北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題1.2 矩形的性質(zhì)與判定【九大題型】（舉一反三）（學(xué)生版）

專題1.2矩形的性質(zhì)與判定【九大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長度】 1【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】 2【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】 3【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】 4【題型5矩形判定的條件】 6【題型6證明四邊形是矩形】 7【題型7矩形中多結(jié)論問題】 10【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】 12【題型9直角三角形斜邊的中線】 14【知識點1矩形的定義】有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【知識點2矩形的性質(zhì)】①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長度】【例1】（2023春?新泰市期末）如圖，在矩形ABCD中，AD=42，對角線AC與BD相交于點O，DE⊥AC，垂足為點E，CE＝OE，則DE的長為（）A．4 B．32 C．22【變式1-1】（2023春?開州區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DF垂直平分OC，交AC于點E，交BC于點F，連接AF，若BD＝23，DF＝2，則AF的長為（）A．6 B．22 C．7 D．3【變式1-2】（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在矩形ABCD中，O是BD的中點，E為AD邊上一點，且有AE＝OB＝2．連接OE，若∠AEO＝75°，則DE的長為（）A．32 B．3 C．2 D．23【變式1-3】（2023?南崗區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，連接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，連接CE交BF于點G，則線段EG的長為．【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例2】（2023春?溧水區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD交于點O，DE⊥AC于點E，∠AOD＝110°，則∠CDE大小是（）A．55° B．40° C．35° D．20°【變式2-1】（2023?武昌區(qū)期末）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，如果量得∠EDF＝22°，則∠FDB的大小是（）A．22° B．34° C．24° D．68°【變式2-2】（2023春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點M在邊DC上，若AM平分∠DMB，則∠AMD的大小是（）A．45° B．60° C．75° D．30°【變式2-3】（2023春?莫旗期末）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則平行四邊形ABCD的最大內(nèi)角的大小是．【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】【例3】（2023春?浦東新區(qū)期末）我們把兩條對角線所成兩個角的大小之比是1：2的矩形叫做“和諧矩形”，如果一個“和諧矩形”的對角線長為10cm，則矩形的面積為cm2．【變式3-1】（2023?成都）如圖，過矩形ABCD的對角線BD上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ，那么圖中矩形AMKP的面積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S1S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）【變式3-2】（2023春?成都期末）如圖，點E是矩形ABCD邊AD上一動點，連接BE，以BE邊作矩形BEFG，使得FG始終經(jīng)過點C．若矩形ABCD的面積為s1，矩形BEFG的面積為s2，則s1與s2的大小關(guān)系是（）A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不確定【變式3-3】（2023春?九龍坡區(qū)校級期中）已知：矩形ABCD中，延長BC至E，使BE＝BD，F(xiàn)為DE的中點，連接AF、CF．（1）求證：CF⊥AF；（2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面積．【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】【例4】（2023春?潮南區(qū)期中）如圖，在矩形COED中，點D的坐標(biāo)是（1，3），則CE的長是（）A．3 B．3 C．5 D．10【變式4-1】（2023春?任城區(qū)期末）定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA＝3，OC＝4，點M（2，0），在邊AB存在點P，使得△CMP為“智慧三角形”，則點P的坐標(biāo)為（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，12）或（3，3）C．（3，12）或（3，1） D．（3，1【變式4-2】（2023?西平縣模擬）已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC=252，O為BC上一點，BO=72，如圖所示，以BC所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，（1）若點M的坐標(biāo)為（1，0），如圖1，以O(shè)M為一邊作等腰△OMP，使點P在矩形ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個？請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；（2）若將（1）中的點M的坐標(biāo)改為（4，0），其他條件不變，如圖2，那么符合條件的等腰三角形有幾個？求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．【變式4-3】（2023春?浦江縣期中）如圖，長方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點，A點的坐標(biāo)為（4，0），C點的坐標(biāo)為（0，6），點B在第一象限內(nèi)，點P從原點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著O→C→B→A→O的路線移動（移動一周）．（1）寫出點B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點P移動了4秒時，求出點P的坐標(biāo)；（3）在移動過程中，當(dāng)△OBP的面積是10時，直接寫出點P的坐標(biāo)．【知識點3矩形的判定方法】①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）.