1.2 整式及因式分解（題型精練）（原卷版）

第2講整式及因式分解（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：代數(shù)式、代數(shù)式的值題型二：整式的有關概念題型三：整式的運算（加減）題型四：整式的運算（乘除）題型五：乘法公式角度1：平方差公式角度2：完全平方公式角度3：整式的混合運算題型六：提公因式法與公式法題型七：十字相乘法題型八：分組分解法題型九：因式分解的應用第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準記憶知識點一：代數(shù)式、代數(shù)式的值（1）代數(shù)式的概念用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式．（2）代數(shù)式的值用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運算順序計算出的結果叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值分兩步:第一步,代數(shù);第二步,計算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值.知識點二：整式的有關概念1．整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．2．單項式：含有數(shù)或字母的積的代數(shù)式叫做單項式．單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式．單項式中的數(shù)字因式叫做這個單項式的系數(shù)；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)．3．多項式：幾個單項式的和叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)．多項式中單項式的個數(shù)，就是這個多項式的項數(shù)．4．同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項．幾個常數(shù)項也是同類項．5．合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變．知識點三：整式的運算（1）整式的加減運算：整數(shù)的加減本質是合并同類項，如果有括號要先去括號，再合并同類項.（2）去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.（3）添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.知識點四：冪的運算（1）（都是正整數(shù)）（2）（，都是正整數(shù)）（3）（都是正整數(shù)）（4）（是正整數(shù)）（5）（）（6）（，是正整數(shù)）知識點五：整式的乘除運算（1）單項式單項式：①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù)；②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，作為積的一個因式；③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積的一個因式.注：單項式乘單項式，積為單項式.（2）單項式多項式：①單項式分別乘多項式的每一項②將所得的積相加；一般地，單項式乘多項式，積為多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）多項式多項式：先用一個多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.（4）單項式單項式：①將單項式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的除法，作為商的一個因式；③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.（5）多項式單項式①用多項式的每一項除以單項式②商相加知識點六：乘法公式(1)平方差公式：（注意公式逆應用）.(2)完全平方公式：（注意公式逆應用）.知識點七：因式分解1．定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解．2．方法

（1）提公因式法：．

（2）公式法：；3．分解因式的基本步驟

（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提公因式；

（2）再看余下的式子能否用公式法繼續(xù)分解，直至不能再分解為止．簡記為一“提”、二“套”、三“檢查．

知識點八：十字相乘法1、如果二次三項式中的常數(shù)項能分解成兩個因數(shù)、的積，而且一次項系數(shù)又恰好是與的和，那么就可以進行如下的因式分解，即=2、利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法，一般地，=可以用十字交叉線表示3、二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式——進行分解。特點：（1）二次項系數(shù)是1；（2）常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；（3）一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。方法的特征是：“拆常數(shù)項，湊一次項”當常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常數(shù)項為負數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同．4、二次項系數(shù)不為1的二次三項式——對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式它的特征是：“拆兩頭，湊中間”當二次項系數(shù)為負數(shù)時，先提出負號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負數(shù)時，應將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相同注意：用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母．條件：（1）（2）（3）分解結果：=知識點九：分組分解法1.分組分解定義：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。2.利用分組分解法分解因式的多項式特征：（1）多項式的項數(shù)一般大于三項；（2）分組后各組可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法進行分解；（3）各組分解后，整個式子又可繼續(xù)進行因式分解。分組分解法以四項為主，四項的分解可以組合成“一項+三項”其中的三項可以考慮完全平方公式，或“兩項+兩項”其中的兩項通常要考慮提取公因式或平方差公式。第二部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·七年級專題練習）單項式與的和是，則（

