專題12 相似三角形的證明與計算50道大題專訓（解析版）

專題12相似三角形的證明與計算50道大題專訓【精選2023年江蘇地區(qū)最新考試題型專訓】【題型目錄】1．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學校考階段練習）如圖，在矩形中，點是上的一個動點，連接，作點關于的對稱點，且點落在矩形的內(nèi)部，連結，，，過點作交于點，設

(1)當點落在上時，用含的代數(shù)式表示的值；(2)若，且以點，，為頂點的三角形是直角三角形，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）先判斷，得出比例式用代換化簡即可得出答案．（2）先判斷出只有或，分兩種情況建立方程求解即可．【詳解】（1）解：設，則，當點落在上時（如圖1），由對稱得，，，，又，，，，，，，．

（2）解：設，則，由，則．當點落在線段上時（如圖2），，此時，，當點落在矩形外部時，．點落在矩形的內(nèi)部，點在上，，，若，則點落在上，由（2）得，．若（如圖3），則，，，，，，，即．解得或（不合題意，舍去），當或時，以點，，為頂點的三角形是直角三角形．

【點睛】本題主要考查三角形的相似的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握三角形的相似的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定是解題的關鍵．2．（2022秋·江蘇徐州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，中，以為直徑作，交于點D，E為弧上一點，連接，交于點F．

(1)若，求證：為的切線；(2)若，求證：平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由，可得，則，由為的直徑，可得，則，，即，進而結論得證；（2）由，可得，證明，則，由，可得，即，進而結論得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴，即，∵是的半徑，∴為的切線；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．【點睛】本題考查了切線的判定，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．3．（2023·江蘇淮安·?？级＃┤鐖D，點是的邊上一點，以點為圓心，為半徑作，與相切于點，交于點，連接、并延長交的延長線于點，為弧中點．

(1)連接，求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)的長為【分析】（1）根據(jù)證，得出，即可得出結論；（2）根據(jù)勾股定理求出，證，設圓O的半徑為r，根據(jù)線段比例關系列方程求出r，利用勾股定理求出，最后根據(jù)求出即可．【詳解】（1）證明：∵為弧中點，∴，，在和中，，≌，，與相切，，，即，是的半徑，是的切線；（2）解：在中，，，，，，，∽，，設的半徑為，則，解得，在中，，，，，，即的長為．【點睛】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2023春·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，．作射線PQ交⊙O于C，D兩點．連接，，．現(xiàn)有2個選項，①，②．

(1)請從2個選項中選擇一個作為條件，余下一個作為結論，得到一個真命題，并證明．你選擇的一個條件是______，結論是______（只要填寫序號）；(2)在（1）的條件下，如果，求CD的長．【答案】(1)①，②，證明見解析(2)【分析】（1）連接，可得出，由三角形的外角的性質(zhì)可以得出，進而證明，根據(jù)平行線分線段成比例，即可解決問題；（2）由，得出，于是得到，即可計算．【詳解】（1）選擇的一個條件是①，結論是②，證明：連接，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：①，②；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查圓的有關性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，關鍵是掌握圓周角定理的推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定．5．（2023春·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與x軸正半軸交于點B，與y軸正半軸交于點C，過A作AP⊥x軸于點P，且．

(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)是x軸上一動點，當?shù)拿娣e是時，求a的值；(3)設點N是x軸上的一個動點，如果，求出點N的坐標．【答案】(1)；(2)或；(3)或【分析】（1）把代入，求出m的值，可得點A的坐標，再根據(jù)，求出點B的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式即可；（2）根據(jù)點的坐標求出，可得，再根據(jù)，得出，進而得出答案；（3）先求出，，，再分當點N在x軸的正半軸上和當點N在x軸的負半軸上，說明兩個三角形相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出答案．【詳解】（1）把代入，得，即點A的坐標為：.又∵，∴，∴，∴點．設直線解析式為，把A、B的坐標代入得：，解得，∴直線解析式為；（2）由題意得，又∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，

∴或，解得或；（3）∵點，∴，由（2）知，，，①當點N在x軸的正半軸上時，即點，∵，，∴，∴，即，∴點的坐標是；

②當點N在x軸的負半軸上時，即點，∵，，∴，∴，即，∴，∴點的坐標是．

綜上，點N的坐標為：或．【點睛】這是一道關于一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)關系式，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等．6．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點，與y軸正半軸交于B點，與反比例函數(shù)交于點C，且，軸交反比例函數(shù)于點D．

(1)則__________，_________；(2)若點E為射線BC上一點，設E的橫坐標為m，過點E作，交反比例函數(shù)于點F．若，求m的值．【答案】(1)3，18(2)1或【分析】（1）將點代入一次函數(shù)求出的值，然后根據(jù)求出點的坐標，即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）將點橫坐標代入，求出縱坐標，根據(jù)即可知道的縱坐標，代入反比例函數(shù)的解析式，求出的橫坐標，即可表示出的長度，同理將點縱坐標代入反比例函數(shù)求出點橫坐標，從而表示出的長，根據(jù)列方程即可求解的值．【詳解】（1）解：作軸于，如圖所示：

軸∴，，，直線經(jīng)過點，，解得，直線解析式為：，，，，，點坐標為，將點坐標代入，得．故答案為：3，18；（2）軸，點的縱坐標為3，代入，得，點坐標為，將點橫坐標代入，得，，點縱坐標為，代入，得，點坐標為，，，，當時，解方程得或，當時，解方程得，點為射線上一點，或．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，用坐標表示線段長度，然后列方程是解決這類試題的關鍵．7．（2023春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，已知矩形中，邊，邊，且分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合．將矩形折疊，使點A落在邊上，設點是點A落在邊上的對應點．

(1)當矩形沿直線折疊時（如圖1），則點的坐標為（，），b的值為；(2)當矩形沿直線折疊時，①點的坐標為（用k表示）；②求出b和k之間的關系式；③如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖2，求這種情形時k的取值范圍；④如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖3時，k的取值范圍是；如圖4時，k的取值范圍是．（直接填寫結果，不寫過程）【答案】(1)；(2)①；②；③；④，【分析】（1）設直線與交于點E，與交于點F，則，，設點的坐標為，證明，得，代入數(shù)值求出，可得點的坐標，連接，根據(jù)勾股定理求出；（2）①設直線與交于點E，與交于點F，則，，設點的坐標為，證明，得，求出a，可得點的坐標，連接，根據(jù)勾股定理求出b即可；③∵直線與邊相交得，分別求出當直線過點時，當過點時的k的值，即可得到k的取值范圍；④仿照③解答即可．【詳解】（1）設直線與交于點E，與交于點F，則，，

