歐姆.右邊的電路是并聯(lián)電路，路R.利用歐姆定理和楚列斯基定律我們可以得到串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣分別是1R

i

1

i

2

i

2

i

3v

R

v

R

v串聯(lián)電路

并聯(lián)電路圖24梯形網(wǎng)絡(luò)設(shè)計一個梯形網(wǎng)絡(luò)，其轉(zhuǎn)移矩陣是。21

1212AA=101211151【模型求解】由可得1212AA=101211151【模型求解】由可得。1R/R52221212124112122151432【模型假設(shè)】假設(shè)導(dǎo)線的電阻為零?！灸Ｐ徒⒃O(shè)A和A分別是串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的轉(zhuǎn)移矩陣，則輸入向量x先變換成A，再變換到（x其中21就是圖22梯形網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)移矩陣.

1R/R22

于是,原問題轉(zhuǎn)化為求,R的值使得

1R/R22

.11/R1根據(jù)其中的前兩個方程可得=8,R=2.把R8，R2代入上面的第三個方程確實能使等式成立。這就是說在圖梯形網(wǎng)絡(luò)中取R=，=2即為所求?！灸Ｐ头治觥咳粢霓D(zhuǎn)移矩陣改為

1

，則上面的梯形網(wǎng)絡(luò)無法實.因為這時對應(yīng)的方程組2。據(jù)前兩個方程依然得到R1=8,=1/12，把8,R=2入上第三個方程卻不能使等式成立。參考文獻David，線性代數(shù)及其應(yīng)用,沈復(fù)興，傅鶯鶯等譯，北京:人民郵電出版社,。頁碼:練習(xí)題根據(jù)基爾霍夫回路電路定各節(jié)點處流入和流出的電流強度的代數(shù)和為零各回路中各支路的電壓降之和為零列出下圖所示電路中電流i，i,i所滿足的線性方程組,并用矩陣形式表示:①

R

R

i

2R

i

1

②

R

i

3

③R

22

0010010011圖25簡單的回路案十面形幾變隨著計算機科學(xué)技術(shù)的發(fā),計算機圖形學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣，如仿真設(shè)計、效果圖制作、動畫片制作、電子游戲開發(fā)等。圖26計算機圖形學(xué)的廣泛應(yīng)用圖形的幾何變換,包括圖形的平移旋轉(zhuǎn)放縮等，是計算機圖形學(xué)中經(jīng)常遇到的問題.這里暫時只討論平面圖形的幾何變換【模型準(zhǔn)備】平面形的旋轉(zhuǎn)和放縮都很容易用矩陣乘法實現(xiàn)，但是圖形的平移并不是線性運算,不能直接用矩陣乘法表示.現(xiàn)在要求用一種方法使平移、旋轉(zhuǎn)、放縮能統(tǒng)一用矩陣乘法來實現(xiàn)?！灸Ｐ图僭O(shè)】設(shè)平移變換為，）x+a,+b)旋轉(zhuǎn)變換（繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)）為（x，y)（xcossinycos放縮變換（沿x方向放大s倍，沿y方向放大t）為（x，y)（sx,)【模型求解R2

中的每個點x，y）可以對應(yīng)R

中的（x,，1它在xOy平面上方1位的平面上我們稱（,y，1）是（，的齊次坐標(biāo)。在齊次坐標(biāo)下,平移變換，)(+a，+b)可以用齊次坐標(biāo)寫成（x,y，（x+a，y+b,。

1于是可以用矩陣乘。旋轉(zhuǎn)變換，）（sin可以用齊次坐標(biāo)寫成

x

ycos，,1)(xsin

x

ycos1）.

cos

x

xcossin

于是可以用矩陣乘0放縮變換，)（sxty23

實現(xiàn)。

0011可以用齊次坐標(biāo)寫成

，，1)（sx,,s于是可以用矩陣乘t。【模型析由上述求解可以看出，R

中的任何線性變換都可以用分塊矩陣

乘以齊次坐標(biāo)實現(xiàn)，其中A是2階方陣。這樣只要把平面圖形上點的齊次坐標(biāo)寫成列向量,平面圖形的每一次幾何變換，都可通過左乘一個3階變換矩陣來實現(xiàn)。參考文獻David，線性代數(shù)及其應(yīng)用，沈復(fù)興，傅鶯鶯等譯北京:人民郵電出版社,頁碼:139—141。Matlab驗題在Matlab令窗口輸入以下命令>>clearall，clc,〉>t=[1,3,5,11,13，15]*pi/8;〉〉x=sin(t);y=cos（t);〉〉fill(x，y,’r')；〉>gridon;〉>axis([-2。4,2。4，-2,2]）運行后得圖25圖26繪制的圖形（1)寫出該圖形每個頂點的齊次坐標(biāo)；（2)編寫Matlab程序先將上面圖形放大。倍；再逆時針旋轉(zhuǎn)

