第十二章 全等三角形 易錯(cuò)必考60題（9個(gè)考點(diǎn)）專(zhuān)練（解析版）

第十二章全等三角形易錯(cuò)必考60題（9個(gè)考點(diǎn)）專(zhuān)練【精選2023年最新題型訓(xùn)練】易錯(cuò)必考題一、全等圖形1．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）百變魔尺，魅力無(wú)窮，如圖是用24段魔尺（24個(gè)等腰直角三角形，把等腰直角三角形最長(zhǎng)邊看做1）圍成的長(zhǎng)為4寬為3的長(zhǎng)方形．用該魔尺能?chē)霾蝗鹊拈L(zhǎng)方形個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能?chē)霾蝗鹊拈L(zhǎng)方形有3個(gè)．【詳解】解：∵長(zhǎng)為4、寬為3的長(zhǎng)方形，∴周長(zhǎng)為2×（3+4）＝1414＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，∴能?chē)霾蝗鹊拈L(zhǎng)方形有3個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平面圖形的規(guī)律變化，通過(guò)觀察圖形,分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）有下列說(shuō)法，其中正確的有(

)①只有兩個(gè)三角形才能完全重合；②如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同；③兩個(gè)正方形一定是全等圖形；④面積相等的兩個(gè)圖形一定是全等圖形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】要根據(jù)全等形的概念進(jìn)行判定，與之相符合的是正確的，反之，是錯(cuò)誤的，如②是正確的，①③④是錯(cuò)誤的．【詳解】解：①錯(cuò)誤，不是三角形的圖形也能全等；②正確，兩個(gè)圖形全等，它們一定重合，所以它們的形狀和大小一定都相同；③錯(cuò)誤，邊長(zhǎng)不同的正方形不全等；④錯(cuò)誤，面積相等的兩個(gè)圖形邊數(shù)不一定相等，也不一定是全等圖形．所以正確的只有一個(gè).故選A．【點(diǎn)睛】本題考查全等形的概念和特點(diǎn)，做題時(shí)要根據(jù)定義進(jìn)行判斷．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知正方形中陰影部分的面積為3，則正方形的面積為．【答案】6【分析】利用割補(bǔ)法，把陰影部分移動(dòng)到一邊.【詳解】把陰影部分移動(dòng)到正方形的一邊，恰好是正方形的一半，故正方形面積是6.【點(diǎn)睛】割補(bǔ)法，等面積轉(zhuǎn)換,可以簡(jiǎn)便運(yùn)算，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單.4．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）方格紙上有2個(gè)圖形，你能沿著格線把每一個(gè)圖形都分成完全相同的兩個(gè)部分嗎？請(qǐng)畫(huà)出分割線．【答案】見(jiàn)解析【分析】觀察第一個(gè)圖，圖中共有20個(gè)小方格，要分成完全相同兩部分，則每個(gè)有10個(gè)小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個(gè)圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．【詳解】解：如圖所示，第一個(gè)圖，圖中共有20個(gè)小方格，要分成完全相同兩部分，則每個(gè)有10個(gè)小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個(gè)圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．將分割出的兩個(gè)圖形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，再通過(guò)平移，兩部分能夠完全重合，所以分割出的兩部分完全相同．【點(diǎn)睛】本題考查圖形全等，掌握全等圖形的定義是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必考題二、全等三角形的性質(zhì)1．（2023春·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，線段的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)E，與線段交于點(diǎn)F，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的內(nèi)角和定理求得；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到．則結(jié)合已知條件易求的度數(shù)；最后利用的內(nèi)角和是180度和圖形來(lái)求的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)．全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．2．（2021秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，若恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，交于，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等，即，，再得到對(duì)應(yīng)邊，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，的度數(shù)即可．【詳解】∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系．3．（2022秋·山東日照·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，下列結(jié)論：；；；若，則；其中錯(cuò)誤結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等分別進(jìn)行判斷即可；【詳解】解：故正確；即：故錯(cuò)誤，正確；由可知：由可知:故正確；共有個(gè)錯(cuò)誤故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，點(diǎn)A，D，C在一條直線上，點(diǎn)B，E，C在一條直線上，則．

