2023年高考數(shù)學(xué)第38講 向量法解平面幾何

第38講向量法解平面幾何、函數(shù)與不等式問題

一、知識聚焦

1向量法解平面幾何問題

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：利用同可以求線段的長度；利用

Z7.b

cos6=1■口(6為a與匕的夾角)可以求角；利用“方=0可以證明垂直；利用於妝。片0)

同WI

可以判定平行；等等.需要提醒的是，向量關(guān)系與幾何關(guān)系并不完全相同，要注意原則，例如

欣/多并不能說明直線AB//CD.

用向量法解決平面幾何問題的“三部曲”如下.

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)

化為向量問題，可概括為“由形想數(shù)”.

(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，可概括為“由數(shù)想形”.

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

2向量法解函數(shù)與不等式問題

向量與函數(shù).不等式的綜合是高考命題經(jīng)常涉及的地方，特別是對某些代數(shù)式的最值問

題，在變形后通過構(gòu)造向量求解，可以大大簡化解題過程，提高解題效率.

二、精講與訓(xùn)練

核心例題1

如圖38-1所示，中，ADLBC、BELAC,AD交.BE千F、證明:

解題策略本題有多種向量證法:①運(yùn)用綜合法，先將條件用一次，然后將所得式子向求

證式子靠攏；②運(yùn)用向量回路，但回路選取上有一定技巧；③用圓鬲定理，可以使證法簡潔

明了；④建立坐標(biāo)系，利用一個(gè)垂直條件，使得剩下的垂直條件和要證明的垂直結(jié)論是等價(jià)

的下面就是由這4種解題思路得到的4種證法，判斷一個(gè)解法或證法是否好，其中一個(gè)評

價(jià)標(biāo)準(zhǔn)就是能否廣泛應(yīng)用于同一類型的題目以及變式，由于本題難度不大，4種解法應(yīng)該相

差不大.

證法一由BFLAC得BF-(AF+FC)=O,

由得AR-(BF+EC)=O.

兩式相減得BAFC^Q,CFA.AB.

證法二

???CFAB=CF^AC+CB)=(CB+BF\AC+(CA+AFyCB

CBAC+CACB=O,ACFVAB.

證法三CFAB=CF^AC+CB)=-CECA+CDCB=O,,ChAB.

證法四設(shè)40,a),B(-l,0),C(c,0),0(0,0),F(0,/)：

由BEJ_AC得B/_LAC,而8E-AC=0,即(l")?(c,-a)=0.

即C—W=0(到此所有條件已經(jīng)用了一遍)，而需要證明b_LAB,即CF-A6=0,

即(一。,/>(一1,一。)=0,即c-4=0,命題得證.

變式訓(xùn)練.

⑴如圖38-2所示，在平行四邊形。4C8中，

DeBC,BD=-BC,。0與外相交于E.證明:BE=』BA

34

(2)如圖38-3所示，在平行四邊形ABCD的BC

。。邊上分別取￡和尸兩點(diǎn)，使得比設(shè)DE與BF交于G,證

明HG平分乙MZ?.

核心例題2(1)求函數(shù)y=+2x+2+\lx2-2x+2的最小值.

(2)設(shè)x,ywR*,且x+2y=10,求函數(shù)卬=爐+)’的最小值.

(3)設(shè)q,4為單位向量，非零向量=xq+ye,,x,yeR,若q,e,的夾角為則⑷

6叫

的最大值等于.

解題策略第⑴問，在向量中會有不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子,如卜|-忖卜卜士6卜同+忖；

a-b<\a-b\<\a\-\b\,對所給函數(shù)解析式通過構(gòu)造向量利用上述不等式求有關(guān)函數(shù)的最

值.

第⑵問，設(shè)向量6=(x，M，Z7=(a,◎，則/77與Z7的數(shù)量積為:m〃=|/77||〃|cos<z77,n>=3x+ny,

,,2("?〃)(ox+bvf

從而有當(dāng)且僅當(dāng)777與〃同向取等號，|同而',/得*2+丁2J――，

11\n\a'+b-

當(dāng)且僅當(dāng)m與〃同向時(shí)取等號，上述結(jié)論可推廣到空間向量.

