河南省鄭州市中原區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市中原區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（每題3分，共30分）1．如圖是一個(gè)空心圓柱體，其主視圖是（）A． B． C． D．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+x2+1＝0 B．+x+1＝0 C．x2﹣x＝8 D．2x＝323．如圖，兩個(gè)相同的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分，0，﹣1；轉(zhuǎn)盤B被四等分，2，﹣2，﹣3．如果同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B，兩個(gè)指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對(duì)應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當(dāng)指針指在兩個(gè)扇形的交線時(shí)，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）（x，y）落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的概率是（）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（）A．菱形的對(duì)角線相等 B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分 C．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形5．如圖，網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D6．如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行（）A．1 B． C． D．57．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于點(diǎn)E（）A．2 B．4 C． D．8．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，點(diǎn)E從點(diǎn)B開始，沿矩形的邊BA﹣AD運(yùn)動(dòng)，BC＝4，CE與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)N，連接OF，則OF長度的最大值是（）A．1 B． C．2 D．9．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“和諧”方程2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0那么我們稱這個(gè)方程為“美好”方程，如果一個(gè)一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和諧”方程又是“美好”方程，則mn值為（）A．2 B．0 C．﹣2 D．310．如圖，矩形ABCD是某會(huì)展中心一樓展區(qū)的平面示意圖，其中邊AB的長為40m，該展區(qū)內(nèi)有三個(gè)全等的矩形展位，每個(gè)展位的面積都為200m2，陰影部分為寬度相等的人行通道，求人行通道的寬度．若設(shè)人行通道的寬度為xm，下列方程正確的是（）A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600二.填空題（每題3分，共15分）11．要使有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），那么AP的長度為．13．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，若BE＝2，EC＝3，則△AFD的面積為．14．如圖，菱形ABCD中，分別以點(diǎn)C、D為圓心CD長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)E、F，且直線EF恰好經(jīng)過點(diǎn)A，與邊CD交于點(diǎn)M．連接BM，則BM＝．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，PD＝．三.解答題（共8題，75分）16．解下列一元二次方程：（1）x2+5x﹣24＝0；（2）3x2＝2（2﹣x）．17．某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標(biāo)記，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）如果方程有一個(gè)根為正數(shù)，求m的取值范圍．19．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）（2，1）、C（4，5）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，并求出△A2B2C2的面積．20．鄭州市某商貿(mào)公司以每千克40元的價(jià)格購進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到更大的實(shí)惠，已知這種干果銷售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0＜x＜20），若商貿(mào)公司要想獲得2250元的利潤，則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)多少元？21．如圖，?ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)（1）求證：CF＝AD；（2）連接BD、DF，①當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，△BDF的形狀是；②若∠ABC＝50°，當(dāng)∠CFD＝°時(shí)，四邊形ABCD是菱形．22．小明家窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過窗戶照進(jìn)房間里，小明利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量了這個(gè)路燈的高．如圖，光線透過窗子BC照亮地面的長度為DE，小明測(cè)得窗戶距離地面高度BF＝0.6m，某一時(shí)刻，F(xiàn)D＝0.6m，其中O、F、D、E四點(diǎn)在同一條直線上，C、B、F三點(diǎn)在同一條直線上，CF⊥OE，請(qǐng)求出路燈的高度OA．23．已知正方形ABCD的邊長為12，E、F分別為邊DC、BC上兩點(diǎn)．（1）如圖1，若BF＝CE，可知AF與BE的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，若BF＝DE，作EH⊥AF于H，求證：DH＝AB．