設點的坐標為，∵，，∴∴∴，即，∴，∴點的坐標為，連接，則在中，根據(jù)勾股定理有即，解得故答案為：；；（2）①如圖1，設直線與交于點E，與交于點F，連接

則,設點的坐標為，∵，，∴∴∴，即，∴，∴點的坐標為；故答案為：；②連接，在中，，∵∴∴；③∵直線與邊相交，∴∵，∴，當直線過點時，，解得（正值舍去），故；當過點時，，解得，故，∴k的取值范圍是；④如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖3時，直線與邊相交，故當點O與點D重合時，，當直線點時，，解得（正值舍去），故；當直線過點時，，解得，故，∴；如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖4，直線與邊相交，故當點A點C合時，，當直線點時，，解得（正值舍去），∴故答案為：，．【點睛】此題是一道有關折疊的問題，主要考查一次函數(shù)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結合的思想，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．8．（2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的圖像經(jīng)過點，點，且與軸交于點．

(1)求出點的坐標；(2)若點為軸上方的拋物線上任意一點．①如圖1，若點為線段上一點，連接，交軸于點，連接，當時，求點的坐標；②如圖2，連接、，若滿足，求此時點的坐標．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）令，解一元二次方程，即可求解；（2）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即可求解；②過點作軸，設，過點作軸，設，根據(jù)已知條件得出，設，則，勾股定理得出，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由，當時，即，解得：∴（2）①∵，，∴，∵，，∴，∴，，，即，，∴，∵在軸負半軸，∴②過點作軸，設，過點作軸，設

在線段上取點，使得，則，，且，，，設，則，在中，由勾股定理得，，解得，即，∴，解得或（舍去），當時，，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．9．（2023春·江蘇揚州·九年級高郵市城北中學校聯(lián)考階段練習）將兩塊全等的直角三角形紙片和疊放在一起，其中，，點D與邊的中點重合，將繞著點D旋轉．

(1)如圖1，如果的邊經(jīng)過點C，另一邊與邊AC交于點G，求的長；(2)如圖2，如果的邊、分別交邊于點M、N，設，求y關于x的函數(shù)解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）先判定是等腰三角形，再判定，最后根據(jù)三線合一求得的長；（2）連接，判定，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，即可得到函數(shù)關系式．【詳解】（1），，點D是邊的中點，，，，，，，；

（2）如圖，連接，

在中，由勾股定理得，點D是邊的中點，，，，，，且，，，，即，．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是作出合適的輔助線，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．10．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，點C是直徑延長線上一點，點D是直徑上方圓上的一點，連接，使得．

(1)求證：是的切線；(2)若平分，且分別交，于點E，F(xiàn)，當時，求的長；(3)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對的圓周角等于，得出，證明，得出，即可證明結論；（2）根據(jù)角平分線的定義，證明，得出，根據(jù)勾股定理求出結果即可；（3）利用勾股定理可得，即有，再證明，即可得，利用，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

為的直徑，，，，，，，，是圓的半徑，是的切線；（2）解：平分，，又，，即，，，．（3）∵在中，，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，即，∵在中，，∴，解得：．【點睛】本題主要考查了切線的判定，直徑所對的圓周角等于，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定等知識，解題的關鍵是輔助線，熟練掌握切線的判定方法以及相似三角形的判定與性質(zhì)．11．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校?？茧A段練習）如圖，矩形中，E為上一點，把沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)長為．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到，結合圖形利用角之間的互余關系推出，從而根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)推出，從而利用勾股定理求得，進而結合線段之間的和差關系利用相似三角形的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，沿翻折得到，，，，，；（2）解：，，，在中，，，由（1）可得：，，即，解得，故長為．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)是解題的關鍵．12．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，M為上一點，，D為邊上一點（不與A，B重合），作，使交的邊于點N．

(1)如圖1，點N在上時，①求證：；②若，求的長；(2)若，請直接寫出的長．【答案】(1)①見解析；②10(2)3【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)證明即可；②先由已知和勾股定理分別求解，，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，進而求解即可；（2）設交射線于點E，先求解，，再求得，點E在的延長線上，設與交于點N，過D作交于F，證明，，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：①∵在中，，，∴，∵，，∴，∴；②∵在中，，，∴，∵，∴，，∵，，∴，即，解得；（2）解：如圖，設交射線于點E，

∵，∴，，∵，，∴，又，∴，∴，即，解得，∴點E在的延長線上，設與交于點N，過D作交于F，則，，∴，，∴，則，∵，∴，即的長為3．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關鍵．13．（2022秋·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，A、B兩點的坐標分別是，點P由點B出發(fā)沿方向向點A做勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿（O為坐標原點）方向向點O做勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接，若設運動時間為秒．解答如下問題：

(1)當t為何值時，？(2)設的面積為S．①求當時，求t的值；②若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為，則新坐標稱為“向量”的坐標．當時，求“向量”的坐標．【答案】(1)秒；(2)①或；②．【分析】（1）先求出，進而利用勾股定理求出，證明，得到，據(jù)此求解即可；（2）①如圖②所示，過點P作軸于點D，則，證明，得到，則，由此可得，當時解得或；②由（2）①得，解得，則，由此求出，由，求出，則，即可得到“向量”的坐標為，即．【詳解】（1）解：∵A、B兩點的坐標分別是，∴，∴，由題意得，，則，如圖①所示，當時，∴，∴，即，解得，∴當秒時，．

；（2）解：①由（1）知：．如圖②所示，過點P作軸于點D，則，∴，∴，即，∴，∴，當時解得或．

②由（2）①得，解得，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴∴，∴“向量”的坐標為，即．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，坐標與圖形，勾股定理等等，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．14．（2023·江蘇鹽城·景山中學?？既＃┤鐖D，在正方形中，點M是邊上的任一點，連接并將線段繞點M順時針旋轉得到線段，在邊上取點P使，連接．(1)求證：；(2)線段與交于點Q，連接，若，證明：【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）證明，則，由連接并將線段繞點M順時針旋轉得到線段，得到，即可得到結論；（2）證明，則，由得到則，即可得到，得出結論．【詳解】（1）證明：在正方形中，，，在和中，，∴，∴，∵連接并將線段繞點M順時針旋轉得到線段，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形判定和性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸和軸的交點點和點，直線，點為雙曲線與直線在第一象限內(nèi)的交點．

