2023年中考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（濟(jì)南卷）（全解全析）

2023年中考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

12345678910

BDBCDACCDB

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一個選項是符合題目要求的）

1.（本題4分）在實數(shù)近，x°（x^O）,cos30°,源中，有理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)零指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的意義，即可解答.

【詳解】解：在實數(shù)&，x"（.#0）=1,cos30°=y，遮=2中，有理數(shù)是返=2,

x0=l,

所以，有理數(shù)的個數(shù)是2,

故選：B.

【點睛】本題考查了零指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是

解題的關(guān)鍵.

2.（本題4分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解.

【詳解】解：A、既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意;

B、既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，熟練掌握如果一個圖形沿

著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖

形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中

心對稱圖形是解題的關(guān)鍵.

3.（本題4分）第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，諸暨市常住人口約為1220000人，這個數(shù)

字1220000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.0.122X107B.1.22x106C.12.2x10sD.1.22X107

【答案】B

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1<|a|<10,n為整數(shù).確定

“的值時.，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位

數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值大于或等于10時，〃是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，〃是

負(fù)整數(shù).

【詳解】解：這個數(shù)字1220000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.22x106.

故選：B

【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，

其中?為整數(shù)，正確確定。的值以及n的值是解決問題的關(guān)鍵.

4.（本題4分）如圖，AB||CD,點E在4B上，EC平分〃ED,若z2=50。，則"1的度

數(shù)為（）

A.45°B.50°C.65°D.80°

【答案】C

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角求出44EC,利用角平分線求出N4EC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N1

的度數(shù).

【詳解】解：；Z2=50。，

AZAED=180°-Z2=130。，

EC平分4EC,

ZAEC=-ZAED=65°,

2

'：ABIICD,

：.zfl=ZAEC=65。，

故選：C.

【點睛】此題考查了鄰補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì),

熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(本題4分)化簡：4^--=()

X2-4x-2

XX

A.1B.xC.--D.--

x-2x+2

【答案】D

【分析】將分式的分母分解因式，除法化為乘法，再計算乘法化簡即可.

【詳解】解：4^-—

X2-4X-2

x2x—2

(x+2)(x—2)x

x

x+2'

故選：D.

【點睛】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握分式的乘除法計算法則是解題的關(guān)鍵.

6.(本題4分)如圖，△4BC的頂點坐標(biāo)分別為4(-4,2)、8(-1,3)、。(一2,-1),線段4C交

x軸于點P,如果將△4BC繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到那么點B的對應(yīng)

點B'的坐標(biāo)是()

A-(W)B-⑵-2)C.g,|)D.(—1,2)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，先求得點P的坐標(biāo)，過點8作PDlx于點D,過點B'作B'Elx軸于

點:E,證明△P8C三△BPE,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：VX(-4,2)>C(-2,-l)

設(shè)直線4c的解析式為y=H+b,則

（-4k+b=2

1一2k+b=-1

解得：卜=-|

U=-4

解得：y=-^x-4,

令y=0,解得：x=-|

???P（號,0）

如圖所示，過點B作PDlx于點。，過點B'作8'E_Lx軸于點E,

?.?將△ABC繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABC',

：.PB=PB',ZBPB'=90°

又,；PD_Lx,B'E1x

/PDB=/PEB'=90。，

二/PBD=90°-/BPD=ZB'PE,

：.APBDmAB'PE（AAS）,

：.PD=BE,PE=BD

：

.PD=BE=3，PE=BD=3

???E（號+3，*）,即（-],-》

故選：A.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形,

求得點P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

x-l1+X

—有且只有四個整數(shù)解，且使關(guān)

{5x—2>x+a

于y的方程"+三=2的解為非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）

A.-3B.-2C.1D.2

【答案】C

【分析】先求出不等式的解集，根據(jù)只有四個整數(shù)解確定出a的取值范圍，解分式方程

后根據(jù)解為非負(fù)數(shù)，可得關(guān)于a的不等式組，解不等式組求得a的取值范圍，即可最終

確定出a的范圍，將范圍內(nèi)的整數(shù)相加即可得.