）A．﹣4 B．3 C．4 D．52．（2022·湖南·懷化市第四中學七年級期中）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東·深圳市明珠學校八年級期中）下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）．A． B．C． D．4．（2022·湖北·華中師范大學第一附屬中學光谷分校八年級階段練習）計算：（1）___________；（2）___________；（3）___________．5．（2022·湖南·株洲景炎學校七年級期中）多項式中各項的公因式是____________．第三部分：典型例題剖析題型一：代數(shù)式、代數(shù)式的值典型例題例題1．（2022·陜西省西安愛知中學七年級期中）將形狀大小完全相同四個小正方形，按照如圖所示的兩種方式放置于兩個邊長不相等的大正方形中，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積關系，得到的等式是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·江蘇·泰興市濟川初級中學七年級期中）已知：，則代數(shù)式的值為______．例題3．（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級中學九年級階段練習）已知是關于的方程的一個根，則______．例題4．（2022·安徽·阜南縣文勤學校七年級階段練習）某種植大戶王大伯種植花生畝，玉米種植面積比花生種植面積的5倍還多4畝，而高粱種植面積比玉米種植面積的2倍少2畝．(1)求王大伯種植花生、玉米和高粱共多少畝以及種植高粱的面積比玉米多多少畝？(2)王大伯經(jīng)過測量得到種植花生畝，那么種植花生、玉米和高粱一共多少畝以及種植高粱的面積比玉米多多少畝？例題5．（2022·山東·滕州市東郭鎮(zhèn)東郭中學七年級期中）某學校準備組織部分教師到杭州旅游，現(xiàn)聯(lián)系了甲、乙兩家旅行社，兩家旅行社報價均為400元/人，同時兩旅行社都對10人以上的團體推出了優(yōu)惠舉措：甲旅行社對每位游客七五折優(yōu)惠；而乙旅行社是免去一位帶隊老師的費用，其余游客八折優(yōu)惠．(1)如果設參加旅游的老師共有人，則甲旅行社的費用為元，乙旅行社的費用為元；（用含的代數(shù)式表示）(2)假如某校組織17名教師到杭州旅游，該校選擇哪一家旅行社比較優(yōu)惠？請說明理由．同類題型歸類練1．（2022·安徽·定遠縣第一初級中學八年級階段練習）點在函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值等于__．2．（2022·湖北·華中科技大學附屬中學九年級階段練習）已知a是一元二次方程的根，則的值為______．3．（2022·遼寧·金州區(qū)育才高級中學九年級階段練習）拋物線經(jīng)過點，則代數(shù)式的值為______．4．（2022·福建泉州·七年級期中）當，時，求下列代數(shù)式的值．(1)(2)5．（2022·上海市羅南中學七年級階段練習）某市出租車收費標準是：起步價10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x千米（x＞5）(1)請用含x的代數(shù)式表示出他應該支付的車費；(2)若該乘客乘坐了20千米，那他應該支付多少錢？(3)如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程嗎？題型二：整式的有關概念典型例題例題1．（2022·福建·廈門市松柏中學七年級期中）單項式的系數(shù)、次數(shù)分別是（

）A．，4 B．，4 C．，4 D．，3例題2．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十一中學校七年級期中）在、、、、0、、中，整式有（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個例題3．（2022·北京市西城外國語學校七年級期中）寫一個含有字母，的三次二項式，其中常數(shù)項為，你寫的三次二項式是_______．例題4．（2022·全國·七年級專題練習）多項式中不含項，則______.例題5．（2022·全國·七年級單元測試）代數(shù)式，，，，20，，中單項式的個數(shù)是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個同類題型歸類練1．（2022·黑龍江·拜泉縣第三中學七年級期中）下列說法中正確的是（）A．的次數(shù)是3 B．的系數(shù)是C．的系數(shù)是 D．的次數(shù)是22．（2022·福建·廈門市松柏中學七年級期中）在代數(shù)式，，，，，中，整式有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個3．（2022·上?！て吣昙夒A段練習）下列各式是多項式的是（

）A．2x+1 B．C． D．4．（2022·重慶·巴川初級中學校七年級期中）單項式的系數(shù)是（）A．2 B．3 C． D．55．（2022·四川·隆昌市知行中學七年級階段練習）單項式的系數(shù)是______，次數(shù)是______．題型三：整式的運算（加減）典型例題例題1．（2022·湖南·安化縣思源實驗學校七年級期中）等于（

