(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義（基礎(chǔ)班）1.4《基本不等式》 (原卷版)

頁第四節(jié)基本不等式核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合作差法，了解基本不等式的證明過程，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合求函數(shù)最值問題，考查靈活運用基本不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合實際應(yīng)用問題，考查利用基本不等式求最值問題，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1a2＋b2≥2ab，a，b∈R；,2\f(b,a)＋\f(a,b)≥2，ab>0；,3ab≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R；,4\f(a2＋b2,2)≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R))eq\a\vs4\al(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時,等號成立.)3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則：(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．已知x>0，y>0，xy＝16，則x＋y的最小值為()A．32B．24C．4eq\r(2)D．82．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，則eq\r(xy)的最大值為()A．9B．18C．36D．813．若x<0，則x＋eq\f(1,x)()A．有最小值，且最小值為2B．有最大值，且最大值為2C．有最小值，且最小值為－2D．有最大值，且最大值為－24．若實數(shù)x，y滿足xy＝1，則x2＋2y2的最小值為________．二、易錯點練清1．函數(shù)f(x)＝2x＋eq\f(3,x)＋1(x<0)的最大值為________．2．當(dāng)x≥2時，x＋eq\f(4,x＋2)的最小值為________．考點一利用基本不等式求最值考法(一)拼湊法求最值[例1](1)已知f(x)＝eq\f(x2＋3x＋6,x＋1)(x>0)，則f(x)的最小值是()A．2B．3C．4D．5(2)已知a>0，b>0，且ab＝1，則eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)＋eq\f(8,a＋b)的最小值為________．[方法技巧]1．拼湊法求最值拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．2．拼湊法求解最值應(yīng)注意的問題(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項、添項時應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的條件．考法(二)常數(shù)代換法求最值[例2](1)已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A.若直線mx＋ny＝2過點A，其中m，n是正實數(shù)，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值是()A．3＋eq\r(2)B．3＋2eq\r(2)C.eq\f(9,2)D．5(2)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為________．[方法技巧]1．常數(shù)代換法求最值的步驟(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．常數(shù)代換法求解最值應(yīng)注意的問題(1)條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)是基礎(chǔ)；(2)已知等式化成“1”的表達(dá)式，是代數(shù)式等價變形的關(guān)鍵；(3)利用基本不等式求最值時注意基本不等式的前提條件．考法(三)消元法求最值[例3]已知正實數(shù)a，b，c滿足a2－ab＋4b2－c＝0，當(dāng)eq\f(c,ab)取最小值時，a＋b－c的最大值為()A．2B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,4)[方法技巧]通過消元法求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．考法(四)放縮法求最值[例4](1)已知正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的最小值是________．(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．[方法技巧]放縮法解不等式求最值的方法將所給代數(shù)式，利用基本不等式放大或縮小，構(gòu)造出所求最值的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，然后通過解不等式求出代數(shù)式范圍，從而求出代數(shù)式的最值．考點二基本不等式在實際問題中的應(yīng)用[典例]如圖，一個鋁合金窗分為上、下兩欄，四周框架和中間隔擋的材料為鋁合金，寬均為6cm，上欄與下欄的框內(nèi)高度(不含鋁合金部分)的比為1∶2，此鋁合金窗占用的墻面面積為28800cm2，設(shè)該鋁合金窗的寬和高分別為acm，bcm，鋁合金窗的透光部分的面積為Scm2.(1)試用a，b表示S；(2)若要使S最大，則鋁合金窗的寬和高分別為多少？[方法技巧]利用基本不等式求解實際應(yīng)用題的方法(1)此類型題目的題干往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解．(2)當(dāng)運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解．[針對訓(xùn)練]經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？[典例](1)如圖，在△ABC中，eq\o(CM,\s\up7(→))＝2eq\o(MB,\s\up7(→))，過點M的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點P，Q，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AQ,\s\up7(→))＝neq\o(AC,\s\up7(→))，則mn＋m的最小值為()A．2B．2eq\r(3)C．6D．6eq\r(3)(2)已知x>0，y>0，且eq\f(xy,2y＋3x)＝1，不等式eq\f(x,2)＋eq\f(y,3)≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．