第十二章 全等三角形 易錯必考60題（9個考點）專練（解析版）

第十二章全等三角形易錯必考60題（9個考點）專練【精選2023年最新題型訓練】易錯必考題一、全等圖形1．（2023秋·全國·八年級專題練習）百變魔尺，魅力無窮，如圖是用24段魔尺（24個等腰直角三角形，把等腰直角三角形最長邊看做1）圍成的長為4寬為3的長方形．用該魔尺能圍出不全等的長方形個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能圍出不全等的長方形有3個．【詳解】解：∵長為4、寬為3的長方形，∴周長為2×（3+4）＝1414＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，∴能圍出不全等的長方形有3個，故選：A．【點睛】此題考查了平面圖形的規(guī)律變化，通過觀察圖形,分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·七年級課時練習）有下列說法，其中正確的有(

)①只有兩個三角形才能完全重合；②如果兩個圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同；③兩個正方形一定是全等圖形；④面積相等的兩個圖形一定是全等圖形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】要根據(jù)全等形的概念進行判定，與之相符合的是正確的，反之，是錯誤的，如②是正確的，①③④是錯誤的．【詳解】解：①錯誤，不是三角形的圖形也能全等；②正確，兩個圖形全等，它們一定重合，所以它們的形狀和大小一定都相同；③錯誤，邊長不同的正方形不全等；④錯誤，面積相等的兩個圖形邊數(shù)不一定相等，也不一定是全等圖形．所以正確的只有一個.故選A．【點睛】本題考查全等形的概念和特點，做題時要根據(jù)定義進行判斷．3．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，已知正方形中陰影部分的面積為3，則正方形的面積為．【答案】6【分析】利用割補法，把陰影部分移動到一邊.【詳解】把陰影部分移動到正方形的一邊，恰好是正方形的一半，故正方形面積是6.【點睛】割補法，等面積轉(zhuǎn)換,可以簡便運算，化復(fù)雜為簡單.4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）方格紙上有2個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全相同的兩個部分嗎？請畫出分割線．【答案】見解析【分析】觀察第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．【詳解】解：如圖所示，第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格，則可按如圖所示，沿A→B→C→D分割；第二個圖同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．將分割出的兩個圖形，逆時針旋轉(zhuǎn)90度，再通過平移，兩部分能夠完全重合，所以分割出的兩部分完全相同．【點睛】本題考查圖形全等，掌握全等圖形的定義是解題的關(guān)鍵．易錯必考題二、全等三角形的性質(zhì)1．（2023春·重慶渝中·七年級重慶巴蜀中學?？计谥校┤鐖D，，線段的延長線過點E，與線段交于點F，，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的內(nèi)角和定理求得；然后由全等三角形的對應(yīng)角相等得到．則結(jié)合已知條件易求的度數(shù)；最后利用的內(nèi)角和是180度和圖形來求的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)．全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．2．（2021秋·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，，若恰好經(jīng)過點，交于，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，即，，再得到對應(yīng)邊，再根據(jù)等邊對等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，的度數(shù)即可．【詳解】∵，∴，，，∴，∴，∴，∴，故選：．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系．3．（2022秋·山東日照·八年級校考階段練習）如圖，點在上，下列結(jié)論：；；；若，則；其中錯誤結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等分別進行判斷即可；【詳解】解：故正確；即：故錯誤，正確；由可知：由可知:故正確；共有個錯誤故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，，點A，D，C在一條直線上，點B，E，C在一條直線上，則．

【答案】30【分析】先利用得到，利用得到，，則利用平角的定義可計算出，，然后利用互余可計算出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴．故答案為：30．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等．掌握全等三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，，

的延長線交于點F，，則=°．【答案】87【分析】根據(jù)“全等三角形對應(yīng)角相等”和三角形內(nèi)角和定理先求出的度數(shù)，再根據(jù)“對頂角相等”和三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù).【詳解】

故答案為：87．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.6．（2022秋·安徽滁州·八年級?？茧A段練習）如圖，，點在邊上，與相交于點，已知，，，．求：(1)的度數(shù)．(2)與的周長之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到，進而得到，再利用已知條件，得出，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到，，據(jù)此即可求出與的周長之和．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：，，，，，和的周長和．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．7．（2023春·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，已知，，，交于點M，交于點P．

