2023年上海市普通高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

2023年上海市普通高中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試卷

考生注意：

1.本試卷共4頁，29道試題，總分值120分，考試時間90分鐘。

2.本考試分設(shè)試卷和答題紙。試卷包括三大題，第一大題為填空題，第二大題為選擇

題，第三大題為解答題。

3.答卷前，務(wù)必在答題紙上填寫姓名、報名號（春考考生填寫春考報名號）、考場號、

座位號，并將核對后的條形碼貼在指定位置上。

4.作答必須涂或?qū)懺诖痤}紙上。在試卷上作答一律不得分。第二大題的作答必須涂在

答題紙上相應(yīng)的區(qū)域，第一、第三大題的作答必須寫在答題紙上與試卷題號對應(yīng)的位置。

一、填空題（本大題總分值36分）本大題共有12題.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直

接填寫結(jié)果，每個空格填對得3分，否那么一律得。分.

1.復(fù)數(shù)3+4，㈠為虛數(shù)單位）的實部是.

2.假設(shè)log2（x+l）=3,那么x=.

3.直線y=x-l與直線y=2的夾角為.

4.函數(shù)/（幻=的定義域為.

1-35

5.三階行列式400中，元素5的代數(shù)余子式的值為.

-121

6.函數(shù)/（x）=』+a的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點（2,1）,那么實數(shù)。=.

X

7.在AABC中，假設(shè)A=3O°,3=45°,BC=y[6,那么AC=.

8.4個人排成一排照相，不同排列方式的種數(shù)為____________（結(jié)果用數(shù)值表示）.

9.無窮等比數(shù)列｛q｝的首項為2,公比為g,那么｛a,,｝的各項的和為.

10.假設(shè)2+i㈠為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實系數(shù)一元二次方程/+以+5=0的一個虛根，

那么Q=.

11.函數(shù)y=d-2x+l在區(qū)間[0,上的最小值為0,最大值為1,那么實數(shù)用的取值范

圍是.

12.在平面直角坐標(biāo)系龍中，點A8是圓f+y2-6x+5=0上的兩個動點，且滿足

IA51=26，那么|OA+031的最小值為.

二、選擇題(本大題總分值36分)本大題共有12題，每題有且只有一個正確答案.考生應(yīng)

在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得3分，否那么一律得0分.

13.滿足sin。>0且tana<0的角a屬于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

14.半徑為1的球的外表積為0

4

(A)71(B)—71(C)2乃(D)4%

3

15.在(l+x)6的二項展開式中，X2項的系數(shù)為()

(A)2(B)6(C)15(D)20

16.基函數(shù)y=x<的大致圖像是()

17.向量。=(1,0),》=(1,2),那么向量〃在向量。方向上的投影為()

(A)1(B)2(C)(1,0)(D)(0,2)

18.設(shè)直線/與平面a平行，直線用在平面a上，那么()

(A)直線/平行于直線〃？(B)直線/與直線機(jī)異面

(C)直線/與直線加沒有公共點(D)直線/與直線m不垂直

19.在用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3++2〃=2/+〃(〃eN")的第(ii)步中，假設(shè)

〃=%時原等式成立，那么在〃=攵+1時，需要證明的等式為1)

(A)1+2+3++2左+2(k+1)=2攵~+攵+2(左+1)-+(左+1)

(B)1+2+3+…+2左+2(攵+1)=2/+1>+(攵+1)

(C)1+2+3++2左+(2左+1)+2(左+1)=23+攵+2(左+1)2+(左+1)

(D)1+2+3++2攵+(2攵+1)+2(左+1)=2(左+1)2+(左+1)

%2y2y22

20.關(guān)于雙曲線--L=i與2---=1的焦距和漸近線，以下說法正確的是()

164164

(A)焦距相等，漸近線相同(B)焦距相等，漸近線不相同

(C)焦距不相等，漸近線相同(D)焦距不相等，漸近線不相同

21.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為R,那么"7(0)=0"是"y=/(x)為奇函數(shù)”的0

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

22.以下關(guān)于實數(shù)匕的不等式中，不恒成立的是()

(A)a2+b2>2ab(B)a2+b2>-lab

a丫、,(a+b\

(C)------>ab(D)-~—>-ab

I2)I2)