【答案】30【分析】先利用得到，利用得到，，則利用平角的定義可計(jì)算出，，然后利用互余可計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．掌握全等三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，，則=°．【答案】87【分析】根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)角相等”和三角形內(nèi)角和定理先求出的度數(shù)，再根據(jù)“對(duì)頂角相等”和三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù).【詳解】

故答案為：87．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.6．（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，已知，，，．求：(1)的度數(shù)．(2)與的周長(zhǎng)之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，再利用已知條件，得出，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到，，據(jù)此即可求出與的周長(zhǎng)之和．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：，，，，，和的周長(zhǎng)和．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．7．（2023春·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知，，，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)P．

(1)試說(shuō)明：；(2)可以經(jīng)過(guò)某種變換得到，請(qǐng)你描述這個(gè)變換；(3)求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到(3)82°【分析】（1）根據(jù)全等的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，即可得證；（2）點(diǎn)與點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)全等得到由（1）得到，利用三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，．．．（2）∵點(diǎn)與點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，點(diǎn)和點(diǎn)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，∴繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可以得到．（3），∴∵，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角．熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必考題三、添加條件使三角形全等1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）如圖，，添加下列條件中的一個(gè)后，能判定與全等的有（

）①；②；③；④．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理（定理、定理）逐個(gè)判斷即可得．【詳解】解：①在和中，，，則條件①符合題意；②在和中，，，則條件②符合題意；③在和中，，，則條件③符合題意；④在和中，，，則條件④符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在和中，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，，，只添加一個(gè)條件，不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用全等三角形的判定定理，逐一判定即可．【詳解】∵∴，∵，∴添加，不能得出，故A選項(xiàng)符合題意；添加，則，可根據(jù)得出，故B選項(xiàng)不符合題意；添加，可根據(jù)得出，故C選項(xiàng)不符合題意；添加，可根據(jù)得出，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知，在下列條件：①；②；③；④中，只補(bǔ)充一個(gè)就一定可以判斷的條件是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，然后根據(jù)全等三角形的判定方法逐一判斷即可解答．【詳解】解：∵，∴，①∵，∴（），∴①符合題意；②∵，∴（），∴②符合題意；③∵，∴（），∴③符合題意；④∵，不能判斷，∴④不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關(guān)鍵．注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等．判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線，，，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，使，可以補(bǔ)充的條件是（任意填寫(xiě)一個(gè)即可），對(duì)應(yīng)全等的理由是．

【答案】（或或或）（或或或）【分析】在已知條件中有一對(duì)直角相等和一組直角邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法可以補(bǔ)充條件即可．【詳解】∵，，∴可再補(bǔ)充，利用可以判定，也可以補(bǔ)充，利用可以判定；也可補(bǔ)充，利用可以判定；也可補(bǔ)充，利用可以判定；故答案為：（或或或）；（或或或）．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法和是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，、相交于點(diǎn)O，，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得，這個(gè)條件可以是，理由是；這個(gè)條件也可以是，理由是；這個(gè)條件還可以是，理由是．【答案】【分析】條件可以是，可利用判定；條件也可以是，可利用判定；條件還可以是，可利用判定．【詳解】解：添加，在和中，，；添加，在和中，，；添加，在和中，，；故答案為：，；，；，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)校考期中）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，要使，還需要添加一些條件（不添加其他字母及輔助線）．

(1)請(qǐng)結(jié)合圖形補(bǔ)充一個(gè)恰當(dāng)?shù)臈l件：__________，使，并說(shuō)明理由；(2)在（1）的條件下，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)補(bǔ)充：，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）補(bǔ)充：，再利用“”證明即可；（2）先證明，再證明，從而可得答案．【詳解】（1）解：補(bǔ)充：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是添加一個(gè)添加證明三角形全等，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，理解題意，添加合適的條件是解本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，線段與交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、、，已知，．

