考點(diǎn)01 全等三角形的性質(zhì)與判定（解析版）

考點(diǎn)01全等三角形的性質(zhì)與判定知識(shí)框架基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1-1全等形的概念及性質(zhì)全等形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形2）全等形的性質(zhì)：=1\*GB3①形狀相同；=2\*GB3②大小相同注：=1\*GB3①全等圖形與其所在的位置無(wú)關(guān)（只要通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后能夠使兩個(gè)圖形完成重合即可）。對(duì)稱圖形要求更苛刻些。=2\*GB3②因兩圖形完全相等，故圖形所有對(duì)應(yīng)條件都相同（例：周長(zhǎng)、面積、對(duì)應(yīng)角角度等皆相等）1．（2021·河南三門峽市·八年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．兩個(gè)面積相等的圖形一定是全等形B．兩個(gè)等邊三角形是全等形C．兩個(gè)全等三角形的面積一定相等D．若兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，則它們一定是全等形【答案】C【分析】根據(jù)全等圖形的判定和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：A、兩個(gè)面積相等的圖形不一定是全等形，故A錯(cuò)誤；B、兩個(gè)等邊三角形不一定是全等形，故B錯(cuò)誤；C、兩個(gè)全等三角形的面積一定相等，正確；D、若兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等，則它們不一定是全等形，故D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記全等圖形的判定和性質(zhì)進(jìn)行判斷．2．（2021·撫順市第五十中學(xué)八年級(jí)月考）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)全等圖形的定義判斷即可；【詳解】A選項(xiàng)，兩個(gè)圖形能夠完全重合，故本選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓內(nèi)兩條相交的線段所成的夾角不同，不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)不相等，不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩個(gè)圖形中的嘴巴不能完全重合，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等圖形的判斷，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河北八年級(jí)月考）下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形與下面的圖形全等的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)圖形全等的定義解答即可．詳解：能夠與已知圖形重合的只有．故選B．點(diǎn)睛：本題考查了全等的定義．掌握?qǐng)D形全等的定義是解答的關(guān)鍵．4．（2021·河北泊頭初二期中）如圖所示的圖形是全等圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形可得答案．【解析】解：如圖所示的圖形是全等圖形的是B，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等形的定義．5．（2021·江蘇常熟初二月考）把大小4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形,例如,圖1,請(qǐng)?jiān)趫D2中,沿著虛線畫出四種不同的分法,把4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形.【答案】見(jiàn)解析.【分析】可以利用圖形的對(duì)稱性和互補(bǔ)性來(lái)分隔成兩個(gè)全等的圖形．【解析】解：∵要求分成全等的兩塊，∴每塊圖形要包含有8個(gè)小正方形.知識(shí)點(diǎn)1-2全等形的定義和表示方法1）全等三角形：能夠完全重合的三角形（長(zhǎng)得完全一樣的三角形）2）表示方法：=1\*GB3①△ABC≌△DEF（讀作：三角形ABC全等于三角形DEF）=2\*GB3②頂點(diǎn)需要一一對(duì)應(yīng)（即長(zhǎng)得一樣的在描述中至于同等地位）=3\*GB3③從書寫中，我們根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可得：a.點(diǎn)A與點(diǎn)D為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)E為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)F為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；b.∠A與∠D為對(duì)應(yīng)角，∠B與∠E為對(duì)應(yīng)角，∠C與∠F為對(duì)應(yīng)角；c.AB與DE為對(duì)應(yīng)邊，AC與DF為對(duì)應(yīng)邊，BC與EF為對(duì)應(yīng)邊。3）找對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊的方法：=1\*GB3①圖形特征法；=2\*GB3②字母順序確定法知識(shí)點(diǎn)1-3全等三角形的性質(zhì)與拓展全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形a對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等;b周長(zhǎng)、面積相等;c對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、高相等;只改變圖形的位置，不改變圖形形狀、大小，則變形后的圖形與原來(lái)圖形全等，叫作圖形全等變換。注：=1\*GB3①平移、翻折、旋轉(zhuǎn)都是全等變換；=2\*GB3②縮放不是全等變換1．（2021·貴州紫云初二期末）有下面的說(shuō)法：①全等三角形的形狀相同；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等．其中正確的說(shuō)法有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】先分別驗(yàn)證①②③④的正確性，并數(shù)出正確的個(gè)數(shù)，即可得到答案.【解析】①全等三角形的形狀相同，根據(jù)圖形全等的定義，正確；②全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；③全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，正確；④全等三角形的周長(zhǎng)、面積分別相等，正確；故四個(gè)命題都正確，故D為答案.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的定義、全等三角形圖形的性質(zhì)，即全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、面積周長(zhǎng)均相等.2．（2021·江蘇江都初二月考）下列命題中正確的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中線相等C．全等三角形的垂直平分線相等D．