2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營 第五單元 平面向量與復(fù)數(shù)

第五單元平面向量與復(fù)數(shù)

第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

目標(biāo)任務(wù)

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1.理解平面向量的意義與兩個向量相等的含義1.平面向量的有

及向量的幾何表示和基本要素.關(guān)概念

數(shù)學(xué)抽象

2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何2.平面向量的線

直觀想象

意義.性運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算

3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩

3.共線向量定理邏輯推理

個向量共線的含義.

的應(yīng)用

4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義

即屈醫(yī)圈01.........＞知識必記課前預(yù)案

知識I必記〕夯基礎(chǔ)構(gòu)體系

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小，又有________的量；

向量向量的大小叫作向量的平面向量是自由向量

________（或稱________）

長度為________的向量；其方

零向量記作________

向是任意的

單位向量長度等于________長度的向量非零a的單位向量為哈

平行向量（共線方向________或________的非

0與任一向量________或共線

向量）零向量

長度________且方向_________兩向量只有相等或不等，不能

相等向量

的向量比較大小

長度______且方向________

相反向量0的相反向量為0

的向量

［注意］單位向罐;有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量。平行

的單位向量有兩個，即向端和一病

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)舁律

交換律：a+b=

力b

求兩個向量和的________?

加法三角形法則

運(yùn)算結(jié)合律：（a+8）+c

a

平行四邊形法則

求a與5的相反二

a—b=a+

減法向量-一的和的

運(yùn)算三角形法則

如a)=_______;

|冽=囚同,當(dāng)2>0時，癡與

a+〃)”=

求實(shí)數(shù)％與向量aa的方向相同；當(dāng)2<0時，/M

數(shù)乘________,

的積的運(yùn)算與a的方向相反；當(dāng)％=0

z(a+Z>)=

時,九1=0

［思考］向苣二加法與減法的運(yùn)算法則如何快速記憶？

（1）加法三角形法則：首尾接，首尾連.

⑵加法平行四邊形法則：共起點(diǎn)，對角線.

⑶減法三角形法則：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減.

甘泉究］三角形加法法則的推論是什么？

提示：多個向量相加，利用三角形法則，應(yīng)首尾順次連接，a+b+c表示從始點(diǎn)

指向終點(diǎn)的向量，只關(guān)心始點(diǎn)、終點(diǎn).

AbB

a+h+cC

3.共線向量定理

向量融屋g&5B，當(dāng)且僅當(dāng)有唯—個實(shí)數(shù)人使得

注意：只有存0才保證實(shí)數(shù)2的存在性和唯一性.

［常用結(jié)論］⑴若向量。，5不共線，如果xa=y伙X,yGR),則x=y=O.

(2)C是線段AB的中點(diǎn)的充要條件是猶J曲+曲.

(3)若G是△ABC的重心，。是BC邊的中點(diǎn)，則：

①◎+仍+比=0；②億=；(勸+祝)；③⑶=：(潴+比)=斯^+祀).

(4)在四邊形A3CD中，若E為AO的中點(diǎn)，F(xiàn)為8c的中點(diǎn)，則曲+阮=2曲.

必記答案：1.方向長度模001個單位相同相反平行相等相同

相等相反

2.b~\-aa+S+c)(—b)za+AZ>

拓展鏈接:拓知能聯(lián)高考

1.［知識外延］向量加、減法的幾何意義

(l)|a+Z>|2+|?-6|2=2(|a|2+|6|2)(a,b不共線)的幾何意義是“平行四邊形兩條對角

線的平方和等于它的四條邊的平方和

(2)已知共起點(diǎn)的向量a,b,若|a—"=|"+"，則以向量a,5為鄰邊形成的四邊

形為矩形.

【例1】設(shè)非零向量a，)滿足|a+勿=|。一"，則()

A.albB.⑷=網(wǎng)

C.a〃bD.|a|>|6|

答案：A

解析：法一：利用向量加法的平行四邊形法則.

