初二軸對稱經(jīng)典習題附答案

PAGE2軸對稱經(jīng)典練習附答案一、選擇題1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結(jié)論錯誤的是（）.A．AD=BDB．BD=CDC．∠A=∠BEDD．∠ECD=∠EDC2．如圖，△ABC中，AB=AC=12，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長是（）.A．20B．12C．16D．133．如圖：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（1，eq\r(\s\do1(),3)），M為坐標軸上一點，且使得△MOA為等腰三角形，則滿足條件的點M的個數(shù)為（）A．4B．5C．6D．84．如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，若BD+CE＝5，則線段DE的長為()A．5B．6C．7D．85．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，則△AED的周長為（）A．2B．3C．4D．5二、填空題6．在同一平面內(nèi)，已知點P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，則∠APC的度數(shù)為．7．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖∶①分別以B，C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M，N；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，則∠ACB＝．8．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有個．9．如圖，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝32°，AB的垂直平分線交AC于D，則∠CBD的度數(shù)為。10．如圖，點A、C、F、E在同一直線上，△ABC是等邊三角形，且CD=CE，EF=EG，則∠F=度。11．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20°，則頂角的度數(shù)是12．如圖，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=．13．已知，如圖，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分線的交點，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，則△ODE的周長cm．14．已知等腰△ABC的周長為10，若設(shè)腰長為x，則x的取值范圍是．15．如圖，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于點D，PC=4，則PD=．16．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B為圓心，BC為半徑作弧，分別交AC、AB于點D、E，連接DE，則∠ADE=°．17．如圖，己知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=．動點D在邊AC上，以BD為邊作等邊△BDE（點E、A在BD的同側(cè)）．在點D從點A移動至點C的過程中，點E移動的路線長為．18．已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則該等腰三角形的周長是．19．如圖，AB=AC，F(xiàn)D⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，則∠EDF=度．三、解答題20．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5.（1）求BC的長；（2）求證：BD＝CD.24．如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點D在AB邊上運動（D不與A、B重合），連結(jié)CD．作∠CDE=30°，DE交AC于點E．（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀按角分類是直角三角形；（2）在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數(shù)；若不可以，請說明理由．25．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中點，DE⊥DF，點E，F(xiàn)分別在AC，BC上，求證：DE=DF．PAGE9參考答案1．D.【解析】試題分析：∵MN為AB的垂直平分線，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故選：D．考點：作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．2．C【解析】試題分析：根據(jù)AB=AC，AD平分∠BAC，則點D為BC的中點，AD⊥BC，則CD=4，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得：DE=AE，則△CDE的周長=DE+EC+CD=AE+EC+CD=AC+CD=12+4=16.考點：(1)、等腰三角形的性質(zhì)；(2)、直角三角形的性質(zhì)3．C【解析】試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：點M的坐標為(0,2)；(0，-2)；(2,0)；(-2,0)；(0,2)；(0，)共6個點.考點：等腰三角形的性質(zhì)4．A【解析】試題分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：∠OBD=∠OBC，∠OCB=∠OCE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得：∠OBD=∠DOB，∠OCE=∠COE，則BD=DO，CE=OE，即DE=DO+OE=BD+CE=5.考點：等腰三角形的性質(zhì)5．C．【解析】試題分析：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周長=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周長=3+1=4．