《平方根》教學(xué)中常見的問(wèn)題和策略

§6.1《平方根》教學(xué)中常見的問(wèn)題和策略【摘要】《平方根》這節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生而言是一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)了很多常見的問(wèn)題，筆者結(jié)合這些問(wèn)題，將本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，通過(guò)與所學(xué)知識(shí)的類比和聯(lián)系，并以為基本點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)的學(xué)習(xí)來(lái)深化學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的理解和運(yùn)用。最后，在學(xué)生已經(jīng)理解了相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行運(yùn)用，符合學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的認(rèn)知心理過(guò)程，取得了較為理想的效果.【關(guān)鍵詞】問(wèn)題策略反思隨著初一數(shù)學(xué)人教版新教材的投入使用，有個(gè)別章節(jié)作了相應(yīng)的一些調(diào)整，例如《實(shí)數(shù)》這一章書由初二上學(xué)期調(diào)整為初一下學(xué)期學(xué)習(xí)。學(xué)生在初一上學(xué)期學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)以后，第二學(xué)期緊跟著又將數(shù)的范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，接觸到非常抽象的無(wú)理數(shù)，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是本學(xué)期學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。雖然本章的內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，本章內(nèi)容不僅是初中階段學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程及解三角形等知識(shí)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)。因此，需要我們教師對(duì)于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題給予重視，及時(shí)思考并在教學(xué)上作出相應(yīng)的調(diào)整。問(wèn)題剖析概念認(rèn)知上的問(wèn)題平方根的概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念之一，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較難以理解的概念之一。長(zhǎng)期以來(lái)，為了突破這一教學(xué)難點(diǎn)，很多一線老師煞費(fèi)苦心，想了很多的辦法，但很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中仍然存在以下問(wèn)題：對(duì)于平方根的本質(zhì)屬性缺乏了解，僅僅停留在模仿、機(jī)械學(xué)習(xí)的階段，如：學(xué)生在遇到以下問(wèn)題“已知3a-1與13-5a是x的平方根，求x的值”時(shí)，在計(jì)算得出a=6之后，有的學(xué)生會(huì)直接將6作為x的值，也有的學(xué)生會(huì)直接將62去求x的值。這說(shuō)明他們?cè)诟拍畹睦斫馍线€是比較模糊的，分不清被開方數(shù)和平方根之間的區(qū)別和聯(lián)系。又如在判斷“3是9的平方根”和“9的平方根是3”對(duì)于求平方和開平方這兩個(gè)互逆運(yùn)算關(guān)系缺乏理解，如：學(xué)生都會(huì)計(jì)算22=4，（-2）2=4，但當(dāng)要求“若x2=4，則x=”時(shí)，有部分學(xué)生還是掌握不到求解的方法。對(duì)于平方根、算術(shù)平方根、算術(shù)平方根的相反數(shù)等的表示方法混淆不清，經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。如：有些學(xué)生會(huì)出現(xiàn)=±3，等。概念運(yùn)用上的問(wèn)題概念的運(yùn)用對(duì)掌握和理解概念有重要作用。實(shí)際地運(yùn)用概念是概念的具體化，而概念每一次的具體化，都會(huì)使概念進(jìn)一步豐富和深化，使人對(duì)概念有更全面、更深刻的理解和掌握，把新知識(shí)納入已有的概念系統(tǒng)。對(duì)概念的運(yùn)用，要求人不但要掌握概念的內(nèi)涵所包容的東西，還要求人把握有關(guān)概念相臨近的、相對(duì)立的、相反的有關(guān)知識(shí)。過(guò)于單調(diào)的經(jīng)驗(yàn)往往使概念在應(yīng)用時(shí)發(fā)生困難。由于學(xué)生對(duì)概念的掌握過(guò)于呆板和狹窄，缺乏事物在變化的情況下應(yīng)用概念的應(yīng)變能力。所以產(chǎn)生了以下這些問(wèn)題：能夠理解一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，但是在具體應(yīng)用的問(wèn)題上則不會(huì)活學(xué)活用。如前面所涉及到的這個(gè)問(wèn)題“已知3a-1與13-5a是x的平方根，求x的值”,有部分學(xué)生出現(xiàn)這樣的列式3a-1=13-5a.