2023年高等教育自學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)（一）》模擬真題一

2023年高等教育自學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)(一)》模擬真題一

函數(shù)/(/)=2。學(xué)是

1.【單選題】

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.有界函數(shù)

D.周期函數(shù)

正確答案：c

=2/包了，當(dāng)?.=g時(shí)函數(shù)有界.

參考解析:14-,rZ

函數(shù)~7一上-一二的定義域是

2.【單選題】vln(.r+y)

A.(x+y)>1

B.In(x+y)KO

C.(x+y)W1

D.(x+y)>0

正確答案：A

參考解析：

因?yàn)楦栂虏荒転樨?fù),因此得In(_r+y)下不且分母不能為0,得Mln(.r+y)>0,又因?yàn)閷?shù)函數(shù)

的真數(shù)大于0得z+丫>0,由三個(gè)不等式解得N+Y>1.

ln(1+ar)

vIim-----------------=

3.【單選題】，?<T

A.1

B.Ina

C.a

D.ea

正確答案：C

..ln(1+a.i.)

參考解析：IPT

4.【單選題】設(shè)f(x)=2x,則f''(x)=

A.2xln22

B.2xln4

C.2X-2

D.2X?4

正確答案：A

參考解析：/(x)=2',則/'(/)=2J?In22.

5.【單選題】設(shè)f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f'(0)=

二?

A.)

lim[/(A.r)-f(0)]

B.?

lima￡--------------------

C.a,-

lim/(0)-/(A^)

D..?A.r

正確答案：A

參考解析：

由函數(shù)/（z）在點(diǎn)用可導(dǎo)的定義/（To）=lim孚=lim人工。+/一”引，

Ar-OAJTAJ-OAJ*

得/（0）=lim/（°）,所以選A.

6.【單選題】設(shè)三元函數(shù)f（x,y）在點(diǎn)（x。，y。）處有極大值且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都

存在，則必有

A./"r（io，?yo）＞0,/（―,％）＞0

B./",（？?y）＞0，/'v（7o，、。）=0

c./［（一，?y））=0，/'v（z，，H）＞0

D.廠（/?、）=0,，、（」..V。）=0

正確答案：D

參考解析：

由題意及函數(shù)極大值與偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系可得/.(a.>)=0,/v(.r?o')=0?故選D.

7.【單選題】設(shè)z=e'siny,則dz=

A.excosy(dx+dy)

B.ex(sinydx-cosydy)

C.ex(sinydx+dy)

D.ex(sinydx+cosydy)

正確答案：D

參考解析：

U=eJsiny?三=cosy,所以du=—?da*+—?dv—eJ(sinydx+cosydyX

c/jrdydj：dy

ar曲啡斯】函數(shù)/")=??一]的極大值點(diǎn)為

8.【單選題】3

A.x=-3

B.x=-l

C.x=l

D.x=3

正確答案：B

參考解析：

/(7)=-...JC極大值點(diǎn)為N=-1,當(dāng)JT=—1時(shí)，/(力=~.

9.【單選頻】若直線x=l是曲線y=f(x)的鉛直漸近線，則f(x)是

.2

A.JT+1

*21

B.T——1

]

c.JC—2z+1

D.z?+2z+1

正確答案：c

參考解析：

由鉛直漸近線求函數(shù)的概念知.A,D不令題意，因?yàn)橄鄳?yīng)函數(shù)甄斷點(diǎn)不是z=1.所以1=1不是

相應(yīng)曲線的鉛直漸近線.雖工=1是函數(shù)星二的間斷點(diǎn)，但lim立】=2,故選項(xiàng)B是錯(cuò)誤的,所以選C

10.【單選題】下列無窮限反常積分發(fā)散的是

e'dx

A.Ji

erdz

B.J1

f+001

-ydl

C.J1

丁工2dz

D.Jl1+T

正確答案：B

參考解析：反常積分發(fā)散的為［c'dz

11.【簡單計(jì)算題】

設(shè)函數(shù)/（?=等，則當(dāng)Z工一1時(shí)，試求

x4-1

我的回答：

〃/81=八3）=：^=鼻.

參考解析：1—1

設(shè)/I）=/-,求/（I）.

12.【簡單計(jì)算題】t2//-f11

我的回答：

參考解析：仆.）=-I，

故/'（公=-y（4J-374-2J-'）.

乙乙

則/(I)=iX(4一告+2)9

乙4=丁?

7,求/'(1)?

13.【簡單計(jì)算題】

我的回答:

參考解析:

設(shè)，=工?則有/=—*/（/）=，，得到/（X）='，因此/（X）=-4.