第⑶問，可從坐標(biāo)入手，運(yùn)用配方法求最值，也可從方程角度入手，運(yùn)用判別式法確定

范圍而獲得最值，若從“形”的角度入手，則更奇妙.

解：(1)所給函數(shù)為根式的和，通過對根號內(nèi)的二次三項(xiàng)式配方，使之轉(zhuǎn)化為向量的模，

即原函數(shù)可化為y=7U+D2+I2+7u-o2+(-i)2，

設(shè)。=0+1,1),人=0-1,-1),

\d-b\^a\+\b\,：.2>j2111n=2夜.

(2)設(shè)■=(%y),~n=(l,2),由定義有m?!!=x+2y=lOJm/=r+產(chǎn)」口『=5,

..22Ii2(加,〃)10~八

從而vv=r+y~=|機(jī)「…------=—=20.

|n「5

當(dāng)且僅當(dāng)加與〃同向，即2=2>0時(shí)取等號.

12

二當(dāng)x=2,y=4時(shí)，卬=/+,2取得最小值20.

⑶解法一設(shè)4=(1,0"=(當(dāng),；)，貝必=x+等

當(dāng)x=0時(shí)，⑷=0.

Ib|

IYIX21

當(dāng)工士0時(shí)，7T72

|b|x2+y2+y/3xy

1jIXI

=2,即高的最大值為2.

YiT1|b|

，++-4

x2）4

解法二設(shè)也,則忖=,+回，可得，17+/+若盯

|b|

當(dāng)XHO時(shí)，+后2[2)+?2一])=0,

X2-t2卜2+y2+百町),

有△=（月產(chǎn)）2一4產(chǎn)（/解得re[0,2],即得的最大值為2.

解法三如圖38-4所示，

設(shè)「

OD=AO=xeDE=OB=ye2,OE=b,

則NOOE=NACB=X,當(dāng)點(diǎn)￡在乙4。8內(nèi)時(shí)，顯然有區(qū)＜1

6|b|

當(dāng)點(diǎn)￡在aZO6外時(shí)，在中，由正弦定理知

變=也①=任咽=2sin“切42.

OE.㈤。嶗

當(dāng)且僅當(dāng)乙。&上土，時(shí)，等號成立，故星的最大值為2.

2|b|

變式訓(xùn)練1

求函數(shù)y=&一2x+5+G+1的最小值，以及J/取最小值時(shí)x的值,

設(shè)想把原函數(shù)改為y=&-2X+5-7777能夠形成怎樣的問題?如何求解?

變式訓(xùn)練2

求函數(shù)y=2j3x+6+5728-2x的最大值.

核心例題3

⑴證明:不等式（痞+y%）24（片+y；）（3+父）.

（2）試將⑴中不等式加以推廣，寫出一個(gè)推廣后的不等式，使得⑴中的不等式成為這個(gè)

不等式的特例，并證明推廣后得到的不等式.

解題策略第（1）問，從不等式右邊可以聯(lián)想到向量的模，從不等式左邊可以聯(lián)想到向量的

數(shù)量積；第⑵問即證明柯西不等式，證法很多，最好的證明方法顯然是向量法，這里僅運(yùn)用

向量法，其余證法讀者可自行解決.

⑴證明:設(shè)向量x=（%,x）,y=（w，%），貝Ux?y=+x%，

IX|=&++,|y|=收+葉

由向量的數(shù)量積定義得:x?y=|x||y|cos氏由cos2包,1,

可得（x,y>,,|x|2|y|2,從而有+++

（2）解:推廣的不等式為

（a向+a2b2++，,（a；+藥++a：）（與+與++。；），其中〃eN,這就是著

名的柯西不等式.

證明:設(shè)“維向量&=（4，。2，?，4）1=佃也，也），

有cos〈a］〉=第7.由|cos〈a,0〉|”l,即得|af|”|a||pi.

IaIIPI

而a?0=%瓦+a2b2++anbn.

Ia||01=~?冊+優(yōu)+~諼.

2

推廣的不等式即為q4+a2b2++cinbl}\?