（曰<把fx<5

【詳解】解不等式2<3，得丫>4，

I5x-2>x+a-4

由于不等式組只有四個整數(shù)解，即4Wa<5只有4個整數(shù)解，

4

/.0<—<1,

4

?'.一2<Q42；

解分式方程分+g=2,得y=2-a,

?.?分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

.（2—a>0

■,（2-a-1*O'

/.a<2且在1,

：.-2<aW2且存1,

,符合條件的所有整數(shù)a為：-1,0,2,

和為：-1+0+2=1,

故選C.

【點睛】本題考查含有參數(shù)的不等式和含有參數(shù)的分式方程的應(yīng)用，熟練掌握不等式組

的解法、分式方程的解法以及解分式方程需要注意的事項是解題的關(guān)鍵.

8.（本題4分）如圖，在AABC中，4B=4C,以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，交AB于

點8和。，分別以點5,。為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點作射線CM

交AB于點E,若2E=5,BE=1,則EC的長度為（）

A

A.3B.V10C.VlTD.2y/3

【答案】C

【分析】利用基本作圖可知CE_L4B,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AC=6,然后利用勾

股定理求解即可.

【詳解】解：由作法得CE_L4B,

ZAEC=90°,

'：AE=5,BE=1

：.AC^AB=BE+AE=5+\-6,

在ACE中，CE=yJ(T-52=VH-

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，作圖-作垂線，以及勾股定理，得出4EC=90。

是解答本題的關(guān)鍵.

9.(本題4分)如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于。。，AADC=120°,BC平分“BC交4C于點

E,若B4=BE.則4DB的大小為()

A.35°B.30°C.40°D.45°

【答案】D

【分析】先利用根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理，求出4B4E

與4BC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：???四邊形4BCD內(nèi)接于。。，

...NABC+ZADC=180°,

,/ZADC=120°.

/.ZABC=60°,

?.?BC平分4BC,

ZABD=30。，

"：BA=BE,

：.ZBAE=ZBEA=|(180°-ZABD]=；X(180°-30°)=75°,

/.ZACB=180°-/BAE-^ABC=180°-75°-60°=45°,

ZADB=/ACB=45°,

故選：D.

【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、

圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

10.（本題4分）如圖，二次函數(shù)y=a/+bx+c（a芋0）的圖象與x軸的-一個交點為

（-1,0）,對稱軸為直線x=2.則下列結(jié)論：

@abc>0；@a+2c<-b?c-3a=0④直線y=m可能與y=\ax2+bx+c|有4個交

點

⑤若點點N（yi，y2）是拋物線上的兩點，若與<%2，則、1<丫2?

其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上，與y軸交于負(fù)半軸，對稱軸為直線x=2,即可得

到①正確；

根據(jù)二次函數(shù)圖象與X軸的一個交點為（一1,0）,所以X=-1時，y=0,即a-b+C=0,

進(jìn)一步推導(dǎo)即可證明②錯誤；

根據(jù)％=-1時，y=0及對稱軸為直線x=2,得到c=—5a,進(jìn)一步推導(dǎo)即可證明③錯

誤；

根據(jù)由二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a00）的圖象作出y=\ax2+bx+c|的圖象，即可證

明④正確；

點“01，%2），點N（yi，y2）是拋物線上的兩點，<到時不能證明yi<%，⑤錯誤；

【詳解】???二次函數(shù)圖象開口向上，

a>0,

???二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸，

???c<0,

?.?對稱軸為直線x=2,

???b=-4a<0,

abc>0,①正確；

??,二次函數(shù)圖象與％軸的一個交點為(一1,0),

當(dāng)％=-1時，y=0,

???Q—b+c=0,即Q+c=b,

，Q+2c=b+c,

?"VO,e<0f-6>0,

a2c<-b,②正確;