）A． B． C． D．例題2．（2022·北京市通州區(qū)北關中學七年級期中）單項式與是同類項，則___________例題3．（2022·北京十五中七年級期中）化簡：(1)；(2)．例題4．（2022·福建·浦城縣教師進修學校七年級期中）先化簡，再求值：，其中．例題5．（2022·全國·七年級專題練習）關于x的兩個多項式、，若、滿足，則稱與是關于的優(yōu)美多項式．如：，，因為．所以多項式與是關于的優(yōu)美多項式．根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)若，，判斷與是否是關于的優(yōu)美多項式，并說明理由；(2)已知（是正整數(shù)），與是關于的優(yōu)美多項式，若當時，多項式的值是小于的整數(shù)，求滿足條件的所有的值之和．例題6．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十一中學校七年級期中）化簡求值(1)，其中，．(2)已知，．若式子的值與的取值無關，求的值．同類題型歸類練1．（2022·全國·七年級專題練習）下列式子正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·七年級單元測試）化簡：_____．3．（2022·全國·七年級專題練習）合并同類項：(1)(2)(3)4．（2022·全國·七年級專題練習）在某次作業(yè)中有這樣一道題：已知代數(shù)式的值為，求代數(shù)式的值．小明的解題過程如下：原式，把式子兩邊同乘2，得，故原代數(shù)式的值為，仿照小明的解題方法，解答下面的問題：(1)若，則；(2)已知，，求的值．題型四：整式的運算（乘除）典型例題例題1．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，現(xiàn)有正方形卡片類，類和長方形卡片類若干張，如果要拼一個長為，寬為的大長方形，則需要類卡片（

）A．3張 B．4張 C．5張 D．6張例題2．（2022·河南·商水縣希望初級中學八年級階段練習）小軒計算一道整式乘法的題：，由于小軒將第一個多項式中的“”抄成“”，得到的結果為．則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7例題3．（2022·陜西省西安愛知中學七年級期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．例題4．（2022·陜西省西安愛知中學七年級期中）觀察下列等式：，，．(1)根據(jù)上面各式的規(guī)律，請寫出第5個等式：；(2)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得；（為正整數(shù)，且）．(3)求的值．例題5．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校八年級階段練習）閱讀下列文字：我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式．圖1給出了若干個邊長為和邊長為的小正方形紙片及若干個邊長為、的長方形紙片．請解答下列問題：(1)圖2是由圖1提供的幾何圖形拼接而得，可以得到；(2)利用圖1所給的紙片拼出一個長方形圖形的面積為，解決下面的問題：若，，求的值．(3)用圖1中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為，的長方形紙片拼出一個面積為長方形，求的值．同類題型歸類練1．（2022·湖南·懷化市第四中學七年級期中）若，則的值為______．2．（2022·遼寧·鞍山市育才中學八年級階段練習）探究應用：(1)計算______________；______________．(2)上面的整式乘法計算結果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：______________（請用含a，b的字母表示）．(3)下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是______．A．

B．C．

D．(4)直接用公式計算：______．3．（2022·北京·北師大實驗中學八年級期中）計算：(1)(2)(3)(4)4．（2022·全國·八年級專題練習）已知的展開式中不含項，常數(shù)項是-6．(1)求m，n的值．(2)求的值．5．（2022·江蘇·射陽縣實驗初級中學七年級期中）計算(1)(2)題型五：乘法公式角度1：平方差公式典型例題例題1．（2022·湖南·懷化市第四中學七年級期中）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·福建·福州市雙安中學八年級階段練習）先化簡，再求值：，其中：例題3．（2022·陜西·西安市西光中學八年級階段練習）計算并觀察下列式子，探索它們的規(guī)律，并解決問題．(1)______．______．______．…(2)試用正整數(shù)表示這個規(guī)律，并加以證明；(3)求的值．同類題型歸類練1．（2022·陜西省西安愛知中學七年級期中）化簡：____．2．（2022·河北·石家莊市第四十四中學三模）如圖，圖為邊長為的大正方形中有一個邊長為的小正方形，圖是由圖中陰影部分拼成的一個長方形．（1）以上兩個圖形反映了等式：______；（2）運用（1）中的等式，計算______．3．（2022·上海市羅南中學七年級階段練習）先化簡，再求值：，其中，．角度2：完全平方公式典型例題例題1．（2022·北京·北師大實驗中學八年級期中）已知，，則_________．例題2．（2022·山東·嶧城區(qū)荀子學校八年級階段練習）把下列各式因式分解：(1)；(2)．例題3．（2022·河南南陽·八年級階段練習）已知，．求：(1)的值；(2)的值．例題4．（2022·湖南·長沙市一中雙語實驗中學八年級階段練習）利用圖1中邊長分別為，的正方形，以及長為，寬為的長方形卡片若干張拼成圖2（卡片間不重疊、無縫隙），可以用來解釋完全平方公式：．請你解答下面的問題：(1)填空：，則______；，則_______，_______；(2)利用圖1中的三種卡片若干張拼成圖3，可以解釋等式：_______；(3)利用上述拼圖的方法計算：______．例題5．（2022·山西·太原師范學院附屬中學八年級階段練習）閱讀材料：小明在學習實數(shù)后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：設，其中，，，均為正整數(shù)則有，∴，．請你仿照小明的方法．探索并解決下列問題：(1)當，，，均為正整數(shù)時，若，用含，的式子分別表示，，得：___________，___________；(2)利用所探索的結論，找一組正整數(shù)，，，填空：___________＋___________；(3)若，且，，，均為正整數(shù)，則的值=___________．同類題型歸類練1．（2022·福建·福州十八中八年級期中）已知，，則的值為_____．2．（2022·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2022·吉林·長春市赫行實驗學校八年級階段練習）圖1在一個長為2a，寬為2b的長方形圖中，沿著虛線用剪刀均分成4塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．(1)圖2中陰影部分的正方形邊長為