全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線相等【答案】D【解析】因?yàn)槿热切螌?duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)邊的垂直平分線、對(duì)應(yīng)角的平分線相等，A、B、C項(xiàng)沒(méi)有“對(duì)應(yīng)”，所以錯(cuò)誤，而D項(xiàng)有“對(duì)應(yīng)”，D是正確的．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的定義、全等三角形圖形的性質(zhì)，即全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、面積周長(zhǎng)等均相等.3．（2021·福建石獅初一期末）如圖，四邊形≌四邊形，則的大小是________．【答案】【分析】由全等形四邊形的性質(zhì)，得到，由四邊形的內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．【解析】解：∵四邊形≌四邊形，∴，∴；故答案為：95°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等圖形中對(duì)應(yīng)角相等．4．（2021·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是一個(gè)的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=________．【答案】180°.【分析】仔細(xì)分析圖中角度，可得出，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4=90°，

∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4=180°．故答案為：180．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等圖形，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用．5．（2020·江蘇南通田家炳中學(xué)初一期末）如圖，，的延長(zhǎng)線交于，交于，，，，則的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】66°【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再求出，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解析】解：，，，在和中，，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．6．（2021·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E，C，F(xiàn)，B在同一條直線上，△ABC≌△DEF，∠A＝25°，∠B＝65°，BF＝2cm.求∠DFE的度數(shù)和EC的長(zhǎng)．【答案】∠DFE＝90°，EC＝2cm.【分析】由可得EF=BC，∠DFE＝∠ACB.由EF=BC可得EC=EF-CF=BC-DF=BF，由∠DFE＝∠ACB和三角形內(nèi)角和可求解∠DFE的度數(shù).【詳解】解：由△ABC≌△DEF可得BC＝EF，∠DFE＝∠ACB，則EC=EF-CF=BC-DF=BF=2cm，∠DFE＝∠ACB＝180°－(25°＋65°)＝90°，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì).7．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)之和為（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C分析：由折疊特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根據(jù)△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)=2△ABE的周長(zhǎng)求解．【解析】將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周長(zhǎng)=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)=2△ABE的周長(zhǎng)=2×3=6．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角邊相等．8.（2021?北碚區(qū)期中）如圖所示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，B，E，C在一條直線上．下列結(jié)論：①BD是∠ABE的平分線；②AB⊥AC；③∠C＝30°；④線段DE是△BDC的中線；⑤AD+BD＝AC其中正確的有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠ABD＝∠EBD，即可判斷①；先由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BD＝CD，BE＝CE，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出DE⊥BC，則∠BED＝90°，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠A＝∠BED＝90°，即可判斷②；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，從而可判斷∠C，即可判斷③；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BE＝CE，再根據(jù)三角形中線的定義即可判斷④；根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BD＝CD，但A、D、C可能不在同一直線上，所以AD+CD可能不等于AC．【解答】解：①∵△ADB≌△EDB，∴∠ABD＝∠EBD，∴BD是∠ABE的平分線，故①正確；②∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，BE＝CE，∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵△ADB≌△EDB，∴∠A＝∠BED＝90°，∴AB⊥AD，∵A、D、C可能不在同一直線上∴AB可能不垂直于AC，故②不正確；③∵△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，∴∠ABD＝∠EBD，∠EBD＝∠C，∵∠A＝90°若A、D、C不在同一直線上，則∠ABD+∠EBD+∠C≠90°，∴∠C≠30°，故③不正確；④∵△BDE≌△CDE，∴BE＝CE，∴線段DE是△BDC的中線，故④正確；⑤∵△BDE≌△CDE，∴BD＝CD，若A、D、C不在同一直線上，則AD+CD＞AC，∴AD+BD＞AC，故⑤不正確．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．也考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，難度適中．知識(shí)點(diǎn)1-4全等三角形判定條件三角形全等判定總結(jié)：eq\o\ac(○,1)SSSeq\o\ac(○,2)SASeq\o\ac(○,3)ASAeq\o\ac(○,4)AASeq\o\ac(○,5)HL斜邊和直角邊分別相等的兩直角三角形全等（簡(jiǎn)寫為HL）1．（2020·重慶初二期末）下列所敘述的圖形中，全等的兩個(gè)三角形是（）A．含有45°角的兩個(gè)直角三角形 B．腰相等的兩個(gè)等腰三角形C．邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形 D．