對(duì)于二次運(yùn)算屢做屢錯(cuò)，如求的算術(shù)平方根，很多學(xué)生在這個(gè)問(wèn)題上失了很多分，每次都說(shuō)下一次一定記得了，但下一次又會(huì)出現(xiàn)答案為4的情況.③對(duì)于概念的變形、遷移等問(wèn)題也是學(xué)生常錯(cuò)的問(wèn)題，如求，有的學(xué)生就會(huì)直接得到-2.已知正方形的面積求正方形的邊長(zhǎng)，這是典型的求算術(shù)平方根的問(wèn)題，如果已知正方形的面積為4，那么基本上所有學(xué)生都能求得邊長(zhǎng)為2，但是如果已知正方形的面積為10，那么有部分學(xué)生則會(huì)認(rèn)為無(wú)法求邊長(zhǎng)。遇到小數(shù)時(shí)，對(duì)于平方根和被開方數(shù)之間的小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系總是理不清楚。如求時(shí)，有些學(xué)生會(huì)出現(xiàn)0.09的答案。教學(xué)策略課堂層面的教學(xué)策略，主要是講教師教的策略。教師能否設(shè)計(jì)和運(yùn)用有效的教學(xué)策略，對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)具有重要意義。同時(shí)，教師也可以通過(guò)研究和掌握有效的教學(xué)策略，提高自身的素質(zhì)，從而形成自己的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，使學(xué)生信服自己，引導(dǎo)學(xué)生在形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)的同時(shí)獲得知識(shí)和能力的提高。為了讓學(xué)生能更好地理解和接受二次根式的相關(guān)概念，并能夠在此基礎(chǔ)上更好地運(yùn)用，筆者將本節(jié)內(nèi)容的3個(gè)課時(shí)調(diào)整為：第1課時(shí)以講授二次根式和算術(shù)平方根的相關(guān)概念和表示方法為主；第2課時(shí)重在了解；第3課時(shí)以概念的相關(guān)運(yùn)用為主。2.1溫故知新運(yùn)用學(xué)生已有的知識(shí)作為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上接觸新的知識(shí)點(diǎn)，從而讓學(xué)生對(duì)于新知識(shí)不會(huì)產(chǎn)生恐懼心理，順其自然地接受新知識(shí)。為了讓學(xué)生更好地體會(huì)學(xué)習(xí)二次根式的必要性，筆者讓他們?cè)诘谝徽n時(shí)的學(xué)習(xí)中完成了以下的練習(xí)：第一課時(shí)：填空：填空：（1）3╳2=；（2）╳2=6；（3）乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算之間存在什么關(guān)系？；（4）32=；（5）（-3）2=；（5）如果一個(gè)數(shù)的平方等于9，那么這個(gè)數(shù)是；（6）若x2=9，則x=.2.2類比教學(xué)類比思想是富于創(chuàng)造性的一種方法,它既是一種邏輯方法，也是一種科學(xué)研究的方法，是最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.所謂類比法，是通過(guò)對(duì)兩個(gè)研究對(duì)象的比較，根據(jù)它們某些方面（屬性、關(guān)系、特征、形式等）的相同或相類似之處，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳囝愃频囊环N推理方法。類比法所獲得的結(jié)論是對(duì)兩個(gè)研究對(duì)象的觀察比較、分析聯(lián)想以至形成猜想來(lái)完成的，是一種由特殊到特殊的推理方法．上面所設(shè)計(jì)的練習(xí)借助類比乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算的互逆運(yùn)算關(guān)系，讓學(xué)生體會(huì)求平方和開平方的互逆運(yùn)算關(guān)系，并順理成章地給出這種運(yùn)算的命名“開平方”以及平方根的概念，再通過(guò)一組練習(xí)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)這種互逆關(guān)系的理解和運(yùn)用，如：填空：（1）填空：（1）∵（）2=16，∴16的平方根是，16叫做.（2）∵（）2=81，∴81的平方根是，81叫做.（3）4的平方根是，4叫做.（4）0的平方根是，0叫做.（5）-4有平方根嗎？.學(xué)生在練習(xí)的過(guò)程中，不斷地加深他們對(duì)開平方、平方根、被開方數(shù)這幾個(gè)概念的理解，并通過(guò)練習(xí)題的設(shè)計(jì)，讓他們類比被開方數(shù)分別為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)時(shí)的不同結(jié)果，總結(jié)歸納出正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，從而得到被開方數(shù)的取值范圍。在這個(gè)過(guò)程中，培養(yǎng)他們觀察、實(shí)踐、探索、發(fā)現(xiàn)、歸納總結(jié)的能力。在學(xué)生已經(jīng)掌握了以上概念的基礎(chǔ)上，給出算術(shù)平方根的概念，理清算術(shù)平方根和平方根之間的關(guān)系，由學(xué)生比較、歸納這兩者之間的不同之處，區(qū)分出它們不同的表示方法。特別關(guān)注學(xué)生易錯(cuò)的一些問(wèn)題，如：判斷下列說(shuō)法是否正確：（1）1的平方根是1；（2）-1是1的平方根；（3）0.01是0.1的一個(gè)平方根等等。2.3重點(diǎn)突破學(xué)生在初一上學(xué)期剛剛學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)，將所學(xué)的數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)。