;最后進行橫坐標(biāo)加0.8，縱坐標(biāo)減1圖形平移.分別繪制上述變換后的圖形。24

1kk1kkkkkk1TTkk1kk1kkkkkk1TTkkk1xkkkkkk1kkkkkk案十.太空測軌數(shù)問太空航天探測器發(fā)射以后可能需要調(diào)整以使探測器處在精確計算的軌道.雷達監(jiān)測到一組列向x,…,它們給出了不同時刻探測器的實際位置與預(yù)定軌道之間的偏差的信圖28火星探測器【模型準(zhǔn)備=,…,在雷達進行數(shù)據(jù)分析時需要計算出矩XX。一旦接收到數(shù)據(jù)向量x必須計算出新矩陣.因為數(shù)據(jù)向量到達的速度非常快，著k的增直接計算的負擔(dān)會越來越重現(xiàn)需要給出一個算使得計算的負擔(dān)不會因的增加而加重?！灸Ｐ颓蠼狻恳驗?XX=,，x]xxiiik

,TG+1=k=X,]XkT+k=xT，k所以一旦接收到數(shù)據(jù)向量，只要計算xT,然后把它與上一步計算得到的相加即.這樣計的負擔(dān)不會因為的增加而加【模型分析】計算機計算加法的時間與計算乘法的時間相比可以忽略不因此在考慮計算矩陣乘積的負擔(dān)只要考察乘法的次數(shù)就可以了的維數(shù)，則X=，…,是的矩XXn的矩直接計GXX需要做2次乘法。因而計算的負擔(dān)會隨著的增加而增但是對于每一k,計算xx

T

始終只要做n

次乘.Matlab實驗題用編寫一個程序用于處理這個問參考文獻David，線性代數(shù)及其應(yīng)用沈復(fù)興，傅鶯鶯等譯北京：人民郵電出版社，頁碼：123。25

11112案十用陣制密碼密碼學(xué)在經(jīng)濟和軍事方面起著極其重要的作用現(xiàn)代密碼學(xué)涉及很多高深的數(shù)學(xué)知識.這里無法展開介紹.請求重傳噪聲加

識信源

加密

冗編

信道

錯糾

解密

信宿碼

錯攻擊圖29保密通信的基本模型密碼學(xué)中將信息代碼稱為碼,尚未轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息稱為文由密碼表示的信息稱為文從明文到密文的過程稱為加密反之解密1929年，希爾（Hill通過線性變換對待傳輸信息進行加密處理，提出了在密碼史上有重要地位的希爾加密算法。下面我們略去一些實際應(yīng)用中的細節(jié),只介紹最基本的思想?！拘蜏?zhǔn)備若要發(fā)出信息，現(xiàn)需要利用矩陣乘法給出加密方法和加密后得到的密文，并給出相應(yīng)的解密方法?！灸Ｐ图僭O(shè)(1)假定每個字母都對應(yīng)一個非負整數(shù)空格和26英文字母依次對應(yīng)整數(shù)（見下表表9空格及字母的整數(shù)代碼表空格

ABCDE

FHIJKLM036810111213NPQRTUVWXYZ141718192022232526（2）設(shè)將單詞中從左到右,每個字母分為一組并將對應(yīng)的個整數(shù)排成3的行向量，加密后仍為3維的行向量,其分量仍為整數(shù)【模型建立】設(shè)3向量x為明文，要選一個矩陣A使密文y=xA,還要確保接收方能由y準(zhǔn)確解出因此A必須是一3階可逆矩陣。樣就可以由yxA得x=為了避免小數(shù)引起誤差，并且確保y也是整數(shù)量，和的元素應(yīng)該都是整數(shù)。注意到，當(dāng)整數(shù)矩陣的行列式=時A矩陣.因此原問題轉(zhuǎn)化為（1)把action翻譯成兩個行向量:，x。（2)構(gòu)造一個行列式=的整數(shù)矩陣(當(dāng)然不能取AE（3)計算x和x26

也是整數(shù)

120013221312001322132222322（4）(AE)2101初等0101可得320100111(4)計算A

1

。【模型求解1）由上述假設(shè)可見x(1,，）x（15,14）.