；(2)觀察圖2，請你用等式表示，，ab之間的數(shù)量關系：

；(3)根據(jù)（2）中的結論，如果x+y＝5，xy，求代數(shù)式的值．4．（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校八年級階段練習）先化簡，再求值：，其中．5．（2022·湖南·株洲景炎學校七年級期中）閱讀下列材料并解答后面的問題：完全平方公式，通過配方可對進行適當?shù)淖冃?，如或，從而使某些問題得到解決．例：已知，求的值．解：通過對例題的理解解決下列問題：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．角度3：整式的混合運算典型例題例題1．（2022·遼寧·鞍山市育才中學八年級階段練習）計算：(1)；(2)．(3)．(4)．例題2．（2022·河南·項城市第一初級中學七年級期末）（1）計算：

（2）運用乘法公式簡便運算：（3）計算：（4）先化簡，再求值：，其中，例題3．（2022·四川·仁壽縣黑龍灘鎮(zhèn)光相九年制學校八年級期末）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）已知，求代數(shù)式的值．同類題型歸類練1．（2022·重慶文德中學校八年級階段練習）先化簡，再求值：，其中滿足2．（2022·陜西·西安市曲江第一中學八年級開學考試）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學校七年級階段練習）計算：(1)簡便計算：201×199(2)(3)(4)先化簡，再求值：，其中x＝﹣2．題型六：提公因式法與公式法典型例題例題1．（2022·山東菏澤·七年級期末）把多項式因式分解，結果正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·湖南·懷化市第四中學七年級期中）把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．例題3．（2022·山東·濟寧北湖省級旅游度假區(qū)石橋鎮(zhèn)中學八年級階段練習）因式分解(1)；(2)；例題4．（2022·山東·興安中學八年級階段練習）因式分解：(1)(2)(3)(4)同類題型歸類練1．（2022·寧夏·靈武市第二中學八年級期末）分解因式(1)4a-2ab；(2)(3)2．（2022·山東省泰安第十五中學八年級階段練習）因式分解：(1)(2)3．（2022·山東·聊城市東昌府區(qū)水城雙語學校七年級階段練習）把下列各式因式分解：(1)(2)(3)(4)4．（2022·江蘇·泰州中學附屬初中七年級期末）分解因式：(1)；(2)．題型七：十字相乘法典型例題例題1．（2022·浙江紹興·七年級期末）不論為何值，等式都成立，則代數(shù)式的值為（

）A．-9 B．-3 C．3 D．9例題2．（2022·江西撫州·八年級期中）分解因式：___________．例題3．（2022·上海·八年級專題練習）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．例題4．（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學校八年級期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由，得利用這個式子可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式因式分解．例如：將式子因式分解．分析：這個式子的常數(shù)項2＝1×2，一次項系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：請仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：______________；(2)填空：若可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：；例題5．（2022·全國·八年級專題練習）觀察猜想：如圖，大長方形是由四個小長方形拼成的，請根據(jù)此圖填空：說理驗證：事實上，我們也可以用如下方法進行變形：于是，我們可以利用上面的方法進行多項式的因式分解．嘗試運用：例題把分解因式．解：．請利用上述方法將下列多項式分解因式：（1）；（2）．同類題型歸類練1．（2022·湖南岳陽·七年級期中）已知方程的兩個根分別是2和－3，則可分解為（