(1)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件________使，并說(shuō)明理由．(2)在（1）的條件下請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用判定定理，添加即可判斷；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，再結(jié)合等角對(duì)等邊即可判斷．【詳解】（1）解：添加條件：，理由如下：∵，，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等角對(duì)等邊，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必考題四、結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知銳角，如圖，（1）在射線上取點(diǎn)，，分別以點(diǎn)為圓心，，長(zhǎng)為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，；（2）連接，交于點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．若，則 D．點(diǎn)在的平分線上【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，即可推斷結(jié)論A；先證明，再證明即可證明結(jié)論B；連接OP，可證明可證明結(jié)論D；由此可知答案．【詳解】解：由題意可知，，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；在和中，，，在和中，，，，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；連接OP，，，在和中，，，，點(diǎn)在的平分線上，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；若，，則，而根據(jù)題意不能證明，故不能證明，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確以某一半徑畫(huà)弧時(shí)，準(zhǔn)確找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，按圖示痕跡作，得到．則在作圖時(shí)，這兩個(gè)三角形滿(mǎn)足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所給條件直接判定即可.【詳解】解：由題可得：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）故選：D【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定-三邊分別相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此題的關(guān)鍵.3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在直線l上，分別以線段BA的端點(diǎn)為圓心，以BC（小于線段BA）長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交直線l，線段BA于點(diǎn)C，D，E，再以點(diǎn)E為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交前面的弧于點(diǎn)F，畫(huà)射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點(diǎn)H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．【答案】35°/35度【分析】連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：，．可證，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．【詳解】解：連接CD，EF由題目中尺規(guī)作圖可知：，在和中AH平分故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)點(diǎn)為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點(diǎn)為圓心定長(zhǎng)為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）李老師制作了如圖1所示的學(xué)具，用來(lái)探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問(wèn)題．操作學(xué)具時(shí)，點(diǎn)Q在軌道槽AM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運(yùn)動(dòng)，也能在軌道槽QN上運(yùn)動(dòng)．圖2是操作學(xué)具時(shí)，所對(duì)應(yīng)某個(gè)位置的圖形的示意圖．有以下結(jié)論：①當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的②當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的③當(dāng)，時(shí)，可得到形狀唯一確定的其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②③/③②【分析】分別在以上三種情況下以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，觀察弧與直線AM的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)，作出后可得答案．【詳解】如下圖，當(dāng)∠PAQ=30°，PQ=6時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，所以不唯一，所以①錯(cuò)誤．如下圖，當(dāng)∠PAQ=90°，PQ=10時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)位置的Q都符合題意，但是此時(shí)兩個(gè)三角形全等，所以形狀相同，所以唯一，所以②正確．如下圖，當(dāng)∠PAQ=150°，PQ=12時(shí)，以P為圓心，PQ的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，弧與直線AM有兩個(gè)交點(diǎn)，作出，發(fā)現(xiàn)左邊位置的Q不符合題意，所以唯一，所以③正確．綜上：②③正確．故答案為：②③【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形形狀問(wèn)題，為三角形全等來(lái)探索判定方法，也考查三角形的作圖，利用對(duì)稱(chēng)關(guān)系作出另一個(gè)Q是關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我們通過(guò)“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí)，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè)基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等；而滿(mǎn)足條件“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等”的兩個(gè)三角形卻不一定全等．下面請(qǐng)你來(lái)探究“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個(gè)△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等）．(1)動(dòng)手畫(huà)圖：請(qǐng)依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過(guò)程（保留作圖痕跡）：①畫(huà)EF=BC；②在線段EF的上方畫(huà)∠F=∠C；③畫(huà)DE=AB；④順次連接相應(yīng)頂點(diǎn)得所求三角形．(2)觀察：觀察你畫(huà)的圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足條件的三角形有____個(gè)；其中三角形____（填三角形的名稱(chēng)）與△ABC明顯不全等；(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過(guò)程，可得結(jié)論：______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2，；(3)兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作線段，作一個(gè)角等于已知角的步驟作圖即可；（2）根據(jù)所畫(huà)圖形填空即可；（3）根據(jù)探究過(guò)程結(jié)合全等三角形的判定可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）觀察所畫(huà)的圖形，發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足條件的三角形有2個(gè)；其中三角形（填三角形的名稱(chēng)）與△ABC明顯不全等，故答案為：2，；（3）經(jīng)歷以上探究過(guò)程，可得結(jié)論：兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故答案為：兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）小剛自己研究了用直尺、圓規(guī)平分一個(gè)已知角的方法：（1）在OA和OB上分別截?。?）分別以D，E為圓心，以大于DE長(zhǎng)為半徑作弧，在的內(nèi)部?jī)苫〗挥邳c(diǎn)C．（3）作射線OC，則有．你能指出作法中的道理嗎？【答案】見(jiàn)解析【分析】利用畫(huà)法得到OE=OD，CE=CD，加上OC為公共邊，可根據(jù)“SSS”證明△COD≌△COE，據(jù)此可以得∠AOC=∠BOC．【詳解】解：由作法得：OE=OD，CE=CD，而OC為公共邊，即OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠AOC=∠BOC．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖以及全等三角形的判定，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．易錯(cuò)必考題五、全等三角形的有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，．點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)與全等時(shí)，的值是（

