2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)訓(xùn)練-二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練一二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

一、綜合題

1.拋物線y=-x?+(m-1)x+m與y軸交于(0,3)點(diǎn).

(2)求它與x軸的交點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)x取什么值時(shí)，拋物線在x軸上方？

(4)x取什么值時(shí)，y的值隨x值的增大而減??？

2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題:

(3)b2-4ac0；

(4)y<0時(shí)，x的取值范圍是

3.設(shè)二次函數(shù)y=ax?+bx-3(a,b是常數(shù)，a/0),部分對(duì)應(yīng)值如表:

X-2-1012???

y50-3-4-3

(1)試判斷該函數(shù)圖象的開口方向.

(2)當(dāng)x=4時(shí)，求函數(shù)y的值.

(3)根據(jù)你的解題經(jīng)驗(yàn)，直接寫出ax2+bx-3<-3的解.

4.關(guān)于x的一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)有兩個(gè)不相等且非零的實(shí)數(shù)根，探究a,b,c

滿足的條件.

小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度研究一元二次方程的根的符號(hào)。下面是小

華的探究過程：第一步：設(shè)一元二次方程a/+bx+c=0(a>0)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為y=a/+

bx+c(a>0)；

第二步：借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應(yīng)的一元二次方程中a,b,c滿足的條件，列表如下表。

對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖

方程兩根的情況a.b.c滿足的條件

象

ra>0,

方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)A=b2-4ac>0,

b

根二一說

Ic>0.

①_______(a>0,

tc<0.

方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)

②_____________③___________

根

(1)請(qǐng)將表格中①②③補(bǔ)充完整;

(2)已知關(guān)于%的方程x2-(2/c-l)x+fc2-fc=0，若方程的兩根都是正數(shù)，求k的取值

范圍.

5.如圖是二次函數(shù)y=(x+m)2+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為"(1,-4),拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A

在點(diǎn)B的左邊)

(1)寫出拋物線的解析式、開口方向、對(duì)稱軸；

(2)求出圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(3)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P,使以物8=SAMA2?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

m2

6.已知y=(m+l)x+m是關(guān)于x的二次函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小.求：

(Dm的值.

(2)求函數(shù)的最值.

7.在-2,」,0,1,2這五個(gè)數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù)m,n,已知有二次函數(shù)y=(x—+n.

(1)先取m=l,則從余下的數(shù)中任意取n,求二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸的概率；

(2)任意取兩個(gè)數(shù)m,n,求二次函數(shù)y=(x-mY+n的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的概率.

8.已知函數(shù)y=(巾一1)%加:+1+4%-5是二次函數(shù).

(1)求m的值；

(2)寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式及其圖象的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

9.若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

(1)請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)''的函數(shù)；

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y\=2x2-4mx+2m2+｝和yz=ax1+bx+5,其中yi的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1,

1),若y+”與為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)"的表達(dá)式，并求出當(dāng)

2―3時(shí)，”的最小值.

10.已知二次函數(shù)y=-2x2+bx+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,8),該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸的交

點(diǎn)為A,M是這個(gè)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，。是原點(diǎn).

(1)不等式b+2c+8K)是否成立？請(qǐng)說明理由；

(2)設(shè)S是aAMO的面積，求滿足S=9的所有點(diǎn)M的坐標(biāo).

11.已知拋物線y=x2-2kx+3k+4.

(1)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，求k的值.

(2)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，求k的值；

(3)頂點(diǎn)在y軸上時(shí)，求k的值；

12.如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)丫=江+云+。與二次函數(shù)y=(a+3)/+S—15)x+

+18的圖象與x軸的交點(diǎn)分別是A,B,C.

(1)判斷圖中經(jīng)過點(diǎn)8,D,C的圖象是哪一個(gè)二次函數(shù)的圖象？試說明理由.

(2)設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)3、D,求點(diǎn)B,。的橫坐標(biāo).

(3)若點(diǎn)。是過點(diǎn)&D、C的函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，縱坐標(biāo)為一2,求這兩個(gè)函數(shù)的解析式.

13.在同一直角坐標(biāo)系中，拋物線Ci：y=ax2-2x-3與拋物線C2：y=x2+mx+n關(guān)于y軸對(duì)稱，C2與

x軸交于A,B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左根IJ.

(1)求拋物線Ci,C2的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在拋物線Ci上是否存在一點(diǎn)P,在拋物線C2上是否存在一點(diǎn)Q,使得以AB為邊，且以

A,B,P,Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

14.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn).

(1)根據(jù)圖象確定a、b、c的符號(hào)，并說明理由；

(2)如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-3),Z.ABC=45°,Z.ACB=60°,求這個(gè)二次函數(shù)的解析

式.