(1)①利用直尺和圓規(guī)求作點，使（保留作圖痕跡，不寫作法）：②求的值；(2)雙曲線與直線交于點和點，求的面積．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①如圖，過點作弧交軸于兩點，分別過兩點為圓心，以大于兩點的線段長度的為半徑，作弧交于點，連接交于點，；②當時，，即點，令，解得：，即點，證明，得出，設直線的表達式為：，代入點的坐標，即可求出的表達式為：，由①知，點的縱坐標和點的橫坐標相同，當時，，則點，將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式即可求解；（2）聯(lián)立，得出點、的橫坐標分別為：，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：①如圖，以點為圓心作弧交軸于兩點，分以這兩點為圓心，以大于兩點的線段長度的為半徑，作弧交于點，連接交于點，

點即為所求作點．，，即，即；②對于，當時，，即點，令，解得：，即點，即，，由，，，，，，，即點設直線的表達式為：，代入點的坐標，即即得：,∴的表達式為：，由①知，點的橫坐標和點的橫坐標相同，當時，，則點，將點的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：；（2）聯(lián)立，解得：或，即點、的橫坐標分別為：，

則的面積．【點睛】本題考查了作垂線，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．16．（2023·江蘇無錫·模擬預測）（1）如圖1，正方形ABCD，點E、F分別在邊AB、BC上，連接AF與DE交于點O，有∠FOD＝90°，則；

（2）如圖2，平行四邊形ABCD，AB，BC，點E、F分別在邊AB、BC上，連接AF與DE交于點O，當∠FOD＝∠B時，你能求出的比值嗎？請寫出求比值的過程；

（3）如圖3，四邊形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，，點E在邊AB上，連接AC與DE交于點O，當∠COD＝∠B時，求的值．

【答案】（1）1；（2），過程見解析；（3）【分析】（1）證△BAF≌△ADE（ASA），得AF＝DE，即可得出結論；（2）證△OAE∽△BAF，得，再證△ADO∽△EDA，得，則，即可得出結論；（3）過點D作DN∥AB交BC的延長線于點N，過點A作AM∥BC交ND的延長線于點M，連接OM，則四邊形ABNM是平行四邊形，同（2）得△OAE∽△BAC，則，再證△ADE∽△OMA，得，則，在NM上取一點P，使NP＝NC，連接CP，證△PCN是等邊三角形，得CP＝NC＝NP，∠CPN＝60°，然后證△PCD∽△MDA，得，設AM＝7x，則DP＝9x，CP＝PN＝NC＝7x﹣45，進而由MN＝PN+PD+DM＝113得出方程，求出x＝9，即可解決問題．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，∵∠FOD＝90°，∴∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°＝∠AED+∠ADE，∴∠BAF＝∠ADE，在△BAF和△ADE中，，∴△BAF≌△ADE（ASA），∴AF＝DE，∴1，故答案為：1；（2）能求出的比值為，過程如下：∵∠FOD＝∠B，∠AOE＝∠FOD，∴∠AOE＝∠B，∵∠OAE＝∠BAF，∴△OAE∽△BAF，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，AD＝BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，∵∠FOD+∠AOD＝180°，∴∠AOD＝∠BAD，∵∠ADO＝∠EDA，∴△ADO∽△EDA，∴，∴，∴；（3）如圖3，過點D作DN∥AB交BC的延長線于點N，過點A作AM∥BC交ND的延長線于點M，連接OM，

則四邊形ABNM是平行四邊形，∴∠AMN＝∠B＝120°，∠BAM＝180°﹣∠B＝60°，AM＝BN，MN＝AB＝113，同（2）得：△OAE∽△BAC，∴，∵∠COD＝∠B＝120°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOD+∠AMN＝180°，∴A、O、D、M四點共圓，∴∠ADO＝∠OMA，∠DOM＝∠DAM，∵∠AOD＝∠BAM＝60°，∴∠AOD﹣∠DOM＝∠BAD﹣∠DAM，即∠AOM＝∠EAD，∴△ADE∽△OMA，∴，∴，∴，在NM上取一點P，使NP＝NC，連接CP，∵AB∥MN，∠B＝120°，∴∠N+∠B＝180°，∴∠N＝60°，∴△PCN是等邊三角形，∴CP＝NC＝NP，∠CPN＝60°，∴∠CPD＝120°＝∠M，∵∠ADC＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝180°﹣∠ADC＝60°＝∠PDC+∠MDA，∴∠PCD＝∠MDA，∴△PCD∽△MDA，∴，設AM＝7x，則DP＝9x，CP＝PN＝NC＝BN﹣BC＝7x﹣45，∴DMCPx﹣35，∵MN＝PN+PD+DM＝113，∴7x﹣45+9xx﹣35＝113，解得：x＝9，∴AM＝7x＝63，∴．【點睛】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識，本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．17．（2023春·江蘇·八年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點，點B是x軸的正半軸上的一個動點，連接，取的中點M，將線段繞著點B按順時針方向旋轉，得到線段．過點B作x軸的垂線交直線于點D．設點B坐標是．

(1)求點C的坐標（用含t的代數(shù)式表示）；(2)是否存在點B，使四邊形為矩形？若存在，請求出點B的坐標；若不存在，請說明理由；(3)在點B的運動過程中，平面內(nèi)是否存在一點N，使得以A、B、N、D為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的縱坐標（不必要寫橫坐標）；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，(3)3或8【分析】（1）作軸于E，軸于F，先利用中點坐標公式得到點M坐標，再證明，得到，從而得到點C坐標；（2）作軸于E，軸于F，根據(jù)矩形的判定知當時，四邊形是矩形，此時軸，則，由（1）知，進而求解即可；（3）根據(jù)題意，分或或為菱形的對角線三種情況，分別畫出對應圖形，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：作軸于E，軸于F，則，∵點M為的中點，，，∴點M的坐標為，則，，∵，，∴，又，∴，∴，，∴，則；