）A．2 B．1或 C．2或 D．1或2【答案】B【分析】由題意知當(dāng)與全等，分和兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，與全等，分兩種情況求解：①當(dāng)時(shí)，，即，解得；②當(dāng)時(shí)，，即，解得，，即，解得；綜上所述，的值是1或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，都運(yùn)動(dòng)到各自的終點(diǎn)時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線段，垂足為，.當(dāng)與全等時(shí)，的值不可能是（

）A．2 B．2.8 C．3 D．6【答案】C【分析】分三種情況討論得出關(guān)于t的方程，解方程求得t的值．即當(dāng)P在上，Q在上時(shí)；當(dāng)P在上，Q在上時(shí)；當(dāng)P在上，Q在上時(shí)．【詳解】解：當(dāng)P在上，Q在上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)P，Q，C分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，于點(diǎn)D，∵，∴，∵于E，于F．∴，，∴，∵，∴，∵，∴，解得；

∵點(diǎn)Q速度比點(diǎn)P速度快，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P還在上，∴當(dāng)P在上，Q在上時(shí)，，此時(shí)P、Q重合，∵，，由題意得：，解得；當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，P在上時(shí)，，∵由題意得，，解得．綜上，當(dāng)與全等時(shí)，t的值為2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和分別以每秒和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻，分別過(guò)點(diǎn)和作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）時(shí)，與全等．A．1s B．4s C．1s或4s D．1s或3.5s【答案】D【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，代入得出關(guān)于t的方程，求出即可．【詳解】解：分以下情況：①如圖1，P在上，Q在上，∵，∴，∵，∴，∴，∵與全等，∴，即，；②如圖2，P在上，Q在上，∵由①知：，∴，∴；∵，∴此種情況不符合題意；③當(dāng)P、Q都在上時(shí)，如圖3，，；④當(dāng)Q到A點(diǎn)停止，P在上時(shí)，此時(shí)，則該情況不成立．綜上所述，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1或，與全等，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，以及一元一次方程的應(yīng)用，熟知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知線段米，于點(diǎn)A，米，射線于B，P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走1米，Q點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走3米，P、Q同時(shí)從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點(diǎn)C，使與全等，則x的值為（

）A．8 B．20 C．10 D．10或20【答案】C【分析】分和，兩種情況討論求解．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，則：，∵P點(diǎn)從B點(diǎn)向A運(yùn)動(dòng)，每秒走1米，Q點(diǎn)從B點(diǎn)向D運(yùn)動(dòng)，每秒走3米，∴，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，則：，即：，此時(shí)：米，∵點(diǎn)C在線段MA上，米，∴，故不符合題意；綜上：當(dāng)時(shí)，與全等；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)C在線段上，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D．，且，，點(diǎn)P以的速度沿向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以的速度從點(diǎn)E開(kāi)始，在線段上往返運(yùn)動(dòng)（即沿運(yùn)動(dòng)），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P，Q分別作的垂線，垂足為M，N．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，t的值不可能是（

