《關(guān)于“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”》論文

關(guān)于“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”摘要:在數(shù)學(xué)教學(xué)中強調(diào)聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實，是我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個重點。數(shù)學(xué)教學(xué)除了聯(lián)系學(xué)生的生活現(xiàn)實之外，需要聯(lián)系學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。數(shù)學(xué)現(xiàn)實具有整體性、實踐性和個體性。學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實大致可以分為4種類型：模擬型數(shù)學(xué)現(xiàn)實、程序型數(shù)學(xué)現(xiàn)實、論證型數(shù)學(xué)現(xiàn)實和思想型數(shù)學(xué)現(xiàn)實。關(guān)鍵詞:現(xiàn)實數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)現(xiàn)實；課程標(biāo)準(zhǔn)晚近以來，數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)了“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”兩個不同的名詞。本文希圖對這二者間的區(qū)別和聯(lián)系做一剖析，并著重探究“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”對數(shù)學(xué)教學(xué)的重要意義。1“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中強調(diào)聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實，是我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個重點。（9年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動地進行觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動。”這意味著要求所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容必須是現(xiàn)實的?，F(xiàn)實一詞，常常意味著“客觀現(xiàn)實”、“生活現(xiàn)實”。因此，許多闡述性的文字，就明確提出讓學(xué)生學(xué)習(xí)“現(xiàn)實數(shù)學(xué)":新一輪課程改革中，數(shù)學(xué)教學(xué)由關(guān)注學(xué)科知識傳授轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注促進人的全面發(fā)展。因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中，要組織和選擇現(xiàn)實的、有趣的、具有探索價值的數(shù)學(xué)問題，呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“現(xiàn)實的數(shù)學(xué)”，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變川。當(dāng)前對小學(xué)數(shù)學(xué)課程的要求也轉(zhuǎn)向工具性、實用性和生活化，要求充分展示數(shù)學(xué)問題的實際背景，突出數(shù)學(xué)與實踐的關(guān)系。也就是說，新的數(shù)學(xué)課改已經(jīng)改變過去的數(shù)學(xué)精英教育，轉(zhuǎn)而注重學(xué)生掌握現(xiàn)實數(shù)學(xué)，注重形成學(xué)生各自的數(shù)學(xué)現(xiàn)實這里的“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”，實際上專指“工具性、實用性、生活化”，即數(shù)學(xué)教學(xué)要聯(lián)系的是“生活現(xiàn)實”。創(chuàng)設(shè)日常生活情景進行教學(xué)，己經(jīng)形成一種風(fēng)氣。這對提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，掌握數(shù)學(xué)的來源，理解數(shù)學(xué)抽象的原型，很有好處。但是，過度強調(diào)數(shù)學(xué)的生活化，以為一切數(shù)學(xué)都是從日常生活中發(fā)源的，則是一種片面的認識。數(shù)學(xué)源于真實的現(xiàn)實之后，就會相對獨立地由內(nèi)部問題的驅(qū)動進行一段抽象的發(fā)展。