（2）解：存在，如圖，作軸于E，軸于F，

∵，∴，當時，四邊形是矩形，此時軸，∴，由（1）知，由得，∴點B坐標為；（3）解：根據(jù)題意，分三種情況：當為對角線時，如圖，則菱形中，，點N在y軸上，

∵，∴，，∴，即，∴，解得，∴，在中，，由勾股定理得，解得，即點N的縱坐標為3；當為對角線時，如圖，則菱形中，，即軸，∴點N的縱坐標為8；

當為對角線時，∵點B是x軸的正半軸上的一個動點，∴，故此菱形不存在，綜上，滿足條件的點N縱坐標為3或8．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉性質(zhì)、勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性較強，運用分類思想是解題的關鍵．18．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖①，點C把線段分成兩部分，如果，那么稱線段被點C黃金分割，點C為線段的黃金分割點．與的比稱為黃金比，它們的比值為．請完成下面的問題：

(1)如圖②，，點A在邊上，．請在邊上用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點B，使得與的比為黃金比；（不寫作法，保留作圖痕跡）

(2)如圖③，在中，，若，請你求出的度數(shù)．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作線段的垂直線平分線，交線段于點C，再過點A作OA的垂線，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點E，連接，然后以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點F，最后以點O為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點B，如圖，點B即為所求．（2）在邊上截取，連接，根據(jù)，可得，，，從而得到，進而得到，可證明，從而得到，設，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，從而得到，再由三角形外角的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】（1）解：先作線段的垂直線平分線，交線段于點C，再過點A作OA的垂線，以點A為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點E，連接，然后以點E為圓心，的長為半徑畫弧，交線段于點F，最后以點O為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點B，如圖，點B即為所求．

理由：根據(jù)作法得：，，∴，∴，∴,∴，∴與的比為黃金比；（2）解：在邊上截取，連接，

∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了黃金分割，相似三角形的判定和性質(zhì)，復雜作圖，勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．19．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）將矩形紙片放置在平面直角坐標系中，點，點，點，點P在邊上（點P不與點O，C重合），沿著折疊該紙片，得點O的對應點．

(1)如圖1，若，則________°；(2)如圖2，若，求的面積；(3)連接，當是直角三角形時，直接寫出此時點P的坐標．【答案】(1)28(2)；(3)點P的坐標為或．【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)得到，，再利用四邊形內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，據(jù)此求解即可；（2）延長交AB的延長線于點M，推出，設，在中，利用勾股定理列式計算求得，據(jù)此求解即可；（3）分兩種情況討論，當時，點落在邊上以及當時，點落在對角線上，即可求解．【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)得，，∴，∴，故答案為：28；（2）解：延長交AB的延長線于點M，

由翻折知：，∵，∴∠APO=∠PAM．∴，∴．設，則．在中．，即．解得：．∴，∴，∵，∴；（3）解：當時，點落在邊上，是直角三角形，

∵點，點，四邊形為矩形，∴．根據(jù)題意，由折疊可知，∴，，，在中，，∴．∵，∴，∴，∴，即，解得，∴點P的坐標為；當時，是直角三角形，由折疊的性質(zhì)知，則點落在對角線上，

，∴，設，則，在中，由勾股定理得，解得，∴點P的坐標為；綜上，點P的坐標為或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關性質(zhì)及定理是解題的關鍵．20．（2023·江蘇·模擬預測）（1）【基礎模型】：如圖1，在中，為上一點，．求證：．（2）【嘗試應用】：如圖2，在平行四邊形中，為上一點，為延長線上一點，，若，，求的長．（3）【更上層樓】：如圖3，在菱形中，是上一點，是內(nèi)一點，，，，，請直接寫出菱形的邊長．

【答案】（1）見解析；（2）9；（3）【分析】（1）直接利用兩個角對應相等證明即可得到結論；（2）首先說明，得，求出的長，再利用平行四邊形的性質(zhì)可得的長；（3）延長交于，利用兩組對邊分別平行可得四邊形是平行四邊形，得，在利用，得，代入化簡即可．【詳解】解：（1），，，；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，；（3）如圖所示，延長交于，

四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，．又∵，∴，∴，∴菱形的邊長為．【點睛】本題考查了相似綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握共邊共角三角形相似是解題的關鍵．21．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在矩形中，，，點從點沿邊向點以的速度移動；同時，點從點沿邊向點以的速度移動，設運動的時間為秒．

(1)若，求的值；(2)若是直角三角形，求的值；(3)是否存在這樣的時刻，使？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)，(3)存在，【分析】（1）由題意可分別求得的長，由建立方程，即可求得t的值；（2）由題意，易得，由相似三角形的性質(zhì)建立方程可求得t的值；（3）把矩形補成正方形，延長交于G，連接，延長到H，使，連接；先證明，然后證明，則；再在中利用勾股定理建立方程即可求得t的值．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，；由題意得：，則，∵，∴，整理得：，∴，，即t的值為2或4；（2）解：由題意只能是，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，，經(jīng)檢驗，兩個值是原方程的解，均符合題意，t的值為或；（3）解：存在如圖，把矩形補成正方形，延長交于G，連接，延長到H，使，連接；∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴；∴；∵，∴；∵，∴，∴；∵，，∴；∵，，∴，∴，即，∴，∴；在中，由勾股定理得：，即，整理得：，解得：（舍去），∴t的值為．

【點睛】本題是四邊形的綜合，考查了矩形與正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性強，特別是（3）小題，有一定的難度，通過把矩形補成正方形，構造全等三角形是解題的關鍵與難點．22．（2023秋·江蘇泰州·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，矩形放置于平面直角坐標系中，點O與原點重合，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，點B的坐標為，點D從點O出發(fā)，沿x軸正半軸運動，連接，作點O關于直線的對稱點E．

(1)若點C、E、A在一直線上，則的長為___________；(2)若點E到邊的距離為1時，求的長；(3)若點E剛好落在邊的垂直平分線上時，求的長．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）連接、，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，根據(jù)軸對稱可知，，，，，根據(jù)，求出；（2）過點E作于點H，設，，證明，得出，即①，根據(jù)勾股定理得出②，求出結果即可；（3）過點E作于點H，設，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，即①，根據(jù)勾股定理得出②，求出即可得出答案．【詳解】（1）解：連接、，如圖所示：

