實(shí)際問(wèn)題及二元一次方程組經(jīng)典例題

實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組經(jīng)典例題

目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．能夠借助二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，再次體會(huì)二元一次方程組與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和作用

2．進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性

3．體會(huì)列方程組比列一元一次方程容易

4．進(jìn)一步培養(yǎng)化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力

5．掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；

重點(diǎn)：

1．經(jīng)歷和體驗(yàn)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。

2．進(jìn)一步體會(huì)方程（組）是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。

難點(diǎn)：正確找出問(wèn)題中的兩個(gè)等量關(guān)系

知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想

列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系.一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類(lèi)量；(2)同類(lèi)量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.

知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系

1.行程問(wèn)題：

(1)追擊問(wèn)題：追擊問(wèn)題是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類(lèi)問(wèn)題比較直觀，畫(huà)線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差＝開(kāi)始時(shí)兩者相距的路程；；；

(2)相遇問(wèn)題:相遇問(wèn)題也是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類(lèi)問(wèn)題也比較直觀，因而也畫(huà)線段圖幫助理解與分析。這類(lèi)問(wèn)題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和＝總路程。

(3)航行問(wèn)題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順?biāo)俣龋?/p>

②船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速。

注意：飛機(jī)航行問(wèn)題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行?wèn)題類(lèi)似。

2．工程問(wèn)題：工作效率×工作時(shí)間=工作量.

3．商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題：

(1)利潤(rùn)＝售價(jià)－成本(進(jìn)價(jià))；(2)；(3)利潤(rùn)＝成本（進(jìn)價(jià)）×利潤(rùn)率；(4)標(biāo)價(jià)＝成本(進(jìn)價(jià))×(1＋利潤(rùn)率)；(5)實(shí)際售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×打折率；

注意：“商品利潤(rùn)＝售價(jià)－成本”中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷(xiāo)售。（例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．儲(chǔ)蓄問(wèn)題：

(1)基本概念

①本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫做本金。②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。

③本息和：本金與利息的和叫做本息和。④期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)。

⑤利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅。

(2)基本關(guān)系式

①利息＝本金×利率×期數(shù)

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))

③利息稅＝利息×利息稅率＝本金×利率×期數(shù)×利息稅率。

④稅后利息＝利息×(1－利息稅率)⑤年利率＝月利率×12⑥。

注意：免稅利息=利息

5．配套問(wèn)題：

解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

6．增長(zhǎng)率問(wèn)題：

解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1＋增長(zhǎng)率)＝增長(zhǎng)后的量；

原量×(1－減少率)＝減少后的量.

7．和差倍分問(wèn)題：

解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.

8．?dāng)?shù)字問(wèn)題：

解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字

9．濃度問(wèn)題：溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.

10．幾何問(wèn)題：解決這類(lèi)問(wèn)題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式

11．年齡問(wèn)題：解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會(huì)變的

12．優(yōu)化方案問(wèn)題：

在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。

知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟

利用二元一次方程組探究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般可分為以下六個(gè)步驟：

1．審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2．設(shè)未知數(shù):可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；

3．找出題目中的等量關(guān)系；4．列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5．解所列的方程組，并檢驗(yàn)解的正確性；6．寫(xiě)出答案.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；

(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；

(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.

解答步驟簡(jiǎn)記為：?jiǎn)栴}方程組解答

(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題

①弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；②審題時(shí)，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；③注意用方程組解應(yīng)用題的過(guò)程中單位的書(shū)寫(xiě)，設(shè)未知數(shù)和寫(xiě)答案都要帶單位，列方程組與解方程組時(shí)，不要帶單位；④正確書(shū)寫(xiě)速度單位，避免與路程單位混淆；⑤在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；⑥列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn)。

經(jīng)典例題透析

類(lèi)型一：列二元一次方程組解決——行程問(wèn)題

1．甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車(chē)和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇.相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車(chē)在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭原速返回，在汽車(chē)再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī).這時(shí)，汽車(chē)、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？

思路點(diǎn)撥：畫(huà)直線型示意圖理解題意：

(1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：①汽車(chē)的行程；②拖拉機(jī)的行程.