）A．15 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后分三種情況根據(jù)分別得出關(guān)于t的方程，解方程即得答案．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上時(shí)，如圖，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與全等，∴，∴，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q第一次從點(diǎn)C返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與全等，∴，∴，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q第一次從E點(diǎn)返回時(shí)，∵以P，C，M為頂點(diǎn)的三角形與全等，∴，∴，解得：；綜上所述：t的值為1或或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，正確分類(lèi)、靈活應(yīng)用方程思想、熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)在線段上，且，動(dòng)點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)在線段上．以的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與全等時(shí)，的值為．【答案】或【分析】當(dāng)與全等時(shí)，有兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，分別按照全等三角形的性質(zhì)及行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系求解即可．【詳解】當(dāng)與全等時(shí)，有兩種情況：當(dāng)時(shí)，，，，；動(dòng)點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：，的值為：；當(dāng)時(shí)，，，，，，．故的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，分類(lèi)討論并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，，，為射線，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為x個(gè)單位/秒；若在某時(shí)刻，能與全等，則．

【答案】或【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由題意可知，，，分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)，利用全等三角形的性質(zhì)，分別求出的值，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由題意可知，，，，，①當(dāng)時(shí)，，，，解得：，②當(dāng)時(shí)，，，，解得：，綜上可知，的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論的思想，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，cm，cm，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)為時(shí)，與全等．【答案】2或【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)題意求出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度，然后分兩種情況討論：①當(dāng)，時(shí)；②當(dāng)，時(shí)；利用全等三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)ts，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)ts，①當(dāng)，時(shí)，，，，，，解得：，，，解得：；②當(dāng)，時(shí)，，解得：，解得：；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，，故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，進(jìn)行分類(lèi)討論，列出方程是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒時(shí)，能夠使與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．【答案】或【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則，，∵，∴①當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，解得，∴，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒；②當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，，解得，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒；綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒或厘米/秒時(shí)，能夠使與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．10．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，垂足為點(diǎn)A，厘米，厘米，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以1厘米/秒的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持，當(dāng)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)A后，運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，與全等．【答案】4秒或12秒或16秒【分析】分兩種情況：①當(dāng)E在線段AB上時(shí)，②當(dāng)E在BN上，再分別分成兩種情況，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)E在線段AB上，時(shí)，，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒；②當(dāng)E在BN上，時(shí)，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒；③當(dāng)E在線段AB上，時(shí)，，這時(shí)E在A點(diǎn)未動(dòng)，因此時(shí)間為0秒；④當(dāng)E在BN上，時(shí)，，，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．故答案為：4秒或12秒或16秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論的思想分析三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．（2022秋·山西陽(yáng)泉·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，線段，于點(diǎn)，，射線于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，每秒走，點(diǎn)從點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)，每秒走．若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)出發(fā)秒后，在線段上有一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與全等，求的值．

