2023-2024學(xué)年天津大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2023-2024學(xué)年天津大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．設(shè)函數(shù)則A.1 B.4C.5 D.92．已知，若實(shí)數(shù)滿足，且，實(shí)數(shù)滿足，那么下列不等式中，一定成立的是A. B.C. D.3．直線與圓相切，則的值為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.5．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.R6．已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.， B.，C.， D.，8．函數(shù)在的圖象大致為（）A. B.C. D.9．如圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（）A.BC.D.10．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知向量滿足，且，則與的夾角為_(kāi)______12．已知，，則________.13．已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則________14．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，，的中點(diǎn)，將該正方體挖去兩個(gè)大小完全相同的四分之一圓錐，得到如圖所示的幾何體，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①CG//平面ADE；②該幾何體的上底面的周長(zhǎng)為；③該幾何體的的體積為；④三棱錐F－ABC的外接球的表面積為其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________15．已知扇形的周長(zhǎng)是2022，則扇形面積最大時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是___________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16．已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期及對(duì)稱軸方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值、最小值，并分別求出使該函數(shù)取得最大值、最小值時(shí)的自變量的值.17．已知集合，（1）當(dāng)時(shí)，求；18．在平面內(nèi)給定三個(gè)向量（1）求滿足的實(shí)數(shù)m,n的值；（2）若向量滿足，且，求向量的坐標(biāo)19．已知函數(shù)(a>0且a≠1).(1)若f(x)在[-1，1]上的最大值與最小值之差為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若，當(dāng)a>1時(shí)，解不等式.20．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示（1）請(qǐng)補(bǔ)出函數(shù)，剩余部分的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)，的解析式；（3）已知關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．已知全集，集合，集合.（1）若，求；（2）若“”是“”必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、C【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式求出與的值，相加即可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，又由，則，則；故選C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，及函數(shù)求值問(wèn)題，其中解答中熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及合理利用分段函數(shù)的解析式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】∵在上是增函數(shù)，且，中一項(xiàng)為負(fù)，兩項(xiàng)為正數(shù)；或者三項(xiàng)均為負(fù)數(shù)；即：；或由于實(shí)數(shù)x0是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故選B3、D【解析】由圓心到直線的距離等于半徑可得【詳解】由題意圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為1，所以，解得故選：D4、C【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式變性后，利用正弦函數(shù)的遞減區(qū)間可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由，得，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：C5、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出選項(xiàng).【詳解】指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽.故選：D6、B【解析】畫(huà)出的圖象，根據(jù)方程有個(gè)相異的實(shí)根列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖所示，由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.令，則原方程化為.∵方程有8個(gè)相異實(shí)根，∴關(guān)于t的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根.令，，∴，解得.故選：B7、C【解析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：C8、D【解析】先判斷出函數(shù)的奇偶性，然后根據(jù)的符號(hào)判斷出的大致圖象.【詳解】因?yàn)?，所以，為奇函?shù)，所以排除A項(xiàng)，又，所以排除B、C兩項(xiàng)，故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.9、B【解析】分段求解：分別把0≤x≤1及1≤x≤2時(shí)解析式求出即可【詳解】當(dāng)0≤x≤1時(shí)，設(shè)f（x）=kx，由圖象過(guò)點(diǎn)（1，），得k=，所以此時(shí)f（x）=x；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，設(shè)f（x）=mx+n，由圖象過(guò)點(diǎn)（1，），（2，0），得，解得所以此時(shí)f（x）=．