2022新高考地區(qū)模擬試題數(shù)列解析

2022新高考地區(qū)模擬試題精選（數(shù)列）解析

1.（2022.河北保定?一模）己知數(shù)列｛%-1｝是遞增的等比數(shù)列，々=5且%+4=26.

⑴求數(shù)列｛叫的通項公式；⑵求數(shù)列卜的,｝的前n項和5,,.

【答案】（1）?！?2”+耳2電=（〃-1）2向+導(dǎo)畀2

【解析】⑴設(shè)數(shù)列也一1｝的公比為9,bn=a,-\,則見=勿+1.由g=5得4=4,由%+4=26得%+々=24,所

以4（q+d）=24,解得q=2或4=-3（舍去），所以久功?々=4x2"“=2".所以數(shù)列｛〃,,｝的通項公式為4=2"+1.

（2）由條件知=",2"+",設(shè)A”=1x2+2x22+3x2，+…+〃*2",貝I」

2A,=lx22+2x23+3x24+...+(n-l)x2"+nx2"+1,將以上兩式相減得

23n+n+ln+,

-An=2+2+2+---+T-nx2'=2(2-\)-nx2"^(｝-n)2-2,所以4=(〃-1)2”"+2.設(shè)

+E/、“口n(\+n\/、…n2n

紇=1+2+3+…+鼠=-^^，貝i」S“=A,+紇=(〃-1)2"”+2+-^^=(〃-1)2向+耳+5+2.

2.(2022?廣東肇慶二模)己知數(shù)列｛4｝滿足4=g,2a?+I=a?+l.

⑴證明：數(shù)歹式%-1｝是等比數(shù)列；⑵求數(shù)列卜必｝的前〃項和7“.

【答案】⑴證明見解析⑵-4+空工

22"

167?,?—11、

【解析】⑴證明：由24M=4+1,得2。向一2=%-1,又4-1=一；，所以4-1H0,故」r=3,故｛見一1｝是

24,T2

以-;為首項，以3為公比的等比數(shù)列；

得?！?1一(￡),所以%=〃-〃1)，設(shè)牌

（2）解：由⑴得為一1的前〃項和為4,則

^=lxl+2x^+-+n^j，①/=1x[3)+2x(』+一葉〃(￡|，②

由①-②，得；R=則

2

2

八一/小，1Y-U.E.-cc/+〃cn+?—4+n+2

9,=2-("+2”5j,^.Tlt=l+2+3+---+n-P?=----P?=--------~^~

3.（2022?湖南岳陽?一模）數(shù)列｛可｝滿足4=1,S向=4。,+3.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛q｝的通項公式.

【答案】（1）證明見解析⑵4=2"T（2〃—1）

【解析】(1)當(dāng)〃=1時，［=析§2=%+%=4q+3,解得：“2=6,當(dāng)丘N2時,由5向=4a“+3可知,Sn=4^+3,

a2a

兩式作差可得：。向即a,,”-為“=2(4,-2a“T)，又4-24=4,所以/-2%_尸0,所以""=2.

所以數(shù)列｛。的-24｝是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.

⑵由⑴知%-24=4X2"T=2"M,兩邊同除以2向，得蔚■-黑=1，又黑=；，所以數(shù)列是首項為g，公

乙乙乙乙[4J

差為1的等差數(shù)列，.?母=；+(〃-1)=與，整理得見=2[2〃-1),故數(shù)列｛%｝的通項公式為。,,=2[2〃-1).

4.(2022?湖南常德?一模)設(shè)各項非負(fù)的數(shù)列｛叫的前〃項和為5,,已知2S“=a3-"("eN*),且%,%，%成等比數(shù)

列.

⑴求｛%｝的通項公式；(2)若2=甯,數(shù)列電｝的前〃項和7；.

〃+2

【答案】⑴a“=〃T⑵1,=4一萬h

【解析】⑴當(dāng)”=1時，2?,=^-1,當(dāng)〃22時，2S,,="；M-〃①，2S,I=d-(〃-l)②.①-②得2a”=確「d-l,

即<,=4+2a“+1=口+，???a.20,a””=/+1,數(shù)列｛a,,｝從第2項起是公差為1的等差數(shù)列.二

??=a2+n-2(n>2),又外,生，生成等比數(shù)列，，嫉=廿5，即(生+爐=生(％+3),解得4=1,二

a“=l+"-2="-l(〃22),?.,2q=a；-1,q=0,適合上式，二數(shù)列｛%｝的通項公式為a“="-l.