(2)有兩個(gè)等量關(guān)系：

①相向而行：汽車(chē)行駛小時(shí)的路程＋拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程＝160千米;

②同向而行：汽車(chē)行駛小時(shí)的路程＝拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程.

解：設(shè)汽車(chē)的速度為每小時(shí)行千米，拖拉機(jī)的速度為每小時(shí)千米.

根據(jù)題意，列方程組

解這個(gè)方程組，得:

.

答：汽車(chē)行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米.

總結(jié)升華：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問(wèn)題的常用的解決策略。

舉一反三：

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？

解：設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別行走千米、千米。根據(jù)題意可得：

解得：

答：甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走3.6千米。

【變式2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。

分析：船順流速度＝靜水中的速度＋水速

船逆流速度＝靜水中的速度－水速

解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，水速為y千米/時(shí)，

則，解得：

答：船在靜水中的速度為17千米/時(shí)，水速3千米/時(shí)。

類(lèi)型二：列二元一次方程組解決——工程問(wèn)題

2．一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問(wèn)：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？

思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；第二層含義：若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元。設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.

解：(1)設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，依題意得：

解得

答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付140元。

(2)單獨(dú)請(qǐng)甲組做，需付款300×12＝3600元，單獨(dú)請(qǐng)乙組做，需付款24×140＝3360元，

故請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少。

答：請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少。

總結(jié)升華：工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量，同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問(wèn)題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析。

舉一反三：

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢(qián)5.2萬(wàn)元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周完成，需工錢(qián)4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由.

解：設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：

，解得：

所以甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程分別需要10周、15周。

設(shè)需要付甲、乙每周的工錢(qián)分別是萬(wàn)元，萬(wàn)元，根據(jù)題意得：

，解得：

故甲公司單獨(dú)完成需工錢(qián)：（萬(wàn)元）；乙公司單獨(dú)完成需工錢(qián)：（萬(wàn)元）。

答：甲公司單獨(dú)完成需6萬(wàn)元，乙公司單獨(dú)完成需4萬(wàn)元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成.

類(lèi)型三：列二元一次方程組解決——商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題

3．有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤(rùn)率為5%,乙商品的利潤(rùn)率為4%,共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤(rùn)率為4%，乙商品的利潤(rùn)率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤(rùn)＝進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率

解：甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙商品的進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：

，解得：

答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600元和400元。

舉一反三：

【變式1】（2011湖南衡陽(yáng)）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：

，解得

答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝．

【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷(xiāo)售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：AB進(jìn)價(jià)（元/件）12001000售價(jià)（元/件）13801200（注：獲利=售價(jià)—進(jìn)價(jià)）

求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件；

解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得：

化簡(jiǎn)得：解得：

答：該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品分別為200件和120件。類(lèi)型四：列二元一次方程組解決——銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題

4．小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以?xún)煞N方式在銀行共存了2000元錢(qián)，一種是年利率為2.25％的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢(qián)？（利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅）

思路點(diǎn)撥：設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：

解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢(qián)為x元，存一年定期存款的錢(qián)為y元，則列方程：

，解得：

答：存教育儲(chǔ)蓄的錢(qián)為1500元，存一年定期的錢(qián)為500元.

總結(jié)升華:我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐?、收入、支出、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系，這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問(wèn)題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來(lái).

舉一反三：

【變式1】李明以?xún)煞N形式分別儲(chǔ)蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為3.24%，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%）

思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金×年利率×(1-20%)×年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=利息

金額×20%）.不扣稅時(shí)：利息=本金×年利率×年數(shù).