(1)試說明：；(2)可以經(jīng)過某種變換得到，請你描述這個變換；(3)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)繞點順時針旋轉(zhuǎn)可以得到(3)82°【分析】（1）根據(jù)全等的性質(zhì)，得到，進而得到，即可得證；（2）點與點為對應(yīng)點，，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)全等得到由（1）得到，利用三角形的外角的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】（1）解：，．．．（2）∵點與點為對應(yīng)點，，點和點為對應(yīng)點，，∴繞點順時針旋轉(zhuǎn)可以得到．（3），∴∵，．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角．熟練掌握全等三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．易錯必考題三、添加條件使三角形全等1．（2023春·吉林長春·七年級校考期末）如圖，，添加下列條件中的一個后，能判定與全等的有（

）①；②；③；④．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理（定理、定理）逐個判斷即可得．【詳解】解：①在和中，，，則條件①符合題意；②在和中，，，則條件②符合題意；③在和中，，，則條件③符合題意；④在和中，，，則條件④符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在和中，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，，，只添加一個條件，不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】運用全等三角形的判定定理，逐一判定即可．【詳解】∵∴，∵，∴添加，不能得出，故A選項符合題意；添加，則，可根據(jù)得出，故B選項不符合題意；添加，可根據(jù)得出，故C選項不符合題意；添加，可根據(jù)得出，故D選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知，在下列條件：①；②；③；④中，只補充一個就一定可以判斷的條件是（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】根據(jù)等角的補角相等可得，然后根據(jù)全等三角形的判定方法逐一判斷即可解答．【詳解】解：∵，∴，①∵，∴（），∴①符合題意；②∵，∴（），∴②符合題意；③∵，∴（），∴③符合題意；④∵，不能判斷，∴④不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解題的關(guān)鍵．注意：、不能判定兩個三角形全等．判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時，角必須是兩邊的夾角．4．（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谥校┤鐖D，點B、E、C、F在同一條直線，，，請補充一個條件，使，可以補充的條件是（任意填寫一個即可），對應(yīng)全等的理由是．

【答案】（或或或）（或或或）【分析】在已知條件中有一對直角相等和一組直角邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法可以補充條件即可．【詳解】∵，，∴可再補充，利用可以判定，也可以補充，利用可以判定；也可補充，利用可以判定；也可補充，利用可以判定；故答案為：（或或或）；（或或或）．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法和是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，、相交于點O，，請你再補充一個條件，使得，這個條件可以是，理由是；這個條件也可以是，理由是；這個條件還可以是，理由是．【答案】【分析】條件可以是，可利用判定；條件也可以是，可利用判定；條件還可以是，可利用判定．【詳解】解：添加，在和中，，；添加，在和中，，；添加，在和中，，；故答案為：，；，；，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，點，，，在同一條直線上，，，要使，還需要添加一些條件（不添加其他字母及輔助線）．

(1)請結(jié)合圖形補充一個恰當?shù)臈l件：__________，使，并說明理由；(2)在（1）的條件下，若，，，求的長．【答案】(1)補充：，證明見解析(2)【分析】（1）補充：，再利用“”證明即可；（2）先證明，再證明，從而可得答案．【詳解】（1）解：補充：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查的是添加一個添加證明三角形全等，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，理解題意，添加合適的條件是解本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，線段與交于點，點為上一點，連接、、，已知，．