當(dāng)％=—1時，y=0,

二Q—b+c=0,

?.?b=-4a,

???Q—b+c=Q—(—4a)+c=5Q+c=0,即c=-5a,

?*-c—3Q——5Q—3d——8(iH0,③錯誤；

由二次函數(shù)y=ax24-bx4-c(a*0)的圖象可知y=\ax2+bx+c|的圖象為,

???直線y=zn可能與y=\ax2+bx+c|有4個交點，④正確;

若點M（%I，%2），點%（%,”）是拋物線上的兩點，

x1<%2時不能證明為<為，⑤錯誤；

???①②和④正確.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)'=?！?+??；+以。H0）,

熟悉二次函數(shù)圖象開口、與y軸的交點、對稱軸的關(guān)系式與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

第n卷（非選擇題共no分）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分，直接填寫答案.）

11.（本題4分）因式分解：+2%+1=.

【答案】（%+1）2或（1+%）2

【分析】利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：/+2%+1=（%+1）2.

故答案為：（%+1）2.

【點睛】本題考查公式法分解因式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵.

12.(本題4分)如圖，小明向圖中的格盤中隨意投擲一枚棋子，該棋子落在三角形內(nèi)

的概率是;

rrn

【答案】：

【分析】先利用格盤的特點，分別求出格盤與三角形的面積，再利用概率公式計算即可

得.

【詳解】設(shè)格盤中每個小正方形的邊長為a(a>0)

則格盤的面積為(3a)2=9a2

三角形的面積為:x3ax2a=3a2

則該棋子落在三角形內(nèi)的概率是

故答案為：g.

【點睛】本題考查r簡單事件的概率計算，讀懂題意，分別求出格盤與三角形的面積是

解題關(guān)鍵.

13.(本題4分)若關(guān)于x的一元二次方程(k—2)M—2kx+k=6有實數(shù)根，則”的取

值范圍為.

【答案】/￡2右且上片2

【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△20,即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，

解之即可得出k的取值范圍.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程(k-2)x2-2kx+k=6有兩個實數(shù)根，

A=(~2k)2-4(-2)(*-6)>0,

解得：k*，

,:k—2牛0,

:?k豐2,

???卜的取值范圍為卜？|且人力2,

故答案為：人之|且上大2.

【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的

判別式4>0,列出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵.

14.(本題4分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，08在x軸上，420=90。，點/的坐標(biāo)

為(-1,2),將△力05繞點N順時針旋轉(zhuǎn)90。，點。的對應(yīng)點。恰好落在雙曲線

上，則人的值為.

【答案】-3.

【分析】因為點D在雙曲線上，求出點D的坐標(biāo)即可，根據(jù)A(-1,2)和旋轉(zhuǎn)，

可以求出相應(yīng)線段的長，根據(jù)相應(yīng)線段的長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的關(guān)系式

即可.

【詳解】解：過點。作。E”軸，DFQAB,垂足為E、F,4(-1,2)

匚UAOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°

AOBADC,UBAC=90°

又C=\ABO=90°,

四邊形4CEB是矩形，

□AC=DF=EB=AB=2,CD=BC=AF=1,

DE=BF=AB-AF=2-1=1,OE=OB+BE=2+1=3,

DC-3,1)

:點。恰好落在雙曲線y=g上,

：.k=(-3)xl=-3.

故答案為：-3.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征以及矩形的性質(zhì),

合理地轉(zhuǎn)化，將線段的長轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)是關(guān)鍵所在.

15.(本題4分)一列慢車從4地駛往B地，一列快車從B地駛往a地.兩車同時出發(fā)，各

自抵達(dá)目的地后停止，如圖所示，折線表示兩車之間的距離y(km)與慢車行駛時間t(h)

之間的關(guān)系.當(dāng)快車到達(dá)4地時，慢車與B地的距離為—km.