14.相單計(jì)算題】‘'.'L

設(shè)函數(shù)/（T）=arctanz,求f（0）,（0）.

我的回答：

—2x

/（工）=；-■―-?/"(%)=

參考解析：1-J-(1+/)2

2(3M—1)

r（x）(1+12尸

由此得八°）=言￥=0,

o

2(3/-1)

<(0)=)=—2.

(1+MLO

計(jì)算定積分I=(1-sin\r)dx.

15.【簡單計(jì)算題】0

我的回答：

參考解析：

fw/1\*4

/=兀+(1—cos'x)dcos.r=7t4"(cosJC..-cos3x)=兀----.

Jo'ozo3

16.【計(jì)算題】指出下列函數(shù)由哪些函數(shù)復(fù)合而成？

(1)y=(cosx)3：

(2)y=e'x

(3)

1

y=-a-r--c-c--o--s--3zr

我的回答：

參考解析：解：(1)y=(cosx)：'是由y=u'，u=cosx復(fù)合而成。

(2)y=e「'是由y=eu,u=-x復(fù)合而成。

(3)

y—----.—是由》='，“=arccosv,v=3?r復(fù)合而成.

arccos3JU

17.【計(jì)算題】

a+arccosn-1V工V1

設(shè)丁=Y〃，?r=—1，試確定a方,使在z=—1處連續(xù).

JW—19—8V］〈一1

我的回答：

參考解析：

因?yàn)閘im/(J-)=lim—1=0,f(—1)=力，故6=0.

又因lim/(x)=lim(a+arccosx)=a+(2A+l)7t=0(4=0,±l,土2.…),

在

〃)

o廣

故當(dāng)a=-(2A+1)K,6=0時(shí)+z=—1處連續(xù).

^

+1

1

我的回答:

參考解析:

1

(1+lim(l+)?r+l

〃+1n+1

lim(^)"=limd+1)"=lim------

8ni-1r-8〃~二v~1

(1+lim(1+

19.【計(jì)算題】設(shè)

r1

—sin04jr<n

y(j7)=<乙

.0,zV0或1>7t

求⑦（工）=，（1）山在（一8,十8）內(nèi)的表達(dá)式.

我的回答:

參考解析：當(dāng)1V°時(shí),敘幻=J/a）d，=Odt=0；

I丁sintdt=《(一cost)

當(dāng)04才《芥時(shí).<1>（工）=/(z)dr==-(1—cosx)；

J044

=J/(/)dz=

當(dāng)工〉農(nóng)時(shí)，。（.r）/(z)dr+/(z)dr=---sintdt+|Odr=cosr)=11

。x<0

故0(X)=V1—COS/),04/47t.

1?1〉7：

住

求定積分Jr2sinxdj：

20.【計(jì)算題】Jo

我的回答：

參考解析：

7

Z

~J*;d(-cosx)=-J[COSX+"2xcosxdj-

o00

=2'xdsinx=2(jrsinx—"sinzclr)=n-2.

?00?o

21.【綜合題】

設(shè)z=/(“,/,、)，〃=其中/具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).求;

dxdy

我的回答：

參考解析：

y

衛(wèi)=/'.%十'-Lf.o=r.+e、?+

dxJ"drJJ，J"J'城丫J"eayay

/?,ev4-ev(f

，「熱+/「熱+十4辦+幾「踴+’外

y，，v

=工金、廣必+efuy+/厘/二+y\v+e/\.

22.【綜合題】某商品日產(chǎn)量是x個(gè)單位時(shí)，總費(fèi)用F(x)的變化率為

f(x)=0.2x+5(元/單位),且已知F(0)=0,求：

(1)總費(fèi)用F(x)；

⑵若銷售單價(jià)是25元，求總利潤；

⑶日產(chǎn)量為多少時(shí)，才能獲得最大利潤？

我的回答：

參考解析：(1)

F(x)=f(0.2x+5)dx=0.lx2+5z+C.因F(0)=0.故C=0.故F(T)=0.l.r2+5z.

22

(2)L(x)=25x-0.1X-5X=-0.1X+20XO

(3)L7X)=-0.2%+20.當(dāng)工=100時(shí)=0,L"=-0.2<0.

故當(dāng)N=100單位時(shí)獲利潤最大?且最大利潤為1000元.

23.【綜合題】欲做一個(gè)容積100立方米的無蓋圓柱形容器，問此圓柱形的底面

半徑r和高h(yuǎn)分別是多少時(shí)，所用材料最??？并求此時(shí)所用材料的面積。

我的回答：

設(shè)所用材料面積為A.則

A'=0得唯一實(shí)駐點(diǎn)r0=々呼.