(1)請?zhí)砑右粋€條件________使，并說明理由．(2)在（1）的條件下請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析；(2)，理由見解析．【分析】（1）利用判定定理，添加即可判斷；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，再結(jié)合等角對等邊即可判斷．【詳解】（1）解：添加條件：，理由如下：∵，，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等角對等邊，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．易錯必考題四、結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題1．（2023·全國·八年級專題練習）已知銳角，如圖，（1）在射線上取點，，分別以點為圓心，，長為半徑作弧，交射線于點，；（2）連接，交于點．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．若，則 D．點在的平分線上【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，即可推斷結(jié)論A；先證明，再證明即可證明結(jié)論B；連接OP，可證明可證明結(jié)論D；由此可知答案．【詳解】解：由題意可知，，，故選項A正確，不符合題意；在和中，，，在和中，，，，故選項B正確，不符合題意；連接OP，，，在和中，，，，點在的平分線上，故選項D正確，不符合題意；若，，則，而根據(jù)題意不能證明，故不能證明，故選項C錯誤，符合題意；故選：C．【點睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確以某一半徑畫弧時，準確找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）已知，按圖示痕跡作，得到．則在作圖時，這兩個三角形滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所給條件直接判定即可.【詳解】解：由題可得：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）故選：D【點睛】此題考查三角形全等的判定-三邊分別相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此題的關(guān)鍵.3．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，點B在直線l上，分別以線段BA的端點為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點C，D，E，再以點E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．【答案】35°/35度【分析】連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：，．可證，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．【詳解】解：連接CD，EF由題目中尺規(guī)作圖可知：，在和中AH平分故答案為：．【點睛】本題主要考查知識點為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點為圓心定長為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023秋·八年級單元測試）李老師制作了如圖1所示的學具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學具時，點Q在軌道槽AM上運動，點P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運動，也能在軌道槽QN上運動．圖2是操作學具時，所對應(yīng)某個位置的圖形的示意圖．有以下結(jié)論：①當，時，可得到形狀唯一確定的②當，時，可得到形狀唯一確定的③當，時，可得到形狀唯一確定的其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③/③②【分析】分別在以上三種情況下以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，觀察弧與直線AM的交點即為Q點，作出后可得答案．【詳解】如下圖，當∠PAQ=30°，PQ=6時，以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個交點，作出，發(fā)現(xiàn)兩個位置的Q都符合題意，所以不唯一，所以①錯誤．如下圖，當∠PAQ=90°，PQ=10時，以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個交點，作出，發(fā)現(xiàn)兩個位置的Q都符合題意，但是此時兩個三角形全等，所以形狀相同，所以唯一，所以②正確．如下圖，當∠PAQ=150°，PQ=12時，以P為圓心，PQ的長度為半徑畫弧，弧與直線AM有兩個交點，作出，發(fā)現(xiàn)左邊位置的Q不符合題意，所以唯一，所以③正確．綜上：②③正確．故答案為：②③【點睛】本題考查的是三角形形狀問題，為三角形全等來探索判定方法，也考查三角形的作圖，利用對稱關(guān)系作出另一個Q是關(guān)鍵．5．（2023·全國·八年級專題練習）我們通過“三角形全等的判定”的學習，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”是一個基本事實，用它可以判定兩個三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對的角分別相等”的兩個三角形卻不一定全等．下面請你來探究“兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對的角分別相等）．(1)動手畫圖：請依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：①畫EF=BC；②在線段EF的上方畫∠F=∠C；③畫DE=AB；④順次連接相應(yīng)頂點得所求三角形．(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．【答案】(1)見解析(2)2，；(3)兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作線段，作一個角等于已知角的步驟作圖即可；（2）根據(jù)所畫圖形填空即可；（3）根據(jù)探究過程結(jié)合全等三角形的判定可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）觀察所畫的圖形，發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有2個；其中三角形（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等，故答案為：2，；（3）經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等，故答案為：兩邊和其中一邊所對的角分別相等的兩個三角形不一定全等．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·全國·七年級專題練習）小剛自己研究了用直尺、圓規(guī)平分一個已知角的方法：（1）在OA和OB上分別截?。?）分別以D，E為圓心，以大于DE長為半徑作弧，在的內(nèi)部兩弧交于點C．（3）作射線OC，則有．你能指出作法中的道理嗎？【答案】見解析【分析】利用畫法得到OE=OD，CE=CD，加上OC為公共邊，可根據(jù)“SSS”證明△COD≌△COE，據(jù)此可以得∠AOC=∠BOC．【詳解】解：由作法得：OE=OD，CE=CD，而OC為公共邊，即OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），∴∠AOC=∠BOC．【點睛】本題考查了基本作圖以及全等三角形的判定，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．易錯必考題五、全等三角形的有關(guān)動點問題1．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時，點在線段上以的速度由點向點運動，它們運動的時間為．當與全等時，的值是（

）A．2 B．1或 C．2或 D．1或2【答案】B【分析】由題意知當與全等，分和兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，與全等，分兩種情況求解：①當時，，即，解得；②當時，，即，解得，，即，解得；綜上所述，的值是1或，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．2．（2023秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線向終點運動，同時點從點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿折線向終點運動，點，都運動到各自的終點時停止.設(shè)運動時間為（秒），直線經(jīng)過點，且，過點，分別作直線的垂線段，垂足為，.當與全等時，的值不可能是（