【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)計算出慢車和快車的速度，進(jìn)而求得快車到達(dá)/

地所用的時間，即可求得當(dāng)快車到達(dá)力地時，慢車與B地的距離.

【詳解】解:由圖象可知，慢車的速度為1200-10=120(knvh),

快車的速度為1200-4-120=180(knvh),

快車到達(dá)/地所用的時間為1200+180號(h),

此時，慢車與8的距離為1200-120x^=400(km),

故答案為：400.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，理解圖象上點表示的具體含義是解答的關(guān)鍵.

16.(本題4分)如圖，矩形紙片N8CD,/。=12,/8=4,點E在線段8c上，將口氏7)

沿。E向上翻折，點C的對應(yīng)點C落在線段NO上，點M,N分別是線段與線段8c

上的點，將四邊形Z8N/沿向上翻折，點8恰好落在線段DE的中點9處.則線段

的長

【分析】作8'尸"18c于F,連接89交MN于G,連接BM,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得

CF=EF=B'F=-CD=2,BF=\0,應(yīng)用勾股定理計算得出89,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

BN=B'N,在RtAB'BF中根據(jù)勾股定理求得8W長度，最后根據(jù)等面積法計算求得MN

的長度.

【詳解】如圖，作B'FIBC于F,連接88,交MN于G,連接

/C=ZCDA=90°

???將△ECZ）沿DE向上翻折，點C的對應(yīng)點C'落在線段上,

???乙CDE=^/.CDA=45。,4C'C=NC=NCDC'=90°,

???CD=CD,

二四邊形CDC'E是正方形，

,.B是線段OE的中點，

CF=EF=B'F=-CD=2,

2

BF=BC-FC=12-2=10t

在Rt△BBS,BB'=>JB1F2+BF2=V22+102=2V26-

設(shè)BN=B'N=%,則NF=BF—BN=10-x,

在RtZkBWF中,B'N2=NF2+B'F2,

即刀2=（10一%）2+22,

解得X=g，

即BN=y,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得BG=B'G=3BB'=住,BB,IMN,

S?BMN—^BNXAB=3MNXBG,

故答案為：~V26.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，添加輔助線，

利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共10個小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟.）

17.（本題6分）計算：11—0|-241145°+（；尸+（萬一2021）°.

【答案】2

【分析】先運用絕對值、特殊角的三角形函數(shù)值、負(fù)整數(shù)次累、零次幕的知識化簡，然

后再計算即可.

【詳解】解：11一1—2sin454-(—)14-(TT—2021)°

=V2-l-2x—+2+1

2

=V2-1-V2+2+1

=2.

【點睛】本題主要考查了特殊角的三角形函數(shù)值、負(fù)整數(shù)次幕、零次事等知識點，靈活

運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

%—1

~<x+1,并寫出它的正整數(shù)解.

{2+5x43(6—x)

【答案】等式組的解集為：—3<xW2；不等式組的的正整數(shù)解為：1,2

【分析】解不等式組求出它的解集，再取正整數(shù)解即可.

—<x+l(2)

【詳解】2)

.2+5x43(6—x)②

不等式①的解集為：x>-3.

不等式一的解集為：X,2.

*不等式組的解集為：-3<%,2.

??.不等式組的正整數(shù)解為：1,2.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的正整數(shù)解，利

用一元一次不等式組的解法正確求得不等式組的解集是解題的關(guān)鍵.

19.(本題6分)如圖，已知E、F是。ABCD對角線AC上的兩點，且BEIAC.DFnAC.求

【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD,BAC=DCF,進(jìn)而得出

△ABECDF(AAS),即可得出答案.

【詳解】證明：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB=CD,ABCD,

BAC=iDCF,

BEAC,DFAC,

□EBEA=DFC,

在AABE和aCDF中，

ZBEA=/DFC

ZEAB=ZFCD'

AB=CD

：.ABEaCCDF（AAS）,

□BE=DF.