（3）如圖3，若DE＝CE，BF＝4，則AG長度為（直接寫出答案）．2023-2024學(xué)年河南省鄭州市中原區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（每題3分，共30分）1．如圖是一個(gè)空心圓柱體，其主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從前面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．解：從前面觀察物體可以發(fā)現(xiàn)：它的主視圖應(yīng)為矩形，又因?yàn)樵搸缀误w為空心圓柱體，故中間的兩條棱在主視圖中應(yīng)為虛線，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖；注意看得到的棱畫實(shí)線，看不到的棱畫虛線．2．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+x2+1＝0 B．+x+1＝0 C．x2﹣x＝8 D．2x＝32【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．解：A、x3+x2+7＝0，未知數(shù)的最高次數(shù)是3，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是整式方程；C、x2﹣x＝8是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；D、4x＝32是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．如圖，兩個(gè)相同的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A和B，轉(zhuǎn)盤A被三等分，0，﹣1；轉(zhuǎn)盤B被四等分，2，﹣2，﹣3．如果同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A，B，兩個(gè)指針指向轉(zhuǎn)盤A，B上的對(duì)應(yīng)數(shù)字分別為x，y（當(dāng)指針指在兩個(gè)扇形的交線時(shí)，需重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤）（x，y）落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的概率是（）A． B． C． D．【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．解：列表如下：20﹣53（2，2）（0，3）（﹣3，3）2（2，2）（0，5）（﹣1，2）﹣5（2，﹣2）（7，﹣2）（﹣1，﹣5）﹣3（2，﹣7）（0，﹣3）（﹣6，﹣3）由表可知，共有12種等可能結(jié)果，y）落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的情況有2種，所以點(diǎn)（x，y）落在直角坐標(biāo)系y軸正半軸上的概率是＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果是正確解答的前提．4．下列說法正確的是（）A．菱形的對(duì)角線相等 B．矩形的對(duì)角線相等且互相平分 C．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，菱形的性質(zhì)，正方形的判定依次判斷可求解．解：A、菱形的對(duì)角線互相垂直；B、矩形的對(duì)角線相等且互相平分；C、平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形；D、對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是正方形；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的判定等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些判定和性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．5．如圖，網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)得出位似中心即可．解：如圖所示：兩個(gè)三角形的位似中心是：點(diǎn)D．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．如圖，是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行（）A．1 B． C． D．5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．解：如圖，OB＝1.5，OC＝10，∵PB∥AC，∴，∴，∴OP＝7．∴點(diǎn)P表示的數(shù)是5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，過點(diǎn)A作AD⊥AB交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC交AC于點(diǎn)E（）A．2 B．4 C． D．【分析】作AH⊥BC于H，由AB＝AC，得到BH＝CH，求出∠B＝∠C＝30°，得到BH＝3，因此BC＝2BH＝6，求出BD的長，即可得到CD的長，從而求出CE的長．解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴BH＝CH，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB＝AC＝6，∴AH＝AB＝3，∴BH＝AH＝8，∴BC＝2BH＝2，∵AD⊥AB，∴AD＝AB＝2，∴BD＝4AD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝5，∵DE⊥CD，∴DE＝CD＝2，∴CE＝2DE＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，點(diǎn)E從點(diǎn)B開始，沿矩形的邊BA﹣AD運(yùn)動(dòng)，BC＝4，CE與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)N，連接OF，則OF長度的最大值是（）A．1 B． C．2 D．【分析】由矩形的性質(zhì)和三角形的中位線定理可求OF的最大值．解：由題意可知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，∵O、F是BD，∴OF是△ACE的中位線∴OF＝AE，∵AE最大是8，∴OF長度的最大值是2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．9．定義：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足a+b+c＝0，那么我們稱這個(gè)方程為“和諧”方程2+bx+c＝0（a≠0）滿足a﹣b+c＝0那么我們稱這個(gè)方程為“美好”方程，如果一個(gè)一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和諧”方程又是“美好”方程，則mn值為（）A．