與此相似，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，通過不斷地聯(lián)系日常生活現(xiàn)實，進行數(shù)學(xué)抽象，用現(xiàn)實生活的需要理解數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)。然而，學(xué)生的頭腦里，不會停留在日常生活現(xiàn)實的范圍內(nèi)，而會相對獨立地、按照數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)律構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)認知體系。一個簡單的例子是“質(zhì)數(shù)”的概念。它不能源于任何日常生活，并非來自客觀現(xiàn)實的數(shù)學(xué)，而是數(shù)學(xué)內(nèi)部問題驅(qū)動的結(jié)果。由此可以發(fā)展為龐大精致的數(shù)論學(xué)科，產(chǎn)生像歌德巴赫猜想那樣深刻的數(shù)學(xué)問題。從教學(xué)上看，當(dāng)學(xué)生構(gòu)建起“質(zhì)數(shù)”概念之后，我們才可以有質(zhì)因數(shù)分解，最小公倍數(shù)等概念的探究。如果強求數(shù)學(xué)必須是“現(xiàn)實的”，而且是生活化的現(xiàn)實，那么即使小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也難以順利進行。于是，關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系現(xiàn)實的理念，需要作一些修正。在課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂過程中，我們注意到“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的提法：“學(xué)生的現(xiàn)實主要包含以下3個方面：（1）生活現(xiàn)實，（2）數(shù)學(xué)現(xiàn)實，（3）其它學(xué)科現(xiàn)實?！标P(guān)于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的診釋是：“隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生積累的數(shù)學(xué)知識和方法就成為學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。這些現(xiàn)實應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的素材。選用這些素材，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。例如，因式分解知識的引入可以借助整數(shù)的分解，平行四邊形概念的引入可以借助三角形，等等?！边@一提法，在歷來的“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”和《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中都沒有出現(xiàn)過，因而是一個值得研究的新課題。2“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的界定就“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”這一名詞來說，我們并不陌生。20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾經(jīng)提出過“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”：“每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這個客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運算方法、規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)?！盵31這個定義，比較全面地反映了“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”的涵義，可以為我國課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂提供重要的參考?！皵?shù)學(xué)現(xiàn)實”具有以下的特性。首先，數(shù)學(xué)現(xiàn)實具有整體性。數(shù)學(xué)現(xiàn)實是一種認知結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)。應(yīng)該指出，數(shù)學(xué)現(xiàn)實不只是產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識前后的邏輯連接。如果以為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”只是為講新課所必須的“預(yù)備知識”，那就太狹隘了?！皵?shù)學(xué)現(xiàn)實”包括己知的“知識”，還包括數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)規(guī)律的把握，數(shù)學(xué)抽象能力等。