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出

△ABECDF是解題關(guān)鍵.

20.（本題8分）隨著手機(jī)的日益普及，學(xué)生使用手機(jī)給學(xué)校管理和學(xué)生發(fā)展帶來諸多

不利影響，為了保護(hù)學(xué)生視力，防止學(xué)生沉迷網(wǎng)絡(luò)和游戲，讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí)，促

進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳于2021年1月15日頒發(fā)了《教育部辦公廳關(guān)于加

強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》，為貫徹《通知》精神、某學(xué)校團(tuán)委組織了“我與手機(jī)

說再見”為主題的演講比賽，根據(jù)參賽同學(xué)的得分情況繪制了如圖所示的兩幅不完整的

統(tǒng)計圖.（其中/表示“一等獎”，8表示“二等獎”，C表示“三等獎”，。表示“優(yōu)秀獎”）

我獎情況扇形統(tǒng)計圖

請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題：

（1）獲獎總?cè)藬?shù)為人，m=；

（2）請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；

（3）學(xué)校將從獲得一等獎的4名同學(xué)（其中有一名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名

參加全市的比賽，請利用樹狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的概率.

【答案】（1）40,30；（2）見解析；（3）i

【分析】（1）用8等級的人數(shù)除以對應(yīng)百分比可得獲獎總?cè)藬?shù)，再減去/、B、。的人

數(shù)可得C等級的人數(shù)，除以獲獎總?cè)藬?shù)可得對應(yīng)百分比，即可得到加值；

（2）求出C等級的人數(shù)，即可補(bǔ)全統(tǒng)計圖；

（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果，找出抽出的恰好是一名男生和一名女生的

結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】解：(1)8-20%=40人,

(40-4-8-16)-40xl00%=30%,

貝〃?=30；

(2)40-4-8-16=12人，

補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：

開始

人力

斯小

女女男女女女

共有12種情況，恰好選中1名男生和1名女生的有6種,

所以恰好選中1名男生和1名女生的概率是V

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，列表法或樹狀圖法求概率等知識點，能

正確畫出條形統(tǒng)計圖和樹狀圖是解此題的關(guān)鍵.

21.(本題8分)新元學(xué)?？萍忌鐖F(tuán)趙翔同學(xué)借助無人機(jī)，測量坡角為34。的滑行跑道斜

坡部分ZB的長度.如圖所示，水平飛行的無人機(jī)在點。處測得跑道斜坡的頂端4處的俯

角"D4=25°,底端點B處的俯角/EDB=56°,點C,2,廠在同一條水平直線上，BC=28

米.(所有計算結(jié)果精確至U1米.參考數(shù)據(jù)：sin56°?0.83,cos56。20.56,.tan56。a

(1)求無人機(jī)的飛行高度CD.

（2）求滑行跑道AB的長度.

【答案】（1）41米

（2）30米

【分析】（1）在BCD中根據(jù)正切求解即可；

（2）先在Rt/C。中根據(jù)余弦求出BD,然后證明△4BD為直角三角形，即可求出48

的值.

【詳解】（1）解：由題意知4EZM=25。，/.EDB=56°,CB||DE,

則ZCBD=/EDB=56°,

在RtZ^C。中，480=56。，8c=28,

：.CD=BC-tanNCBD=28-tan56°?28x1.48=41.44?41（米），

答：無人機(jī)的飛行高度C。為41米；

（2）解：在RIABCD中，ZCBD=56°.BC=28,

:.B_D?=---B-C---=---2-8---?—28a5_0?（米）,

cosNCBDcosZ56°0.56vz|7,

'：Z.CBD=56°,ZABF=34°,

/.NABD=180°-/CBD-ZABF=90°,

又'：乙EDB=56°,ZEDA=25°,

/./ADB=/EDB-/EDA=31°,

?'?AB=BDxtan^ADB=50Xtan31°?50X0.60=30（米），

滑行跑道AB的長度30米.