故當(dāng)，,，=(米)'(米)時(shí)所用材料最省.

此時(shí)A=兀/+迎=30*T而(平方米).

r0

24.【綜合題】設(shè)由拋物線y=x2與y=2-x?所圍成的平面圖形，試求：

(1)此平面圖形的面積；

(2)此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

我的回答：

參考解析：(1)

y=x22

先求交點(diǎn),^(1,1),(-1,1),S=(2—x—JC)dx=*

y—2—x2

(2)

2

VT=7t[(2—/?)?—d]dz=2K(4—4x)dr=學(xué)九

一]o3

高等教育自學(xué)考試《高等數(shù)學(xué)(一)》

L修選題】設(shè)函數(shù)/Q+f=/+3'則/".)=

A.x2+2

/+1

B.T

C.x2

D.x-2

正確答案：D

參考解析：

八/十少=/+5=(/+!)2一2,故/⑺=/2-2,因此選D.

2.【單%題】’1

f21+3,z&O

已知函數(shù)[(])=《，則f(-1)+/(2)=

x3?1>0

A.8

艮7

C9

D.6

正確答案：C

參考解析：由題意可知，f(-l)=2X(-1)+3=1,f(2)=2=8,故f(T)+f(2)=9。

3.【單選題】

ln(l+x),n

設(shè)/(n)={7連續(xù)，則A的值為

、

k9X=0

A.1

B.-1

C.0

D.2

正確答案：A

參考解析：

lim/(x)=lim皿1-十產(chǎn))=1,當(dāng)且僅當(dāng)/(O)=lim/(.r)時(shí),函數(shù)連續(xù).所以&=1,故選A.

^-?01-0Xx-?0

設(shè)二次函數(shù)z=e-),則等=

4.【單選題】

A.-e-sin(xy)

B.-sin(xy)e-sin(xy)

C.-xcos(/xy)\e-sin(xv)

D.-e-cos(xy)

正確答案:c

參考解析:令—sin(u^),則

f)u

=e"?cos(.ry)?(—x)=—xcos(.ry)?eMn，.所以選C.

函數(shù)cos受1的一個(gè)原函數(shù)為

5.【單選題】

兀?

s,n7t

A.-72

27T

——sin

B.Tt

Tt

7sm

C.V

27t

--------sin一T

D.7t2

正確答案:B

K2

cos—r-.r=-sin

參考解析:27T2

6.【單選題】設(shè)函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處

A.不一定可微

B.可微

C.極限不一定存在

D.不一定連續(xù)

正確答案：B

參考解南：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要不充分條件，可微是可導(dǎo)的

充分必要條件.故選B.

修選題】曲線'=4+】的水平漸近線是

7.

A.X=-l

B.x=l

C.y=0

D.y=l

正確答案：D

曲線y=rJ+1的水平漸近線為.y=1.

參考解析：-1

8.【單選題】

函數(shù)？=SinX(7t+y)+y￡(—7T.7T)的最大值為

A.0

B.n

7C

c.2

正確答案：D

參考解析：

由題意得知，函數(shù)》=sinJ"(7T+-^-)+E(—7T.K)的最大值為l+￡.

已知函數(shù)八工)=，?，則/'(0)為

9.【單選題】1>0

A.0

B.1

C.2

D.不存在

正確答案：D

參考解析：

由題意可得./.(0)=lim八"一/⑹=1,/(0)=lim八蟲二簪=0,因?yàn)?0)H

一。+工一°I-工一0

f'-(o),所以f'(0)不存在，故選D.

10.【單選題】

設(shè)二重積分的積分區(qū)域D是14,則2dxdy=

??

A.6n

B.3n

C.30Ji

D.4n

正確答案：A

參考解析：區(qū)域D是由半徑為2和1的兩個(gè)同心圓同成的圓環(huán)，則

J12dxdjy=211dj-dj*=21pdp]dO=22npdp=2XnX3=67r.

力”?、.

ii.【簡單計(jì)算題】試判定y=ln(x+y/x2+1)的奇偶性.

我的回答：

參考解析：

2

因?yàn)閒(_H)=ln[-x+y(-x)+l]=in(y?TT-x)=In("+"々十1二^

2

=In-,1-------=—ln(x-|-/x+1).

+1+工

即有/(-x)=一/(外,所以函數(shù)ln(/+，晚+])為奇函數(shù).

求lim(secx-tanjr).

12.【簡單計(jì)算題】：吟

我的回答：

參考解析：解:

原式=.匕皿=.ZLSOsx=0

?cosxx-sinx

r—?2*2—?

計(jì)算lim(l+義”(常數(shù)k豐0).