∵四邊形為矩形，點B的坐標為，∴，，根據(jù)軸對稱可知，，，，∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：過點E作于點H，設，，如圖所示：

∵，，∴，∵，∴，∴，即①，根據(jù)勾股定理得：，∴②由①②得：，（不合題意的解已經(jīng)舍去）；∴；（3）解：過點E作于點H，設，，如圖所示：

根據(jù)解析（2）可知，，∴，即①根據(jù)勾股定理得：，∴②由①②可得：（不合題意的解已經(jīng)舍去），∴．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關鍵是作出相應的輔助線，數(shù)形結合，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．23．（2023秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習）如圖，在中，點D、E分別在邊，上，與相交于點O，且，．

(1)求證：；(2)若，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明利用相似三角形的性質(zhì)，三角形的外角和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）過點A作于點F，交于點G，連接，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得到；再利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的判定定理得到；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式分別得到與的長，則．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，；，，，，，；（2）解：如圖，過點A作于點F，交于點G，連接，

，，，即為的垂直平分線，，，由（1）知：，，，，．，，，，．，，．，，，，．．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，比例的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．24．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學?？茧A段練習）【模型呈現(xiàn)：材料閱讀】如圖，點，，在同一直線上，點，在直線的同側，和均為等邊三角形，，交于點，對于上述問題，存在結論（不用證明）：（1）（2）可以看作是由繞點旋轉而成；…

【模型改編：問題解決】點，在直線的同側，，，，直線，交于，如圖1：點在直線上，①求證：；

②求的度數(shù)．

如圖2：將繞點順時針旋轉一定角度．③補全圖形，則的度數(shù)為______；④若將“”改為“”，則的度數(shù)為______．（直接寫結論）【模型拓廣：問題延伸】如圖3：在矩形和矩形中，，，，連接，，求的值．

圖1

圖2

圖3【答案】【模型改編：問題解決】①見解析；②；③圖見解析，115°；④【模型拓廣：問題延伸】【分析】【模型改編：問題解決】①先證明，可得，再證明，可得；②由，可得，再結合三角形的外角可得答案；③連接并延長交于，同理可得：，，再結合三角形的外角可得答案；④先求解，結合③的思路可得答案；【模型拓廣：問題延伸】連接、，先證明，可得，，證明，可得，可得，從而可得答案．【詳解】【模型改編：問題解決】①∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴；②由①知，，∴，∴③補圖如下：連接并延長交于，

圖2同理可得：∴，∴，④∵，，∴，同理③可得，故答案為：；【模型拓廣：問題延伸】連接、，

圖3∵在矩形和矩形中，，，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的證明三角形相似是解本題的關鍵．25．（2023·江蘇鹽城·?？级＃締栴}情境】數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1，在中，，為延長線上一點，連接，過點作于點．在圖中找出與一定相等的角，并證明．

(1)【獨立思考】請解答王老師出示的問題．(2)【實踐探究】在原有問題條件不變的情況下，王老師通過增加新條件，并提出了新問題：如圖2，與交于點，若，，，求的長度．(3)【問題解決】在（2）的條件下，數(shù)學活動小組的同學提出了下面的問題：如圖3，為上的一點，且，①證明；②該小組研究后發(fā)現(xiàn)，延長交于點．根據(jù)線段與的長度，可以求出圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長度．請你求出的長．【答案】(1)(2)4(3)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余和同角的余角相等可得出結論；（2）根據(jù)勾股定理在中即可求出；（3）①過A作于K，證明，，即可得出結論．②延長至M，使，連接．證明，得，求得AG=1，，從而可求出，由①知：，所以，然后證明，得，即，即可求解．【詳解】（1）解：，證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）在中，，又∵，，，∴（3）①證明：過A作于K，

由（2）可知：，在與中，，∴，∴，，∵，，∴，在與中，，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，，延長至M，使，連接．

∴，由①知：，∴，∵∴∵∴∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，此題屬三角形綜合題目，熟練掌握相關知識的靈活性運用是解題的關鍵．26．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）【回歸課本】我們曾學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．

【初步體驗】（1）如圖1，在中，點D在上，E在上，．若，，則，；（2）已知，如圖1，在中，點D、E分別在、上，且．求證：．證明：過點作的平行線交于點F………………請依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個三角形相似）和上面的基本事實，補充上面的證明過程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線與的三邊、、或其延長線交于D、F、E點，那么是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由；（4）如圖3，在中，D為的中點，．則．

【答案】（1）3，（2）見解析（3）是定值，值為1（4）【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例，列出比例式進行求解即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及平行線分線段成比例，推出和的各角對應相等，各邊對應成比例，即可得證；（3）過點作，交于點，得到，即可得到；（4）過點作，交于點，交于點，根據(jù)平行線分線段成比例，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，進行推導求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，即：，∴，∴；故答案為：3，；（2）證明：過點作的平行線交于點F

則：，∵，∴，又，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，又，∴；（3）過點作，交于點，

∴，∴，即：為定值，值為1；（4）過點作，交于點，交于點，

∵，∴，∵，為的中點，∴，∴，∴，同理：，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關鍵是掌握平行線分線段成比例，添加輔助線，構造平行和相似三角形．27．（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖①，已知點在正方形的對角線上，，垂足為點，，垂足為點．（1）【證明與推斷】①求證：四邊形是正方形：②推斷：的值為______；（2）【探究與證明】：將正方形繞點順時針方向旋轉度（），如圖②所示，試探究線段與之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）【拓展與運用】：正方形在旋轉過程中，當，，三點在同一直線上時，如圖③所示，延長交于點．①求證：②若，，求的長．

【答案】（1）①證明見解析；②；（2）；（3）①證明見解析，②【分析】（1）①由、結合可得四邊形是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接，只需證即可得；（3）①證明，結合，可得結論；②證，則，設，則，求解，，，由建立方程可得答案．【詳解】解：（1）①∵四邊形是正方形，∴，，∵、，∴，∴四邊形是矩形，，∴，∴四邊形是正方形；②由①知四邊形是正方形，∴，，∴，，∴；（2）連接，由旋轉性質(zhì)知，