）A．2 B．2.8 C．3 D．6【答案】C【分析】分三種情況討論得出關(guān)于t的方程，解方程求得t的值．即當P在上，Q在上時；當P在上，Q在上時；當P在上，Q在上時．【詳解】解：當P在上，Q在上時，如圖，過點P，Q，C分別作于點E，于點F，于點D，∵，∴，∵于E，于F．∴，，∴，∵，∴，∵，∴，解得；

∵點Q速度比點P速度快，當點Q運動到C點時，點P還在上，∴當P在上，Q在上時，，此時P、Q重合，∵，，由題意得：，解得；當點Q運動到點A，P在上時，，∵由題意得，，解得．綜上，當與全等時，t的值為2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，沿路徑向終點運動；點從點出發(fā)，沿路徑向終點運動．點和分別以每秒和的運動速度同時開始運動．其中一點到達終點時另一點也停止運動，在某時刻，分別過點和作于點，于點，則點運動時間為（

）時，與全等．A．1s B．4s C．1s或4s D．1s或3.5s【答案】D【分析】根據(jù)題意分為五種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，代入得出關(guān)于t的方程，求出即可．【詳解】解：分以下情況：①如圖1，P在上，Q在上，∵，∴，∵，∴，∴，∵與全等，∴，即，；②如圖2，P在上，Q在上，∵由①知：，∴，∴；∵，∴此種情況不符合題意；③當P、Q都在上時，如圖3，，；④當Q到A點停止，P在上時，此時，則該情況不成立．綜上所述，點運動時間為1或，與全等，故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，以及一元一次方程的應(yīng)用，熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·廣東茂名·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知線段米，于點A，米，射線于B，P點從B點向A運動，每秒走1米，Q點從B點向D運動，每秒走3米，P、Q同時從B出發(fā)，則出發(fā)x秒后，在線段MA上有一點C，使與全等，則x的值為（

）A．8 B．20 C．10 D．10或20【答案】C【分析】分和，兩種情況討論求解．【詳解】解：①當時，則：，∵P點從B點向A運動，每秒走1米，Q點從B點向D運動，每秒走3米，∴，∴，解得：；②當時，則：，即：，此時：米，∵點C在線段MA上，米，∴，故不符合題意；綜上：當時，與全等；故選C．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等，是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點C在線段上，于點B，于點D．，且，，點P以的速度沿向終點E運動，同時點Q以的速度從點E開始，在線段上往返運動（即沿運動），當點P到達終點時，點P，Q同時停止運動．過點P，Q分別作的垂線，垂足為M，N．設(shè)運動時間為，當以P，C，M為頂點的三角形與全等時，t的值不可能是（

）A．15 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后分三種情況根據(jù)分別得出關(guān)于t的方程，解方程即得答案．【詳解】解：當點P在上，點Q在上時，如圖，∵以P，C，M為頂點的三角形與全等，∴，∴，解得：；當點P在上，點Q第一次從點C返回時，∵以P，C，M為頂點的三角形與全等，∴，∴，解得：；當點P在上，點Q第一次從E點返回時，∵以P，C，M為頂點的三角形與全等，∴，∴，解得：；綜上所述：t的值為1或或．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，正確分類、靈活應(yīng)用方程思想、熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在長方形中，，點在線段上，且，動點在線段上，從點出發(fā)以的速度向點運動，同時點在線段上．以的速度由點向點運動，當與全等時，的值為．【答案】或【分析】當與全等時，有兩種情況：當時，當時，，分別按照全等三角形的性質(zhì)及行程問題的基本數(shù)量關(guān)系求解即可．【詳解】當與全等時，有兩種情況：當時，，，，；動點在線段上，從點出發(fā)以的速度向點運動，點和點的運動時間為：，的值為：；當時，，，，，，．故的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，分類討論并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，，，為射線，，點P從點B出發(fā)沿向點C運動，速度為1個單位/秒，點Q從點C出發(fā)沿射線運動，速度為x個單位/秒；若在某時刻，能與全等，則．

