高考數(shù)學第3講-利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值(27)課件

第3講利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值高考定位

考查函數(shù)極值、最值的求法，綜合考查與范圍有關(guān)問題.真題感悟1.(2017·全國Ⅱ卷)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點，則f(x)的極小值為(

)A.－1 B.－2e－3

C.5e－3 D.1解析

f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，則f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，則f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，當x<－2或x>1時，f′(x)>0，當－2<x<1時，f′(x)<0，則f(x)極小值為f(1)＝－1.答案

A考

點

整

合1.極值的判別方法對于可導函數(shù)f(x)，當f′(x0)＝0時，如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值.極值是一個局部概念，極值的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小.2.閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值中的最小者.熱點一用導數(shù)解決函數(shù)的極值問題【例1】

求下列函數(shù)的極值：當a>0時，隨著x的變化，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：探究提高函數(shù)極值的兩類熱點問題(1)求函數(shù)f(x)極值這類問題的一般解題步驟為：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值.(2)由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍.討論極值點有無(個數(shù))問題，轉(zhuǎn)化為討論f′(x)＝0根的有無(個數(shù)).然后由已知條件列出方程或不等式求出參數(shù)的值或范圍，特別注意：極值點處的導數(shù)為0，而導數(shù)為0的點不一定是極值點，要檢驗極值點兩側(cè)導數(shù)是否異號.【訓練1】(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.若f(x)在R上無極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________.熱點二用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題令z＝3a＋b，由圖可知當目標函數(shù)經(jīng)過點(－4，4)時，zmin＝－8，當目標函數(shù)經(jīng)過點(0，0)時，zmax＝0，所以－8<z<0，探究提高

(1)求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：①求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；②求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)；③將函數(shù)f(x)的極值與

f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(2)含參數(shù)的函數(shù)的最值一般不通過比值求解，而是先討論函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求出最值.含參函數(shù)在區(qū)間上的最值通常有兩類：一是動極值點定區(qū)間，二是定極值點動區(qū)間，這兩類問題一般根據(jù)區(qū)間與極值點的位置關(guān)系來分類討論.【訓練2】

已知函數(shù)f(x)＝(ax－2)ex在x＝1處取得極值.(1)求a的值；(2)求函數(shù)在區(qū)間[m，m＋1]上的最小值.解

(1)f′(x)＝(ax＋a－2)ex，由已知得f′(1)＝(a＋a－2)e＝0，解得a＝1，經(jīng)檢驗a＝1符合題意，所以a的值為1.(2)由(1)得f(x)＝(x－2)ex，f′(x)＝(x－1)ex.令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得x<1.所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增.當m≥1時，f(x)在[m，m＋1]上遞增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)em.熱點三利用導數(shù)解決與函數(shù)零點(或方程的根)有關(guān)的問題【例3】

(2017·金華模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R).探究提高

研究方程的根(或函數(shù)零點)的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根(函數(shù)零點)的情況，這是導數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明.1.對于存在一個極大值和一個極小值的函數(shù)，其圖象與x軸交點的個數(shù)，除了受兩個極值大小的制約外，還受函數(shù)在兩個極值點外部函數(shù)值的變化的制約，在解題時要注意通過數(shù)形結(jié)合找到正確的條件.2.我們借助于導數(shù)探究函數(shù)的零點，不同的問題，比如方程的解