）A． B． C． D．2．（2022·河北·保定市第一中學分校九年級開學考試）如果二次三項式x2+px﹣6可以分解為（x+q）（x﹣2），那么p的值為_____，q的值為_____．3．（2022·上?！て吣昙墝ｎ}練習）因式分解：4．（2022·四川·八年級期中）由整式的乘法運算法則可得由于我們道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可如可把中的著作是未知數(shù)．、、、在作常數(shù)的二次三項式：通過觀察可知此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)．此分解過程可以用十字相乘的形式形象地表示成如圖，此分解過程可形象地表述為“堅乘得首、尾，叉乘湊中項，這種分解的方法稱為十字相乘法．如：將二次三項式的二項式系數(shù)與常數(shù)項分別進行適當?shù)姆纸?，如圖，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法因式分解：；(2)用十字相乘法因式分解：；(3)結合本題知識，因式分解：．5．（2022·湖南常德·七年級期末）閱讀下列解答過程：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及m的值．解：設另一個因式為則，，∴，∴∴另一個因式為，m的值為-21．請依照以上方法解答下面問題：已知二次三項式有一個因式是，求另一個因式及k的值．題型八：分組分解法典型例題例題1．（2022·浙江·杭州市實驗外國語學校七年級期中）因式分解(1)(2)例題2．（2022·廣東·龍嶺初級中學八年級期中）因式分解中拆項法原理：在多項式乘法運算時，經(jīng)過整理、化簡通常將幾個同類項合并為一項，或相互抵消為零，在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項（拆項）．例：分解因式：解：把分成和，原式就可以分成兩組了原式繼續(xù)提公因式請類比上邊方法分解因式：．例題3．（2022·河南·鄭州市第六十四中學八年級期末）觀察“探究性學習”小組甲、乙兩名同學進行的因式分解：甲：（分成兩組）（直接提公因式）．乙：（分成兩組）（直接運用公式）（再用平方差公式）請你在他們解法的啟發(fā)下，把下列各式分解因式：（1）（2）．同類題型歸類練1．（2022·廣東茂名·八年級期中）閱讀理解：把多項式分解因式．解法：觀察上述因式分解的過程，回答下列問題：(1)分解因式：．(2)三邊、、滿足，判斷的形狀．2．（2022·吉林吉林·八年級期末）閱讀下列材料：一般地，沒有公因式的多項式，當項數(shù)為四項或四項以上時，經(jīng)常把這些項分成若干組，然后各組運用提取公因式法或公式法分別進行分解，之后各組之間再運用提取公因式法或公式法進行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．(1)利用分組分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接寫出結果）．3．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市國飛中學八年級期末）先閱讀下面的材料，再分解因式．要把多項式分解因式，可以先把它的前兩項分成組，并提出a，把它的后兩項分成組，并提出b，從而得．這時，由于中又有公因式，于是可提公因式，從而得到，因此有．這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個多項式各個項分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以利用分組分解法來因式分解．請用上面材料中提供的方法因式分解：（請你完成分解因式下面的過程）______；．題型九：因式分解的應用典型例題例題1．（2022·湖南·懷化市第四中學七年級期中）設為正整數(shù)，如果二次三項式在整數(shù)范圍內(nèi)可因式分解為，那么可取值的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例題2．（2022·河南·汝州市有道實驗學校七年級階段練習）若規(guī)定，則當時，__________．例題3．（2022·全國·八年級課時練習）閱讀下列解答過程，然后回答問題：已知有一個因式，求的值．解：設另一個因式為，則．即（對任意實數(shù)成立）由此得：∴(1)已知有一個因式，則另一個因式為_______________；(2)已知有一個因式，則的值為________________；(3)已知多項式有一個因式，求的值．例題4．（2022·山西臨汾·九年級階段練習）問題提出若一元二次方程的兩根為，，我們可以由一元二次方程根與系數(shù)的關系得，．已知方程的兩根為，，則，．探究引申若多項式中，存在，，則多項式可在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，分解結果為，而其中．即為一元二次方程的兩根．例如：把多項式分解因式，可以令，解該方程得，，故多項式在實數(shù)范圍內(nèi)可分解為．請利用上述方法在實數(shù)范圍內(nèi)把下列多項式分解因式．（1）．（2）．應用拓展已知二次函數(shù)與軸的兩個交點坐標分別為和，請直接寫出該拋物線的解析式．同類題型歸類練1．（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級中學九年級階段練習）若則，有一根是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學校七年級階段練習）如圖，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，x，y表示四個相同長方形的兩邊（）．則①；②；③；④，錯誤的是（

）A．① B．② C．③ D．④3．（2022·陜西省西咸新區(qū)秦漢中