第2章-單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2課件

2.4簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、運(yùn)動(dòng)微分方程及其解動(dòng)力平衡方程為:若干擾力為簡(jiǎn)諧荷載：則動(dòng)力方程為：化為標(biāo)準(zhǔn)形式:本節(jié)討論簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下無(wú)阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)。外界的激勵(lì)有兩類，一是持續(xù)的激勵(lì)力；一類是持續(xù)的支座運(yùn)動(dòng)。激勵(lì)可能是周期的也可能是非周期的。該方程為二階常系數(shù)線性非齊次方程，其通解為齊次方程的通解加上非齊次方程的任意一個(gè)特解?，F(xiàn)在尋找非齊次方程的特解，設(shè)其一個(gè)特解為齊次方程的通解在前面討論過，即為代入微分方程，有解得其中激勵(lì)力幅值引起的靜位移激勵(lì)力頻率與固有頻率之比，也稱為無(wú)量綱化的激勵(lì)力頻率則非齊次方程的通解為假設(shè)初始條件為令解滿足初始條件，可以確定積分常數(shù)故運(yùn)動(dòng)微分方程的通解為第三項(xiàng)：純強(qiáng)迫振動(dòng)，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)前兩項(xiàng)：初始條件決定的自由振動(dòng)，初始自由振動(dòng)第四項(xiàng)：伴隨激勵(lì)力而產(chǎn)生的自由振動(dòng)，伴隨自由振動(dòng)可以看到，即使初始條件為零，仍然有伴隨自由振動(dòng)發(fā)生實(shí)際上，由于阻尼的存在，自由振動(dòng)部分很快會(huì)衰減掉，過渡階段很短，很快就只剩下了穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫振動(dòng)部分，因而這一部分應(yīng)引起格外關(guān)注穩(wěn)態(tài)解為---穩(wěn)態(tài)振幅荷載幅值作為靜荷載所引起的靜位移位移動(dòng)力系數(shù)其中動(dòng)力系數(shù)的性質(zhì)：①無(wú)量綱；②只與激勵(lì)力頻率和固有頻率的比值有關(guān)，與其它因素?zé)o關(guān)；③其值可大于或小于1、可正可負(fù)，正號(hào)表示位移與激勵(lì)的相位差為零（同步），負(fù)號(hào)表示位移落后激勵(lì)力的相位差為180度（反拍）。二、幅頻響應(yīng)曲線和振動(dòng)特征重要的特性：當(dāng)θ/ω→0時(shí),

→1，荷載變化得很慢，可當(dāng)作靜荷載處理。當(dāng)0<θ/ω

<1時(shí),

>1，并且隨θ/ω的增大而增大。1023123wq當(dāng)θ/ω→1時(shí),

→∞。即當(dāng)荷載頻率接近于自振頻率時(shí)，振幅會(huì)無(wú)限增大。稱為“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25稱為共振區(qū)。當(dāng)θ/ω