在口A8CO中，設(shè)才方=a,Ab=b.

由|a+"=|a-",知|而=|仍|,

從而四邊形A5CD為矩形，AB1AD,故a_LZ>.

法二：V\a+b\=\a-b\,

/.|a+Z?|2=|a一方F，

.'.a2+b2+2a*b=a2+b2—2a,b,

??<z*6=0,??zz_L6.

(3)向量模的三角不等式：

ll?|—l*||<|a-*|<|?|+|*|

【例2】若非零向量a和b滿足|°+加=步|=2,則同的取值范圍是,

仙一臼的取值范圍是.

答案：(0,4][2,6]

解析：(1)因?yàn)镮M+加一回W|a|=M+。一加WM+例+步1=4,又存0,所以⑷的取值范

圍是(0,4].

(2)因?yàn)镸—加+M+Z>|>2|Z>|=|(a+6)—(a—6)|>||a-b\—|a+&||,所以一4<|a-b\—\a

+b\<A,

\a-b\+\a+b\>4,又|a+例=2,解得|“一例的取值范是[2,6].

2.[學(xué)以致用]三點(diǎn)共線定理的妙用

若A、B、。三點(diǎn)共線且溫=2仍+〃沈，則2+〃=1.

[注意]只有當(dāng)兩個共線向量具有公共點(diǎn)時才能滿足三點(diǎn)共線.

【例3】已知等差數(shù)列｛a“的前〃項(xiàng)和為S”若仍=aioo0A+moi猶，且A、B、

。三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)。)，則5200=.

答案：100

解析：?.?仍=aioo厲+aioiOt,且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)。)，

/.izi(x)+aioi=1,

200(ai+。20()),

=

S2oo=--------------100x(ai+?2oo)=100x1=100.

【例4】已知初=a+54Bt=-2a+8b,Cb=3(a-b),則()

A.A、B、。三點(diǎn)共線

B.A、B、。三點(diǎn)共線

C.B、C、。三點(diǎn)共線

D.A、C、。三點(diǎn)共線

答案：A

解析：Bb=Bt+Ct)=(-2a+Sb)+3(a-b)=a+5b,

又牯=4+5"所以牯=臥，則碌與沉)共線,

又感與就有公共點(diǎn)8,所以A、B、。三點(diǎn)共線.故選A.

對點(diǎn)

1［易錯診斷］（1）對于非零向量。，。，“Q+b=。是九勿”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案：A

解析：若a+〃=0,則a=一所以?！C(jī)若a〃b,則a+6=0不一■定成立.故

前者是后者的充分不必要條件.

【易錯點(diǎn)撥】對向量共線定理的條件把握不準(zhǔn)確致誤.

（2）已知向量a,b,若⑷=2,例=4,則|a—勿的取值范圍為.

答案：［2,6］

解析：當(dāng)a與）方向相同時，|a—6|=2;當(dāng)a與b方向相反時，|a—6|=6;當(dāng)a

與8不共線時，2〈|。一勿＜6.所以|。一口的取值范圍為［2,6］.此題易忽視a與8方

向相同和a與b方向相反兩種情況.

【易錯點(diǎn)撥】對于向量加減法的幾何意義（向量三角不等式）認(rèn)識不清致誤.

2.（多選題）給出下面四個命題，其中是真命題的是（）

A.A^+BA=OB.J&+配=祝

C.Ab+At=BtD.O-A^=M

答案：ABD

解析：因?yàn)?&+助=腦一牯=0,A正確；

Ab+Bt=At,由向量加法知B正確；

牯+祀=沅不滿足加法運(yùn)算法則，C錯誤：

由息+助=0,所以明=0—弗，故D正確.

故選ABD.

3.［模擬演練］（2022?山西太原高三三模）已知△ABC的重心為。，則尻＞=（）

B.

2fIfIf.2f

c.-^AB+^ACD.一§初+§祝

答案：c

解析：設(shè)E,F,。分別是AC,AB,BC的中點(diǎn)，由于。是三角形ABC的重心,

29?121_.