解：設(shè)第一種儲(chǔ)蓄的年利率為x，第二種儲(chǔ)蓄的年利率為y，根據(jù)題意得:

，解得:

答：第一種儲(chǔ)蓄的年利率為2.25%，第二種儲(chǔ)蓄的年利率為0.99%.

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢(qián).第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元(不計(jì)利息稅)，問(wèn)小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)第一種存款數(shù)為X元，則第二種存款數(shù)為y元，根據(jù)題意得：

，解得：

答：第一種存款數(shù)為1500元，第二種存款數(shù)為2500元。

類(lèi)型五：列二元一次方程組解決——生產(chǎn)中的配套問(wèn)題

5．某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只.現(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫(xiě)反了).

解：設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問(wèn)題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，從而得到方程組，使問(wèn)題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

思路點(diǎn)撥：兩個(gè)未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個(gè)相等關(guān)系是：①制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；②制盒身個(gè)數(shù)的2倍=制盒底個(gè)數(shù).

解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：

答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子.

【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有x人，生產(chǎn)螺母的有y人，

則：，解得：

答：生產(chǎn)螺栓的有25人，生產(chǎn)螺母的有35人。

【變式3】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個(gè)，或做桌腿300條。現(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少?gòu)埛阶溃?/p>

解：設(shè)用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：

，解得：

∴可做50×3＝150張方桌。

答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。

類(lèi)型六：列二元一次方程組解決——增長(zhǎng)率問(wèn)題

6.某工廠去年的利潤(rùn)（總產(chǎn)值—總支出）為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？

思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，則有總產(chǎn)值（萬(wàn)元）總支出（萬(wàn)元）利潤(rùn)（萬(wàn)元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤(rùn)和今年的利潤(rùn)，由利潤(rùn)=總產(chǎn)值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個(gè)等式。

解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，根據(jù)題意得：

，解之得：

答：去年的總產(chǎn)值為2000萬(wàn)元，總支出為1800萬(wàn)元

總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。

舉一反三：

【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？

解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，由題意得：

，解得：

答：今年的總產(chǎn)值為2000萬(wàn)元，總支出為1800萬(wàn)元

思考：本問(wèn)題還有沒(méi)有其它的設(shè)法？

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

思路點(diǎn)撥：由題意得兩個(gè)等式關(guān)系，兩個(gè)相等關(guān)系為：

（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬(wàn)；

（2）城鎮(zhèn)人口×(1+0.8%)+農(nóng)村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）

解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為x萬(wàn)，農(nóng)村人口為y萬(wàn)，由題意得：

解得

答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口14萬(wàn)人，農(nóng)村人口為28萬(wàn)人

類(lèi)型七：列二元一次方程組解決——和差倍分問(wèn)題

7.（2011年北京豐臺(tái)區(qū)中考一摸試題）“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計(jì)劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來(lái)的1.6倍、1.5倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)．求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛(ài)心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？

思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)計(jì)劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組。

解：設(shè)原計(jì)劃“愛(ài)心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：

，解得：

所以：1.6x=1.65=8,1.5y=1.54=6

答：“愛(ài)心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂.

舉一反三：

【變式1】(2011年北京門(mén)頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時(shí)”是世界自然基金會(huì)在2007年提出的一項(xiàng)倡議．號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六20時(shí)30分—21時(shí)30分熄燈一小時(shí)，旨在通過(guò)一個(gè)人人可為的活動(dòng)，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活．中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有119個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的3倍少13個(gè)，問(wèn)中國(guó)內(nèi)地去年、今年分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)．

解：設(shè)中國(guó)內(nèi)地去年有x個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有y個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)．

依題意得，解得：

答：去年有33個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)，今年有86個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時(shí)只看到別人的，沒(méi)看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個(gè)等式，列等式要看到重點(diǎn)語(yǔ)句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。

解：設(shè)男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：

，解得：

答：男孩4人和女孩有3人。

類(lèi)型八：列二元一次方程組解決——數(shù)字問(wèn)題

8.兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫(xiě)較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)，已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù)。

思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。

問(wèn)題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為：100x＋y

問(wèn)題2：在較大數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為：100y＋x

解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：

，解得：

答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為45，23.