100

（2）對3單位矩陣E=

0幾次適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q（比如把某一行的整數(shù)被加到另一或交換某兩行,根據(jù)行列式的性質(zhì)可,這樣得到的

11

矩陣A的行列式為1或例如A=11A

1

(3）y=A(1,3，(67,44,

11

y=Ax（15,141，。

110

10

變換

0

A

1

.這就是說，收方收到的密文是，，，81，，還原成明文,只要計算（，43）和(81,，43）A再對照表9成單詞即可.【型分析】如果要發(fā)送一個英文句子，在不記標(biāo)點符號的情況,我們?nèi)匀豢梢园丫渥?含空格)從左到右個字符分為一組(最后不個字母時用空格補上)?！灸Ｐ蜋z驗，44，A=，3,（52,43A=(9，15,。參考文獻楊,高淑線性代數(shù)機算與應(yīng)用指導(dǎo),西安：西安電子科技大學(xué)出版社,2009。頁碼:98-102。Matlab驗題按照上面的加密方法，密文為:，57,51，，84,49，4968,41，32,835537，70,45，25，恢復(fù)為原來的信息是什么?27

0.04BZ0.04Z案十.顯示色制轉(zhuǎn)問彩色顯示器使用G和(光的疊成效應(yīng)生成顏色顯示器屏幕的內(nèi)表面由微粒象素組每個微粒包括三個熒光紅、綠、藍。電子槍位于屏幕的后,向屏幕上每個點發(fā)射電子束計算機從圖形應(yīng)用程序或掃描儀發(fā)出數(shù)字信號到電子這些信號控制電子槍設(shè)置的電壓強度同RGB的強度組合將產(chǎn)生不同的顏電子槍由電磁石幫助瞄準(zhǔn)以確?？焖倬_地屏幕刷新。圖30彩色顯示器的工作原理顏色模型規(guī)定一些屬性或原將顏色分解成不同屬性的數(shù)字化組合就色彩制式的轉(zhuǎn)換問【模型準(zhǔn)備】觀察者在屏幕上實際看到的色彩要受色彩制式和屏幕上熒光點數(shù)量的影響.因此每家計算機屏幕制造商都必須，）數(shù)據(jù)和國際通行彩標(biāo)準(zhǔn)之間進行轉(zhuǎn)CIE標(biāo)準(zhǔn)使用三原分別稱，YZ。對短余輝熒光點的一類典型轉(zhuǎn)換是

0.610.150

X

0.350.59=。計算機程序把用CIE數(shù)據(jù)(X,)表示的彩信息流發(fā)送到屏幕求屏幕上的電子槍將這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，G,B）數(shù)據(jù)的方程。

0.610.29

R

【模型建立令A(yù)=，=，Y，則A=現(xiàn)在要根數(shù)據(jù)X，Y，）計算對應(yīng)，G，）數(shù)據(jù)，就是等=中A和求如A可逆矩陣，則A=得=A【模型求解】Matlab命令窗口輸入以下命令>>A=［0.61,0。29，0。15；0.35，0。063；0。04,0.12,0.787];>>if不可'elseif可逆,A的逆矩陣如下B=endMatlab執(zhí)行后得B=。2586—1。0395。3473-1.349528

0.09100.09101.2777G=0.06960.09100.3046ZI=0.5960.321。0910—0。3046。2777

2.25861.03950.3473

于是=這就是說屏幕上的電子槍數(shù)據(jù)X,)轉(zhuǎn)換成,GB）數(shù)據(jù)的方程為

R

1.0395

Matlab實題民用電視信號發(fā)送使用向Q)來描述每種如果屏幕是黑白則只用到Y(jié)(這數(shù)據(jù)能提供更好的單色圖與標(biāo)”RGB色彩之間的對應(yīng)如下

0.2990.587

R

0.5280.311（屏幕制造商需要調(diào)整矩陣元素一適應(yīng)屏.求將電視臺發(fā)送的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成電視機屏幕所要求數(shù)據(jù)的方參考文獻David線性代數(shù)及其應(yīng)沈復(fù)傅鶯鶯等北京：人民郵電出版社，頁:147。29

nnnnnynn+1nnnn+1nnnnnnnynn+1nnnn+1nnyy1211221102An111案十。員動題【模型準(zhǔn)備某試驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計1將熟練工支援其他生產(chǎn)部門其缺額由招收新的非熟練工補新、老非熟練工62經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核有為熟練工假設(shè)第一年一月份統(tǒng)計的熟練工和非5熟練工各占一求以后每年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比【模型建立n年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別,記成向量。因為第一年統(tǒng)計的熟練工和非熟練工各占一半=。yn為了求以后每年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分先求從第二年起每年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比與上一年度統(tǒng)計的百分比之間的關(guān)即求yynn