>1時(shí),的絕對(duì)值隨θ/ω的增大而減小。當(dāng)θ很大時(shí)，荷載變化很快，結(jié)構(gòu)來不及反應(yīng),→0

。必須指出，上述的幅頻響應(yīng)曲線只是振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的情形，亦即激勵(lì)力頻率固定在某一值相當(dāng)時(shí)間使振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定以后的情況。上述共振時(shí)振幅在理論上將趨向無(wú)窮大，實(shí)際上是不可能的，因?yàn)椋簩?shí)際系統(tǒng)不可能完全沒有阻尼，而只要有極微小的阻尼就足以限制振幅的無(wú)限擴(kuò)大；在振幅大到一定程度后，彈簧的彈力與變形將不再成比例；即使系統(tǒng)完全沒有阻尼，彈簧的彈力始終與變形成正比，在時(shí)，原動(dòng)力微分方程的特解也已不能再取的形式，而應(yīng)改用如下形式的特解其中的常數(shù)可求出如下將代入動(dòng)力學(xué)方程整理后得顯然應(yīng)有特解就是該式的曲線如右圖所示，可見，此時(shí)的振幅隨時(shí)間線性增大，需要經(jīng)過無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間才能到達(dá)無(wú)窮大，也就是說，共振需要一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的建立過程。三、“拍”的現(xiàn)象現(xiàn)在，我們來關(guān)注一下強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡階段，為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)初始條件均為零，此時(shí)，系統(tǒng)在過渡階段響應(yīng)總和為當(dāng)激勵(lì)力的頻率與系統(tǒng)的固有頻率接近時(shí)，設(shè)為小量則上式可以看作是振幅按逐漸變化，頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)的曲線如圖所示這種特殊的振動(dòng)現(xiàn)象稱作是“拍”拍的周期為拍的周期很長(zhǎng)，因此實(shí)際振動(dòng)的振幅變化較慢。在實(shí)驗(yàn)過程中，很慢地調(diào)頻到接近共振時(shí)，系統(tǒng)的振幅會(huì)出現(xiàn)周期性忽大忽小的變化，就是因?yàn)楫a(chǎn)生拍的現(xiàn)象。由于故也得到了振幅隨時(shí)間線性增大的結(jié)論，并說明了共振的建立過程。解:例:求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.已知mEIl/2l/2PP=1四、結(jié)構(gòu)最大位移和內(nèi)力計(jì)算因?yàn)榭梢钥吹?干擾力與慣性力同頻同步變化,故只需要將干擾力幅值和慣性力幅值同時(shí)加在結(jié)構(gòu)上,此時(shí)產(chǎn)生的內(nèi)力即最大內(nèi)力.P解:例:求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅mlmkll若選右端質(zhì)點(diǎn)豎向位移為廣義坐標(biāo)，其等效質(zhì)量和剛度為固有頻率為動(dòng)力系數(shù)靜力位移振幅也可以直接根據(jù)平衡方程來求APo因?yàn)榇藭r(shí)，慣性力和外荷載同步，只需要把最大慣性力、最大彈性力和最大荷載幅值同時(shí)加在結(jié)構(gòu)上，如圖解:例:求圖示體系彈簧支座的最大動(dòng)反力。ml/2kll/2ABCD系統(tǒng)一定和干擾力作同步簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)A點(diǎn)振幅為A，則當(dāng)振幅最大時(shí)，將系統(tǒng)中的最大干擾力、最大慣性力以及最大彈性力同時(shí)加在結(jié)構(gòu)中，然后由得于是，彈簧的最大反力為例:求圖示體系質(zhì)點(diǎn)處的振幅、B點(diǎn)動(dòng)力位移幅值，并繪制最大動(dòng)力彎矩圖。已知mEIl/2l/2ABC解:l/2l可見，二者的合力相當(dāng)于將激勵(lì)力乘了一個(gè)位移動(dòng)力系數(shù)，此時(shí)，可直接將干擾力幅值乘以動(dòng)力系數(shù)按靜力方法來計(jì)算即可。

若動(dòng)荷載作用于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向時(shí)(激勵(lì)力與慣性力方向一致)，二者的合力計(jì)算步驟:1.計(jì)算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內(nèi)力；2.計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；3.將得到的位移、內(nèi)力乘以動(dòng)力系數(shù)即得動(dòng)位移幅值、動(dòng)內(nèi)力幅值。例