一個(gè)鈍角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全等的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【解析】解：A、含有45°角的兩個(gè)直角三角形，缺少對(duì)應(yīng)邊相等，所以兩個(gè)三角形不一定全等；B、腰相等的兩個(gè)等腰三角形，缺少兩腰的夾角或底邊對(duì)應(yīng)相等，所以兩個(gè)三角形不一定全等；C、邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形，各個(gè)邊長(zhǎng)相等，符合全等三角形的判定定理SSS，所以兩個(gè)三角形一定全等，故本選項(xiàng)正確；D、一個(gè)鈍角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)或底邊不一定對(duì)應(yīng)相等，所以兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．3．（2020·山東槐蔭初一期末）在一次小制作活動(dòng)中，艷艷剪了一個(gè)燕尾圖案（如圖所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，為了保證圖案的美觀，她準(zhǔn)備再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麥走過(guò)來(lái)說(shuō)：“不用量了，肯定相等”，小麥的說(shuō)法利用了判定三角形全等的方法是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)SSS判定即可得出答案．【解析】在和中，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解題的關(guān)鍵．4.（2021春?錦江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，還需添加兩個(gè)條件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一組條件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EC B．∠B＝∠E，AC＝DC C．∠A＝∠D，BC＝EC D．BC＝EC，AC＝DC【分析】由AB＝DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一組對(duì)應(yīng)邊相等及其對(duì)應(yīng)夾角相等．【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合題意．B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合題意；C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合題意；D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，兩直角三角形全等，還有HL．5.（2020?路南區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿著箭頭方向剪開(kāi)，可能得不到全等三角形紙片的是（）A．B． C．D．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行判斷．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由全等三角形的判定定理SAS證得圖中兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、如圖1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其對(duì)應(yīng)邊應(yīng)該是BE和CF，而已知給的是BD＝FC＝3，所以不能判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)符合題意；D、如圖2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定兩個(gè)小三角形全等，故本選項(xiàng)不符合題意；由于本題選擇可能得不到全等三角形紙片的圖形，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，注意三角形邊和角的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵．6．（2021·云南玉溪市·八年級(jí)期末）如圖，某人將一塊三角形玻璃打碎成三塊，帶第___塊（填序號(hào)）能到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，用到的數(shù)學(xué)道理是____．【答案】③ASA【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來(lái)三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．【詳解】解：第①塊和第②塊只保留了原三角形的一個(gè)角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊不能配一塊與原來(lái)完全一樣的；第③塊不僅保留了原來(lái)三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來(lái)配一塊一樣的玻璃．應(yīng)帶③去．故答案為：③，ASA．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握．7.（2020秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點(diǎn)O，AB∥DF，AB＝DF，點(diǎn)E與點(diǎn)C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可證△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB∥DF∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠B=∠FBC=EF，∴△ABC≌△DFE（（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，∠ACB=∠DEF∠AOC=∠DOE∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．8．（2021·四川宜賓市·八年級(jí)期末）在中，，，，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)作射線（與在同側(cè)），若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．連結(jié)、．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖②，當(dāng)于點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）8秒【分析】（1）根據(jù)垂直及角之間的關(guān)系證明出，又有，，根據(jù)三角形全等的判定定理則可證明．（2）根據(jù)垂直及角之間的關(guān)系證明，又因?yàn)椋?，則可證明，所以，即t=8秒．【詳解】（1）證明：，，即又，又，又，在和中（2），，即又，又，在和中即秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)1-5用尺規(guī)作三角形1）、知道基本的作圖的常用工具，并會(huì)用尺規(guī)做幾種簡(jiǎn)單的基本圖形。2）、根據(jù)三角形判定定理，掌握用尺規(guī)做三角形及做一個(gè)三角形與已知三角形全等。3）、常見(jiàn)的尺規(guī)作三角形的類型：已知三邊作三角形；已知兩邊及夾角作三角形；已知兩角和任意一邊作三角形；已知一條直角邊和一條斜邊。1．（2021·福建南平市·八年級(jí)月考）如圖所示，已知△ABC，請(qǐng)你畫一個(gè)△A1B1C1，使A1B1＝AB，C1B1＝CB，∠B1＝∠B，（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)已知三角形，利用進(jìn)而得出全等三角形即可．