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搶分練2121.(12分)(2021新高考Ⅱ,21)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下去,設(shè)一個這種微生物為第0代,經(jīng)過一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過一次繁殖后為第2代,……,該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根,求證:當E(X)≤1時,p=1;當E(X)>1時,p<1.(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際意義.12解

(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)由題知,E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3.設(shè)f(x)=p3x3+p2x2+p1x+p0-x,則有f(1)=p3+p2+p1+p0-1=0.f'(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,則有f'(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1.12所以當x<x1或x>x2時,f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,x1)和區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增;當x1<x<x2時,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減.當E(X)≤1時,f'(1)=E(X)-1≤0,所以必有x1<1≤x2,而當0<x<1時,因為f'(x)<0,所以f(x)>f(1)=0,即方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)沒有根,所以p=1就是f(x)=0的最小正根.當E(X)>1時,f'(1)=E(X)-1>0,此時,必有x2<1.因為函數(shù)f(x)在[x2,+∞)上單調(diào)遞增,所以必有f(x2)<f(1)=0.考慮到f(0)=p0>0以及函數(shù)f(x)的連續(xù)性,由零點存在定理知在0與1之間必有函數(shù)f(x)的零點,此零點就是原方程的一個正根x2,且比1小,故p<1.(3)意義:每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代后必然滅絕,若繁殖后代的平均數(shù)超過1,則若干代后滅絕的概率小于1.121212(2)(方法一)設(shè)矩形ABCD的頂點A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如圖所示,設(shè)直線AB的斜率為k(k>0).不妨將A,B固定在y軸及y軸右側(cè).當且僅當|

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