故選C．考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．6．2或2或2【解析】試題分析：當∠APB=90°時（如圖1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP為等邊三角形，∵AB=BC=4，∴AP=ABsin60°=4×=2；當∠ABP=90°時（如圖2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP==2，在直角三角形ABP中，AP==2，情況二：如圖3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP為等邊三角形，∴AP=AO=2，故答案為：2或2或2．考點：勾股定理．7．15°或30°或60°或75°或150°【解析】試題分析：根據(jù)點P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，找出點P的位置，求得∠APC的度數(shù)即可．根據(jù)點P在等邊△ABC外部，且與等邊△ABC三個頂點中的任意兩個頂點形成的三角形都是等腰三角形，作出如下圖形：由圖可得：∠AP1C=15°，∠AP2C=30°，∠AP3C=60°，∠AP4C=75°，∠AP5C=150°．考點：(1)、等邊三角形的性質(zhì)；(2)、等腰三角形的性質(zhì)8．105°【解析】試題分析：根據(jù)AC=AD可得：∠CDA=∠A=50°，則∠ACD=80°，根據(jù)中垂線的性質(zhì)以及外角的性質(zhì)可得：∠B=∠BCD=25°，則∠ACB=80+25=105°.考點：等腰三角形的性質(zhì)9．5【解析】試題分析：根據(jù)等腰三角形的判定定理可得：△ADE、△BDE、△BDC、△ABD和△ABC為等腰三角形.考點：等腰三角形的判定10．42°【解析】試題分析：根據(jù)AB=AC，∠A=32°，則∠ABC=∠C=74°，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得：∠ABD=32°，則∠CBD=∠ABC－∠ABD=74°－32°=42°.考點：中垂線的性質(zhì)11．15°【解析】試題分析：設(shè)∠F=x°，根據(jù)等腰三角形和外角的性質(zhì)可得：∠DEC=2x°，∠ACB=4x°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：4x=60°，則x=15°，即∠F=15°.考點：等腰三角形的性質(zhì)12．70°或110°【解析】試題分析：本題需要分兩種情況來進行討論，分別畫出圖形得出答案.兩種情況即為銳角三角形和鈍角三角形.考點：(1)、等腰三角形的性質(zhì)；(2)、分類討論思想13．5【解析】試題分析：過點P作PE⊥MN，根據(jù)等腰三角形底邊上的三線合一定理可得ME=MN=1，根據(jù)∠O=60°可得∠OPE=30°，則OE=OP=6，則OM=OE－ME=6－1=5.考點：勾股定理.14．10【解析】試題分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，把△ODE三條邊轉(zhuǎn)移到同一條線段BC上，即可解答．解：∵OC、OB分別是∠ACB、∠ABC的角平分線，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周長=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故答案為：10．【點評】此題比較簡單，利用的是角平分線的定義，平行線及等腰三角形的性質(zhì)．15．．【解析】試題分析：要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EM，CM的值，從而找出其最小值求解．解：連接BE，與AD交于點M．則BE就是EM+CM的最小值．取CE中點F，連接DF．∵等邊△ABC的邊長為6，AE=2，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC邊上的中線，∴DF是△BCE的中位線，∴BE=2DF，BE∥DF，又∵E為AF的中點，∴M為AD的中點，∴ME是△ADF的中位線，∴DF=2ME，∴BE=2DF=4ME，∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，∴BE=BM．在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，∴BM==，∴BE=．∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值為．點評：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．16．＜x＜5．【解析】試題解析：依題意得：10-2x-x＜x＜10-2x+x，解得＜x＜5．考點：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.解一元一次不等式組；3.三角形三邊關(guān)系．17．2【解析】試題分析：作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE，即可求得PD．作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），∴PD=PE=2，考點：（1）角平分線的性質(zhì)；（2）含30度角的直角三角形．18．36【解析】試題分析：連接BD，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°，∵BE=BD=BC，∴∠BDC=72°，∴∠DBC=36°，∴∠EBD=36°，∴∠EDB=72°，∴∠ADE=180°﹣72°﹣72°=36°，故答案為：36考點：等腰三角形的性質(zhì)19．【解析】試題分析：如圖，作EF⊥AB垂足為F，連接CF．∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵△EBD是等邊三角形，∴BE=BD，∠EBD=60°，∴∠EBD=∠ABC，∴∠EBF=∠DBC，又∵EB=BD，∴△EBF≌△DBC，∴BF=BC，EF=CD，∵∠FBC=60°，∴△BFC是等邊三角形，∴CF=BF=BC，∵BC=AB，∴BF=AB，∴AF=FB，∴點E在AB的垂直平分線上，∴在點D從點A移動至點C的過程中，點E移動的路線和點D運動的路線相等，∴在點D從點A移動至點C的過程中，點E移動的路線為．