7.4三角函數(shù)應(yīng)用課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第7章三角函數(shù)7.4三角函數(shù)的應(yīng)用

●怎樣用三角函數(shù)刻畫(huà)一些周期性運(yùn)動(dòng)呢?

當(dāng)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(單擺、彈振子等)時(shí)，也是一種周期運(yùn)動(dòng).圖7-4-1是單擺的示意圖，點(diǎn)O為擺球的平衡位置，如果規(guī)定擺球向右偏移的位移為正，那么當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)C

時(shí)，擺球的位移y

達(dá)到最大值A(chǔ)；當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，擺球的位移y

為O；當(dāng)擺球到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，擺球的位移y

達(dá)到反向最大值－A；

一、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A、ω、φ

的物理意義(1)A、ω、φ的物理意義：①簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是_____；②簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T＝______；A

ωx＋φφ

(2)本質(zhì)：A、ω、φ有各自的物理意義，各自決定了函數(shù)性質(zhì)中的一部分.(3)應(yīng)用：根據(jù)A、ω、φ的物理意義，在解題時(shí)能比較簡(jiǎn)單地求出函數(shù)解析式.【思考】在函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，A，b與函數(shù)的最值有何關(guān)系?

二、解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟(1)審清題意；(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論.例1在圖7-4-2中，點(diǎn)O為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向.已知振幅為3cm，周期為3s，物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).求：(1)物體對(duì)平衡位置的位移x(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s)

之間的函數(shù)關(guān)系；(2)該物體在t＝5s時(shí)的位置.(1)物體對(duì)平衡位置的位移x(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s)

之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)該物體在t＝5s時(shí)的位置.

例2一半徑為3m的水輪如圖7-4-3所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，且當(dāng)水輪上點(diǎn)P

從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.(1)將點(diǎn)P到水面的距離z(單位：m.在水面下，則2為負(fù)數(shù))表示為時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)；(2)點(diǎn)P

第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間?(1)將點(diǎn)P到水面的距離z(單位：m.在水面下，則2為負(fù)數(shù))表示為時(shí)間t(單

位：s)的函數(shù)；

(2)點(diǎn)P

第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間?

【基礎(chǔ)小測(cè)】

??

B

解析3.如圖為某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要____s

往返一次.

0.8解析：觀察圖象可知此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T

＝0.8，所以這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要0.8s往返一次.解析【跟蹤訓(xùn)練】

C

解析

C

解析

A

解析

C

解析

1

解析練習(xí)

(1)t＝0時(shí)，角θ是多少?

(2)單擺頻率是多少?(3)單擺完成5次完整擺動(dòng)共需多長(zhǎng)時(shí)間?

解單擺完成5次完整擺動(dòng)共需5T＝5π(s).

4.在圖7-4-2中點(diǎn)為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置取向右

的方向?yàn)槲矬w位移的正方向.若已知振幅為5cm，周期

為4s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).(1)求物體對(duì)平衡位置的位移(單位：cm)和時(shí)間(單位：s)

之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求該物體在t＝7.5s時(shí)的位置.(1)求物體對(duì)平衡位置的位移(單位：cm)和時(shí)間(單位：s)

之間的函數(shù)關(guān)系；

(2)求該物體在t＝7.5s時(shí)的位置.

習(xí)題7.4感受·理解1.電流I(單位：A)隨時(shí)間(單位∶s)變化的關(guān)系式是I＝Asinωt，t∈[0，＋∞).設(shè)ω＝100π，A＝5.

求電流I變化的周期和頻率；

(3)畫(huà)出電流I隨時(shí)間t

變化的函數(shù)圖象.解圖象如圖所示：

3.某城市一年中12個(gè)月的月平均氣溫與月份數(shù)之間的關(guān)

系可以近似地用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)描述.已知6月份的月

平均氣溫最高，為29.45℃，12月份的月平均氣溫最

低，為18.3℃.求出這個(gè)三角函數(shù)的表達(dá)式，并畫(huà)出該

函數(shù)的圖象.