在和中，，∴，∴，∴線段與之間的數(shù)量關系為；（3）①∵正方形，正方形，A，，三點在同一直線上，∴，，∴，∵，∴；②由①知，，則，設，則，∴，∴，則，∴，∴由，得，解得：，即．【點睛】本題主要考查相似形的綜合題，旋轉的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點．28．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習）在四邊形中，分別是邊上的點，與交于點G．

(1)如圖1，若四邊形是正方形，且，則之間的數(shù)量關系是_______；(2)如圖2，若四邊形是矩形，且，求證：；(3)如圖3，若四邊形是平行四邊形，試探究：當與滿足什么關系時，成立？并證明你的結論．【答案】(1)；(2)見解析；(3)，證明見解析．【分析】（1）由四邊形為正方形，利用正方形的性質(zhì)得到，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用得到，利用全等三角形對應邊相等即可得證；（2）由四邊形為矩形，得到一對直角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到，利用相似三角形對應邊成比例即可得證；（3）當時，成立，理由為：如圖3，在的延長線上取點，使，利用平行線的性質(zhì)，以及同角的補角相等得到，利用相似三角形對應邊成比例即可得證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：＋；（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）當時，成立，證明：如圖3，在的延長線上取點，使，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即．

【點睛】本題考查了特殊平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運用各圖形的性質(zhì)和定理進行推理是解決本題的關鍵．29．（2023·江蘇宿遷·校考三模）【觀察與猜想】（1）如圖1，在矩形中，點E、F分別在邊、上，連接與交于點O，若，且，，則______；【類比探究】（2）如圖2，在平行四邊形中，點E、F分別在邊、上，連接與交于點O，當與滿足什么關系時，成立？請說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點E在邊上，連接與交于點O，當時，求的值．

【答案】（1）；（2）當時，成立，理由見解析；（3）【分析】（1）證明，根據(jù)相似比即可求解；（2）當時，可證明得到，再證明，得到，由此可得，即；（3）如圖所示，過點C作交延長線于N，過點D作交延長線于M，則四邊形是平行四邊形，證明，則，再證，得，則，在上取一點P，使，連接，證是等邊三角形，得，，然后證，得，設，則，，進而由，得出方程，求出，即可解決問題．【詳解】解：（1）∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，，，故答案為：；（2）當時，成立，理由如下：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即；（3）如圖所示，過點C作交延長線于N，過點D作交延長線于M，則四邊形是平行四邊形，∴，，，同（2）可得，在上取一點P使得，連接，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，設，則，，∴，∵，∴，解得，∴，∴．

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關鍵．30．（2023·江蘇泰州·?？级＃┰诰C合與實踐課上老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展了數(shù)學活動．（1）操作判斷：在上選一點，沿折疊，使點落在正方形內(nèi)部的點處，把紙片展平，過作交、、于點、、，連接并延長交于點，連接，如圖①，當為中點時，求證是等邊三角形．（2）遷移探究：如圖②，若，且，求正方形的邊長；如圖③，若，直接寫出的值為______．【答案】（1）見解析；（2），．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，，利用平行線的性質(zhì)得，進而得，，再利用直角三角形中線的性質(zhì)可得，即可證明為等邊三角形；（2）證明，可得，證明，可得，從而求得，，再利用勾股定理求得的長，再算出的長，即可求出正方形的邊長；設，根據(jù)題意可得，，，設，則，根據(jù)，可得，再代入計算解出即可求解．【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，點為的中點，，點為的中點，，，，為等邊三角形；（2）由折疊的性質(zhì)可知，，在和中，，，，，四邊形為矩形，，，，，，，，，，，，，，即，，，在中，，，，，即正方形的邊長為；設，若，，，，設，則，，，，整理得：，，，．故答案為：．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、面積轉化法，靈活運用所學知識是解題的關鍵．31．（2023·安徽滁州·?？级＃┰谡叫沃?，點E、F分別是邊上的點，連接且．

(1)如圖1，當點G在上時，求證：；(2)如圖2，當點B與點E重合時，分別交于點M，N，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得，而，則，即可證明，得，則，所以；（2）作交的延長線于點H，可證明，則，，可推導出，則，所以，則，而，即可證明，得，所以．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：如圖2，作交的延長線于點H，則，

∵點E與點B重合，且，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】此題重點考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解答本題的關鍵．32．（2023春·吉林長春·八年級長春市解放大路學校校考期末）【問題原型】華師版教材八年級下冊第121頁有這樣一道題：如圖①，在正方形中，．求證：．請你完成這一問題的證明過程．

【問題應用】如圖，在正方形中，，E、F分別是邊、上的點，且．（1）如圖②，連接、交于點G，H為的中點，連接，．當E為的中點時，四邊形的面積為______；（2）如陽③，連接、，當點E在邊上運動時，的最小值為______．【答案】問題原型：見解析；問題應用（1）；（2）；【分析】問題原型：證明和全等即可；問題應用（1）證明，得到，再證明，求出，再分別求出，分別表示，則四邊形的面積可求；（2）證明，得到，將的最小值轉化為的最小值問題，由最短路徑模型求出最小值，則問題可解．【詳解】問題原型證明：由已知，在正方形中，，，∴，∵∴，∴，∴，∴；問題應用（1）∵，，∴∵又∵∴，∴，由已知，，，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，∵H為的中點，∴，∴，四邊形的面積為：；故答案為：（2）連，

∵，，，∴，∴，∴，則的最小值為即為的最小值，如下圖，取點關于的對稱點，連，交于點，連，∴，∴的最小值為，

故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理和最短路徑問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題．33．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是上一點，，連接．

(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若，，當點D移動到使時，求的長度；(3)如圖③，作交的延長線于點F，探索與的數(shù)量關系，并證明你的結論．【答案】(1)見解析(2)(3)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，以及比例線段的性質(zhì)，得到，，即可得證；（2）證明，得到，代值計算即可；（3）根據(jù)，推出，證明，推出，進而得到，即可得出結論．【詳解】（1）解：證明：∵∴，，∴，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；（3）解：；證明：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵交的延長線于點F，∴，∴．∴，即；∴，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是證明三角形相似．34．（2023·湖南株洲·株洲二中?？寄M預測）如圖，在矩形中，，，是上的一個動點（不與，重合），過點的反比例函數(shù)的圖象與邊交于點．

