0gk%coxq2008年第十三屆全國華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初一組決賽-全國通用

第十三屆全國“華羅庚庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（初一組）、.~我們‖打〈敗〉了敵人。②我們‖〔把敵人〕打〈敗〉了。第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試卷（初一組）（建議考試時間：2008年4月19日10:00～11:30）一、填空（每題10分，共80分）1.某地區(qū)2008年2月21日至28日的平均氣溫為-1℃，2月22日至29日的平均氣溫為-0.5℃，2.已知×(新+奧+運)=2008，其中每個漢字都代表0到9的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，則算式=.3.代數(shù)和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的個位數(shù)字是.4.用一個平面去截一個長方體,裁面是一個多邊形,這個多邊形的邊數(shù)最多有條.5.一列數(shù)1,3,6,10,15,21,…中,從第二個數(shù)開始,每一個數(shù)都是這個數(shù)的序號加上前一個數(shù)的和,那么第2008個數(shù)是.6.當(dāng)x取相反數(shù)時,代數(shù)式ax+bx對應(yīng)的值也為相反數(shù),則ab等于.7.已知是以x為未知數(shù)的一元一次方程,如果,那么的值為.8.在3×4方格網(wǎng)的每個小方格中心都放有一枚圍棋子,至少要去掉枚圍棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不構(gòu)成正方形的四個頂點.二、解答下列各題(第題10分,共40分,要求寫出簡要過程)9.如果一個銳角三角形的三個角的度數(shù)都是正整數(shù),且最大角是最小角的4倍，那么這個三角形的最小角的度數(shù)可能是哪些值？10.小明將164個桃子分給猴子,余下的幾個留給了自己,每只猴子得到了數(shù)目相同的桃子,小明留給自己的桃子數(shù)是一只猴子的四分之一,問共有多少只猴子?11.下圖中,E,F為三角形ABC邊上的點,CE與BF相交于P.已知三角形PBC的面積為12,并且三角形EBP,三角形FPC及四邊形AEPF的面積都相同,求三角形EBP的面積.12.現(xiàn)有代數(shù)式x+y,x-y,xy和,當(dāng)x和y取哪些值時,能使其中的三個代數(shù)式的值相等?三、解答下列各題(每題15分,共30分,要求寫出詳細(xì)過程)13.對于某些自然數(shù)n,可以用n個大小相同的等邊三角形拼成內(nèi)角都為120°的六邊形.例如,n=10時就可以拼出評分參考:1)給出p,n的關(guān)系給3分;2)得到n,k的最終關(guān)系給4分;3)得到答案給3分.11.答案:4解答:設(shè)三角形EBP的面積為X,連接AP.若令三角形APF的面積為Y,則三角形AEP的面積為.因為,而,,所以有,解得,即,所以X=4.三角形EBP的面積為4.評分參考:1)引出輔助線給2分;2)得到X與Y的關(guān)系給4分;3)得到答案給4分.12.答案:,,,.解答:首先必須,否則沒有意義.若,則,矛盾.所以.若,則由,或都得到,所以,即.因此,三個相等的式子只有兩種可能:(1).由后一等式得到,或,而是不可能的,因為此時由第一個等式得到,矛盾.當(dāng)時,由第一個等式得到,即,所以.(2).由后一等式同樣得到,或,同樣,是不可能的,而當(dāng)時,由第一個等式得到,所以.評分參考:1)(1)之前給2分;2)(1)和(2)各給4分.三、解答下列各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細(xì)過程）13.答案:6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.解答:設(shè)所用的等邊三角形的邊長單位為1.任何滿足條件的六邊形的外接三角形一定是一個邊長為l的大等邊三角形.該六邊形可以通過切去邊長分別為的等國三角形的角而得到,其中為正整數(shù),并且滿足,.又由于用邊長為1的等邊三角形拼成的一個邊長為x(正整數(shù))的等邊三角形所需要的個數(shù)是.因此,,其中,,.(1)時,n可以為.(2)時,n可以為..(3)時,與上面不同的n可以為,.,.(4)時,與上面不同的n可以為,.,.,=36-3=33.(5)時,與上面不同的n都比27大.(6)時,可以證明滿足要求的n都不小于26.由(1)到(6)可得,前10個滿足要求的n為6,10,13,14,16,18,19,22,24,25評分參考:1)寫出10個中的1個給1分;2)給出足夠的理由,例如(1)之前的部分給5分.14.答案:或.解答:因為方程左邊的第1、3項都是整數(shù),所以是整數(shù).注意到,代入方程,得到,.所以是整數(shù),是10的倍數(shù).令,k是整數(shù),代入得,其中,對于有理數(shù)x,=.所以有,.當(dāng)k取不同整數(shù)時,的情況如下