的關(guān)系,然后再根據(jù)這個關(guān)系式【模型求解】根據(jù)已知條件可11x=）x+（+)=x+，656105213y=）x+)=x+，5610即

/3/

。令A(yù)=

/3/

,則n

An

。A｜==（（)，10由此可A的兩個特征=1，=。解（=0得對應(yīng)=1的一個特征向=（4,T，解E=得對應(yīng)=的一個特征向=1。2令=則==

0

，A=P（P

0nn512(

1，。5注：可以M命令窗口輸入以下命令30

〉>A=，2/5;1/10，3/5]；formatrat［P，D]=（A）Matlab執(zhí)行后得P=2112/2177—985/1393528/2177985/1393D=1001/2為了進一步計即P

,在命令窗口輸入以下命令>>symsn％定義符號變量〉>＊［1,0;0,1/2^n]*P^（-1)＊[1/2；1/2]Matlab執(zhí)行后得ans=［4/5—3/10/（2^n)][1/5+3/10/(2^n)]【模型析】

，.這意味著，隨n5增加，熟練工和非熟練工所占百分比趨于穩(wěn)分別趨向于和20%.Matlab實題某地區(qū)甲、乙兩公司經(jīng)營同一業(yè)務(wù)經(jīng)驗表明甲公司的客戶每年1/3繼續(xù)留作甲的客戶，而2/3轉(zhuǎn)作乙的客乙的客戶3轉(zhuǎn)作甲的客而繼續(xù)留作乙的客假定客戶的總量不（1假定起始年甲、乙兩公司擁有的客戶份額分別和1/3,求一年后客戶市場分配情況；(2）試確定起始年客戶份額使甲、乙兩公司在一年后市場份額不變。參考文獻［1]陳建龍，周建華韓瑞周后.線性代數(shù)北京:科學(xué)出版社2007。［2俞南雁韓瑞周建華線性代數(shù)與空間解析幾何北:科學(xué)出版社，1999[3]張小陳建線性代數(shù)學(xué)習(xí)指北京：科學(xué)出版社2008.31

kkkkkkkkbkkkkkkkkb0.78案十。融司付金流【模型準(zhǔn)備】金融機構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支設(shè)立一筆總5400萬的基金，開放置在位于A城B城的兩家公司基金在平時可以使用，但每周末結(jié)算時必須確?？傤~仍然為萬經(jīng)過相當(dāng)長的一段時期的現(xiàn)金流動現(xiàn)每過一周各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自己的公司內(nèi)A城公司有10%付基金流動到B城公B城公司則有支付基金流動到A城公起初A城司基金2600萬，B公司基金為萬。按此規(guī)律，兩司支付基金數(shù)額變化趨勢如?如果金融專家認為每個公司的支付基金不能少2200萬,那么是否需要在必要時調(diào)動基金？【模型建立】設(shè)k末結(jié)算時，A城公B城公的支付基金數(shù)分別a，b單位：萬),則a=2600,00原問題轉(zhuǎn)化為：

0.12bkb0.1a

。（1a,表示k的函并確定lima和lim。k（2lim和是否小2200。kk【模型求解】由

0.9bkka0.88kkk

可得

0.120.120.88b0.88k

0.88b

。0.1226002600令A(yù)=則=+1=+1為了計算A在0.88Matlab命令窗口輸入以下命令>>A=。9,0.12;0。1，0.88];>>[P=）Matlab執(zhí)行后得P=0.7682—0.70710.6402。7071D=。000000。7800這意味PAP==

,于是有A32

0.78k0.78kbk50k50kkkkA

k+1PP

0

260002600=P28002800在Matlab命令窗口輸入以下命令〉>k％定義符號變量>〉P＊（k+1（；2800］Matlab執(zhí)行后得ans=［32400/11—3800/11*(39/50)^（k+1)］[27000/11+3800/11*(39/50)^（k+1)]