例如，在入“函數(shù)”概念的時候，當(dāng)然應(yīng)該有“文字符號”、“等式”、“解析式”這樣的數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)備，但更重要的是要有“對應(yīng)”、“關(guān)系”、“唯一”等數(shù)學(xué)思想方法的支撐，至于像“變量”、“相互依賴”這樣的字眼，己經(jīng)涉及先前數(shù)學(xué)知識所不能覆蓋的哲學(xué)領(lǐng)域了。因此，函數(shù)教學(xué)，必須把重點放在學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念如何從靜態(tài)發(fā)展到動態(tài)的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”上。再以“因式分解”的數(shù)學(xué)現(xiàn)實而言，數(shù)的分解固然屬于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，但是更重要的是聯(lián)系“分解”的意義和價值。這涉及“整體和部分”、“簡單和復(fù)雜”這樣的宏觀思考。其次，數(shù)學(xué)現(xiàn)實具有實踐性?！皵?shù)學(xué)現(xiàn)實”是從數(shù)學(xué)角度觀察客觀世界，并進行思考所獲得的知識內(nèi)容，因而縣有很強的實踐性質(zhì)。數(shù)學(xué)現(xiàn)實中有很大一部分是數(shù)學(xué)模型。例如“雞兔同籠”這樣的模型，在日常生活現(xiàn)實中是沒有的，它只能屬于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”。（即使換成3條腿的凳子和4條腿的椅子的問題，仍是一種數(shù)學(xué)模型，并非生活原型。）現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)，過度形式化。把數(shù)學(xué)現(xiàn)實僅僅理解為“形式化的、邏輯化的數(shù)學(xué)現(xiàn)實”是不正確的。例如，一節(jié)指數(shù)函數(shù)的課，僅僅聯(lián)系細胞分裂模型是不夠的。我們必須體現(xiàn)“指數(shù)爆炸”的意義，特別是將2"和zn作比較，聯(lián)系己知的冪增長的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，才能把指數(shù)函數(shù)的特征顯示出來，并使得學(xué)生在“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”中確立起指數(shù)函數(shù)的地位。數(shù)學(xué)現(xiàn)實的實踐性還表現(xiàn)在，數(shù)學(xué)現(xiàn)實與生活現(xiàn)實的關(guān)系具有互通的特點。學(xué)生的生活現(xiàn)實可以促成數(shù)學(xué)現(xiàn)實的形成，反之，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實能夠幫助學(xué)生進一步觀察生活現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)問題以及解決問題的方法，即所謂學(xué)會“數(shù)學(xué)地”思考問題。比如通過“向東向西運動”、“零上零下溫度”（生活現(xiàn)實）來形成“相反意義的量”（數(shù)學(xué)現(xiàn)實），而通過“相反意義的量”來進一步理解“作用力與反作用力”等現(xiàn)實生活現(xiàn)象。第三，數(shù)學(xué)現(xiàn)實具有個體性。學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，按照他所生活的環(huán)境，是一個屬于學(xué)生個體的、變化的、發(fā)展的動態(tài)系統(tǒng)。這當(dāng)然和學(xué)生的個體有關(guān)。在個別指導(dǎo)時，當(dāng)然要符合該學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，在班級授課時，則要顧及學(xué)生的年齡特征，城鄉(xiāng)生活環(huán)境，普遍認知水平等因素。例如，同樣是講雞兔同籠，小學(xué)生是用算術(shù)方法（讓兔子站起來等），中學(xué)生則用代數(shù)方法（二元一次方程的整數(shù)解）。同樣是進行高度測量，城市用“電視塔”為目標(biāo)，農(nóng)村則可能用佛塔或大樹。少數(shù)民族地區(qū)使用的帳篷中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，更是特定的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。另外，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實與數(shù)學(xué)理論（即數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)）之間存在一個“中間地帶”，相當(dāng)于維果斯基所提出的“最近發(fā)展區(qū)”[41.