(1)求小球擺動(dòng)的周期；(2)已知g＝980cm/s2，要使小球擺動(dòng)的周期是1s，線(xiàn)的

長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是多少？(精確到0.1cm，取3.14)(1)求小球擺動(dòng)的周期；

(2)已知g＝980cm/s2，要使小球擺動(dòng)的周期是1s，線(xiàn)的

長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)是多少？(精確到0.1cm，取3.14)

思考·運(yùn)用5.如圖，摩天輪的半徑為40m，點(diǎn)O距地面的高度為50，摩天輪做速轉(zhuǎn)動(dòng)，每30min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處.(1)試確定在時(shí)刻t(單位：min)時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離地面超過(guò)70m?(1)試確定在時(shí)刻t(單位：min)時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；解建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P離地面的高

度為h，

(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P距離地面超過(guò)70m?解令，即，解得10＜t＜20，故在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有10分鐘時(shí)間長(zhǎng)點(diǎn)P距離地面超過(guò)70m.h＞700≤t

≤30

6.心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小.血壓的最大值、最小

值分別稱(chēng)為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收

縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿(mǎn)足函數(shù)式p(t)＝115＋25sin(160t)，其中p(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時(shí)間(單位：in)，試回答下列問(wèn)題：(1)求函數(shù)(t)的周期；(2)此人每分鐘心跳的次數(shù)；

(3)畫(huà)出函數(shù)p(t)的圖；如圖：(4)求出此人的血壓在血壓計(jì)上的讀數(shù)，并與標(biāo)準(zhǔn)值比較.解由題意，函數(shù)最大值為140，最小值為90，故此人在血壓計(jì)的讀數(shù)為140/90mmHg比標(biāo)準(zhǔn)值要大.探究·拓展7.下表是某地一年中10d(天)的白晝時(shí)間.(1)以日期在365d(天)中的位置序號(hào)為橫坐標(biāo)，白晝時(shí)間為縱坐標(biāo)，描出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述白晝時(shí)間與日期序號(hào)

之間的函數(shù)關(guān)系；

(3)用(2)中的函數(shù)模型估計(jì)該地7月8日的白晝時(shí)間.

應(yīng)用與建模港口水深的變化與三角函數(shù)海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面給出了某港口在某天幾個(gè)時(shí)刻的水深.(1)選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值；(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙(船底與海底的距離)，該船何時(shí)能進(jìn)入港口?(3)若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2∶00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域?分析

(1)考察數(shù)據(jù),可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)

法求解；(2)在涉及三角不等式時(shí)，可利用圖象求解.

0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故該船在0:24至5:36和12:24至17:36期間可以進(jìn)港.

仿照上述案例，嘗試解決以下問(wèn)題.某港口相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間間隔12h20min，低潮時(shí)入口處水的深度為2.8m，高潮時(shí)為8.4m，一次高潮發(fā)生在10月3日2:00.(1)若從10月3日0∶00開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深d(單位：m)和時(shí)間t(單位：h)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求10月3日4∶00水的深度；(3)求10月3日吃水深度為5m的輪船能進(jìn)入港口的時(shí)間.閱讀歐拉歐拉(L.Euler，1707-1783)是瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家.有的數(shù)學(xué)史家把他與阿基米德、高斯、牛頓并列為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家.歐拉小時(shí)候就特別喜歡數(shù)學(xué)，不滿(mǎn)10歲就開(kāi)始自學(xué)《代數(shù)學(xué)》這本書(shū)連他的幾位老師都沒(méi)讀過(guò)，可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個(gè)記號(hào)，事后再向別人請(qǐng)教.他19歲時(shí)寫(xiě)了一篇論文，獲得巴黎科學(xué)院的獎(jiǎng)金，26歲時(shí)成為彼得堡科學(xué)院教授.歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一.他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫(xiě)出800多頁(yè)的論文，還寫(xiě)了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等課本，他的《無(wú)窮小分析引論》《微分學(xué)原理》《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作.他的全集有74卷.歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此之廣泛，在許多數(shù)學(xué)的分支中都可經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.例如，eiπ＋1＝0，V－E＋F＝2，eiθ＝cosθ＋isinθ.歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，