.這就是,

324003800111127000380011

,其中

3950

<。32400可見{a}調(diào)遞,{｝單調(diào)遞減，且lima=，limb。kk11而

3240027000。11

2454.5,者都大所需要調(diào)動基金。Matlab實題請同學(xué)們注本題中的參你的學(xué)號后三位=2。例如，你的學(xué)號后三位是則取a=216=金融機構(gòu)為保證現(xiàn)金充分支付設(shè)立一筆基金，分開放置在位A城和B城的兩家公基金在平時可以使用每周末結(jié)算時必須確?？傤~不經(jīng)過相當(dāng)長的一段時期的現(xiàn)金流動發(fā)現(xiàn)每過一各公司的支付基金在流通過程中多數(shù)還留在自己的公司而A城公司10%付基金流動到城公,B城公司則有12％支付基金流動A公起A城公司基金為a萬元B城公司基金為b萬元。按此規(guī),兩公司支付基金數(shù)額變化趨勢如何？33

1231231kk1231231231kk1231231312ktz3kk案十七.舉題【模型準(zhǔn)備】設(shè)AB，個政黨參加每次的選每次參加投票的選民人數(shù)保持不變。通常情況由于社會、經(jīng)濟、各黨的政治主張等多種因素的影原來投某黨票的選民可能改投其他政黨?！灸Ｐ图僭O(shè)】(1）參與投票的選民不而且沒有棄權(quán)票。(2)每次A票的選,下次投票時分別r,rr比例的選民投A政黨的票；次投B黨票的選民，次投票分別有s,s，s比例的選民投，C各政黨的票；每次黨票的選,下次投票,分別t,,比例的選民A，政黨的.(3)x，yz表示k次選舉時分別投A,B,各黨的選民人【模型建立】根據(jù)假設(shè)可得

xxyzk1kyzk22yk33其r+r+r=1，s++s=1，tt+t=1.令A(yù)rr3

s1s2s3

t1t，=，2k上式可以表示為X.如果給出問題的初始就可以求出任一次選舉時的選民投票情Matlab實驗題設(shè)有A，B，C三個政黨參加每的選舉每次A黨票的選,下次投票時,分別80,，比例的選民投A,，C政黨的;每次B票的選民,下次投票分別10％，％，％比例的選民投A,B,C政黨的每次C黨票的選,下次投票分別％，％85%比例的選民投A，BC各政黨的票一次A，B,C三個政黨獲得的票數(shù)分別萬2000萬,萬。求出次選舉時的選民投票情況。34

kkRkkkkkkkkkk12120012kkRkkkkkkkkkk121200122k1122211k11k1k1kk案十八.單種增問【模型準(zhǔn)備過統(tǒng)某地區(qū)貓頭鷹和森林鼠的數(shù)量具有如下規(guī)果沒有森林鼠做食每個月只有一半的貓頭鷹可以存果沒有貓頭鷹作為捕食者，鼠的數(shù)量每個月會增加0%.如果老鼠充數(shù)量為R，則下個月貓頭鷹的數(shù)量將會增加。均每個月每只貓頭鷹的捕食會導(dǎo)致老鼠的死亡數(shù)試確定該系統(tǒng)的演化情況?！灸Ｐ图僭O(shè)】不考慮其他因素對貓頭鷹和森林鼠的數(shù)量的影響?！灸Ｐ徒⒃O(shè)貓頭鷹和森鼠在時的數(shù)量x

，其k是以月份為單位的時,O是研究區(qū)域中貓頭鷹的數(shù)R是老鼠的數(shù)單位：千只)。則=+R，R=+R。分x的變化趨【模型求解】A=

0.41.1

,則的特征=，=058.對應(yīng)的特征向量為v=v=.初始向x可以寫=+。是對0,x=(1）v+(0kv=）

（058)k

.當(dāng)k,(058k迅速的趨向于0.假0則對于所有足夠大k，近似地等于c（1.02)kv寫為x(1.02)。k越大近似程度越高所以對于充分大kx1。k

。2x(【模型分析】上面的表明，后貓頭鷹和老鼠的數(shù)量幾乎每個月都近似增加到原來的倍即2%的月增長率而與的比值約為1比13即每10只貓頭鷹對應(yīng)著老鼠。參考文獻DavidLay，線性代數(shù)及其應(yīng)用沈復(fù)傅鶯鶯等譯，北:人民郵電出版社，2009。頁碼：。Matlab實驗題。設(shè)在一個自然生態(tài)地區(qū)生長著一群鹿在一段時間鹿群的增長受資源制約的因素較假:35

k12111211k121112110012121345kFF351920（1、母鹿占群體總數(shù)的比例大致相等所以僅考慮母的增長情況；(2）鹿群中母鹿的數(shù)量足夠因而可近似地用實數(shù)表示；（3母鹿分成兩一歲以下的稱為幼鹿其余的稱為成