(1)當為的中點時，求點到的距離的長．(2)當點為線段上任意一點時，試問是否為定值？請說明理由．【答案】(1)(2)為定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可求得，根據(jù)中點的性質(zhì)可求得，待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式為，求得，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)反比例函數(shù)上點的特征可求得，，推得，，即可求得，即可求解．【詳解】（1）解：∵在矩形中，，，∴，∵為的中點，∴，將點代入，解得：，∴反比例函數(shù)為；將代入，解得：，∴，∴，∴，∵，，∴，∴即，解得：．（2）解：為定值，理由如下：∵點在線段上，點在線段上，∴點的橫坐標為3，點的縱坐標為2，又∵點，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，∴，，∴，所有為定值．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)上點的特征，熟練掌握反比例函數(shù)上點的特征是解題的關鍵．35．（2023春·江西南昌·九年級南昌市第二十八中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，于點，

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩個三角形相似的判定定理，結合題意即可得證；（2）由（1）中，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、直線三角形性質(zhì)得到相關線段長度，由相似比代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：，，；（2）解：在中，，，由等腰三角形“三線合一”得到是的邊上的中線，，在中，是斜邊上的中線，即，，由（1）可知，，即，解得：．【點睛】本題考查相似三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵．36．（2023·湖北武漢·武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？寄M預測）如圖，菱形，，點E為平面內(nèi)一點，連接．(1)如圖1，點E在的延長線上，將繞點A順時針旋轉60°得，交延長線于點G，連接交延長線于點H，若，，求的長；(2)如圖2，點E在的延長線上，將繞點A逆時針旋轉60°得，連接，點M為的中點，連接，，證明：；(3)如圖3，將沿翻折得（），連交于點S，點T為平面內(nèi)一點，當取得最大值時，連接，，若，求的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由旋轉知，，，得出為等邊三角形，求出，過點H作交于點Z，則，得出，得出，，進而可求出答案；（2）過點B作交于點L，過點F作交于K，設，，由旋轉可知，是等邊三角形，得出，在中，，，得出，再求出，，再根據(jù)勾股定理求解即可；（3）連接，由折疊知，，，得出點E是以點A為圓心，AB為半徑的圓上的一段弧，與的交點記作點N，得出點A，S，B，D在同一個圓上，即點S是等邊的外接圓上的一段弧，即，得出點E在的中垂線和半徑為的的交點時，最大，將繞點A逆時針旋轉120°得到，連接，，進而可得出答案．【詳解】（1）解：如圖1，由旋轉知，，，∴為等邊三角形，∴，在中，，，∴，∴，過點H作交于點Z，則，∴，∴，∴，∵，∴，，∴；（2）解：過點B作交于點L，過點F作交于K，設，，由旋轉可知，是等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，在中，，，∵，∴，，∵點M為的中點，∴，∴，，在中，，在中，，∴；（3）（3）如圖3，連接，由折疊知，，，∴點E是以點A為圓心，AB為半徑的圓上的一段弧，∴，∴，與的交點記作點N，∴，∵，∴點A，S，B，D在同一個圓上，即點S是等邊的外接圓上的一段弧，即，∵的外接圓的圓心在AB的中垂線上，∵為等邊三角形，∴的中垂線過點D，即點E在的中垂線和半徑為的的交點時，最大，如圖4，∴，∵點T為平面內(nèi)一點，且，∴點T在以點A為圓心，3為半徑的圓上，將繞點A逆時針旋轉120°得到，連接，，∴，，∵，∴，∴，要最大，則最大，∵，∴點Q在上時，最大，最大為，過點A作于V，∴，，∴，∴，∴，∴，即的最大值為．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，．37．（2023春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）小軍在學習相似三角形時，遇到這樣一個問題：

(1)如圖1，在中，是邊上一點，連接，若，求證：；(2)如圖2，已知，，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理求解即可；（2）首先證明出，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】（1）∵，∴；（2）∵，∴∴∵∴∴∵∴解得∴．【點睛】本題考查相似三角形，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于基礎題型．38．（2023春·江西鷹潭·九年級?？茧A段練習）綜合與探究問題提出：數(shù)學課上，老師提出了一個問題：在中，，于點D，E為上的一動點，與相交于點G，點F在上，于點E，試探究與的數(shù)量關系，并加以證明．

特例故知：（1）勤奮小組從特殊情況入手：如圖1，，E為的中點，則與的數(shù)量關系為______．變式探究（2）希望小組受此啟發(fā)，作了如下改變：如圖2，將（1）中“”改為“”，其他條件不變，試探究與的數(shù)量關系，并加以證明．拓展提高（3）經(jīng)過前兩個小組的探究，智慧小組將該問題的條件更一般化：如圖3，，，試探究與的數(shù)量關系，并加以證明．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3），證明見解析【分析】（1）過點E作，垂足分別為，證明，即可得出結論；（2）過點E作，垂足分別為，證明，結合解直角三角形的知識進行解答即可；（3）過點E作，垂足分別為，證明，結合解直角三角形的知識進行解答即可．【詳解】解：（1）過點E作，垂足分別為，

∵，，，∴，∵，∴和為等腰直角三角形，∵E為的中點，∴，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）過點E作，垂足分別為，

同理可得四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∵E為的中點，∴，∴，即；（3）過點E作，垂足分別為，

同（2）可得，∴，∵，，∴，∴，即．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識點，運用類比的方法解題是本題的關鍵．39．（2023春·江西吉安·九年級校聯(lián)考期中）如圖1，在菱形中，對角線與相交于點，且，．

(1)求菱形的面積及周長；(2)點是射線上一個動點，作射線，交射線于點．將射線繞點逆時針旋轉后交射線于點，旋轉角為，且，連接．①如圖2，當點與點重合時，求的周長；②當時，請直接寫出的長為______；【答案】(1)菱形的周長為40，菱形的面積(2)①的周長；②【分析】（1）根據(jù)勾股定理和菱形的性質(zhì)進行解答即可；（2）①證明，得出，即，得出，根據(jù)，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案；②設，根據(jù)勾股定理求出，即，求出，得出，根據(jù)，得出，求出即可．【詳解】（1）解：如圖1中，四邊形是菱形，∴，，，∴，∴菱形的周長為40，菱形的面積；（2）解：①如圖2中，過點O作于點，

∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴的周長．②如圖3中，設．

∵，∴，∴，∴，∴∴∵，∴，∴，∴．故答案為：；【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定，證明．40．（2023秋·安徽·九年級階段練習）如圖，在和中，，．

(1)求證：．(2)若點H、G分別是的中點，且，連接，求的值．(3)若在和中，，點H、G分別是的中點，且，連接，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）先利用等式的性質(zhì)得到，再證明，得到，再利用兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似即可求證．（2）利用兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明，利用對應邊成比例即可求解．（3）先證明，再證明都是等腰直角三角形，接著得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵在和中，，，∴，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴都是等邊三角形，∴它們的每個內(nèi)角都是，∵點H、G分別是的中點，∴，，，∴，，∵，∴，即，∴，∴．（3）∵在和中，，∴，∴，∵，，∴∴都是等腰直角三角形，∴，∵點H、G分別是的中點，∴，∴，，∴，∵，∴，即又∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是正確判定相似三角形．41．（2023春·江西九江·九年級校聯(lián)考階段練習）探究（一）：如圖1，在中，，D是上一點（不與A，B重合），交于點E，連接．設的面積為S，的面積為．

（1）當時，______，______．（2）設，請你用含字母的代數(shù)式表示．探究（二）：如圖2，在四邊形中，，，，E是上一點（不與A，B重合），，交于點F，連接，設，四邊形的面積為S，的面積為．請你利用問題1的解法或結論，用含字母n的代數(shù)式表示．【答案】探究一：（1）；；（2）；探究二：【分析】探究一：（1）證明，得到，得到，進行求解即可；（2）同法（1）即可得出結論；探究二：分別延長，交于點O，同探究一的方法進行求解即可．【詳解】探究一（1）∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴；故答案為：，；（2）∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴，即．探究二：分別延長，交于點O，

∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴由問題1的解法可知：．∵，∴，∴，即．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關鍵是證明三角形相似，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．42．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）已知，矩形，點E是上一點，將矩形沿折疊，點A恰好落在上點F處．

(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若點F恰好是的中點，點M是上一點，過點M作交于點N，連接，若平分，求證：．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）先利用勾股定理求得的長，證明，設，則，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）解：∵矩形中，，，，∴．由折疊的性質(zhì)得，，∴．∴．∵，∴，∴，設，則，∴，∴解得，∴；（2）證明：∵F為BD的中點，，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．43．（2023秋·安徽·九年級階段練習）閱讀理解：如圖1，在直角梯形中，，，點P在邊上，當時，易證，從而得到，解答下列問題．

(1)模型探究：如圖2，在四邊形中，點P在邊上，當時，結論仍成立嗎？試說明理由；(2)拓展應用：如圖3，M為的中點，與交于點C，且交于F，交于G．，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）通過相似三角形的對應邊成比例即可解答；（2）利用相似三角形的對應角相等、三角形內(nèi)角和定理證得且；然后在直角中由勾股定理求得；最后利用相似三角形的對應邊成比例以及在直角中利用勾股定理來求的長度即可．【詳解】（1）解：∵，（已知），∴，又∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，∴，又∵，∴．∵，∴．當時，，即且．∵M為的中點，∴，．又∵，∴，即：，又∵，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理等知識點，靈活運用相關性質(zhì)定理是解答本題的關鍵．44．（2023春·安徽宿州·九年級?？计谥校┰诰匦沃?，點是上的一動點，平分，交于點，交于點，連接．

(1)如圖（1），若，求證：；(2)如圖（2），當點是的中點，時．①求證：；②求的值．【答案】(1)證明解析；(2)①證明解析；②；【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可知，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可知，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知是等腰三角形，最后利用等腰三角形的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)矩形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可知，再根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可知進而可知，最后利用中點的定義及勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：∵在矩形中，∴，，∴，∵平分，，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）證明：設交于點O，∵，∴，∵在矩形中，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∴；

②∵在矩形中，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵在矩形中，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∵點是的中點，∴，設，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的值為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵．45．（2023春·江蘇淮安·九年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，已知矩形中，邊，邊，且分別在x軸、y軸的正半軸上，點A與坐標原點重合．將矩形折疊，使點A落在邊上，設點是點A落在邊上的對應點．

(1)當矩形沿直線折疊時（如圖1），則點的坐標為（，），b的值為；(2)當矩形沿直線折疊時，①點的坐標為（用k表示）；②求出b和k之間的關系式；③如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖2，求這種情形時k的取值范圍；④如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖3時，k的取值范圍是；如圖4時，k的取值范圍是．（直接填寫結果，不寫過程）【答案】(1)；(2)①；②；③；④，【分析】（1）設直線與交于點E，與交于點F，則，，設點的坐標為，證明，得，代入數(shù)值求出，可得點的坐標，連接，根據(jù)勾股定理求出；（2）①設直線與交于點E，與交于點F，則，，設點的坐標為，證明，得，求出a，可得點的坐標，連接，根據(jù)勾股定理求出b即可；③∵直線與邊相交得，分別求出當直線過點時，當過點時的k的值，即可得到k的取值范圍；④仿照③解答即可．【詳解】（1）設直線與交于點E，與交于點F，則，，

設點的坐標為，∵，，∴∴∴，即，∴，∴點的坐標為，連接，則在中，根據(jù)勾股定理有即，解得故答案為：；；（2）①如圖1，設直線與交于點E，與交于點F，連接

則,設點的坐標為，∵，，∴∴∴，即，∴，∴點的坐標為；故答案為：；②連接，在中，，∵∴∴；③∵直線與邊相交，∴∵，∴，當直線過點時，，解得（正值舍去），故；當過點時，，解得，故，∴k的取值范圍是；④如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖3時，直線與邊相交，故當點O與點D重合時，，當直線點時，，解得（正值舍去），故；當直線過點時，，解得，故，∴；如果折痕所在的直線與矩形的位置如圖4，直線與邊相交，故當點A點C合時，，當直線點時，，解得（正值舍去），∴故答案為：，．【點睛】此題是一道有關折疊的問題，主要考查一次函數(shù)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結合的思想，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．46．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┚C合與實踐：數(shù)學小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極