⑵”,=言，?,?數(shù)列｛，｝的前"項的和為(=提+,+捻+…+*』+券③，=/+*+攝+?-+今，+金?

③-④得17=l+l+-L+...+_J-----L_1(5)"=2J____".2〃+2,；.T=4-^^

。5討2“2222"i2"~12"~223'2"-22""2"'1'

1---

2

5.(2022?廣東茂名?二模)已知數(shù)列｛q｝的前“項和為黑，且q=2,S；+(a,用-2)S“+l=0(〃eN*).

⑴求證：數(shù)列,不■二|為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前〃項和T”.

l\-lJQ“TJ

【答案】⑴證明見解析⑵7；=(〃-1)2”"+2(neN-)

【解析】⑴由①=2,0+(%“-2)S,+1=0(〃eN*)可得S,產(chǎn)1,由S；+(〃向-2)S“+1=0得

S：+("Sn-2)S“+l=0,所以S,向S“-2S,,+l=0,Bp(S?+1-l)(Sn-l)=S?-l-(S?+1-l),所以丁二一已句，

°n+l1I

717=>,所以數(shù)列[丁二]是公差為1,首項為1的等差數(shù)列.

12〃

⑵由(1)——=l+/z-l=n,得_^=〃.2",所以7>1.2+2-22+3?23+…+小2",

5,T

27；,=l-22+2-23+3-24+--+n-2n+l,兩式相減得-7；=L2+(22+23+…+2")-〃-21=止三L“？"”，所以

1-2

Tn=-2向+2+〃.=("-1)2e+2(〃eN").

1.(2022?江蘇?南京市寧海中學(xué)二模)數(shù)列｛%｝的前〃項和為5,,,4=1,a"+|=2S“+l.

(I)求％,S?;(2)設(shè)￡=鴻一，數(shù)列他｝的前”項和為加證明：:，,(<<.

【答案】(1)??=3"-',S?=—(2)證明見解析.

2;

【詳解】(1)?.?a,川=2S“+l.?.4=2S,I+I(〃*2)①一②得：。,用=34,(〃22)令〃=1時，電=24+1=3=3q滿足上

式??+,=3%(〃>1)數(shù)列｛q｝是?,為首項，3為公比的等比數(shù)列.a?=acq"-'=3~

—3"-1V+l-1>M4.3"T_2f]_1)

⑵證明：由①得：“一，一t電=亍*「丁??也

(3n-l)(3,,+l-l)一3"+,-1)

/.T—h<+/?,+???+/?”=-------1----------!-???+------------：----=-

〃12"31288263〃-13/,+,-1)3

4-30111

又此為遞增數(shù)列斫T—產(chǎn)，

7.（2022?遼寧撫順?一模）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，又對任意的正整數(shù)八〃，都有殳二&=-2,且其=30.

n-m

（1）求數(shù)列｛6,｝的通項公式;

⑵設(shè)b*=2用,求數(shù)列他,｝的前〃項和卻

【答案】⑴-⑵7；=｛次管））

r解析7(。設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,因為紋口=-2,所以4+(〃T)(〃I)d=d=_2,又$5=30,

n-mn-m

5x4

BP56/.+—x(-2)=30,解得q=10所以4=12-2n

(1a.a2a?

(2)由(1)知〃〃=12-2n,令才=6-〃20,得〃W6當(dāng)〃46時，為之。，從而<=2牙+25+…+2號=25+24+---+26-n

12/WL生絲_￡1

66-n6-W>60?22222

=—L~——J=2-2=64-2"=1J'Tn=2+2+---+2+2+...+2

1--

2

=下+24+…+2°+?+…+2”6=63+^^p=61+2"-5,綜上得毒=￡一；二!〃’2

1-261+2"5(n>6)

8.（2022?江蘇南京市、鹽城市?二模）已知數(shù)列｛4｝,當(dāng)"€[21,2?）時，?！?2*,丘N?.記數(shù)列｛4｝的前〃項和為

5?.

⑴求生，?20；（2）求使得s“<2022成立的正整數(shù)”的最大值.

【答案】⑴4=4,"32；⑵51.

【解析】⑴因當(dāng)〃e[2i,2?）時，a?=2k,,而則的=22=4,又,則/=25=32,

所以4=4,a20=32.