求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知mEIEIlPl/4解.Pl/3動(dòng)彎矩幅值圖例：已知m=300kg，I=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,P=20kN,θ=80s-1求梁中點(diǎn)的位移幅值及最大動(dòng)力彎矩。2mEImkPsinθt2m解：1)求ω2)求動(dòng)力放大系數(shù)3)求ymax，Mmax2m2m例題1解：2.5簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)一、動(dòng)力方程及其解設(shè)或通解代入動(dòng)力方程得于是得到非齊次方程的一個(gè)特解若初始條件為代入一般解,可確定待定系數(shù).方程的通解即可寫為故微分方程的解可寫為其中也可寫為初始條件自由振動(dòng)伴隨自由振動(dòng)純受迫振動(dòng)平穩(wěn)階段：后來只按荷載頻率振動(dòng)的階段。很明顯，振動(dòng)開始三種振動(dòng)同時(shí)存在，但無(wú)論是初始自由振動(dòng)還是伴隨自由振動(dòng)，都含有一個(gè)負(fù)指數(shù)冪因子，隨著時(shí)間的延伸，必定會(huì)衰減掉，最后只剩下穩(wěn)態(tài)的強(qiáng)迫振動(dòng)，從而，在而達(dá)到平穩(wěn)階段。線性系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是:頻率等同于激勵(lì)力頻率而相位滯后于激勵(lì)力的簡(jiǎn)諧振動(dòng).穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅和相位只取決于系統(tǒng)本身的參數(shù)和激勵(lì)力的頻率與力幅,而與系統(tǒng)的初始條件無(wú)關(guān).如果以動(dòng)力系數(shù)為縱坐標(biāo)、以無(wú)量綱頻率為橫坐標(biāo)畫出的曲線稱為幅頻特性曲線二、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特征當(dāng)當(dāng)此時(shí)系統(tǒng)的振幅很小，質(zhì)點(diǎn)在平衡位置作微幅顫動(dòng)當(dāng)此時(shí)系統(tǒng)的振幅急劇增大，若不考慮阻尼，其振幅將會(huì)是無(wú)窮大，即出現(xiàn)共振現(xiàn)象．響應(yīng)的振幅與靜移相當(dāng)，接近靜荷載情況。在以上兩個(gè)區(qū)域此時(shí)動(dòng)力系數(shù)受阻尼影響非常顯著，在0.75<θ/ω<1.25(共振區(qū))內(nèi)，阻尼大大減小了受迫振動(dòng)的位移，因此,為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反應(yīng),阻尼的影響是不容忽略。阻尼較小時(shí)，振幅急劇增大；阻尼較強(qiáng)時(shí)，振幅急劇減小.系統(tǒng)阻尼的強(qiáng)弱和共振峰的陡峭程度可通過共振時(shí)的振幅放大因子體現(xiàn)，稱作系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù),記作對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)在共振峰的兩側(cè)取和稱作系統(tǒng)的帶寬?？梢宰C明阻尼愈弱，品質(zhì)因子愈大，帶寬愈窄，共振峰愈陡峭。反之，共振峰愈平坦。需要指出：并不是發(fā)生在時(shí)，而是稍微偏左令如果以相位差為縱坐標(biāo)、以無(wú)量綱頻率為橫坐標(biāo)畫出的曲線稱為相頻特性曲線表明受迫振動(dòng)的響應(yīng)與激勵(lì)在低頻范圍內(nèi)同相，在高頻范圍內(nèi)反相，共振時(shí)的相位差阻尼越小，同相和反相現(xiàn)象越明顯，增大阻尼，相位差逐漸向靠近，共振時(shí)的相位差與阻尼無(wú)關(guān)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，位移、速度和加速度為很顯然，它們之間的相位依次滯后相應(yīng)的，彈性力、阻尼力和慣性力為位移、速度、加速度以及簡(jiǎn)諧激勵(lì)力、彈性力、阻尼力和慣性力4個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量之間的相位關(guān)系如左下圖所示。在任一時(shí)刻，簡(jiǎn)諧激勵(lì)力、彈性力、阻尼力和慣性力必須滿足形式上的平衡，它們構(gòu)成的封閉多邊形見右下圖?？梢?，在低頻振動(dòng)時(shí)，外荷載主要由彈性力平衡；在高頻振動(dòng)時(shí)外荷載主要由慣性力平衡，；在共振時(shí)外荷載主要由阻尼力平衡。例.圖示為塊式基礎(chǔ).機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為;地基豎向剛度為;豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為機(jī)器轉(zhuǎn)速為N=800r/min,其偏心質(zhì)量引起的離心力為P=30kN.求豎向振動(dòng)時(shí)的振幅。解：考慮阻尼時(shí)，除動(dòng)力系數(shù)的計(jì)算不同之外，其它過程與無(wú)阻尼類似。但要注意：干擾力與慣性力不再是同相位的2m2m例題解：（一）不共振情況梁中點(diǎn)的總位移：動(dòng)力彎矩圖的繪制動(dòng)力系數(shù)法1519801131829若用一般方法，則必須考慮干擾力與慣性力的相位差*確定動(dòng)位移達(dá)到幅值時(shí)的時(shí)間*確定慣性力幅值和此時(shí)動(dòng)荷載的大小*將慣性力幅值和動(dòng)荷載幅加在體系上，繪動(dòng)力彎矩圖15019801131829（二）共振情況1、動(dòng)力系數(shù)：2、動(dòng)位移幅值：3、梁中點(diǎn)的總位移：設(shè)自振頻率在計(jì)算過程中有25%的誤差，則