【點睛】本題考查解直角三角形、仰角俯角等知識，判斷△48。為直角三角形是第（2）

問的關(guān)鍵.

22.（本題8分）如圖，4B是。。的切線，D點在。。上，4D與。。相交于C,CE是。。

的直徑，連接BC,若4=90。.

（1）求證：CB平分/4CE；

（2）當(dāng)48=2,4C=1時，求。。的半徑長.

【答案】（1）見解析

(2)。。的半徑長為|.

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，可得0BII4D,由平行線的性質(zhì)，等邊對等角，等量代

換即可得4CB=NOCB,進(jìn)而得證；

(2)連接BE,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，勾股定理求得BC,證明△BAC?△EBC

列出比例式，代入數(shù)值求解可得CE,進(jìn)而求得半徑

【詳解】(D證明：如圖，連接0B,

是。。的切線，

：.0BLBA,

"：ZA=90。，

：.OB||AD,

/?ZACB=NOBC,

'：OB=OC,

NOCB=/OBC,

:.乙ACB=cOCB,即BC平分Z4CE；

（2）解：如圖，連接8E,

在Rtz/BC中，AB=2,AC=1,

由勾股定理得：BC=>/AB2+AC2=V5.

是。。的直徑，

/.ZCBE=90°,

ZBAC=NEBC,

,/^ACB=ZOCB,

/.△BACEBC,

.ACBC??1_75

BCCE75CE

解得：CE=5,

；.。。的半徑長為*

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的性質(zhì)與判定，

勾股定理，掌握圓的相關(guān)知識以及相似三角形的是解題的關(guān)鍵.

23.（本題10分）某廠計劃生產(chǎn)4,B兩種產(chǎn)品若干件，已知兩種產(chǎn)品的成本價和銷售

價如表：

類別4種產(chǎn)品B種產(chǎn)品

成本價（元/件）400300

銷售價（元/件）560450

（1）第一次工廠用220000元資金生產(chǎn)了4B兩種產(chǎn)品共600件，求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少

件？

（2）第二次工廠生產(chǎn)時，工廠規(guī)定4種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量不得超過B種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的一半.工

廠計劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品共3000件，應(yīng)如何設(shè)計生產(chǎn)方案才能獲得最大利潤，最大利潤是

多少？

【答案】⑴生產(chǎn)了4種產(chǎn)品400件，B種產(chǎn)品200件

⑵生產(chǎn)4種產(chǎn)品1000件，B種產(chǎn)品2000件，才能獲得最大利潤，最大利潤是460000元

【分析】（1）根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出二元一次方程組求解即可;

（2）根據(jù)題意，列出不等式和一次函數(shù)解析式，進(jìn)而即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)生產(chǎn)了4種產(chǎn)品式件，8種產(chǎn)品y件,

x+y=600

由題意得:U+300y=220000'

(x=400

解得:(y=200,

答:生產(chǎn)了4種產(chǎn)品400件，B種產(chǎn)品200件;

（2）設(shè)4種產(chǎn)品生產(chǎn)m件,

由題意得：m<|（3000-m）,

???m<1000,

設(shè)總利潤為W元，

由題意得：W=(560-400)m+(450-300)(3000-m)=10m+450000,

v10>0,

；?w隨m的增大而增大，

.??當(dāng)相=1000時，w最大=460000,

此時3000-m=2000,

答：生產(chǎn)4種產(chǎn)品1000件，B種產(chǎn)品2000件，才能獲得最大利潤，最大利潤是460000元.

【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用、一次函數(shù)的實際應(yīng)用，以及不等

式的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程組、不等式

和一次函數(shù)解析式.