【答案】5秒【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)≌時(shí)與當(dāng)≌時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可確定出時(shí)間．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所用時(shí)間為10秒，，與點(diǎn)C在線段上矛盾，不合題意，舍去；綜上，出發(fā)5秒后，在線段上有一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與全等．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．12．（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，，，D為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P在線段上以的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)用含t的代數(shù)式表示線段，；(2)若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少秒鐘后與是否全等？求出此時(shí)t的值及Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度；(3)若點(diǎn)Q以（2）中的速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都是沿△ABC的三邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？【答案】(1)，(2)出發(fā)或者后與全等，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為，(3)經(jīng)過(guò)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的邊上相遇【分析】（1）根據(jù)題意直接列式即可作答；（2）現(xiàn)求出，根據(jù)（1）可知：，，在分當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)、當(dāng)或者時(shí)、當(dāng)或者時(shí)幾種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作答：（3）先確定Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，設(shè)經(jīng)過(guò)后，P、Q兩點(diǎn)相遇，列出一元一次方程，解方程即可求出所需的時(shí)間，再計(jì)算出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：，即可最終確定相遇時(shí)，P點(diǎn)位置，問(wèn)題隨之得解．【詳解】（1）∵點(diǎn)P在線段上以運(yùn)動(dòng)，∴，∵，∴，故答案為：，；（2）∵，D為的中點(diǎn)，∴，根據(jù)（1）可知：，，當(dāng)時(shí)，則有，，∴，，∴，∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，即出發(fā)后，與全等，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為；當(dāng)時(shí)，則有，，∴，，∴，∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，即出發(fā)后，與全等，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為；當(dāng)或者時(shí)，同理可求出：出發(fā)后，與全等，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為；當(dāng)或者時(shí)，同理可求出：出發(fā)后，與全等，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為；綜上：出發(fā)或者后與全等，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為，；（3）當(dāng)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度分別為,P、Q兩點(diǎn)的速度相同，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)時(shí)，不可能相遇，當(dāng)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)后，P、Q兩點(diǎn)相遇，剛出發(fā)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)初始相距，根據(jù)題意可得：，解得：，∴經(jīng)過(guò)相遇時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：，∵在中，，，∴的周長(zhǎng)為：，即，∵，∴，即此時(shí)P點(diǎn)在上，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的邊上，∴經(jīng)過(guò)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的邊上相遇．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)幾何問(wèn)題等知識(shí)，掌握全等三角形的性質(zhì)和分類(lèi)討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以秒的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒：(1)

．（用的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)為何值時(shí)，？(3)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以秒的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，是否存在這樣的值，使得全等？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)2t(2)(3)存在，2或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可得的長(zhǎng)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出即可；（3）此題主要分兩種情況①得到，②得到，然后分別計(jì)算出的值，進(jìn)而得到的值．【詳解】（1）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以秒的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒：∴,故答案案為：；（2）當(dāng)時(shí)，．理由：∵，∵，∴，∴，∴，（3）①當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，∴，，解得：，，，解得：；

②當(dāng)P時(shí)，∴∵，∴，，解得：，

，，解得：

綜上所述：當(dāng)或時(shí)，與全等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是全等三角形性質(zhì)的掌握．14．（2023春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以3cm/s的速度連續(xù)做往返運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以2cm/s的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，與交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）．(1)分別寫(xiě)出當(dāng)和時(shí)線段的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)時(shí)，求的值．(3)若，求所有滿(mǎn)足條件的值．【答案】(1)時(shí)，，時(shí)，(2)(3)【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)的速度和圖形解答即可；(2)根據(jù)題意列出方程，解方程即可；(3)分兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．（2）解：由題意知：，當(dāng)時(shí)，，，(舍去)．當(dāng)時(shí)，，，．（3）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，．當(dāng)時(shí)，，，(舍去）．∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是列代數(shù)式和全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意求出代數(shù)式、掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必考題六、利用全等三角形求角度1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在上，與相交于點(diǎn)，，，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件證明，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，，，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問(wèn)題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，中，，，垂足為D，平分交于E，點(diǎn)F是C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)是（）

A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】C【分析】由平分，得到又，，推出，得到，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∵F是C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由全等三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求出∠EFC的度數(shù)．3．（2023春·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)D在上，連接，，若，，，則的度數(shù)為°．

【答案】40【分析】先證明，可得，再利用三角形的外角和的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，而，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·上海浦東新·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知，，，．

(1)與是否全等？說(shuō)明理由；(2)如果，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形內(nèi)角和定理得，然后由平行線的性質(zhì)得，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）與全等，理由如下：∵，∴，即，在與中，，∴；（2）由()可知，，∴，∴，∵，∴，∴，即的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知．(1)尺規(guī)作圖：在線段的下方，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，作（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，請(qǐng)說(shuō)明；(3)若，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）用尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角即可；（2）先找到角相等，最后通過(guò)判定方法證明平行即可；（3）根據(jù)角平分定義得出角相等，再利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求解即可．【詳解】（1）解：作，如圖，以B為圓心，任意半徑畫(huà)弧交于N，交于M，以D為圓心畫(huà)弧，交于G，以G為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與以D為圓心畫(huà)的弧交于H，連接并延長(zhǎng)，與的交點(diǎn)為F．即為所求．