【詳解】解：如圖所示，△A1B1C1即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖以及全等三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．2．（2020·河北邯鄲市·八年級(jí)月考）尺規(guī)作圖：已知和線段，求作，使．（作圖痕跡要清晰規(guī)范，不要求作圖步驟）【答案】見(jiàn)解析．【分析】利用基本作圖來(lái)解，作∠B=∠α，∠C=β，BC=2即可．【詳解】解：如圖，為所作．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖問(wèn)題，掌握尺規(guī)作圖中的基本作圖，會(huì)用基本作圖解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．3．（2021·浙江寧波市·八年級(jí)期末）已知：兩邊及其夾角，線段，，．求作：，使，，（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，說(shuō)明尺規(guī)作圖作出，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的是唯一的，依據(jù)是三角形全等判定定理中的______．【答案】作圖見(jiàn)解析；SSS，SAS．【分析】（1）首先根據(jù)一個(gè)角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的兩邊分別截取BC=a，AB=c，再連接AC；（2）根據(jù)三角形全等的判定定理可得．【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）尺規(guī)作圖作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS，作出的△ABC是唯一的，依據(jù)是三角形全等判定定理中的SAS．【點(diǎn)睛】本題主要考查用尺規(guī)作三角形，全等三角形的判定定理，關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．4．（2020·遼寧遼陽(yáng)市·八年級(jí)期末）尺規(guī)作圖題已知：如圖，線段，，直角．求作：，使，，．（注：不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】作圖見(jiàn)解析【分析】先作∠ECF=，在射線CF上截取點(diǎn)B，使，以B為圓心，c的長(zhǎng)為半徑作弧，交射線CE于點(diǎn)A，連接AB即可．【詳解】解：先作∠ECF=，在射線CF上截取點(diǎn)B，使，以B為圓心，c的長(zhǎng)為半徑作弧，交射線CE于點(diǎn)A，連接AB，如圖所示，即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查的是作直角三角形，掌握作角等于已知角和作線段等于已知線段是解決此題的關(guān)鍵．5．（2020·全國(guó)清華附中八年級(jí)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格內(nèi)（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)1），有一格點(diǎn)三角形ABC（三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形的格點(diǎn)上），現(xiàn)需要在網(wǎng)格內(nèi)構(gòu)造一個(gè)新的格點(diǎn)三角形與原三角形全等，且有一條邊與原三角形的一條邊重合，請(qǐng)畫出所有滿足條件的格點(diǎn)三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)，并在網(wǎng)格圖中標(biāo)注．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)全等三角形的判定依據(jù)題目要求畫出圖形即可．【詳解】解：如圖滿足條件的三角形如圖所示，有5個(gè)．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)1-6利用三角形全等測(cè)距離1）、全等三角形在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，解決與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決.2）、要測(cè)量無(wú)法直接得到的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離時(shí)，常常應(yīng)用三角形全等的條件來(lái)構(gòu)造全等三角形，再利用全等的性質(zhì)得到所要的距離.1．（2021·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中）如圖，AD、BC表示兩根長(zhǎng)度相同的木條，若O是AD、BC的中點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量AB＝9cm，則容器的內(nèi)徑CD為_(kāi)___cm．【答案】9【分析】由題意易得△AOB≌△DOC，則有AB=CD，故問(wèn)題得解．【詳解】解：AD=BC，O是AD、BC的中點(diǎn)，AB＝9cm，OA=OD=OB=OC，在△AOB和△DOC中，，△AOB≌△DOC，CD=AB＝9cm；故答案為9．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定條件及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·全國(guó)七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A，B間的距離，如圖所示的這種方法，是利用了三角形全等中的（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】D【分析】利用全等三角形的判定定理可得以證明.【詳解】由題意可得：∴△ACB≌△DCB（SAS）∴AB=DB故選D．3．（2021·山東德州市·八年級(jí)期末）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由走到的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，，相鄰兩平行線間的距離相等，相交于，垂足為．已知米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)的長(zhǎng)度．

【答案】16米【分析】已知AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABP=∠CDP，再由垂直的定義可得∠CDO=，可得PB⊥AB，根據(jù)相鄰兩平行線間的距離相等可得PD=PB，即可根據(jù)ASA定理判定△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質(zhì)即可得CD=AB=16米．【詳解】∵AB∥CD，∴∠ABP=∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP=，∴∠ABP=，即PB⊥AB，∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴PD=PB，在△ABP與△CDP中，，∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD=AB=16米．【點(diǎn)睛】本題考察平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合運(yùn)用各定理是解題的關(guān)鍵．4．（2020·山東東營(yíng)市·七年級(jí)期末）如圖，A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A、B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng).他叔叔幫他出了一個(gè)這樣的主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=AC；連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB；連接DE并測(cè)量出它的長(zhǎng)度．(1)DE=AB嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如果DE的長(zhǎng)度是8m，則AB的長(zhǎng)度是多少？【答案】（1）DE=AB．理由見(jiàn)解析；（2）AB=8m．【分析】（1）由題意知AC=DC，BC=EC，根據(jù)∠ACB=∠DCE即可證明△ABC≌△DEC，即可得AB=DE，即可解題；（2）由（1）可知DE=AB，則可知AB的長(zhǎng)度.【詳解】（1）解：由題意知AC=DC，BC=EC，且∠ACB=∠DCE，