24.(本題10分)已知，矩形OCBA在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點C在x軸的

正半軸上，點4在y軸的正半軸上，已知點8的坐標(biāo)為(4,2),反比例函數(shù)y=3的圖象經(jīng)

備用圖

(1)求反比例函數(shù)y=§的表達(dá)式和點E的坐標(biāo)；

(2)點M為y軸正半軸上一點，若△M3。的面積等于△ODE的面積，求點M的坐標(biāo)；

(3)點P為x軸上一點，點。為反比例函數(shù)y=§圖象上一點，是否存在點P、。使得以

點P,Q,D,E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點。的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由.

【答案】(l)y=3(4,1)；

⑵(06

(3)(-4,一1)或(右3).

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點。的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的表達(dá)

式，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點E的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)三角形的面積公式計算即可；

(3)分CE為平行四邊形的邊、DE為平行四邊形的對角線兩種情況，根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)計算即可.

【詳解】(1)解：???四邊形OC8A為矩形，點B的坐標(biāo)為(4,2),點。為的中點，

???點。的坐標(biāo)為(2,2),

???反比例函數(shù)y=(的圖象經(jīng)過點C,

fc=2x2=4,

二反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=

由題意得，點E的橫坐標(biāo)為4,

則點E的縱坐標(biāo)為：：=1,

???點E的坐標(biāo)為(4,1)；

(2)解:設(shè)點M的坐標(biāo)為(0,n),

???點。的坐標(biāo)為(2,2),點E的坐標(biāo)為(4,1),

SAODE=2X4——x2x2——x4x1——x2x1=3>

由題意得：，4x"=3,

解得：n=|,

MB。的面積等于△ODE的面積時，點M的坐標(biāo)(0,|)；

(3)解：當(dāng)。E為平行四邊形的邊時，DE=PQ,DE||PQ,

???點。的坐標(biāo)為(2,2),點E的坐標(biāo)為(4,1),點P的縱坐標(biāo)為0,

點Q的縱坐標(biāo)為±1,

當(dāng)y=l時，x=4(不合題意，舍去)

當(dāng)y=-1時，x=-4,

則點Q的坐標(biāo)為(—4,一1),

當(dāng)DE為平行四邊形對角線時，

???點。的坐標(biāo)為(2,2),點E的坐標(biāo)為(4,1),

??.DE的中點坐標(biāo)為(3,|),

4

設(shè)點Q的坐標(biāo)為3工)，點P的坐標(biāo)為(x,0),

4

則0_3

~2~2

解得：a=

.??點Q的坐標(biāo)為@,3),

綜上所述：以點P,Q,D,E為頂點的四邊形為平行四邊形時，點Q的坐標(biāo)為(-4,-1)或

63).

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的面積計算，

解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟、靈活運用分情況討論思

想.

25.(本題12分)己知△/8C中，/Z8C=90。，點。、E分別在邊8C、邊NC上，連接

DE,。尸J_OE,點尸、點C在直線。E同側(cè)，連接尸C,且坐=絲=%.

(1)點。與點5重合時，

口如圖1,仁1時，NE和FC的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

如圖2,左=2時，猜想/￡和尸C的關(guān)系，并說明理由；

(2)8。=2。時，

①如圖3,左=1時，若4E=2,SACDF=6,求FC的長度；

②如圖4,無=2時，點M、N分別為所和ZC的中點，若48=10,直接寫出的最

小值.

【答案】（1>AE=FC；AEUFC；QAE=2CF,AE3見解析

⑵①6；@|

【分析】(1)①如圖1中，結(jié)論：AE=FC；NELFC：證明AABE三△CBF(S4S)可得

結(jié)論.

②如圖2中，結(jié)論：AE=2CF,AECF,證明ABEC"可得結(jié)論.

(2)如圖3中，過點。作。，4c于H,作。74B交4c于T,首先證明。

=HC,設(shè)D〃="T=，C="?,再證明EDTF￡)C(S4S),推出SzE￡>7=SzFDC=6,

ET=R2,構(gòu)建方程求出“7即可解決問題.

②如圖4,連接。CM,根點M作MK1BC于K,交/C于J,證明DM=MC=1EF,

推出點是在DC的垂直平分線MK上，當(dāng)NMJ.MK時，的值最小.

