北京市首都重點大學附屬中學2023-2024學年高三上學期12月階段檢測數(shù)學試題（含答案）

首都重點大學附中2023-2024學年第一學期階段檢測高三數(shù)學2023.12第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題所列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1．在復平面內(nèi)，復數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．2．設平面向量，若，則等于（）A．1B．C．4D．3．設集合，集合，則（）A．B．C．D．4．一個袋中裝有大小相同的3個白球和2個紅球，現(xiàn)在不放回的取2次球，每次取出一個球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則（）A．B．C．D．5．二項式的展開式中的常數(shù)項為（）A．1792B．C．1120D．6．《九章算術》卷五商功中有如下描述：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．意思為：今有底面為矩形的屋脊狀的幾何體，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高1丈．現(xiàn)有一芻甍，如圖所示，則該芻甍的體積為（）A．5立方丈B．20立方丈C．40立方丈D．80立方丈7．已知是等差數(shù)列，是其前n項和，則“是“對于任意且，”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．記函數(shù)的最小正周期為，若，且的圖象關于點中心對稱，則（）A．1B．C．D．39．我國油紙傘的制作工藝巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動．如圖2，傘完全收攏時，傘圈已滑到的位置，且三點共線，為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，半圈沿著傘柄向下滑動的距離為，則當傘完全張開時，的余弦值是（）A．B．C．D．10．下圖展示了一個由區(qū)間到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間中的實數(shù)對應數(shù)軸上的點（如圖1）；將線段圍成一個圓，使兩端點、恰好重合（從到是逆時針，如圖2）；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在軸上，點的坐標為（如圖3），圖3中直線與軸交于點，則的象就是，記作．則下列命題中正確的是（）A．B．是奇函數(shù)C．在其定義域上單調(diào)遞增D．的圖象關于軸對稱第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．函數(shù)的定義域為________．12．已知直線和平面．給出下列三個論斷：①；②；③．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：________．13．某部門計劃對某路段進行限速，為調(diào)查限速是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進行檢測，將所得數(shù)據(jù)按分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖．則________；這300輛汽車中車速低于限速的汽車有________輛．14．設函數(shù)．①若，則不等式的解集為________；②若，且不等式的解集中恰有一個正整數(shù)，則的取值范圍是________．15．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的一個動點，給出下列四個結論：①三棱錐的體積為定值；②存在點使得平面；③的最小值為；④對每一個點，在棱上總存在一點，使得平面；⑤是線段上的一個動點，過點的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中正確的命題的序號是________．三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（本小題13分）

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求的值？若不存在，說明理由．17．（本小題13分）人工智能正在逐漸改變著我們的日常生活，不過，它所涉及的數(shù)學知識并非都是遙不可及的高深理論．為了解“拼音輸入法”的背后原理，隨機選取甲類題材“新聞稿”中1200字作為樣本語料庫A，其中“一”出現(xiàn)了30次，統(tǒng)計“一”與其后面一個字（或標點）的搭配情況，數(shù)據(jù)如下：“一”與其后面一個字（或標點）的搭配情況頻數(shù)“一個”6“一些”4“一窮”2“一條”2其他a假設用頻率估計概率．

（Ⅰ）求a的值，并估計甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；（Ⅱ）在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，其中搭配“一個”出現(xiàn)的次數(shù)為X，求X的分布列和期望；（Ⅲ）另外隨機選取甲類題材“新聞稿”中800字作為樣本語料庫B進行統(tǒng)計，“一”出現(xiàn)了24次，“一格”出現(xiàn)了2次，若在甲類題材“新聞稿”的撰寫中，輸入拼音“yige”時，“一個”和“一格”誰在前面更合適？（結論不要求證明）18．（本小題14分）在中，．（Ⅰ）求證：為等腰三角形；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一，求的值．條件①：；條件②：的面積為；條件③：邊上的高為3．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．19．（本小題15分）已知橢圓的離心率為，且過點．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）點是橢圓上異于短軸端點的任意一點，過點作軸于，線段的中點為．直線與直線交于點為線段的中點，設為坐標原點，試判斷以為直徑的圓與點的位置關系．20．（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）設，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若對任意的，當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．（本小題15分）數(shù)列滿足：或．對任意，都存在，使得，其中且兩兩不相等．（Ⅰ）若，寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號．①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2．

（Ⅱ）記．若，證明：；（Ⅲ）若，求的最小值．首都重點大學附中2023-2024學年第一學期階段檢測高三數(shù)學參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題所列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1．故選：C2．故選：D3．故選：C4．【解答】解：由已知條件得，由條件概率公式可得．故選：D．5．故選：C．6．【解答】解：如圖所示：芻甍的體積為直三棱柱的體積減去兩個相同的三棱錐的體積，即．故選：A．7．【解答】解：因為是等差數(shù)列，設公差為，若，即，也即，當時，顯然不成立，故由“”不能推出“對于任意且”；反之，“對于任意且”可以推出“”，即“對于任意且”，理由如下：用反證法說明：如果，則數(shù)列為遞減數(shù)列，時，越來越小，故不能滿足對于任意且；如果，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，顯然在且時不成立；故假設不成立，即，所以“”是“對于任意且”的必要不充分條件，故選：B8．A9．【分析】根據(jù)傘完全張開的特征可得，根據(jù)傘完全收攏可得，在中，利用余弦定理得，即可得出答案．【解答】解：由題意得當傘完全張開時，，為的中點，，當傘完全收攏時，，則，在中，由余弦定理得，，故選：A10．【答案】C【分析】借助于圖形來看四個選項，先由可判斷，實數(shù)所在區(qū)間不關于原點對稱，知錯，從圖形上可得在定義域上單調(diào)遞增，C對，先找到，再利用圖形判斷D錯，【詳解】如圖，因為點在以為圓心，為半徑的圓上運動，對于A，當時，的坐標為，直線的方程為，即，所以點的坐標為，故，即A錯．對于B，因為實數(shù)所在區(qū)間不關于原點對稱，所以不存在奇偶性．故B錯．對于C，當實數(shù)越來越大時，直線與軸的交點也越來越往右，即也越來越大，所以在定義域上單調(diào)遞增，即C對．對于D，當實數(shù)時，對應的點在點A的正下方，此時點，所以，再由圖形可知的圖象關于點對稱，而非關于軸對稱，即D錯．故選：C．第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11．12．若，則．13．故答案為：0.025；180．