在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE=AB．（2）由（1）知AB=DE=8m．5．（2021·湖南懷化市·八年級(jí)期末）明明同學(xué)用10塊高度都是3cm的相同長(zhǎng)方體小木塊壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻上面剛好可以放進(jìn)一個(gè)等腰直角三角形（AC=BC∠ACB=90°）點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別與木墻的頂端重合，求兩堵木墻之間的距離．【答案】?jī)啥履緣χg的距離為30cm．【分析】根據(jù)題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【詳解】解：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

由題意得：AD=EC=9cm，DC=BE=21cm，∴DE=DC+CE=30（cm），

答：兩堵木墻之間的距離為30cm．重難點(diǎn)題型題型1利用全等三角形求長(zhǎng)度1．（2021·遼寧鞍山市·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，過(guò)C作CF//AB交射線DE于F，若BD＝1，CF＝5，則AB的長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】4【分析】根據(jù)CF∥AB就可以得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，證明△ADE≌△CFE就可以求出答案．【詳解】∵CF∥AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A．∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∴AE=EC．∵在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴AD=CF=5，∵BD=1，∴AB=AD-BD=5-1=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．2．（2021·福建泉州市·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若EF＝12，則AE＝_____．【答案】7【分析】由題意知：BD⊥AC，EF⊥AB，∠ADB＝∠FEB＝90°，∠A＝∠F，△ABC≌△FEB（AAS），AB＝EF＝12，AE＝7．【詳解】解：∵BD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADB＝∠FEB＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠F+∠FBE＝90°，∴∠A＝∠F，在△ABC和△FEB中，，∴△ABC≌△FEB（AAS），∴AB＝EF＝12，∵BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝7．故填：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角全等的證明，難點(diǎn)在復(fù)雜圖形中如何迅速確定需要證明全等的三角形；3．（2021·北京西城區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱．若，，，則的周長(zhǎng)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】連接，交于點(diǎn)，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，可證得，繼而可證明，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解得，同理可證及，最后結(jié)合線段的和差與已知條件解題即可．【詳解】連接，交于點(diǎn)，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，在與中，同理，在與中，，，，的周長(zhǎng)為：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在中，，，平分，于，若，則為_(kāi)_____．【答案】4【分析】延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，證△BEF≌△BEC，△ABD≌△ACF，得出EF＝EC，ECCF，及BD＝CF，則CEBD，可以求出其值．【詳解】解：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，∵∠BAC＝90°，，∴∠BAC=∠BEC=∠FAC，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠CDE+∠ACF＝90°，∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD＝∠ACF，在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF=8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵CE⊥BD，∴∠BEF＝∠BEC＝90°在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∴ECCF=4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定，會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．5．（2021·黑龍江哈爾濱市·八年級(jí)期末）如圖所示，為中線，D為中點(diǎn)，，，連接，．若的面積為3，則的面積為_(kāi)_____．【答案】1.5【分析】延長(zhǎng)AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，由D為中點(diǎn)，可得BD=CD，可證△ACD≌△GBD（SAS），可得AC=BG，∠DAC=∠G，可證△AEF≌△BAG（SSS），可得S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，可求S△ADC=1.5．【詳解】解：延長(zhǎng)AD到G使DG=AD，連結(jié)BG，∵D為中點(diǎn)，∴BD=CD，S△ADC=S△ABD在△ACD和△GBD中∴△ACD≌△GBD（SAS）∴AC=BG，∠DAC=∠G，S△ADC=S△GBD+，在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG（SSS），∴S△AEF=S△BAG=2S△ADC=3，∴S△ADC=1.5，故答案為：1.5．