13.【簡單計(jì)算題】--7

我的回答：

公以在…令/=2,Z=鄉(xiāng)，則當(dāng)/f8時(shí)ff0,

參考解析：JI

于是有l(wèi)im(1+—Y=lim[(l+—)f3*=lim[(l+，)+了=[lim(1+力十了=e*.

■T~?8X-8X，f0

求y=—的導(dǎo)數(shù).

14.【簡單計(jì)算題】1—工N(3T1)-

我的回答：

參考解析：

方程兩邊取對數(shù)/n1y=21nx—ln(1—x)+-^-[ln(3—x)—21n(34-x)J.

兩邊對工求導(dǎo)得7y=下一=7+手(——田)=丁—一一！■?垣二百'

,_/2111_9、_「2__1______/-9-Ixz3/""3—x-

，=夏―H—1一9"=[T―才一1-3(1一9)『(3+H尸

15.【簡單計(jì)算題】

設(shè)D是由直線y=z，y=2z及y=2圍成的積分區(qū)域,求二重積分「(/十》2—才)如此

我的回答：

=y

￡(24^~~8)打=(96^)|0=T-

16.【計(jì)算題】求函數(shù)f(x)=x^3x的極值。

我的回答：

參考解析：

函數(shù)的定義域?yàn)?一8,+8).令=3/-3=0得駐點(diǎn)x=±1.

由于/'(-1)=-6<0,/(1)=6>0,所以/(r)的極大值為/(-1)=2.極小值為/(I)=-2,

17.【計(jì)算題】

討論曲線y=(z—l)廳的凹凸性與拐點(diǎn).

我的回答：

8O二

參考解析：'"+(1—1)?-x

〃40I10_J.104x-l

3

y=vx3-TX=§.方

令S=0,得X=T■?而在.r=0處,/不存在.

以點(diǎn)工=0,工=4?把定義域（-8.+，）分成3個(gè)部分,列表討論如下.

4

1(!，+oo)

<—oo,0)0(o,4->

XT4

y+不存在—0+

3

凹0凸凹

y16宿

由表易見，曲線在（-8,0）及（｝.+8）上及內(nèi)為凹曲線,在（0，1）內(nèi)為凸曲線.拐點(diǎn)分別是（0,0）和

（彳.16占'

18.【計(jì)算題】

r161

求函數(shù)/（幻=12/_9f+i2z|在閉區(qū)間［一■「上的最大值與最小值.

我的回答：

參考解析:

函數(shù)/（/）在閉區(qū)間上連續(xù),故存在最大、最小值.由于

-J(2T:-9H+】2).-4&Z&0

4

/(X)=|2x3-9x2+12x|=|x(2x2-9.r+12)|=

x(2x2-9x+12),0<xC4-

乙

2

—6J*+181—12,-----^~&.r40—6(x—1)(1—2)?----

44

因此f（工）=V

rS

6/-18E+12,0VXAT6(x-D(x-2),0<xC—

乂因?yàn)?'（0）=-12,/：（0）=12.所以由導(dǎo)數(shù)極限存在定理推知函數(shù)在R=。處不可導(dǎo),求出函數(shù)/（］）

在極值點(diǎn),r=l,2.不可導(dǎo)點(diǎn)工=。.端點(diǎn)x=-1.f的函數(shù)置

/(I)=5,/(2)=4./(0)=0,/(-Y)==5.

和工=處取得最大值

所以函數(shù)在工=。處取最小值0,在.r=1A5.

*2

t十算Xy/4—JT2dx.

19.【計(jì)算題】0

我的回答:

參考解析:

設(shè)z=2sin?(0V〃V亨),則di=2cos〃d〃.當(dāng)工=0時(shí)，〃=0;當(dāng)i=2時(shí),〃=￡?于是

JX2y/4-X2dxsin22udu=41----

'(2sinw)2?2cosu?2cosuAu=4

JoZ

?f].

=2cos4wd(4w)=2u'---^-sin4〃

04=7V.

20.【計(jì)算題】

設(shè)函數(shù)z=z(3)由方程/+/=2e2確定，求電+點(diǎn).

我的回答：

參考解析：

令F(z,y.z)=e：+e：—2e?,F—eT-.F=—e-T.F.---+ye十).

xzzvy

KCdzzeTdzze?..dz.dz

所以丁=―7-----7，丁--------------?nxJ*7—rv-=z.

jre74-ye7辦jret+ye：-----------?y

21.【綜合題】收音機(jī)每臺售價(jià)90元，成本為60元，廠方為鼓勵銷售商大量采

購，決定凡是訂購量超過100臺以上的，每多訂購1臺，售價(jià)就降低1分，但最

低價(jià)為每臺75元。