對于某些學(xué)生來說，其數(shù)學(xué)現(xiàn)實己經(jīng)進入“最近發(fā)展區(qū)”，甚至進入“教學(xué)目標(biāo)”區(qū)域，而對另一些學(xué)生來說其數(shù)學(xué)現(xiàn)實還沒能觸及“最近發(fā)展區(qū)”。因此結(jié)合“數(shù)學(xué)理論”和“最近發(fā)展區(qū)”來考察、分析學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”是有益的。最近發(fā)展區(qū)示意“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”內(nèi)涵的層次學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，從具體到抽象，可以分成若干層次。我們認為，大致可以分為4種類型。3.1模擬型數(shù)學(xué)現(xiàn)實考慮到直接生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)形式理論之間的差距，人們經(jīng)常通過想象或適度抽象，人為地“創(chuàng)造”出一些問題模型或情境模型，這類模型既不是生活現(xiàn)實原型，當(dāng)然也不是完全形式化的數(shù)學(xué)原理，而是介于兩者之間的那種數(shù)學(xué)形態(tài)。我們稱之為模擬型數(shù)學(xué)現(xiàn)實。例如，模擬“孫子問題”：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”這并不是生活現(xiàn)實原型，人們不可能這樣數(shù)數(shù)，也不是一次同余式解的一般原理，它類似于一種數(shù)學(xué)游戲。幾何中的尺規(guī)作圖，也是生活中少有、具有操作價值的模型。再如相似形教學(xué)中“巨人的手”的教學(xué)設(shè)計，“黑板上留下巨人的手印，請你為巨人設(shè)計他使用的書籍、桌子和椅子的尺寸’，。這是一個并非來自生活實際、僅憑想象的情境模型，但也還沒上升到“相似形對應(yīng)邊成比例”的一般原理，它也是一種模型。對于這類模型，學(xué)生可以長期存留在記憶之中，隨時可以調(diào)用，成為推動數(shù)學(xué)問題思考的一種數(shù)學(xué)現(xiàn)實。3.2程序型數(shù)學(xué)現(xiàn)實數(shù)學(xué)中有相當(dāng)一部分知識屬于程序性的知識，它往往表現(xiàn)為一些運算法則、規(guī)定以至口訣。這些需要熟記的知識，可以忘掉原型，隨手拿來就運用?？梢哉f已經(jīng)化作人們的一種數(shù)學(xué)直覺。例如，九九表的乘法口訣，先乘除后加減，從內(nèi)到外脫括弧，除以分數(shù)即“顛倒相乘”，有理數(shù)乘法服從“負負得正”等，都己經(jīng)變成人們認為“理所當(dāng)然”的真理。這樣的例子很多。例如，正弦、余弦的“和角公式”，證明起來很繁瑣，但是由于不斷地使用，可以信手寫來，不記得證明過程。前面提到的“數(shù)的因數(shù)分解”，也是一種程序，學(xué)生往往會分解，記不得其證明。但是，它確實己經(jīng)是學(xué)生確認了的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。這種程序性的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，具有很強的真理性。一旦新的數(shù)學(xué)知識與這些程序、規(guī)則、算法相聯(lián)系，就會覺得是聯(lián)系到自己己經(jīng)非常熟悉而完全可以接受的現(xiàn)實。3.3論證型數(shù)學(xué)現(xiàn)實數(shù)學(xué)中由概念、定理、性質(zhì)、原理構(gòu)成的理論框架，如果被學(xué)生所“掌握”，因其表達精確、邏輯嚴(yán)密、結(jié)構(gòu)完整，可稱為論證型數(shù)學(xué)現(xiàn)實。理論型數(shù)學(xué)現(xiàn)實長期以來一直被作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，對其進行承接式推進、階梯式提高、螺旋式上升等處理方式在教學(xué)上己被廣泛運用。采用化歸、遷移、類比、同化等手段對“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”進行連續(xù)不斷地“建構(gòu)”己是數(shù)學(xué)教師運用嫻熟、學(xué)生也予以普遍接受的教學(xué)方式。在聯(lián)系論證型數(shù)學(xué)現(xiàn)實時，要特別注意學(xué)生的理解水平。以“掌握”三角形中位線定理為例，一些學(xué)生只能將它運用于三角形，另一些學(xué)生能夠運用于稍微復(fù)雜的圖形中，如平行四邊形、梯形，還有一些學(xué)生則可以運用于更為復(fù)雜的情況之中，應(yīng)當(dāng)運用變式教學(xué)分別對待。三角形中位線3.4思想型數(shù)學(xué)現(xiàn)實數(shù)學(xué)作為一種文化，有其深刻的思想內(nèi)涵。這些思想內(nèi)容經(jīng)由教師的傳導(dǎo)和啟迪，加上學(xué)生自身的感悟，通過數(shù)學(xué)活動、邏輯思考、問題解決等一系列方式或多或少在學(xué)生思維中得以積累而形成的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，被稱為思想型數(shù)學(xué)現(xiàn)實。