61.5×（1－25%）≤

≤61.5×(1＋25%）

46.125≤

≤76.875而

=52.3，產(chǎn)生共振。4389801418542三、穩(wěn)態(tài)振動(dòng)中的能量平衡關(guān)系由于阻尼的存在，系統(tǒng)在振動(dòng)過程中要消耗能量，外部激勵(lì)力不斷給系統(tǒng)輸入能量，系統(tǒng)才能維持穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。我們來求激勵(lì)力和阻尼力在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)一個(gè)周期內(nèi)所做的功由于故有一、簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)以地基振動(dòng)為例，設(shè)安裝質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的基座沿軸方向作振幅為頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

2.6隔振與測(cè)振原理則在物體上產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧振變化的慣性力為將物體相對(duì)基座的位移記作則動(dòng)力學(xué)方程可寫成令相對(duì)振動(dòng)的振幅為得到其幅頻特性和相頻特性曲線如下圖不難知道當(dāng)激勵(lì)力頻率遠(yuǎn)小于固有頻率時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅接近于零，相位接近相同，這說明系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于基座無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而是與基座一起作同步的緩慢的運(yùn)動(dòng).當(dāng)激勵(lì)頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)固有頻率時(shí)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅接近于基座運(yùn)動(dòng)的振幅，但相位正好相反，這說明此時(shí)的系統(tǒng)與基座作反相等幅的運(yùn)動(dòng)，或者說質(zhì)點(diǎn)此時(shí)基本處于靜止?fàn)顟B(tài)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅接近于零。當(dāng)激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)固有頻率時(shí)，依然存在著振幅急劇增大的共振現(xiàn)象。若將質(zhì)點(diǎn)相對(duì)慣性坐標(biāo)系的絕對(duì)位移作為響應(yīng)其中為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅。二、慣性式測(cè)振儀原理設(shè)x為質(zhì)點(diǎn)m相對(duì)于外殼的位移,質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程為相對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅為因?yàn)閮x器的讀數(shù)幅值接近于外殼振動(dòng)的振幅此時(shí)該儀器可以用來測(cè)定設(shè)備振動(dòng)的振幅,稱為位移計(jì)振幅還可以寫為當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)大于外殼（基座）的振動(dòng)頻率時(shí)，儀器的讀數(shù)幅值與外殼加速度的幅值成正比。因此，測(cè)振儀應(yīng)是根據(jù)不同的用途選擇其固有頻率。低固有頻率的測(cè)振儀用于測(cè)量振動(dòng)的位移幅值，稱為位移計(jì)。高固有頻率的測(cè)振儀用于測(cè)量振動(dòng)的加速度幅值，稱為加速度計(jì).

