2023-2024學(xué)年浙江省溫州十五校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學(xué)年浙江省溫州十五校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．某學(xué)校在數(shù)學(xué)聯(lián)賽的成績(jī)中抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，統(tǒng)計(jì)后得到如圖所示的分布直方圖，這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)估值為A.80 B.82C.82.5 D.842．為配制一種藥液，進(jìn)行了二次稀釋，先在容積為40L的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出用水補(bǔ)滿，攪拌均勻，第二次倒出后用水補(bǔ)滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的60%，則V的最小值為（）A.5 B.10C.15 D.203．已知角終邊上一點(diǎn)，則A. B.C. D.4．已知角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則（）A. B.C. D.5．設(shè)集合，，則集合＝（）A B.C. D.6．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為A. B.C. D.7．已知函數(shù)的圖像過點(diǎn)和，則在定義域上是A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.減函數(shù) D.增函數(shù)8．一個(gè)袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球，現(xiàn)從袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個(gè)球同色的概率是A. B.C. D.9．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)（）A. B.C.-3 D.-210．設(shè)全集，集合，，則等于A. B.{4}C.{2,4} D.{2,4,6}二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知，且是第三象限角，則_____；_____12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在單位圓上且位于第三象限，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，現(xiàn)將點(diǎn)A沿單位圓逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，所經(jīng)過的弧長為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________.13．為偶函數(shù)，則___________.14．已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)，滿足，且，若在區(qū)間上的最大值為2，則________.15．若一個(gè)扇形的周長為，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為__________三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知全集，集合，集合（1）若集合中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若，求17．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）.（1）若關(guān)于x不等式f（x）≥b的解集為{x|1≤x≤2}，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0.18．已知向量，，（1）若，求向量與的夾角；（2）若函數(shù)．求當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域19．如圖，正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點(diǎn)，且求二面角的正切值；求三棱錐的體積20．如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點(diǎn)，，將沿著翻折成，使平面平面.(1)求證：平面；(2)求與平面所成的角；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、B【解析】中位數(shù)的左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，，中位數(shù)為，故選B.2、B【解析】依據(jù)題意列出不等式即可解得V的最小值.【詳解】由，解得則V的最小值為10.故選：B3、C【解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值【詳解】∵角終邊上一點(diǎn)，∴，，，則，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題4、D【解析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后采用弦化切，代入計(jì)算即可【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以故選：D5、B【解析】先根據(jù)一元二次不等式和對(duì)數(shù)不等式的求解方法求得集合M、N，再由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng)【詳解】解：由得，解得或，所以集合，由得，解得，所以集合，所以，故選：B6、D【解析】函數(shù)，滿足.由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選D.點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題，常根據(jù)零點(diǎn)存在性定理來判斷，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,

這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判斷根所在區(qū)間.7、D【解析】∵f（x）的圖象過點(diǎn)（4，0）和（7，1），∴∴f（x）=log4（x-3）．∴f（x）是增函數(shù)．∵f（x）的定義域是（3，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴f（x）為非奇非偶函數(shù)故選D8、D【解析】從袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有種方法，其中取出的兩個(gè)球同色的取法有種，因此概率為選D.9、C【解析】注意到直線是和的對(duì)稱軸，故是函數(shù)的對(duì)稱軸，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，零點(diǎn)必在處取得，所以，又,解得.選C.10、C【解析】由并集與補(bǔ)集的概念運(yùn)算【詳解】故選：C二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、①.##②.##0.96【解析】利用平方關(guān)系求出，再利用商數(shù)關(guān)系及二倍角的正弦公式計(jì)算作答.【詳解】因，且是第三象限角，則，所以，.故答案為：；12、【解析】設(shè)點(diǎn)A是角終邊與單位圓的交點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義及平方關(guān)系求出，，再利用誘導(dǎo)公式求出，即可得出答案.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A是角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)A在單位圓上且位于第三象限，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)A沿單位圓逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，所經(jīng)過的弧長為，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為.故答案為：.13、【解析】根據(jù)偶函數(shù)判斷參數(shù)值，進(jìn)而可得函數(shù)值.【詳解】由為偶函數(shù)，得，，不恒為，，，，故答案為：.14、【解析】先畫出函數(shù)圖像并判斷，再根據(jù)范圍和函數(shù)單調(diào)性判斷時(shí)取最大值，最后計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)函數(shù)的圖象得，所以．結(jié)合函數(shù)圖象，易知當(dāng)時(shí)在上取得最大值，所以又，所以，再結(jié)合，可得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖像和性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和最值的求法，是中檔題.15、4【解析】設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的弧長，利用周長公式，求出半徑，然后求出扇形的面積【詳解】設(shè)扇形的半徑為：R，所以2R+2R＝8，所以R＝2，扇形的弧長為：4，半徑為2，扇形的面積為：4（cm2）故答案為4【點(diǎn)睛】本題是基礎(chǔ)題，考查扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）【解析】（1）對(duì)應(yīng)一元二次方程兩根相等，.（2）先由已知確定、的值，再確定集合、的元素即可.【小問1詳解】因?yàn)榧现兄挥幸粋€(gè)元素，所以，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，，17、（1）-1,6；（2）答案見詳解【解析】（1）由f（x）≥b的解集為{x|1≤x≤2}結(jié)合韋達(dá)定理即可求解參數(shù)a，b的值；（2）原式可因式分解為，再分類討論即可，對(duì)再細(xì)分為即可求解.【詳解】（1）由f（x）≥b得，因?yàn)閒（x）≥b的解集為{x|1≤x≤2}，故滿足，，解得；（2）原式因式分解可得，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，，①若，即，則的解集為；②若，即時(shí)，解得；③若，即時(shí)，解得.【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次不等式的解求解參數(shù)，分類討論求解一元二次不等式，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)數(shù)量積、向量夾角的坐標(biāo)公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式、二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又.所以，，，所以，因?yàn)椋韵蛄颗c的夾角為.【小問2詳解】解:因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，所以，則因此函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)?9、（1）2（2）【解析】取BC中點(diǎn)O，中點(diǎn)E，連結(jié)OE，OA，以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正切值三棱錐的體積，由此能求出結(jié)果【詳解】取BC中點(diǎn)O，中點(diǎn)E，連結(jié)OE，OA，由正三棱柱的底面邊長為3，側(cè)棱，D是CB延長線上一點(diǎn)，且以O(shè)為原點(diǎn)，OD為x軸，OE為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則3，，0，，0，，0，，所以0，，3，，其中平面ABD的法向量1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得1，，設(shè)二面角的平面角為，則，則，則，所以二面角的正切值為2由（1）可得平面，所以是三棱錐的高，且,所以三棱錐的體積：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二面角的求解，及空間幾何體的體積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式求解二面角問題是求解空間角的常用方法，同時(shí)注意“等體積法”在求解三棱錐體積中的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題20、(1)證明見解析；(2)30°；(3)存在，.【解析】(1)首先根據(jù)已知條件并結(jié)合線面垂直的判定定理證明平面，再證明即可求解；(2)根據(jù)(1)中結(jié)論找出所求角，再結(jié)合已知條件即可求解；(3)首先假設(shè)存在，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)以及已知條件，看是否能求出點(diǎn)的具體位置，即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，故四邊形是菱形，從而，所以沿著翻折成后，，又因?yàn)?，所以平面，由題意，易知，，所以四邊形是平行四邊形，故，所以平面；(2)因?yàn)槠矫妫耘c平面所成的角為，由已知條件，可知，，所以是正三角形，所以，所以與平