2 B．0 C．﹣2 D．3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，可判定“和諧”方程的一個(gè)根為1，“美好”方程的一個(gè)根為﹣1，則2+m+n＝0，2﹣m+n＝0，然后求出m、n的值后計(jì)算mn的值．解：根據(jù)題意得“和諧”方程的一個(gè)根為1，“美好”方程的一個(gè)根為﹣1，所以一元二次方程2x2+mx+n＝0的根為4和﹣1，所以2+m+n＝6，2﹣m+n＝0，n＝﹣5，所以mn＝0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．如圖，矩形ABCD是某會(huì)展中心一樓展區(qū)的平面示意圖，其中邊AB的長為40m，該展區(qū)內(nèi)有三個(gè)全等的矩形展位，每個(gè)展位的面積都為200m2，陰影部分為寬度相等的人行通道，求人行通道的寬度．若設(shè)人行通道的寬度為xm，下列方程正確的是（）A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200 B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600 C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200 D．40×25﹣80x﹣100x＝600【分析】由人行通道的寬度為xm，可得出每個(gè)展位的長為（25﹣2x）m，寬為m，根據(jù)每個(gè)展位的面積都為200m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．解：∵人行通道的寬度為xm，∴每個(gè)展位的長為（25﹣2x）m，寬為m．依題意得：?（25﹣5x）＝200，即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二.填空題（每題3分，共15分）11．要使有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥﹣1．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可以得到x﹣1是非負(fù)數(shù)，由此即可求解．解：依題意得x+1≥0，∴x≥﹣4．故答案為：x≥﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可解決問題．12．校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），那么AP的長度為（5﹣5）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．解：∵點(diǎn)P為AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝﹣5）cm，∴故答案為：（7﹣5）cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．13．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，若BE＝2，EC＝3，則△AFD的面積為50．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC＝BE+EC＝5，BE∥AD，則△BFE∽△DFA，得出＝（）2＝，即可得出結(jié)果．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝BE+EC＝2+3＝7，BE∥AD，∴△BFE∽△DFA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ADF＝S△BEF＝×8＝50，故答案為：50．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，菱形ABCD中，分別以點(diǎn)C、D為圓心CD長為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)E、F，且直線EF恰好經(jīng)過點(diǎn)A，與邊CD交于點(diǎn)M．連接BM，則BM＝3．【分析】證明AD＝2AM，推出∠DAM＝30°，求出AM，可得結(jié)論．解：在Rt△ADM中，∠AMD＝90°，∴∠DAM＝30°，∵AD＝AB＝6，∴AM＝AD?cos30°＝3，∵AB∥CD，∴AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，∴BM＝＝＝3．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，PD＝或．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根據(jù)勾股定理得到AE＝＝＝5，設(shè)PD′＝PD＝x，則AP＝6﹣x，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD′P＝90°時(shí)，②當(dāng)∠APD′＝90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解之即可得到結(jié)論．解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝8，∴AE＝＝＝5，∵沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D′處，∴PD′＝PD，設(shè)PD′＝PD＝x，則AP＝6﹣x，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠AD′P＝90°時(shí)，∴∠AD′P＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠PAD′＝∠AEB，∴△ABE∽△PD′A，∴＝，∴＝，∴x＝，∴PD＝；②當(dāng)∠APD′＝90°時(shí)，∴∠APD′＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△APD′∽△EBA，∴，∴＝，∴x＝，∴PD＝，綜上所述，當(dāng)△APD′是直角三角形時(shí)或，故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．三.解答題（共8題，75分）16．解下列一元二次方程：（1）x2+5x﹣24＝0；（2）3x2＝2（2﹣x）．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．解：（1）x2+5x﹣24＝3，（x+8）（x﹣3）＝5，∴x+8＝0或x﹣4＝0，∴x1＝﹣4，x2＝3；（2）5x2＝2（3﹣x），3x2+7x﹣4＝0，∵a＝2，b＝2，∴Δ＝25﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)根據(jù)方程的特征確定解方程的方法，屬于中考常考題型．17．