23.設(shè)單位向量4與e2既不平行也不垂直，對非零向量。=玉4+)[02、8=天華+%02有

結(jié)論：①假設(shè)西以一工2乂=0,那么。//6②假設(shè)玉/+乂%=0,那么。工從關(guān)

于以上兩個結(jié)論，正確的判斷是()

(A)①成立，②不成立(B)①不成立，②成立

(C)①成立，②成立(D)①不成立，②不成立

2222

24.對于橢圓+2=1(a/>0,a").假設(shè)點(%,%)滿足?+當(dāng)<1.那么

ab~a'b~

稱該點在橢圓C(〃M內(nèi)，在平面直角坐標(biāo)系中，假設(shè)點A在過點(2,1)的任意橢圓C(“⑸內(nèi)

或橢圓C(“⑸上，那么滿足條件的點A構(gòu)成的圖形為0

(A)三角形及其內(nèi)部(B)矩形及其內(nèi)部

(C)圓及其內(nèi)部(D)橢圓及其內(nèi)部

三、解答題(本大題總分值48分)本大題共有5題.解答以下各題必須在答題紙

相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

25.(此題總分值8分)如圖，正三棱柱ABC-AgG的體積為

96，底面邊長為3,求異面直線BG與AC所成的角的大

小.

26.(此題總分值8分)函數(shù)/(x)=sinx+百cosx,求/(x)

的最小正周期及最大值，并指出f(x)取得最大值時X的值.

27.(此題總分值8分)如圖，汽車前燈反射鏡與軸截面的交線

是拋物線的一局部，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈

泡位于拋物線的焦點/處.燈口直徑是24cm,燈深10cm,求燈泡與反射鏡的頂點。的

距離.

28.(此題總分值12分)此題共有2個小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值8分.

數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列.

(1)假設(shè)4，。3，4成等比數(shù)列，求q的值；

⑵設(shè)e=一19，數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”.數(shù)列｛%｝滿足4=1,2+]-d,

記c“=S“+2"，25eN*),求數(shù)列｛c“｝的最小項c“°(即c%4%對任意〃eN*成立).

29.(此題總分值12分)此題共有2個小題，第1小題總分值5分，第2小題總分值7分.

對于函數(shù)/(x),g(x)，記集合0.>g=｛x|/(x)>g(x)｝.

(1)設(shè)/(x)=2|x|,g(x)=x+3,求

⑵設(shè)工(x)=x-l,^U)=(1r+a-3v+l,版x)=0.如果巧>八02"，=R，

求實數(shù)。的取值范圍.

2023年上海市普通高中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試卷

答案要點

一、(第1題至第12題)

1.3；2.7；3.-;4.[2,+oo）;5.8;6.1

4

7.26；8.24;9.3;10.T;11.[1,2]；12.4.

二、（第13題至第24題）

題號131415161718192021222324

代號BDCCACDBBDAB

三、(第25題至第29題)

25」解]設(shè)正三棱柱的高為h,那么以=SMBC-h.

由9G=^x9x〃，得/i=4.

4

因為AC//4G，所以8G與AC所成的角等于BG與

AG所成的角.

聯(lián)結(jié).在例B|G中，

=+=5,BC\=5,4G=3,

AB

4G之+9+25-253

由cosNA1G3=

24G,BC、2x3x510

3

得N41G3=arccos歷.

3

故異面直線BQ與AC與所成的角的大小為arccos，.

26[解]由得/(%)=2sin

從而，(x)的最小正周期為2"，

〃%)的最大值為2,

此時x=2%;r+—(keZ).

27,解］以反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點。為

原點，建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖.

設(shè)拋物線的方程為/=2px(p>0).

由題設(shè)，得點A的坐標(biāo)為(10,12).

因為A在拋物線上，

所以122=2夕10,得p=9，

從而拋物線焦點F的坐標(biāo)為(3.6,0),

即燈泡與反射鏡頂點的距離為3.6C777.

28」解］(1)由，q?%=的?，〃//+6)=(q+4產(chǎn)，解得q=-8.

(2)因為2+1-2=(；)，所以“22時，

又4=1,所以a=2-11，〃eN*.

2

q=-19時Sn=n-20〃.

2

c?=Sn+2"T?bn=n-20〃+2"-1,”wN*.

2

??+l-cn=[(〃+1)-20(〃+1)+2什|一1]一(A?-20〃+2"-1)=2w-19+2”.

當(dāng)〃之4時，c?+i-cn>0