14．【分析】①在坐標系中分別作出和的圖象，利用圖像法求解即可；②在坐標系中分別作出和的圖象，根據(jù)圖象列不等式組求解即可．【解答】解：①當時，和的圖象如圖所示，由圖象可得當時，；②當時，的圖象如圖所示，若不等式的解集中恰有一個正整數(shù)，則由圖象可得，即，解得．故答案為：；．15．【解答】解：對于①，，顯然是定值，因為平面，所以是定值，所以三棱錐的體積是定值，①正確；對于②，若存在點，使得平面，又平面，可得，所以四邊形為正方形，即，這與矛盾，②錯誤；對于③，如圖，將側面與側面展開鋪平，則的最小值，③錯誤；對于④，當點在點時，平面即是平面，此時與平面相交，故不存在點符合要求，④錯誤；對于⑤，如圖，在正方體中，可得，且是平面內(nèi)兩條相交直線，所以上平面，又平面，所以，因為是上的動點，且過點的截面垂直，所以截面過點，截面交與，交于，設，則，在中，可得，，則該截面的面積為，因為，所以當時，，此時分別是和的中點，當是中點時，，即，所以平面，滿足題意，⑤正確．故選：A．三、解答題（本大題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．【解答】解：（Ⅰ）在四棱錐中，因為平面平面，平面平面，又因為在平面內(nèi)，所以平面，因為在平面內(nèi)，所以；（Ⅱ）取中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面，因為在平面內(nèi)，所以平面，所以，因為，所以，所以四邊形是平行四邊形．所以，如圖建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，則可取，因為平面的法向量，所以，由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為；17．【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可求得a的值；根據(jù)古典概型的概率公示可求得甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率；

（2）確定，根據(jù)二項分布的概率計算即可求得答案；（3）計算樣本語料庫中“一個”和“一格”出現(xiàn)的概率，比較大小，可得結論．【解答】解：（1）由題意可得；故甲類題材中“一”出現(xiàn)的概率為；（2）由題意在甲類題材“新聞稿”中隨機抽取2個“一”，搭配“一個”出現(xiàn)的概率為，則，則，，故的分布列為：012則．（3）由題意知樣本語料庫中“一格”出現(xiàn)的概率為，甲類題材中“一個”出現(xiàn)的概率為，由于，故輸入拼音“yige”時，“一個”在前面更合適．18．【分析】（Ⅰ）求出，由正弦定理解得，由，得為銳角，，從而，由此能證明為等腰三角形；（Ⅱ）若選條件①：由，得，求出，與已知矛盾，三角形無解，不能選；若選條件②：由的面積為，得，解得；若選條件③：由，得，可得，則．【解答】解：（Ⅰ）證明：因為在中，，可得，所以由正弦定理可得，所以，解得，因為，即，可得為銳角，所以，所以，又，所以，即為等腰三角形，得證；（Ⅱ）若選條件①：因為，由（Ⅰ）可得，所以，與已知矛盾，三角形無解，不能選；若選條件②：因為的面積為，由（Ⅰ）可得，由，得，，解得，三角形存在且唯一，可選，此時；若選條件③：邊上的高為3，由，得，可得，則，三角形存在且唯一，可選，此時．19．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，，解得，橢圓的標準方程為：；（Ⅱ）設點，則，直線的斜率為，直線的方程為：，令得，，點的坐標為，點的坐標為，又點在橢圓上，，，點在以為直徑的圓上．20．【解答】解：（1）當時，，則，當時，切點坐標為，又切線斜率為，曲線在處切線方程為：．（2），，，①當時，成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無單調(diào)遞增區(qū)間．②當時，令，所以當時，在上單調(diào)遞減時，在上單調(diào)遞增綜上：時，的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無單調(diào)遞增區(qū)間；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3），令，由已知可得：且，的單調(diào)區(qū)間是，，時，恒成立，，令，即證，成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，恒成立，綜上：的取值范圍是．21．【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列滿足：或．對任意，都存在，使得，其中且兩兩不相等．在①中，1，1，1，2，2，2，不符合題目條件；在②中，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件；在③中，1，1，1，1，1，2，2，2，2，符合題目條件．（3分）注：只得到②或只得到③給（1分），有錯解不給分．（Ⅱ）證明：當時，設數(shù)列中出現(xiàn)頻數(shù)依次為，由題意．①假設，則有（對任意），與已知矛盾，所以．同理可證：．②假設，則存在唯一的，使得．那么，對，有兩兩不相等，與已知矛盾，所以．綜