所以由=Q旗=鏟（掂―初）=鏟（5配一牯）=一,戲+大衣.故選c.

4.［真題體驗(yàn)］（2020?全國I卷）設(shè)a,b為單位向量，且|?+”=1,則心一〃=

答案：小

解析：由單位向量概念及向量加法、減法的幾何意義可得，向量a,b,a+b構(gòu)

成等邊三角形，又。一方與互相垂直且平分（如圖），

解三角形得心一加=小.

核心突破課堂學(xué)案

特訓(xùn)點(diǎn)1平面向量的有關(guān)概念【自主沖關(guān)類】

［題組?沖關(guān)］

1.設(shè)。，8都是非零向量，下列四個條件中，使言=磊成立的充分條件是（）

\U|

A.a=-bB.a〃b

C.a=2bD.a4且⑷=|加

答案：C

解析：因?yàn)橄蛄垦缘姆较蚺c向量a的方向相同，向量備的方向與向量白的方向相

同，且詈=白，所以向量a與向量力的方向相同，故可排除選項(xiàng)A,B,D.當(dāng)。=

2萬時，而=兩=而，故"=2b是面=而成立的充分條件.

2.(多選題)給出下列命題，不正確的有()

A.若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，且牯=覺，則四邊形A3C0為平行四邊形

C.的充要條件是團(tuán)=|可且aZ仿

D.已知九"為實(shí)數(shù)，若入a=Rb,則a與萬共線

答案：ACD

解析：A錯誤，兩個向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個向量相等，但兩個向量相

等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；

B正確，因?yàn)榻?覺，所以區(qū)直=|覺|且儲〃成，又A,B,C,。是不共線的

四點(diǎn)，所以四邊形A8CO為平行四邊形；

C錯誤，當(dāng)。題＞且方向相反時，即使|a|=|",也不能得到。=)，所以|a|=|以且a%

不是的充要條件，而是必要不充分條件；

D錯誤，當(dāng)/=〃=0時，a與》可以為任意向量，滿足&1=油，但a與8不一定

共線.故選ACD.

3.設(shè)@0為單位向量，下列命題中為假命題的是.

①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a|ao；②若a與ao平行，則a=|a|ao；③若a

與ao同向平行且⑷=1,則a=ao.

答案：①②

解析：向量是既有大小又有方向的量，。與⑷血的模相等，但方向不一定相同，

故①是假命題；若a與四平行，則a與四的方向有兩種情況：一是同向，二是

反向，反向時a=一|a|ao,故②也是假命題.

［錦囊?妙法］

平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(diǎn)

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)

圖象的移動混淆.

(4)非零向量a與告的關(guān)系：言是與a同方向的單位向量.

特訓(xùn)點(diǎn)2平面向量的線性運(yùn)算【多維考向類】

方法教練研典例導(dǎo)解法

考向1向量的線性運(yùn)算

典例1（2022*安徽合肥高三質(zhì)檢）在AABC中，就=；配，若加=a,At=b,

則勸等于（）

2112

-+-力-

A.33B.W+-3

八12,21,

C.^a—^bD.-^a~^b

答案：A

解析：法一：如圖，過點(diǎn)。分別作AC,A8的平行線交45,AC于點(diǎn)及F,則

四邊形AEDE為平行四邊形，所以不力=助+#.因?yàn)閰f(xié)=；沅，所以助=|A力，

所以祝=|?+；。，故選A.

I12121

法二：Ab=A^+Bb=A^+^Bt=A^+^At：—Ab)=^Ai+^At=^a-\-^b,故

JJJJ-J

選A.

法三：由協(xié)=g反?，得m_牯=/祝一牯)，

i2121

所以45=勸+,祀一牯）=/^+W業(yè)?=乎+葩，故選A.

點(diǎn)撥

向量線性運(yùn)算的技巧

（1）不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解，共起點(diǎn)的向量求和一般用平

行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.