（2）證明：（已知），（兩直線平行，同位角相等），又（已知），（等量代換），（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）（3）解：，（已知），（兩直線平行，同位角相等），平分（已知），∴（角平分線的定義），（已知）∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及其應(yīng)用．易錯(cuò)必考題七、利用全等三角形求長(zhǎng)度1．（2023秋·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D，A，E三點(diǎn)在一條直線上，并且有，若，，，則的長(zhǎng)為（

）

A．8.5 B．12 C．13.5 D．17【答案】D【分析】利用余角的性質(zhì)可得，然后利用證明，再利用全等的性質(zhì)求出，，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，又，，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用三角形全等，求出，．2．（2023春·甘肅隴南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，垂足分別是點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角的余角相等得，再利用證明，得，從而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川雅安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分，，于點(diǎn)E，，，則的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)C作交延長(zhǎng)線與F，先根據(jù)角平分線的定義和全等三角形的判定與性質(zhì)，證明和得到，，進(jìn)而可求解．【詳解】解：過(guò)C作交延長(zhǎng)線與F，

∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023秋·陜西榆林·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，為中點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的值是．

【答案】5【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由證明，得到，最后由即可得到答案．【詳解】解：，，為中點(diǎn)，，在和中，，，，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，為的中線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，且，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，，得出，再由為的中線及，根據(jù)的面積列出關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)為的中線，，又，在和中，即，，為的中線，又解得：故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等底同高三角形的面積關(guān)系及直角三角形的面積公式，屬于中檔題．6．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校考期末）“一線三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，“一線三等角”指的是圖形中出現(xiàn)同一條直線上有3個(gè)相等的角的情況，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”模型的出現(xiàn)，還經(jīng)常會(huì)伴隨著出現(xiàn)全等三角形．根據(jù)對(duì)材料的理解解決以下問(wèn)題：(1)如圖，，．①求證：；②猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，在中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，，四邊形的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②，見(jiàn)解析(2)【分析】（1）①根據(jù)已知可求得，，得到，證明；②由（1）可知，得到，從而得出；（2）首先證明，得到，，結(jié)合已知可得到，根據(jù)的周長(zhǎng)為得到，得到，即可得出最后結(jié)果．【詳解】（1）解：①，，，，在與中，，；②猜想：，理由：由（1）得：，，，；（2），且，，在和中，，，，，四邊形的周長(zhǎng)為，，，又的周長(zhǎng)為，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形．易錯(cuò)必考題八、全等三角形中的最值問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在中，，平分，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，為

邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說(shuō)明，找出當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、E在同一直線上，且時(shí)，最小，即最小，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，交于點(diǎn)P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時(shí)點(diǎn)P的位置．2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點(diǎn)E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點(diǎn)F．點(diǎn)P是線段CF上一動(dòng)點(diǎn)，則EP＋AP的最小值為（）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】連接，由得，，根據(jù)知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的最小值是，問(wèn)題得解．【詳解】解：連接，平分交于點(diǎn)，，，，，且，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，的最小值是，，的最小值為7．故選：

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，其中準(zhǔn)確作出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·重慶開(kāi)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．

【答案】4【分析】以角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)型全等模型，根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】解：在上取一點(diǎn)，使得，如圖所示：

故當(dāng)時(shí)，有最小值，如圖所示：

故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)條件得出是解題關(guān)鍵．易錯(cuò)必考題九、全等三角形的綜合問(wèn)題1．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，已知是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)的一條直線，分別是直線上兩點(diǎn)，且．下面可能得不到的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，等量代換得到角度相等，再根據(jù)三角形形全等的判定方法逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴，∵，，，∴，故A不符合題意；B、∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，故B不符合題意；C、∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，故C不符合題意；D、，，，不能判定三角形全等，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法：，注意不能判定全等．2．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，梯形中，，E是的中點(diǎn)，平分，以下說(shuō)法：①；②；③；④，其中正確的是（