學(xué)生的思想型數(shù)學(xué)現(xiàn)實有些是可以“言傳”的，如“化歸”思想、對應(yīng)思想、分割思想等；有些卻不能“言傳”，只能“意會”，如數(shù)學(xué)直覺、數(shù)學(xué)靈感，但我們可以確信學(xué)生頭腦中存在這類難以用言語表達的數(shù)學(xué)思維形態(tài)。例如，學(xué)生經(jīng)過幾何變換的學(xué)習(xí)形成的“以運動的觀點處理幾何問題”這一數(shù)學(xué)觀點就屬于思想型數(shù)學(xué)現(xiàn)實，由直觀的表象予以支撐。但是，函數(shù)的極限是一個無限過程，只能存在于想象之中，成為一種意境。4運用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”進行教學(xué)的案例運用“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”進行數(shù)學(xué)教學(xué)，最容易想到的是復(fù)習(xí)舊課，用己知數(shù)學(xué)知識為新課做鋪墊。但是，我們還應(yīng)該有更深入的探索。以下是幾個有關(guān)的案例。因式分解有的教案，直接寫出因式分解的定義，然后舉例、練習(xí)。以訓(xùn)練因式分解的技能為主要訴求。這樣設(shè)計，解題效率高。但是，教學(xué)毫無生氣，形式化的處理，讓學(xué)生不知道知識的發(fā)生過程。課講得再清晰、準(zhǔn)確，也是冰冷的美麗?，F(xiàn)在讓我們來聯(lián)系學(xué)生的現(xiàn)實。首先是聯(lián)系日常生活現(xiàn)實：分解，是為了使問題由復(fù)雜到簡單，便于研究。玩積木、七巧板，每一個復(fù)雜的圖形都是由簡單的圖形構(gòu)成的；學(xué)校的學(xué)生，先分成年級，再分成班級，分解的目的，是為了管理方便。然后是聯(lián)系其它學(xué)科現(xiàn)實：物質(zhì)可以分解為化學(xué)元素，水的分子式是H2O，即可以分解為氫氣和氧氣。至于聯(lián)系數(shù)學(xué)現(xiàn)實，還有3個層面。一是要聯(lián)系小學(xué)里學(xué)過的數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解。例如210=2X3X5X7，其中，2,3,5,7都是質(zhì)數(shù)，即不能再分了。二是要聯(lián)系學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)思想方法（類比），已有的“質(zhì)因式分解”（平方和公式，平方差公式），以及x，一1=（x-1）（x2+x+1）。這樣，終于過渡到一般的因式分解。第三，還要關(guān)注“綜合”與“分解”的對立統(tǒng)一關(guān)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實。通過多方面地聯(lián)系各種現(xiàn)實，讓學(xué)生在知識發(fā)生過程中進行“火熱的思考”，實現(xiàn)“再創(chuàng)造”。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才能夠生動活潑，感受數(shù)學(xué)的魅力和價值?！景咐慷検蕉ɡ碜鳛閿?shù)學(xué)法則的二項式定理，沒有生活現(xiàn)實可以聯(lián)系。完全依靠聯(lián)系學(xué)生的抽象數(shù)學(xué)現(xiàn)實。主要涉及以下幾層“聯(lián)系，’。從簡單到復(fù)雜的聯(lián)系：由最簡單的平方項展開（a+b）2=a'+2ab+62，到正整數(shù)次冪形式（a+b）。猜想。其它學(xué)科現(xiàn)實：數(shù)學(xué)歷史人物（事件）的聯(lián)系：從賈憲（楊輝）的賈憲三角（楊輝三角）到帕斯卡三角陣，再到牛頓的有理指數(shù)冪的二項式定理等。數(shù)學(xué)理論現(xiàn)實：數(shù)學(xué)歸納法的證明。【案例三】方程概念方程概念的教學(xué)程序通常是導(dǎo)入、定義、舉例辨認、練習(xí)、總結(jié)，給人的感覺是過于表面化處理。甚至讓學(xué)生背誦“含有未知數(shù)的等式叫方程”，這樣的定義缺乏數(shù)學(xué)現(xiàn)實的支撐，不知道為什么要研究它，好像是“天上掉下來”的。如果聯(lián)系“學(xué)生現(xiàn)實”，則情況將大有改觀。我們把方程理解為：“為了求未知數(shù)，在未知數(shù)和己知數(shù)之間建立的等式關(guān)系。”于是，可以在以下層面進行聯(lián)系。生活現(xiàn)實層面：己知、未知、關(guān)系，都是普通名詞。其中，關(guān)系是關(guān)鍵詞。概念性數(shù)學(xué)現(xiàn)實：用等式形容關(guān)系。相等是關(guān)鍵詞。思想方法型數(shù)學(xué)現(xiàn)實：通過等式把己知、未知聯(lián)系起來，目的是為了找出未知數(shù)。這和請熟人介紹認識新朋友的道理一樣。程序型數(shù)學(xué)現(xiàn)實：式的運算規(guī)則，施行同解變換，求得未知數(shù)。這樣的聯(lián)系，幫助學(xué)生把方程概念植入自己的認知結(jié)構(gòu)?！景咐摹抗垂啥ɡ韺W(xué)習(xí)勾股定理時，學(xué)生大多聽說過勾股定理，也知道“三個平方”的公式。如果簡單重復(fù)，不能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。我們可