【答案】或【分析】設(shè)運動時間為秒，由題意可知，，，分兩種情況討論：①當時；②當時，利用全等三角形的性質(zhì)，分別求出的值，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)運動時間為秒，由題意可知，，，，，①當時，，，，解得：，②當時，，，，解得：，綜上可知，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·湖南益陽·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在矩形中，cm，cm，點從點B出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以cm/s的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為時，與全等．【答案】2或【分析】設(shè)運動時間為t，根據(jù)題意求出對應(yīng)線段的長度，然后分兩種情況討論：①當，時；②當，時；利用全等三角形的性質(zhì)列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)點Q從點C出發(fā)ts，同時點P從點B出發(fā)ts，①當，時，，，，，，解得：，，，解得：；②當，時，，解得：，解得：；綜上所述，當或時，，故答案為：2或．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，進行分類討論，列出方程是解題關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點E為線段的中點．如果點P在線段上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等．【答案】或【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到點Q的運動速度．【詳解】解：設(shè)點P運動的時間為t秒，則，，∵，∴①當，時，，此時，解得，∴，此時，點Q的運動速度為厘米/秒；②當，時，，此時，，解得，∴點Q的運動速度為厘米/秒；綜上所述，點Q的運動速度為3厘米/秒或厘米/秒時，能夠使與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等．故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等．10．（2022秋·福建泉州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，垂足為點A，厘米，厘米，射線BM⊥AB，垂足為點B，一動點E從A點出發(fā)以1厘米/秒的速度沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持，當點E離開點A后，運動秒時，與全等．【答案】4秒或12秒或16秒【分析】分兩種情況：①當E在線段AB上時，②當E在BN上，再分別分成兩種情況，進行計算即可．【詳解】解：①當E在線段AB上，時，，∵，∴，∴，∴點E的運動時間為秒；②當E在BN上，時，∵，∴，∴，∴點E的運動時間為秒；③當E在線段AB上，時，，這時E在A點未動，因此時間為0秒；④當E在BN上，時，，，點E的運動時間為秒．故答案為：4秒或12秒或16秒．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想分析三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．11．（2022秋·山西陽泉·八年級校聯(lián)考期中）如圖，線段，于點，，射線于點，點從點向點運動，每秒走，點從點沿方向運動，每秒走．若點，同時從點出發(fā)，當出發(fā)秒后，在線段上有一點，使以點，，為頂點的三角形與全等，求的值．

【答案】5秒【分析】分兩種情況考慮：當≌時與當≌時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可確定出時間．【詳解】解：當時，，即，解得：；當時，，此時所用時間為10秒，，與點C在線段上矛盾，不合題意，舍去；綜上，出發(fā)5秒后，在線段上有一點，使以點，，為頂點的三角形與全等．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．12．（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，，，D為的中點，設(shè)點P在線段上以的速度由B點向C點運動，點Q在線段上由C點向A點運動，運動時間為．(1)用含t的代數(shù)式表示線段，；(2)若點P，Q同時出發(fā)，經(jīng)過多少秒鐘后與是否全等？求出此時t的值及Q點的運動速度；(3)若點Q以（2）中的速度從點C出發(fā)，點P以原來的速度從點B同時出發(fā)，都是沿△ABC的三邊逆時針運動，經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？【答案】(1)，(2)出發(fā)或者后與全等，Q點的運動速度分別為，(3)經(jīng)過，點P與點Q第一次在的邊上相遇【分析】（1）根據(jù)題意直接列式即可作答；（2）現(xiàn)求出，根據(jù)（1）可知：，，在分當時、當時、當或者時、當或者時幾種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作答：（3）先確定Q點的運動速度，設(shè)經(jīng)過后，P、Q兩點相遇，列出一元一次方程，解方程即可求出所需的時間，再計算出P點運動的距離為：，即可最終確定相遇時，P點位置，問題隨之得解．【詳解】（1）∵點P在線段上以運動，∴，∵，∴，故答案為：，；（2）∵，D為的中點，∴，根據(jù)（1）可知：，，當時，則有，，∴，，∴，∴Q點的運動速度為，即出發(fā)后，與全等，Q點的運動速度為；當時，則有，，∴，，∴，∴Q點的運動速度為，即出發(fā)后，與全等，Q點的運動速度為；當或者時，同理可求出：出發(fā)后，與全等，Q點的運動速度為；當或者時，同理可求出：出發(fā)后，與全等，Q點的運動速度為；綜上：出發(fā)或者后與全等，Q點的運動速度分別為，；（3）當Q點的運動速度分別為,P、Q兩點的速度相同，兩點同時出發(fā)時，不可能相遇，當Q點的運動速度時，設(shè)經(jīng)過后，P、Q兩點相遇，剛出發(fā)時，P、Q兩點初始相距，根據(jù)題意可得：，解得：，∴經(jīng)過相遇時，P點運動的距離為：，∵在中，，，∴的周長為：，即，∵，∴，即此時P點在上，∴點P與點Q第一次在的邊上，∴經(jīng)過，點P與點Q第一次在的邊上相遇．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，動點幾何問題等知識，掌握全等三角形的性質(zhì)和分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在長方形中，，，點從點出發(fā)，以秒的速度沿向點運動，設(shè)點的運動時間為秒：(1)