15.已知關(guān)于X的一元二次方程-x2+(3-k)x+k-l=0,其中k為常數(shù).

(1)求證：無論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若函數(shù)y=-x2+(3-k)x+k-1的圖象不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍.

16.已知y=(k+l)xk2-2是關(guān)于x的二次函數(shù).

(1)求滿足條件的k的值；

(2)k為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個(gè)最低點(diǎn).當(dāng)x為何值時(shí)，y的值隨x值的增大而增

大？

(3)k為何值時(shí)，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當(dāng)x為何值時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。?/p>

答案解析部分

L【答案】(1)解：由拋物線y=-x2+(m-1)x+m與y軸交于(0,3)得：m=3.

...拋物線為y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.

列表得：

X-10123

y03430

圖象如下.

.,.拋物線與x軸的交點(diǎn)為(-1,0),(3,0).

,.,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

(3)解：由圖象可知：

當(dāng)-l<x<3時(shí)，拋物線在x軸上方

(4)解：由圖象可知：

當(dāng)x>1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小.

2.【答案】(1)>

(2)<

(3)>

(4)-2<x<4

3.【答案】(1)解：:圖象經(jīng)過(0,-3),(2,-3),

.?.圖象對(duì)稱軸為直線x=竽=1，

由表格可得，x<l時(shí)，y隨x的增大而減小，

拋物線圖象開口向上

(2)解：：(-2,5)關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)是(4,5),

；.x=4時(shí)，函數(shù)y的值為5

(3)解：?.?拋物線開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),(2,-3),

?,.當(dāng)0<x<2時(shí)，ax2+bx-3<-3,

故ax2+bx-3<-3的解為0<x<2.

'a>0

A=b2-4ac>0

4.【答案】(1)方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根|個(gè)正實(shí)根|bn

2a

、c>0

(2)解：方程的根的判別式為4=(2k-1)2-4(9—k)=4/c2-4/c+1-4fc2+4k=1>

0,則此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

_~~(2k-1)?(k>-

由題意，可利用③得：2—,解得2

.k2-k>0(k>l或fc<0

則方程組的解為k>1

故k的取值范圍是k>1

5.【答案】(1)?.?拋物線解析式為y=(x+m)2+k的頂點(diǎn)為M(1,-4)

.??y=(x-1)2-4,拋物線對(duì)稱軸是直線X=l.

Va=l>0,

.?.拋物線開口方向向上

(2)???拋物線解析式為y=(x-1)2-4,

令y=0,得(x-1)2-4=0,

解得Xl=3,X2=-L

，A(-1,0),B(3,0)

(3)PAB與△MAB同底，且SAPAB=SAMAB,

?e?\ypI=I'MI=4,GRyp=±4,

又..,點(diǎn)P在y=(x-1)24的圖象上，yp^-4,

.'.yp=4,則(x-1)2-4=4,

解得Xl=2V2+1,X2=-2V2+1,

存在合適的點(diǎn)P,坐標(biāo)為(2代+1,4)或(一2魚+1,4).

6.【答案】(1)解：?.?￥=(m+1)+m是關(guān)于x的二次函數(shù)，

.,.m2=2,解得m=+V2,

?.?當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小，

.*.m+l<0,m=-V2,m=V2(不符合題意，舍)；

(2)解由(1)可得拋物線解析式為y=(l-^/I)x2—魚所以當(dāng)x=()時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為-

V2.

7.【答案】(1)解：在-2,-1,0,1,2這五個(gè)數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù)m,n,已知有二次函數(shù)y=(x-m)2+

n.

二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸的概率P一；

4

一共有20種可能，二次函數(shù)y=(x-m)2+n的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的有8種，

所以，P=|

8.【答案】(1)解：由y=(jn—l)xm2+1+4x—5是二次函數(shù)，得

m2+1=2且TH—1。0.解得m=-1

(2)解：當(dāng)m=—1時(shí)，二次函數(shù)為y=—2/+4x-5,

"."a=-2V0，

二二次函數(shù)的圖象開口向下，

"."y=-2x2+4%—5=-2(x-l)2-3,

二對(duì)稱軸為直線x=l頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3).

9.【答案】(1)解：由“同族二次函數(shù)的定義”可知：y=x2和y=2/是一對(duì)“同族二次函數(shù)”

(答案不唯一)；

(2)解：..31=2/-4耀》+262+1的圖象過點(diǎn)A(1,1),二2x/一4m+2血2+i=1,解

得：m=1,=2X2-4X+3=2(X-1)2+1,.?多的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),且曠1+當(dāng)=

2

(a+2)x+(b-4)x+8,Vy1+y2與y1是“同族二次函數(shù)”，

二月+%的頂點(diǎn)坐標(biāo)也為(1，1).