函數(shù)表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為：y＝|x－1|(0≤x≤2)故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求解問(wèn)題，本題根據(jù)圖象可知該函數(shù)為分段函數(shù)，分兩段用待定系數(shù)法求得10、A【解析】函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除B，單調(diào)區(qū)間不能用并集連接，排除CD.【詳解】定義域?yàn)镽，且在定義域上單調(diào)遞增，滿足題意，A正確；定義域?yàn)椋诙x域內(nèi)是減函數(shù)，B錯(cuò)誤；定義域?yàn)?，而在為單調(diào)遞增函數(shù)，不能用并集連接，C錯(cuò)誤；同理可知：定義域?yàn)?，而在區(qū)間上單調(diào)遞增，不能用并集連接，D錯(cuò)誤.故選：A二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、##【解析】根據(jù)平面向量的夾角公式即可求出【詳解】設(shè)與的夾角為，由夾角余弦公式，解得故答案為：12、【解析】根據(jù)已知條件求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，兩邊平方得，而，所以，所以.由解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】知道其中一個(gè)，可通過(guò)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得另外兩個(gè)，在求解過(guò)程中要注意角的范圍.13、6【解析】利用函數(shù)是偶函數(shù)，，代入求值.【詳解】是偶函數(shù)，.故答案6【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，屬于簡(jiǎn)單題型.14、①③④【解析】由面面平行的性質(zhì)判斷①；由題設(shè)知兩段圓弧的長(zhǎng)度之和為，即可得上底周長(zhǎng)判斷②；利用正方體體積及圓錐體積的求法求幾何體體積判斷③；首先確定外接球球心位置，進(jìn)而求出球體的半徑，即可得F－ABC的外接球的表面積判斷④.【詳解】因?yàn)槊婷?，面，所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正確；依題意知，弧EF與弧HG均為圓弧，且這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和為，所以該幾何體的上底面的周長(zhǎng)為，該幾何體的體積為8－，②錯(cuò)誤，③正確；設(shè)M，N分別為下底面、上底面的中心，則三棱錐F－ABC的外接球的球心O在MN上設(shè)OM＝h，則，解得，從而球O的表面積為，④正確.故答案為：①③④15、2【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則，將面積最值轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值；【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，則，，當(dāng)時(shí)，扇形面積最大時(shí)，此時(shí)，故答案為：三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）16、（Ⅰ）最小正周期是，對(duì)稱軸方程為；（Ⅱ）時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為-2，時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為1.【解析】（Ⅰ）利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱軸及最小正周期；（Ⅱ）由的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：（Ⅰ）由與得所以的最小正周期是；令，解得，即函數(shù)的對(duì)稱軸為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.17、（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式求得集合，由補(bǔ)集和并集的定義可運(yùn)算求得結(jié)果；（2）分別在和兩種情況下，根據(jù)交集為空集可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得，或，，.【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，由，得，故a的取值范圍為18、（1）；（2）或【解析】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.(2)設(shè)向量再根據(jù)平行與模長(zhǎng)的公式列式求解即可.【詳解】（1）由已知條件以及,可得,即解得（2）設(shè)向量,則,.∵,∴解得或∴向量的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運(yùn)算以及平行的與模長(zhǎng)的公式,屬于中等題型.19、(1)2或；(2)或.【解析】(1)對(duì)a值分類討論，根據(jù)單調(diào)性列出最值之差表達(dá)式即可求解；(2)由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性脫去給定不等式中的法則“”，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求解即得.【詳解】(1)①當(dāng)，f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞增，，解得，②當(dāng)時(shí)，f(x)在[-1，1]上單調(diào)遞減，，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)a的值為2或.(2)由題可得定義域?yàn)?，且，所以為上的奇函?shù)；又因?yàn)?，且，所以在上單調(diào)遞增；所以，或，所以不等式的解集為或.【點(diǎn)睛】解抽象的函數(shù)不等式，分析對(duì)應(yīng)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.20、（1）圖象見(jiàn)解析，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征即可畫(huà)出右半部分的圖象，結(jié)合圖象，即可得出單調(diào)增區(qū)間；(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可直接求出函數(shù)的解析式；(3)由(2)得出函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可得出m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】剩余的圖象如圖所示，有圖可知，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，則，有，由為奇函數(shù)，得，即當(dāng)時(shí)，，又，所以函數(shù)的解