．（用的代數(shù)式表示）(2)當為何值時，？(3)當點從點開始運動，同時，點從點出發(fā)，以秒的速度沿向點運動，是否存在這樣的值，使得全等？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)2t(2)(3)存在，2或【分析】（1）根據(jù)點的運動速度可得的長；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出即可；（3）此題主要分兩種情況①得到，②得到，然后分別計算出的值，進而得到的值．【詳解】（1）點從點出發(fā)，以秒的速度沿向點運動，點的運動時間為秒：∴,故答案案為：；（2）當時，．理由：∵，∵，∴，∴，∴，（3）①當時，∴，∵，∴，∴，，解得：，，，解得：；

②當P時，∴∵，∴，，解得：，

，，解得：

綜上所述：當或時，與全等．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是全等三角形性質(zhì)的掌握．14．（2023春·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)，沿線段以3cm/s的速度連續(xù)做往返運動，同時點從點出發(fā)沿線段以2cm/s的速度向終點運動，當點到達點時，、兩點同時停止運動，與交于點，設(shè)點的運動時間為（秒）．(1)分別寫出當和時線段的長度（用含的代數(shù)式表示）．(2)當時，求的值．(3)若，求所有滿足條件的值．【答案】(1)時，，時，(2)(3)【分析】(1)根據(jù)點F從點B出發(fā)的速度和圖形解答即可；(2)根據(jù)題意列出方程，解方程即可；(3)分兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】（1）解：當時，，，當時，，．（2）解：由題意知：，當時，，，(舍去)．當時，，，．（3）解：當時，，當時，，當時，，，．當時，，，(舍去）．∴當時，．【點睛】本題考查的是列代數(shù)式和全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意求出代數(shù)式、掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．易錯必考題六、利用全等三角形求角度1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點分別在上，與相交于點，，，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件證明，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，，，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了幾何問題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)等，靈活運用所學知識是關(guān)鍵．2．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，中，，，垂足為D，平分交于E，點F是C關(guān)于的對稱點，連接．若，則的度數(shù)是（）

A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】C【分析】由平分，得到又，，推出，得到，由軸對稱的性質(zhì)可知，，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∵F是C關(guān)于的對稱點，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由全等三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)求出∠EFC的度數(shù)．3．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，點E是邊上一點，且，點D在上，連接，，若，，，則的度數(shù)為°．

【答案】40【分析】先證明，可得，再利用三角形的外角和的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，而，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春·上海浦東新·七年級?？计谀┤鐖D，已知，，，．

(1)與是否全等？說明理由；(2)如果，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析；(2)．【分析】（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再由三角形內(nèi)角和定理得，然后由平行線的性質(zhì)得，即可解決問題．【詳解】（1）與全等，理由如下：∵，∴，即，在與中，，∴；（2）由()可知，，∴，∴，∵，∴，∴，即的度數(shù)為．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知．(1)尺規(guī)作圖：在線段的下方，以點D為頂點，作（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，請說明；(3)若，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）用尺規(guī)作圖作一個角等于已知角即可；（2）先找到角相等，最后通過判定方法證明平行即可；（3）根據(jù)角平分定義得出角相等，再利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等求解即可．【詳解】（1）解：作，如圖，以B為圓心，任意半徑畫弧交于N，交于M，以D為圓心畫弧，交于G，以G為圓心，長為半徑畫弧，與以D為圓心畫的弧交于H，連接并延長，與的交點為F．即為所求．