[方法技巧]基本不等式的應(yīng)用非常廣泛，它可以和數(shù)學(xué)的其他知識交匯考查，解決這類問題的策略是：(1)先根據(jù)所交匯的知識進(jìn)行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉(zhuǎn)化為用基本不等式求解，這是難點；(2)要有利用基本不等式求最值的意識，善于把條件轉(zhuǎn)化為能利用基本不等式的形式；(3)檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題．[針對訓(xùn)練]1.如圖，三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝2，設(shè)點K是△ABC內(nèi)一點，現(xiàn)定義f(K)＝(x，y，z)，其中x，y，z分別是三棱錐K-PAB，K-PBC，K-PAC的體積，若f(K)＝(a，eq\f(1,3)，b)，則eq\f(3a＋b,ab)的最小值為________．2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法“1的代換”的妙用1．若正實數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則eq\f(y,x)＋eq\f(4,y)的最小值是________．2．已知a＞0，b＞0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則3a＋2b＋eq\f(b,a)的最小值為________．3．計算(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝________.eq\a\vs4\al([名師微點])“1”的代換是通過在實際解題中，恰當(dāng)運用“1”的整體性進(jìn)行代換，結(jié)合相應(yīng)的定理、公式，進(jìn)而達(dá)到迅速解題的目的，常在不等式及三角函數(shù)中應(yīng)用．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向1．一家商店使用一架兩臂不等長的天平秤黃金，一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平的左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次秤得的黃金交給顧客，你認(rèn)為顧客購得的黃金()A．大于10gB．大于等于10gC．小于10gD．小于等于10g2．某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/小時；(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時．3．規(guī)定：“?”表示一種運算，即a?b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k的值為________，此時函數(shù)f(x)＝eq\f(k?x,\r(x))的最小值為________．4．已知eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，eq\f(π,4)<β<eq\f(π,2)，且sin2αsin2β＝sin(α＋β)cosαcosβ，則tan(α＋β)的最大值為________．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．設(shè)a>0，則a＋eq\f(a＋4,a)的最小值為()A．2eq\r(a＋4)B．2C．4D．52．設(shè)x為實數(shù)，則“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．在下列各函數(shù)中，最小值等于2的函數(shù)是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)(0<x<eq\f(π,2))C．y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))D．y＝ex＋eq\f(4,ex)－24．(多選)若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)b有最大值eq\f(1,4)B.eq\r(a)＋eq\r(b)有最小值eq\r(2)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)5．用一段長8cm的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型面積的最大值為()A．9cm2B．16cm2C．4cm2D．5cm26．若x>1，則x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．二、綜合練——練思維敏銳度1．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，則a＋b的最小值為()A．2B．4C．6D．83．已知a>0，b>0，并且eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差數(shù)列，則a＋9b的最小值為()A．16B．9C．5D．44．已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是()A．1B．3C．6D．125．若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，則a＋b的最小值是()A．7＋2eq\r(3)B．6＋2eq\r(3)C．7＋4eq\r(3)D．6＋4eq\r(3)6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均為正數(shù)，則eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A.eq\f(5,3)B.eq\f(8,3)C．8D．247．已知△ABC的面積為1，內(nèi)切圓半徑也為1，若△ABC的三邊分別為a，b，c，則eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)的最小值為()A．2B．2＋eq\r(2)C．4D．2＋2eq\r(2)8．正數(shù)a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[3，＋∞)B．(－∞，3]C．(－∞，6]D．[6，＋∞)9．實數(shù)x，y滿足|x＋y|＋|x－y|＝2，若z＝4ax＋by(a>0，b>0)的最大值為1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有()A．最大值9B．最大值18C．最小值9D．最小值1810．已知a>0，b>0，若直線(a－1)x＋2y－1＝0與直線x＋by＝0互相垂直，則ab的最大值是________．11．若關(guān)于x的不等式x＋eq\f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．12．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a