函數(shù)的單調(diào)性及曲線的凹凸性

第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性一、函數(shù)單調(diào)性的判別法二、曲線的凹凸性與拐點一、函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)y=f(x)的圖象有時上升,有時下降.如何判斷函數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的,在什么范圍內(nèi)是下降的呢？觀察:

函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號有什么關(guān)系？結(jié)果:

函數(shù)單調(diào)增加時導數(shù)大于零

函數(shù)單調(diào)減少時導數(shù)小于零

定理.

設函數(shù)f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a,b)內(nèi)可導,則有

(1)若在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上單增

(2)若在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)在[a

b]上單減

f(x2)

f(x1)=f

(x)(x2

x1)(x1<x<x2)

證明:在(a

b)內(nèi)任取兩點x1

x2(x1<x2)

由拉格格朗日中值公式,有即:f(x1)<f(x2);(1)證畢.同理可證(2).若f

(x)>0

因x2

x1>0

所以f(x2)

f(x1)

f

(x)(x2

x1)>0

如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)增加,則它的圖形是隨x的增大而上升的曲線;所給曲線上每點處的切線斜率非負,即.如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)減少,則它的圖形是隨x的增大而下降的曲線;所給曲線上每點處的切線斜率非正,即.定理的幾何意義:函數(shù)嚴格單調(diào)減少.所給函數(shù)嚴格單調(diào)增加,例1.解:由此可知:在及內(nèi),在(－2,1)內(nèi)所給確定函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求出導數(shù)為0和導數(shù)不存在的點,以這些點為分界點將定義域分成若干個子區(qū)間;(3)確定子區(qū)間中導數(shù)的符號,由此得到每個子區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.例2.解:研究函數(shù)的單調(diào)性,我們只關(guān)心在子區(qū)間內(nèi)的符號.此三點x=-1,0,1將y的定義域分為四個子區(qū)間:作表:表中第一行由小到大標出函數(shù)的定義域被三個特殊點劃分的四個區(qū)間.第二行標出在各子區(qū)間內(nèi)的符號.可知函數(shù)的嚴格單增區(qū)間為嚴格單調(diào)減少區(qū)間為.x－１01y－0+不存在－0+第三行為函數(shù)的增減性.說明：一般地

如果f

(x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零

在其余各點處均為正(或負)時

那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或減少)的

例如函數(shù)y

x3的定義域為(

),

y

3x2

函數(shù)y

x3在區(qū)間(

0]及[0,

)內(nèi)都單增

從而函數(shù)在整個定義域(

)內(nèi)是單增

顯然當x

0時

y

0;當x

0時

y

>0

因此如果F(x)滿足下面的條件：設F(x)=f(x)－g(x),利用單調(diào)性證明不等式基本方法是：例4.解:二、曲線的凹凸性與拐點函數(shù)曲線除了有升有降之外,還有不同的彎曲方向,如何根據(jù)函數(shù)本身判斷函數(shù)曲線的彎曲方向呢？曲線的凹凸性定義設f(x)在區(qū)間I上連續(xù)

若對I上任意兩點x1

x2

恒有則稱f(x)在I上的圖形是凹的

則稱f(x)在I上的圖形是凸的

如果恒有定理

(曲線凹凸性判定法)在[a

b]上的圖形是凸的

設f(x)在[a

b]上連續(xù)

在(a

b)內(nèi)有二階導數(shù).(1)若在(a

b)內(nèi)f

(x)>0

則f(x)在[a

b]上的圖形是凹的

(2)若在(a

b)內(nèi)f

(x)<0

則f(x)證明(1):分別應用拉格朗日中值定理,得兩式相減,得因所以由在[a,b]內(nèi)單調(diào)增加,所以f(x)在[a

b]上的圖形是凹的同理可證(2)例6.

判斷曲線y

ln

x

的凹凸性

因y

lnx

在定義域(0

)內(nèi)恒有y

<0

解:

所以曲線y

ln

x是凸的

推論(書中定理p172)例7.

判斷曲線y

x3的凹凸性

由y

0

得x

0.解:

y

3x2

y

6x

y

<0

所以曲線在(

0]內(nèi)是凸的

y

>0

所以曲線在[0

)因當x<0時

當x>0時

內(nèi)是凹的

定義.

連續(xù)曲線y

f(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為該曲線的拐點

由定義知:如果在x0左右兩側(cè)f

(x)異號,則(x0,

f(x0))是拐點.

因此只有f

(x0)=0或不存在時,(x0,f(x0))才可能是拐點.(1)在f(x)所定義的區(qū)間內(nèi),求出二階導數(shù)等于零的點.(2)求出二階導數(shù)不存在的點.求連續(xù)曲線弧拐點的步驟不是曲線弧y=f(x)的拐點.(3)判定上述點兩側(cè)，是否異號.如果在的兩側(cè)異號,則是曲線弧y=f(x)的拐點.如果在的兩側(cè)同號,則例8.

求曲線y

3x4

4x3

1的拐點及凹,凸區(qū)間

(4)列表判斷

解:

(1)y

3x4

4x3

1的定義域為(

)

(0)0(02/3)2/3(2/3

)＋－＋∪∩∪00111/27f

(x)f(x)x在區(qū)間(

0]和[2/3

)上曲線是凹的;

在區(qū)間[0

2/3]上是凸的

(0

1),(2/3

11/27)是拐點

例9.

求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸說明:二階導數(shù)不存在的點也可能是拐點.解:y

4x3

y

12x2

當x

0時

y

>0

在區(qū)間(

)內(nèi)曲線是凹的

因此曲線無拐點

例10.

曲線y

x4是否有拐點？練習題解:

y’

6x2

6x

2

求曲線y

2x3

3x2

2x

14的拐點

解:

函數(shù)的定義域為(

)

所以函數(shù)在[0

)上單增

因為x>0時