【詳解】（1）解：（1）口AE=FC,AECFC；

圖1

理由：由題意知R4=3C,BE=BE,ZABC=ZEBF=90°.

/ABE=ZCBF,NA=NACB=45°,

AABE=△CBF(SAS),

：.AE=CF,4=NBCF=45°,

ZACF=NACB+/BCF=90°,

：.AE1CF,

故答案為：4E=FC,AEJFC.

圖2

理由如下：

=2,NABE=/CBF,

DLUr

：.DABEU[JCBFt

/.—=—=2,—BCF,

CFAC

：.AE=2CFf

口U4+L4c5=90。，

口匚3。斤+口4。8=90。，

UAEUCF；

（2）如圖3,過點。作?！柏?。于"，作。TBZB交4C于7,

B

由題意知AB=BC,ABC=90°,

□□^C5=45°,

DTAB9DTC=DCT=45°,DT=DC,

UDH3CT,\JHT=HC,

□DH=HT=HC,設(shè)DH=HT=HC=m,

?AD.CT__CD_1

??D1//,??———，

TABD2

.\AT=4ni,

GAE=2fQET=4m-2,

□DE=DF,DT=DC,\JEDF=\JTDC=90°t

U\JEDT=UFDC1□□￡￡>TDDFZ)C舊S),

GSAEDT=SAFDC=69ET=FC,

—2)xm=6,

解得m=2或-|(舍去)，

：.CF=ET=4m-2=6；

②如圖4,連接。M,CM,根點A/作MKJ.BC于K,交ZC于J,

圖4

同法可證：AE1CF,

?//EDF=/ECF=90。,EM=MF,

：

.DM=MC=-2EF,

.?.點M是在。c的垂直平分線MK匕0c的長度不會變化,

當(dāng)NM_LMK時，MM的值最小，

由題意：AB=IO,8c=5,CD=~,CK=DK=

36

在Rt△48C中，AC=\/AB2+BC2=575.

"：AN=CN,

：，

.CN=-2AC=—2

■:JK//AB,

生

-C/H

CB

s

-梟

-6-

5

...CJ=苧，

:.NJ=CN-Cl=，

JJ263

「NMIMK時，ANMJ?ACKJ,

.MN_NJ

，

?''CK-c7

sVs

.MN_—

?F一命'

6T

.,.MN=-,

3

MN的最小值為，

【點睛】本題考查了相似三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角

形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握雙子型基本模型是解題的

關(guān)鍵.

26.(本題12分)已知：拋物線y=a/+bx+c經(jīng)過勿(一1Q,B(3,0),C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點P為直線BC上方拋物線上任意一點，連PC、PB、PO,P。交直線BC于

點E,設(shè)重=鼠求當(dāng)k取最大值時點P的坐標(biāo)，并求此時k的值；

(3)如圖2,點Q為拋物線對稱軸與x軸的交點，點C關(guān)于x軸的對稱點為點。.

①求ABDQ的周長及tanNBDQ的值；

②點M是y軸負(fù)半軸上的點，且滿足tan/BMQ=為大于0的常數(shù))，求點M的坐標(biāo).

【答案】(1)y=-^+2x+3；⑵后,尸(|,y);⑶①2+/10+3返，;②(0,t)

或(0,-Vt2-3-t)

【分析】(1)運用待定系數(shù)法即可求得答案；

(2)如圖1,過點P作?！薄ㄑ据S交直線BC于點則APEHSAQEC,進(jìn)而可得&=；叨，

再運用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=-x+3,設(shè)點2也一12+21+3),則

H(t,-t+3),從而得出左=-#一?尸+:,再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案；

(3)①如圖2,過點Q作。于點7,貝lJNB7Q=NOTQ=90°,利用配方法求得拋物

線對稱軸為直線x=l,得出Q(l,0),運用勾股定理即可求得48DQ的周長

=8。+