故答案為：．考點：等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．20．10．【解析】試題分析：因為2+2＜4，所以等腰三角形的腰的長度是4，底邊長2，周長：4+4+2=10，答：它的周長是10，故答案為：10．考點：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．21．55.【解析】試題解析：∵∠AFD=145°，∴∠CFD=35°又∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E∴∠C=180°-（∠CFD+∠FDC）=55°∵AB=AC∴∠B=∠C=55°，∴∠A=70°根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得：∠EDF=360°-（∠AED+∠AFD+∠A）=55°∴∠EDF為55°．考點：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形內(nèi)角和定理．22．(1)、10；(2)、證明過程見解析【解析】試題分析：(1)、根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=45°，從而得出∠CAD=30°，根據(jù)垂直得出AC=BC=10；(2)、過D作DF⊥BC于F，然后證明Rt△DCE和Rt△DCF全等，從而得出CF=CE=5，根據(jù)BC=10得出BF=FC，從而得出答案.試題解析：(1)、在△ABC中，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°．∵∠BAD＝15°，∴∠CAD＝30°．∵CE⊥AD，CE＝5，∴AC＝10．∴BC＝10．(2)、過D作DF⊥BC于F.在△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝AC，∴∠ACD＝75°．∵∠ACB＝90°，∴∠FCD＝15°．在△ACE中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，∴∠ACE＝60°．∴∠ECD＝∠ACD－∠ACE＝15°．∴∠ECD＝∠FCD.∴DF＝DE.在Rt△DCE與Rt△DCF中，∴Rt△DCE≌Rt△DCF.∴CF＝CE＝5．∵BC＝10，∴BF＝FC．∵DF⊥BC，∴BD＝CD．考點：(1)、三角形內(nèi)角和定理；(2)、三角形全等的判定與性質(zhì)23．(1)、證明見解析；(2)、直角三角形、理由見解析；(3)、不能，理由見解析；(4)、α=110°或125°或140°【解析】試題分析：(1)、根據(jù)△BOC≌△ADC得到OC=DC，結(jié)合∠OCD=60°，從而得出等邊三角形；(2)、根據(jù)△BOC≌△ADC，∠α=150°得到∠ADC=∠BOC=150°，根據(jù)等邊三角形得到∠ODC=60°，從而得出∠ADO=90°，從而得到三角形的形狀；(3)、由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α，當△AOD為等邊三角形時，則∠ADO=60°，結(jié)合∠ODC=60°得出∠ADC=120°，又根據(jù)∠AOD=∠DOC=60°得出∠AOC=120°，從而求出∠AOC+∠AOB+∠BOC≠360°，從而得到答案；(4)、根據(jù)△OCD是等邊三角形得到∠COD=∠ODC=60°，根據(jù)三角形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BOC=α，∠AOD=190°－α，∠OAD=50°，然后分三種情況分別求出α的大小.試題解析：(1)、∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC．∵∠OCD=60°，∴△OCD是等邊三角形．(2)、△AOD是Rt△．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是Rt△．(3)、不能理由：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.若△AOD為等邊三角形，則∠ADO=60°，又∠ODC=60°，∴∠ADC=∠α=120°.又∠AOD=∠DOC=60°，∴∠AOC=120°，又∵∠AOB=110°，∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°．所以△AOD不可能為等邊三角形.(4)、∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．①當∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，∴α=125°．②當∠AOD=∠OAD時，190°-α=50°，∴α=140°．③當∠ADO=∠OAD時，α-60°=50°，∴α=110°．綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．考點：(1)、三角形全等；(2)、分類討論思想.24．(1)、直角三角形；(2)、△ECD可以是等腰三角形，∠AED=60°或105°【解析】試題分析：(1)、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，則△ACD是直角三角形；(2)、分類討論：當∠CDE=∠ECD時，EC=DE；當∠ECD=∠CED時，CD=DE；當∠CED=∠CDE時，EC=CD；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行計算．試題解析：(1)、∵△ABC中，AC=BC，∴∠A=∠B===30°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=30°，又∵∠CDE=30°，∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴△ACD是直角三角形；(2)、△ECD可以是等腰三角形．理由如下：①當∠CDE=∠ECD時，EC=DE，∴∠ECD=∠CDE=30°，∵∠AED=∠ECD+∠CDE，∴∠AED=60°，②當∠ECD=∠CED時，CD=DE，∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，∴∠CED===75°，∴∠AED=18