（2）證明：（已知），（兩直線平行，同位角相等），又（已知），（等量代換），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）（3）解：，（已知），（兩直線平行，同位角相等），平分（已知），∴（角平分線的定義），（已知）∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的性質(zhì)和判定，角平分線定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及其應(yīng)用．易錯必考題七、利用全等三角形求長度1．（2023秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，D，A，E三點在一條直線上，并且有，若，，，則的長為（

）

A．8.5 B．12 C．13.5 D．17【答案】D【分析】利用余角的性質(zhì)可得，然后利用證明，再利用全等的性質(zhì)求出，，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴，，又，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用三角形全等，求出，．2．（2023春·甘肅隴南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，垂足分別是點，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角的余角相等得，再利用證明，得，從而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川雅安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，平分，，于點E，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過C作交延長線與F，先根據(jù)角平分線的定義和全等三角形的判定與性質(zhì)，證明和得到，，進而可求解．【詳解】解：過C作交延長線與F，

∵平分，，，∴，，在和中，，∴，∴；∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，，∴，則，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023秋·陜西榆林·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，為中點，為邊上的動點，連接，交的延長線于點，若，則的值是．

【答案】5【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由證明，得到，最后由即可得到答案．【詳解】解：，，為中點，，在和中，，，，，故答案為：5．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，為的中線，點在的延長線上，連接，且，過點作于點，連接，若，，則的長為．【答案】【分析】過點作于點，證明，，得出，再由為的中線及，根據(jù)的面積列出關(guān)于的方程，求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點為的中線，，又，在和中，即，，為的中線，又解得：故答案為：3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等底同高三角形的面積關(guān)系及直角三角形的面積公式，屬于中檔題．6．（2023春·海南省直轄縣級單位·七年級?？计谀耙痪€三等角”模型是平面幾何圖形中的重要模型之一，“一線三等角”指的是圖形中出現(xiàn)同一條直線上有3個相等的角的情況，在學習過程中，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”模型的出現(xiàn)，還經(jīng)常會伴隨著出現(xiàn)全等三角形．根據(jù)對材料的理解解決以下問題：(1)如圖，，．①求證：；②猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，在中，點為上一點，，，四邊形的周長為，的周長為，請求出的長．【答案】(1)①見解析；②，見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)已知可求得，，得到，證明；②由（1）可知，得到，從而得出；（2）首先證明，得到，，結(jié)合已知可得到，根據(jù)的周長為得到，得到，即可得出最后結(jié)果．【詳解】（1）解：①，，，，在與中，，；②猜想：，理由：由（1）得：，，，；（2），且，，在和中，，，，，四邊形的周長為，，，又的周長為，，，，，，即．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形．易錯必考題八、全等三角形中的最值問題1．（2023·全國·八年級專題練習）如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為

邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時點P的位置．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，AB=AC=7，AD=8.3，點E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于點F．點P是線段CF上一動點，則EP＋AP的最小值為（）

A．6 B．7 C．7.5 D．8.3【答案】B【分析】連接，由得，，根據(jù)知，當點在線段上時，的最小值是，問題得解．【詳解】解：連接，平分交于點，，，，，且，當點在線段上時，的最小值是，，的最小值為7．故選：

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，兩點之間線段最短，其中準確作出點關(guān)于對稱軸對稱的對稱點是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值是．

【答案】4【分析】以角平分線構(gòu)造軸對稱型全等模型，根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】解：在上取一點，使得，如圖所示：

故當時，有最小值，如圖所示：

故答案為：4【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系、垂線段最短等知識點．根據(jù)條件得出是解題關(guān)鍵．易錯必考題九、全等三角形的綜合問題1．（2022秋·河北廊坊·八年級校考期中）如圖所示，已知是經(jīng)過頂點的一條直線，分別是直線上兩點，且．下面可能得不到的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，等量代換得到角度相等，再根據(jù)三角形形全等的判定方法逐個判斷即可．【詳解】解：A、∵，∴，∴，∵，，，∴，故A不符合題意；B、∵，，∴，∵，∴，∵，，，∴，故B不符合題意；C、∵，∴，∵，∴，∵，，，∴，故C不符合題意；D、，，，不能判定三角形全等，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法：，注意不能判定全等．2．（2023秋·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，梯形中，，E是的中點，平分，以下說法：①；②；③；④，其中正確的是（