而設(shè)隔振前機(jī)器傳至地基的力為

三、振動(dòng)的隔離將作為振源的機(jī)器設(shè)備與地基隔離，以減少對(duì)環(huán)境的影響，這種隔振稱為主動(dòng)隔振。隔離的方法是在機(jī)器與地基之間墊置一些彈性阻尼材料

.1.主動(dòng)隔振隔振后，機(jī)器在激勵(lì)力作用下的受迫振動(dòng)幅頻特性為

隔振后機(jī)器通過彈簧和阻尼器傳遞至地基的力為計(jì)算的模的幅值，得到導(dǎo)出主動(dòng)隔振系數(shù)

例求：隔振后傳到地基上的力幅值。解：將地基的振動(dòng)與機(jī)器設(shè)備隔離開來，以免將地基的振動(dòng)傳至設(shè)備，稱為被動(dòng)隔振。隔振的方法依然是設(shè)置彈性阻尼墊層。前面我們已經(jīng)知道2.被動(dòng)隔振顯然，它與主動(dòng)隔振系數(shù)完全相同。2.8周期激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)一、諧波分析法（付氏級(jí)數(shù)）實(shí)際工程中大多數(shù)激勵(lì)為周期激勵(lì)而少有簡(jiǎn)諧激勵(lì)

假定系統(tǒng)受到的激勵(lì)力為

根據(jù)Fourier級(jí)數(shù)理論,它可以展開為無(wú)窮多個(gè)諧和函數(shù)的疊加

,即Fourier系數(shù)為運(yùn)動(dòng)微分方程為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為這種將周期力展開成Fourier級(jí)數(shù)的分析方法稱為諧波分析法

以各階頻率為橫坐標(biāo)，作出和的離散圖形稱作頻譜圖。根據(jù)頻譜圖分析周期激勵(lì)力響應(yīng)狀況稱作頻譜分析法

例

設(shè)質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵(lì)，如圖求此系統(tǒng)的響應(yīng)解:

因?yàn)?/p>

關(guān)于反對(duì)稱,而1和關(guān)于正對(duì)稱，所以有為偶數(shù)時(shí)因?yàn)?/p>

關(guān)于和正對(duì)稱關(guān)于和反對(duì)稱故為奇數(shù)時(shí)關(guān)于和正對(duì)稱故于是相應(yīng)的頻譜圖為例

設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)的曲柄連桿機(jī)構(gòu)與活塞相連，如圖所示連桿AB長(zhǎng)度為l兩者的質(zhì)量不計(jì)活塞B的質(zhì)量為發(fā)動(dòng)機(jī)與地面之間以剛度系數(shù)為k和阻尼系數(shù)為c的阻尼器相隔，曲柄以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)只保留的一次項(xiàng)。試計(jì)算發(fā)動(dòng)機(jī)的響應(yīng)。解將和作為輔助坐標(biāo)活塞的位置坐標(biāo)為坐標(biāo)軸以O(shè)點(diǎn)的靜力平衡位置為原點(diǎn)建立曲柄OA長(zhǎng)度為r發(fā)動(dòng)機(jī)的總質(zhì)量為m設(shè)

將上式對(duì)求導(dǎo)，得到將式對(duì)二次求導(dǎo)只保留的一次項(xiàng)，得到對(duì)包括活塞在內(nèi)的發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)方程

整理后得受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解為其中2.9一般激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)一、杜哈梅積分將看作一系列脈沖激勵(lì)的疊加在至的間隔內(nèi)產(chǎn)生的沖量為，它引起各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)為利用線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)力的響應(yīng)等于內(nèi)各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和。系統(tǒng)在在脈沖力作用和瞬間，位移來不及發(fā)生變化，但速度可以產(chǎn)生突變?cè)O(shè)系統(tǒng)在初始時(shí)刻受沖量S作用，根據(jù)動(dòng)量定理有：于是沖量作用時(shí)間很短，還未使系統(tǒng)產(chǎn)生位移時(shí)便又消失了，實(shí)際上系統(tǒng)只獲得了一個(gè)初始速度，如果再?zèng)]有其它激勵(lì)，系統(tǒng)在以