【題型5矩形判定的條件】【例5】（2023春?夏邑縣期中）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE【變式5-1】（2023春?江油市期末）在四邊形ABCD中，AC、BD交于點O，在下列條件中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD【變式5-2】（2023春?仙居縣期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC【變式5-3】（2023?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，點F，G在邊BC上，且DG＝EF．只需添加一個條件即可證明四邊形DFGE是矩形，這個條件可以是．（寫出一個即可）【題型6證明四邊形是矩形】【例6】（2023春?南譙區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若E，F(xiàn)是線段AC上兩動點，同時分別從A，C兩點出發(fā)以1cm/s的速度向點C，A運(yùn)動．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若BD＝8cm，AC＝14cm，當(dāng)運(yùn)動時間t為多少秒時，四邊形DEBF是矩形？【變式6-1】（2023春?海陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，O是邊AC上的一個動點，過點O作直線MN，交∠ACB的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F．給出下列信息：①MN∥BC；②OE＝OC；③OF＝OC．（1）請在上述3條信息中選擇其中一條作為條件，證明：OE＝OF；（2）在（1）的條件下，連接AE、AF，當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？請說明理由．【變式6-2】（2023春?津南區(qū)期末）已知?ABCD，對角線AC，BD相交于點O（AC＞BD），點E，F(xiàn)分別是OA，OC上的動點．（Ⅰ）如圖①，若AE＝CF，求證：四邊形EBFD是平行四邊形；（Ⅱ）如圖②，若OE＝OB，OF＝OD，求證：四邊形EBFD是矩形．【變式6-3】（2023春?洪澤區(qū)期末）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是對角線AC上的兩個動點，分別從A、C同時出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t秒，其中0≤t≤10．（1）若G、H分別是AD、BC的中點，則下列關(guān)于四邊形EGFH（E、F相遇時除外）的判斷：①一定是平行四邊形；②一定是矩形；③一定是菱形，正確的是；（直接填序號，不用說理）（2）在（1）的條件下，若四邊形EGFH為矩形，求t的值．【題型7矩形中多結(jié)論問題】【例7】（2023?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片ABCD中AB＝4，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的點H處，點D落在點G處，連接CE，CH．有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點H與點A重合時，EF＝5．以上結(jié)論中，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-1】（2023春?南充期末）如圖，矩形ABCD中，M，N分別是邊AB，CD的中點，BP⊥AN于P，CP的延長線交AD于Q．下列結(jié)論：①PM＝CN；②PM⊥CQ；③PQ＝AQ；④DQ＜2PN．其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-2】（2023春?泉州期末）如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)一點，連結(jié)PA、PB、PC、PD，設(shè)△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面積分別為S1、S2、S3、S4，以下四個判斷：①當(dāng)∠PAB＝∠PDA時，B、P、D三點共線②存在唯一一點P，使PA＝PB＝PC＝PD③不存在到矩形ABCD四條邊距離都相等的點P④若S1＝S2，則S3＝S4其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【變式7-3】（2023春?興文縣期中）如圖，矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，過點B作BF⊥AC交CD于點F，交AC于點M，過點D作DE∥BF交AB于點E，交AC于點N，連接FN，EM．則下列結(jié)論：①DN＝BM；②EM∥FN；③DF＝NF；④當(dāng)AO＝AD時，四邊形DEBF是菱形．其中正確的結(jié)論是．【題型8矩形的判定與性質(zhì)綜合】【例8】（2023春?海淀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D是AB上一點，AD＝DC，DE平分∠ADC交AC于點E，DF平分∠BDC交BC于點F，∠DFC＝90°．（1）求證：四邊形CEDF是矩形；（2）若∠B＝30°，AD＝2，連接BE，求BE的長．【變式8-1】（2023?息烽縣二模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點B作BE∥AC，且BE=12AC，連接EC（1）求證：四邊形BECO是矩形；（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的長．【變式8-2】（2023?開福區(qū)校級二模）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點A作AF⊥CD，垂足為F，延長DC到點E，使CE＝DF，連接BE．（1）求證：四邊形ABEF是矩形；（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，連接OE，求OE的長．【變式8-3】（2023?崇左）如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD上的點，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面積．【知識點4直角三角形斜邊中線】在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．【題型9直角三角形斜邊的中線】【例9】（2023?青縣二模）如圖，直角△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，過C作CF∥AB，連接AF與BC相交于G，若GF＝2AC，則∠BAG的大小是度．【變式9-1】（2023春?河南期末）如圖，在△ABC中，點D在邊AC上，DB＝BC，E是CD的中點，F(xiàn)是AB的中點．（1）直接寫出AB與EF的數(shù)量關(guān)系：；（2）若AD＝3，BD＝2，∠C＝60°，求EF的長．【變式9-2】（2023?浦東新區(qū)期末）如圖（1），已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE．（2）連接DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并證明猜想．（3）當(dāng)∠A變?yōu)殁g角時，如圖（2），上述（1）（2）中的結(jié)論