舉一反三：

【變式1】一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個(gè)兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，則：

，解得：

答：這兩位數(shù)為56

【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？

解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：

，解得：

答：這個(gè)兩位數(shù)為72.

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個(gè)位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。

解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，由題意得：

，

答：所求三位數(shù)是504。

類(lèi)型九：列二元一次方程組解決——濃度問(wèn)題

9．現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1，今要得到酒精與水的比為3∶2的酒精溶液50kg，問(wèn)甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？

思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和＝50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和＝混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和＝混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比＝混合后溶液所含純酒精與水的比。

解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取xkg,ykg.依題意得：

，

答：甲取20kg，乙取30kg

法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10xkg和5ykg，

則甲種酒精溶液含水7xkg，乙種酒精溶液含水ykg，根據(jù)題意得：

，

所以10x=20,5y=30.

答：甲取20kg，乙取30kg

總結(jié)升華：此題的第（1）個(gè)相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個(gè)相等關(guān)系，解這類(lèi)問(wèn)題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來(lái)聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時(shí)就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問(wèn)什么就設(shè)什么。有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù)。

舉一反三：

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個(gè)等量關(guān)系，等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。

解：設(shè)含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%的鹽水有y千克，依題中的兩個(gè)相等關(guān)系得：

，解之得：

答：需要10%的鹽水6.4千克與85%的鹽水5.6千克【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲(chóng)最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：設(shè)需要用x千克濃度為35%的農(nóng)藥加水y千克，根據(jù)題意得：

，解之得：

答：需要用40千克濃度為35%的農(nóng)藥加水760千克。

類(lèi)型十：列二元一次方程組解決——幾何問(wèn)題

10．如圖，用8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？

思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒(méi)有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長(zhǎng)相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。

解：設(shè)長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)xcm,寬ycm，由題意得：

，

答：每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為45cm、寬為15cm。

總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。

舉一反三：

【變式1】用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？

思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個(gè)可用的等量關(guān)系，其一長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為鐵絲的長(zhǎng)48厘米，第二個(gè)等量關(guān)系是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)剪掉3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長(zhǎng)邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。

解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：

，

所以正方形的邊長(zhǎng)為：9+3=12厘米

正方形的面積為：=144厘米

長(zhǎng)方形的面積為：159=135厘米

答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米

總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個(gè)等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問(wèn)題就復(fù)雜了。設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，本題就簡(jiǎn)單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵。

【變式2】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m，它的周長(zhǎng)是132m，則長(zhǎng)和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長(zhǎng)為ym寬為xm，依題意得：

，解得：

答：草坪的長(zhǎng)為m,寬為m

類(lèi)型十一：列二元一次方程組解決——年齡問(wèn)題

11．今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？

思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個(gè)字的含義，即6年后父子倆都長(zhǎng)了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列方程。

解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：

，

答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲。

總結(jié)升華：解決年齡問(wèn)題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或減小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時(shí)間內(nèi)）。

舉一反三：

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

思路點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來(lái)，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個(gè)方程。

解：設(shè)今年小李的年齡為x歲，則爺爺?shù)哪挲g為y歲。根據(jù)題意得：

，解得：

答：今年小李的年齡為12歲。類(lèi)型十二：列二元一次方程組解決——優(yōu)化方案問(wèn)題：

12．某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)為1000元；經(jīng)粗加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷(xiāo)售，每噸利潤(rùn)漲至7500元.當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行.受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷(xiāo)售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案

方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；

方案二：盡可能多的對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒(méi)來(lái)得及加工的蔬菜在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售；

方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成

你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多？為什么？

思路點(diǎn)撥：如何對(duì)蔬菜進(jìn)行加工，獲利最大，是生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)者一直思考的