（2）含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相

反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.

考向2根據(jù)向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

典例2(2022?遼寧大連高三三模)在三角形ABC中，At)=2仍，P

為線段OE上的動點(diǎn)，若勸=2牯+幺配，九〃6R,則％+4=()

A.1B.|

C.^D.2

［解題指導(dǎo)］

直觀表示分析圖形的線性運(yùn)算構(gòu)造

邊角關(guān)系方程求參數(shù)

答案：B

解析：根據(jù)題意得。為線段AB的三等分點(diǎn)靠近8點(diǎn)的點(diǎn)，E為線段AC的三等

分點(diǎn)靠近。點(diǎn)的點(diǎn)，

所以辦=A&+亦=Ab+x瓦=At)+x(助—電=屈+(1_刈次力=|入祀+|(1

—X)油,

22222

所以〃=1尤，2=w（l—%）,所以2+〃=y+w（l—x）=].故選B.

點(diǎn)撥

利用向量線性運(yùn)算求解參數(shù)的思路：(1)先利用向量的線性運(yùn)算得到相關(guān)的線性表

示；(2)對比向量等式求出參數(shù)或建立方程(組)求解.

特訓(xùn)點(diǎn)3共線向量定理的應(yīng)用【師生共研類】

方法教練J研典例導(dǎo)解法

典例3設(shè)兩個非零向量。與8不共線.

(1)若Bt=2a+8b,Cb=3(a-b),求證：A,B,。三點(diǎn)共線.

(2)試確定實(shí)數(shù)%,使總+/＞和。+劭共線.

［解題指導(dǎo)］

:褊埃藪;謫量共線的；'二二二；］八共線…向一量二口-；五-，一-方

\\^AB=)AC\基本定理有公共/三點(diǎn)共線:

解：(1)、?初=。+方，Bt=2a+8b,Cb=3(a-b),

：.Bt)=Bt+Cb=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5Ak,

：.Ah,百方共線，又它們有公共點(diǎn)8,

B,。三點(diǎn)共線.

⑵?：ka+b與a+心共線，

,存在實(shí)數(shù)九使匿i+

即（左一/l）a=（2左一1）5.

又a,b是兩個不共線的非零向量,

%—2=0,

/./?—1=0,/.^=±1,

◎思維發(fā)散◎

1.（變條件）若將本例（1）中“配=2a+8?！备臑?配=“十，》”，則當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)為何值

時，A,B,。三點(diǎn)共線？

解：Bb=Bt+cb=a+mb+3（a-b）=4a+（m-3）b,

若A,B,。三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)人使百方=濕，

即4。+（機(jī)-3）方=，“+方），

4=九”

,解得m=7.

,m—3=2,

故當(dāng)〃?=7時，A,B,。三點(diǎn)共線.

2.（變條件）若將本例⑵中的“共線”改為“反向共線”，則實(shí)數(shù)%為何值？

解：因?yàn)閗i+Z>與a+心反向共線，

所以存在實(shí)數(shù)九使版+。=23+妨）（衣0）,

k=k,

所以，所以k=±l.

〔以=1,

又2<0,k=1,所以女=-1.

故當(dāng)％=—1時，兩向量反向共線.

規(guī)律

共

九、

實(shí)數(shù)

存在

，瓦若

量。

于向

線：對

向量共

線［證明

共線

指與b

0）,貝

=秋8

向：、使。

量

定

花：

而工

薪T椀

承至萎

磁］瞽

藐關(guān)

伍蔭

理

線

點(diǎn)共

8,C三

的i則4

應(yīng)

而痂

誕芨

百直

旃藏

循「

藪而

用保蓄

值

數(shù)的

）求參

程（組

列方

條件

〕；、等的

.

共點(diǎn)

有公

向量

的兩

共線

說明

，需

線時

點(diǎn)共

明三

］證

［提醒

量.

零向

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向量

一個

少有

是至

前提

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定理

基本

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向量

使用

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022.南

1