某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書分別用相同的卡片A，B，C，D標(biāo)記，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．解：由題意，《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書分別用相同的卡片A，B，C，則畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果，其中《朝花夕拾》和《西游記》共同被選中的結(jié)果有2種，∴該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列表法與樹狀圖法以及概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）如果方程有一個(gè)根為正數(shù)，求m的取值范圍．【分析】（1）先計(jì)算判別式的意義得到Δ＝（m﹣2）2≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用求根公式解方程得x1＝﹣1，x2＝﹣m+1，再根據(jù)題意得到﹣m+1＞0，從而得到m的范圍．【解答】（1）證明：∵Δ＝m2﹣4（m﹣5）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥7，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）x＝，解得x4＝﹣1，x2＝﹣m+8，∵方程只有一個(gè)根是正數(shù)，∴﹣m+1＞0，∴m＜3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．19．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（﹣1，2）（2，1）、C（4，5）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1；（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在x軸的上方畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，并求出△A2B2C2的面積．【分析】（1）畫出A、B、C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1即可解決問題；（2）連接OB延長OB到B2，使得OB＝BB2，同法可得A2、C2，△A2B2C2就是所求三角形；解：（1）如圖所示，△A1B1C8就是所求三角形（2）如圖所示，△A2B2C2就是所求三角形．∵A（﹣1，2），6），5）2B2C2與△ABC位似，且位似比為2，∴A3（﹣2，4），B6（4，2），C8（8，10），∴＝8×10﹣×4×8﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣位似變換，作圖軸對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解位似變換、軸對(duì)稱變換的定義，屬于中考?？碱}型．20．鄭州市某商貿(mào)公司以每千克40元的價(jià)格購進(jìn)一種干果，計(jì)劃以每千克60元的價(jià)格銷售，為了讓顧客得到更大的實(shí)惠，已知這種干果銷售量y（千克）與每千克降價(jià)x（元）（0＜x＜20），若商貿(mào)公司要想獲得2250元的利潤，則這種干果每千克應(yīng)降價(jià)多少元？【分析】當(dāng)這種干果每千克降價(jià)x元時(shí)，每千克的銷售利潤為（60﹣x﹣40）元，銷售量為（10x+100）千克，利用總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．解：當(dāng)這種干果每千克降價(jià)x元時(shí)，每千克的銷售利潤為（60﹣x﹣40）元，根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝2250，整理得：x2﹣10x+25＝0，解得：x5＝x2＝5．答：這種干果每千克應(yīng)降價(jià)4元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．如圖，?ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)（1）求證：CF＝AD；（2）連接BD、DF，①當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，△BDF的形狀是等腰三角形；②若∠ABC＝50°，當(dāng)∠CFD＝65°時(shí)，四邊形ABCD是菱形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，得到∠DAE＝∠CFE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)矩形的判定定理得到?ABCD是矩形，得到AC＝BD，等量代換即可得到結(jié)論；②根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠CFE，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE與△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AD＝CF；（2）①△BDF是等腰三角形，∵∠ABC＝90°，∴?ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵AD＝CF，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∴DF＝AC，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；②當(dāng)∠CFD＝65°時(shí)，四邊形ABCD是菱形，∵?ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵AD＝CF，∴CD＝CF，∵∠ABC＝50°，∴∠DCF＝50°，∴∠CFD＝（180°﹣50°）＝65°．故答案為：等腰三角形，65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．小明家窗外有一個(gè)路燈，每天晚上燈光都會(huì)透過窗戶照進(jìn)房間里，小明利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量了這個(gè)路燈的高．如圖，光線透過窗子BC照亮地面的長度為DE，小明測(cè)得窗戶距離地面高度BF＝0.6m，某一時(shí)刻，F(xiàn)D＝0.6m，其中O、F、D、E四點(diǎn)在同一條直線上，C、B、F三點(diǎn)在同一條直線上，CF⊥OE，請(qǐng)求出路燈的高度OA．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．解：∵OA⊥OE，BF⊥OE，∴BF∥OA，∴△DFB∽△DOA，△ECF∽△EAO，∴＝，＝，∴，＝，∴OA＝OD＝7.8（m）