）．A．①②④ B．③④ C．①②③ D．②④【答案】D【分析】過點E作于點F，證明，得到，，，再證明，得到，由此判斷③錯誤；根據(jù)判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及，得到，由此判斷④正確；題中無條件證明，故①錯誤．【詳解】解：過點E作于點F，則，∵E是BC的中點，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故③錯誤；∵，∴，即，∴，故②正確；∵，，∴，即，故④正確；題中無條件證明，故①錯誤；正確的有②④故選：D．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，已知中，，以為邊作，使，E是邊上一點，連接，，連接．下列四個結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如圖，延長至G，使，從而構(gòu)造條件，得到，通過全等或線段的等量代換運算對結(jié)論進行判別，從而得到答案．【詳解】解：如圖，延長至G，使，設(shè)與交于點M，，，垂直平分，，，,即，，，，在和中，，，，故結(jié)論①正確；，，，平分,故結(jié)論③正確；，在和中，當時，，則，當時，則無法說明與垂直，故結(jié)論②錯誤；，，，，故結(jié)論④正確．綜上所述，其中正確的有①③④．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；解決本題的關(guān)鍵是通過二倍角這一條件，構(gòu)造兩倍的是本題的突破口．4．（2023春·湖南長沙·七年級?？计谀﹥山M鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形是一個箏形，其中，，在探究箏形的性質(zhì)時，得到如下結(jié)論：；；四邊形的面積．其中正確的結(jié)論有．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合圖形依據(jù)“”可判定，對此可對結(jié)論進行判斷．由的結(jié)論可得出，進而可依據(jù)“”判定，由此得，然后根據(jù)平角的定義可得出，據(jù)此可對結(jié)論進行判斷．由可知，再根據(jù)三角形的面積公式，，然后由，可對結(jié)論進行判斷，綜上所述即可得出答案．【詳解】解：在和中，，，結(jié)論正確；由可知：，，在和中，，，，，，，結(jié)論正確；由可知：，，，又，．結(jié)論正確．綜上所述：結(jié)論正確．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．5．（2023秋·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，和分別平分和，和相交于．（1）的度數(shù)為．（2）若，則線段的長為．

【答案】/120度8【分析】（1）利用，角平分線的定義，即可得出答案；（2）由題中條件可得，進而得出，通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出，進而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1），，分別平分，，；故答案為：；（2）如圖，在上截取，連接．

平分，在和中，，，，，，在和中，，，，．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)在上截取，得出是解題關(guān)鍵．6．（2021秋·江蘇南京·八年級南京鐘英中學校考期中）如圖，在C中，，，，平分交斜邊于點D，動點P從點C出發(fā)，沿折線向終點D運動．(1)點P在上運動的過程中，當______時，與的面積相等；（直接寫出答案）(2)點P在折線上運動的過程中，若是等腰三角形，求的度數(shù)；(3)若點E是斜邊的中點，當動點P在上運動時，線段所在直線上存在另一動點M，使兩線段、的長度之和，即的值最小，則此時______．（直接寫出答案）【答案】(1)當時，與的面積相等(2)45°或90°或67.5°或37.5°(3)5【分析】（1）根據(jù)題意可知當CP=6時，證△PCD≌△BCD（SAS），即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意由（1）得：∠PCD=45°，分兩種情況：①點P在AC上，若PC=PD，則∠PDC=∠PCD=45°，則∠CPD=90°；若DP=DC時，∠CPD=∠PCD=45°，若CP=CD，則∠CPD=∠CDP=67.5°；②點P在AD上時，存在DP=DC，則∠CPD=∠PCD，求出∠CDP=105°，由三角形內(nèi)角和定理得∠CPD=37.5°即可；（3）由題意可知當M在CD上，且MP⊥AC時，MP最小，作MP'⊥BC于P'，則MP'∥AC，證△PCM≌△P'CM（AAS），得MP=MP'，CP=CP'，當點E、M、P'三點共線時，MP+ME的值最小，則EP'∥AC，由平行線的性質(zhì)得∠BEP'=∠A=30°，由直角三角形的性質(zhì)