）．A．①②④ B．③④ C．①②③ D．②④【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，證明，得到，，，再證明，得到，由此判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及，得到，由此判斷④正確；題中無(wú)條件證明，故①錯(cuò)誤．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，則，∵E是BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，即，∴，故②正確；∵，，∴，即，故④正確；題中無(wú)條件證明，故①錯(cuò)誤；正確的有②④故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知中，，以為邊作，使，E是邊上一點(diǎn)，連接，，連接．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖，延長(zhǎng)至G，使，從而構(gòu)造條件，得到，通過(guò)全等或線段的等量代換運(yùn)算對(duì)結(jié)論進(jìn)行判別，從而得到答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至G，使，設(shè)與交于點(diǎn)M，，，垂直平分，，，,即，，，，在和中，，，，故結(jié)論①正確；，，，平分,故結(jié)論③正確；，在和中，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則無(wú)法說(shuō)明與垂直，故結(jié)論②錯(cuò)誤；，，，，故結(jié)論④正確．綜上所述，其中正確的有①③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)二倍角這一條件，構(gòu)造兩倍的是本題的突破口．4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)?？计谀﹥山M鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形是一個(gè)箏形，其中，，在探究箏形的性質(zhì)時(shí)，得到如下結(jié)論：；；四邊形的面積．其中正確的結(jié)論有．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形依據(jù)“”可判定，對(duì)此可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷．由的結(jié)論可得出，進(jìn)而可依據(jù)“”判定，由此得，然后根據(jù)平角的定義可得出，據(jù)此可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷．由可知，再根據(jù)三角形的面積公式，，然后由，可對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：在和中，，，結(jié)論正確；由可知：，，在和中，，，，，，，結(jié)論正確；由可知：，，，又，．結(jié)論正確．綜上所述：結(jié)論正確．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．5．（2023秋·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于．（1）的度數(shù)為．（2）若，則線段的長(zhǎng)為．

【答案】/120度8【分析】（1）利用，角平分線的定義，即可得出答案；（2）由題中條件可得，進(jìn)而得出，通過(guò)角之間的轉(zhuǎn)化可得出，進(jìn)而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，分別平分，，；故答案為：；（2）如圖，在上截取，連接．

平分，在和中，，，，，，在和中，，，，．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)在上截取，得出是解題關(guān)鍵．6．（2021秋·江蘇南京·八年級(jí)南京鐘英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在C中，，，，平分交斜邊于點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿折線向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．(1)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)______時(shí)，與的面積相等；（直接寫(xiě)出答案）(2)點(diǎn)P在折線上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若是等腰三角形，求的度數(shù)；(3)若點(diǎn)E是斜邊的中點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段所在直線上存在另一動(dòng)點(diǎn)M，使兩線段、的長(zhǎng)度之和，即的值最小，則此時(shí)______．（直接寫(xiě)出答案）【答案】(1)當(dāng)時(shí)，與的面積相等(2)45°或90°或67.5°或37.5°(3)5【分析】（1）根據(jù)題意可知當(dāng)CP=6時(shí)，證△PCD≌△BCD（SAS），即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意由（1）得：∠PCD=45°，分兩種情況：①點(diǎn)P在AC上，若PC=PD，則∠PDC=∠PCD=45°，則∠CPD=90°；若DP=DC時(shí)，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，則∠CPD=∠CDP=67.5°；②點(diǎn)P在AD上時(shí)，存在DP=DC，則∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形內(nèi)角和定理得∠CPD=37.5°即可；（3）由題意可知當(dāng)M在CD上，且MP⊥AC時(shí)，MP最小，作MP'⊥BC于P'，則MP'∥AC，證△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，當(dāng)點(diǎn)E、M、P'三點(diǎn)共線時(shí)，MP+ME的值最小，則EP'∥AC，由平行線的性質(zhì)得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性質(zhì)