(a+2)+(b-4)+8=l

/Jb-41，解得：fJ=

1-2(H+2)=11b=-10

22

.*.y2=5x—lOx+5=5(x—l),

又YZWxW3在對(duì)稱軸x=1的右側(cè)，

???當(dāng)x=2時(shí)，y2最小=5.

10.【答案】(1)解：由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)(3,8),???拋物線的解析式為產(chǎn)-2(x-3)2+8=-

2x2+12x-10,Ab=12,c=-10,

Ab+2c+8=12-20+8=0,

???不等式b+2c+8>0成立.

(2)解：設(shè)M(m,n),

由題意得A(3,0)..,.1?3?|n|=9,

n=±6,

①當(dāng)n=6時(shí)，6=-2m2+12m-10,

解得m=2或4,②當(dāng)n=-6時(shí)，-6=-2m2+12m-10,解得m二3±夕，.?.滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)

為(2,6)或(4,6)或(3+V7,-6)或(3-夕，-6).

11.【答案】(1)解：:拋物線y=x2-2kx+3k+4經(jīng)過原點(diǎn)，把(0,0)代入得3k+4=0,

解得：k=-

(2)解：?.?拋物線y=x2-2kx+3k+4頂點(diǎn)在x軸上,

.*.b2-4ac=0,

(-2k)2-4xlx(3k+4)=0,

解得：k=4或k=-1

(3)解：...拋物線y=x2-2kx+3k+4頂點(diǎn)在y軸上，

-2k=0,

解得：k=0

12.【答案】(1)解：根據(jù)題意，由拋物線開口，一個(gè)開口向下，一個(gè)開口向上，???a+3>a,

，經(jīng)過B、D、C的圖象是：y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18的圖象.

⑵解：解方程組［y=f+bX+c,

(y=(a+3)x2+(b-15)x+c+18

整理得：x2—5x+6=0,

解得：xi=2,X2=3,

，點(diǎn)B,D的橫坐標(biāo)分別為2,3；

(3)解：由題可知，點(diǎn)D坐標(biāo)為(3,-2),設(shè)所求解析式為：y=a(x一3尸一2,把點(diǎn)B的坐標(biāo)

(2,0)代入，則磯2-3尸一2=0,解得：a=2,：.y=2(%-3)2-2,

即y=2x2—12x+16；

.,.a+3=2,b—15=-12,c+18=16,/.a=-l,b=3,c=-2,

，左邊拋物線的解析式為：y=-x2+3x-2.

13.【答案】(1)解：????、C2關(guān)于y軸對(duì)稱,

...G與C2的交點(diǎn)一定在y軸上，且Ci與C2的形狀、大小均相同，

a=1,n=-3,

...Ci的對(duì)稱軸為x=L

，C2的對(duì)稱軸為X=-1,

m=2,

2

ACi的函數(shù)表示式為y=x2-2x-3,C2的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2x-3

(2)解：在C2的函數(shù)表達(dá)式為y=x2+2x-3中，令y=0可得x?+2x-3=0,解得x=-3或x=l,

AA(-3,0),B(1,0)

(3)解：存在.

「AB的中點(diǎn)為(-1,0),且點(diǎn)P在拋物線Ci上，點(diǎn)Q在拋物線C2上，

AAB只能為平行四邊形的一邊，

；.PQ〃AB且PQ=AB,

由(2)可知AB=1-(-3)=4,

/.PQ=4,

設(shè)P(t,t2-2t-3),則Q(t+4,t2-2t-3)或(t-4,t2-2t-3),

①當(dāng)Q(t+4,t2-2t-3)時(shí)，則t2-2t-3=(t+4)2+2(t+4)-3,解得t=-2,

At2-2t-3=4+4-3=5,

.'.P(-2,5),Q(2,5)；

②當(dāng)Q(t-4,t2-2t-3)時(shí)，則t2-2t-3=(t-4)2+2(t-4)-3,解得t=2,

At2-2t-3=4-4-3=-3,

：.P(2,-3),Q(-2,-3),

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P、Q,其坐標(biāo)為P(-2,5),Q(2,5)或P(2,-3),Q(-2,

3).

14.【答案】(1)解：?.?拋物線開口向上

.,.a>0

?.?對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)

z.-A<0

2a

Ab>0

???拋物線交y軸的負(fù)半軸

/.c<0

(2)解：連接AB、AC,如圖所示:

,/在