雖然正數(shù)與負(fù)數(shù)符號(hào)不同，但是它們之間還是有很多共性的，而且在生活中也可以找到一些實(shí)際運(yùn)用負(fù)數(shù)的例子，如溫度等，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)時(shí)不存在很大的困惑。然而本章書的學(xué)習(xí)將讓學(xué)生開始接觸到無(wú)理數(shù)，如本節(jié)課即將學(xué)習(xí)的，沒(méi)有實(shí)際生活中的例子可以作為依托來(lái)理解，比較抽象，是本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，幫助學(xué)生更好地理解平方根的概念，并為后面學(xué)習(xí)《實(shí)數(shù)》作好鋪墊，筆者本節(jié)課重在讓學(xué)生了解。具體課程流程如下：讓學(xué)生填寫下表：正方形的面積/cm2192正方形的邊長(zhǎng)/cm對(duì)于前面三個(gè)空的結(jié)果學(xué)生基本比較容易理解的，因?yàn)楦鶕?jù)正方形的面積公式學(xué)生很容易與上節(jié)課所學(xué)的算術(shù)平方根聯(lián)系起來(lái)，求出正方形的邊長(zhǎng)。但是當(dāng)面積為2cm2時(shí)，那么邊長(zhǎng)應(yīng)為cm。那也就意味著，當(dāng)開方開不盡時(shí)，可以將根號(hào)保留，那么這是一個(gè)多大的數(shù)呢？帶著這個(gè)困惑，和筆者和學(xué)生一起嘗試運(yùn)用求平方和開平方之間的互逆關(guān)系來(lái)求的大?。阂?yàn)?2=1，22=4，所以1??2；因?yàn)?.42=1.96，1.422=2.0164，所以1.41??1.42；因?yàn)?.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以1.414??1.415；……如此進(jìn)行下去，可以得到的更精確的近似值。事實(shí)上，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。實(shí)際上，許多正有理數(shù)的算術(shù)平方根都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如等等。讓學(xué)生動(dòng)手嘗試求的近似值，意在讓他們加深對(duì)求平方和開平方兩種互逆運(yùn)算關(guān)系的理解，并通過(guò)親身實(shí)踐、感知這些開方開不盡的數(shù)實(shí)際上都是一個(gè)數(shù)，而且是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。掌握了這一類數(shù)的估算方法以后，要求學(xué)生完成：估計(jì)與最接近的兩個(gè)整數(shù)是多少；估計(jì)與最接近的兩個(gè)整數(shù)是多少。作為一個(gè)數(shù)，那么它是否與我們所學(xué)過(guò)的所有有理數(shù)一樣，可以比較大小，可以進(jìn)行運(yùn)算呢？填空：（１）５２（２）-５填空：（１）５２（２）-５２（３）０２（４）２（３）-２（４）０（５）１+１=（６）１-１=（７）１╳１=（８）+=（９）-=（１０）╳=（１１）╳=（１２）０╳=（１３）２+３=（１４）１+=通過(guò)類比有理數(shù)比較大小的法則和有理數(shù)的運(yùn)算法則，讓學(xué)生了解也是一個(gè)數(shù)，也可以運(yùn)用我們所學(xué)過(guò)數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)進(jìn)行比較大小和進(jìn)行運(yùn)算，在類比的過(guò)程中又讓學(xué)生體會(huì)它們的不同之處，為后面學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)的運(yùn)算埋下伏筆。以為例，讓學(xué)生深化對(duì)這類開方開不盡的數(shù)的理解，能夠有效地幫助學(xué)生理解平方根的概念和開平方的意義，從而讓他們更加得心應(yīng)手地學(xué)好后面相應(yīng)的內(nèi)容。教學(xué)反思筆者將本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，通過(guò)與所學(xué)知識(shí)的類比和聯(lián)系，并以為基本點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)的學(xué)習(xí)來(lái)深化學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的理解和運(yùn)用。最后，在學(xué)生已經(jīng)理解了相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行運(yùn)用，如比較大?。划?dāng)開方開得盡時(shí)，被開方數(shù)的小數(shù)位數(shù)和平方根的小數(shù)位數(shù)之間存在的關(guān)系；解決實(shí)際問(wèn)題等等。通過(guò)筆者幾年來(lái)在《平方根》這一節(jié)書中不斷地作出嘗試和總結(jié)、對(duì)比，筆者發(fā)現(xiàn)，如果先給出算術(shù)平方根的概念后再去學(xué)習(xí)平方根，那么學(xué)生在計(jì)算平方根時(shí)會(huì)經(jīng)常遺漏一項(xiàng)；如果學(xué)完概念后馬上學(xué)習(xí)相應(yīng)的應(yīng)用，那么學(xué)生在還沒(méi)完全掌握概念的基礎(chǔ)上就開始要學(xué)會(huì)活學(xué)活用，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)還是存在一定的難度的。所以筆者在今年的教學(xué)中進(jìn)行了以上的調(diào)整，從學(xué)生的