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)，中線性質(zhì)，掌握三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點(diǎn)，利用輔助線中線加倍構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．6．（2021·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于點(diǎn)D．（1）求證：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）10【分析】（1）由“AAS”可證△DAF≌△BAF；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AD=AB＝8，BF=DF，結(jié)合BE＝7，AB＝8，AE＝5，即可求解．【詳解】（1）證明：∵FD∥BC，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABF，∵AF平分∠BAE，∴∠DAF＝∠BAF，又∵AF＝AF，∴△ABF≌△ADF（AAS）；（2）∵△ABF≌△ADF，∴AD=AB＝8，BF=DF，∵AE＝5，∴DE=8-5=3，∴EF+DF=EF+BF=BE=7，∴△EFD的周長(zhǎng)=EF+DF+DE=7+3=10．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握“AAS”證三角形全等，是解題的關(guān)鍵．題型2利用全等三角形求角度1．（2021·湖北武漢市·八年級(jí)期末）如圖，，若，，則的度數(shù)為（）A．80° B．35° C．70° D．30°【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出∠E．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∠C=30°，∴∠E=∠C=30°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2020·浙江八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ACF，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，∴∠1+30°=15°+75°，解得∠1=60°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，鄰補(bǔ)角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．3．（2021·安徽馬鞍山市·八年級(jí)期末）如圖，，若，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=70°，∵∠DAC=25°，∴∠EAC=∠EAD-∠DAC=45°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=70°+45°=115°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2021·北京順義區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，是等邊三角形，，與交于點(diǎn)F，則的度數(shù)是__________．【答案】60°【分析】先證明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，然后由三角形外角的性質(zhì)，∠DFC=∠ACE+∠DAC，等量代換即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠B=∠CAB=60°，

在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，

∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE+∠DAC=60°，

∵∠DFC=∠ACE+∠DAC，∴∠DFC=60°．【點(diǎn)睛】考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出∠ACE=∠BAD和利用全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系．5．（2021·石家莊市第二十八中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，是的角平分線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，若，，則__________．【答案】102°【分析】在BC上截取BF＝AB，連DF，如圖，先根據(jù)SAS證明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，進(jìn)而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根據(jù)SAS證明△CDE≌△CDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：在BC上截取BF＝AB，連接DF，如圖，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠FBD，∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDC＝∠FDC，∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠E=∠DFC=102°；故答案為：102°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義以及對(duì)頂角相等的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中七年級(jí)期中）如圖所示，在ΔABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，且EF⊥BC，且交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，H為DC上的一點(diǎn)，且BH=EF，AH=DF，AB=DE，若∠DAC+n∠ACB＝90°，則__________．【答案】【分析】由“HL”可證Rt△ABH≌Rt△DEF，可得∠EDF=∠BAH，由角的數(shù)量關(guān)系可求解．【詳解】解：在Rt△ABH和Rt△DEF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DEF(HL），∴∠EDF=∠BAH，∴∠EDF-∠BAD=∠BAH-∠BAD，∴∠B=∠DAH，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，設(shè)∠B=∠DAH=y，∠BAD=∠DAC=x，∴2y+x=90°，∠CAH=∠DAC-∠DAH=x-y，∴∠ACB=90°-∠CAH=3y，∵∠DAC+n∠ACB=90°，∴x+3ny=90°，∴3n=2，∴n=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．題型3利用全等三角形證明數(shù)量（位置）關(guān)系1.（2020?蕭山區(qū)期中）BD、CE分別是△ABC的邊AC、AB上的高，P在BD的延長(zhǎng)線上，且BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．求證：（1）AP＝AQ；（2）AP⊥AQ．【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，進(jìn)而得出△ABP≌△QCA，即可得出結(jié)論．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，證明∠PAQ＝90°即可．【詳解】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（垂直定義），∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等），在△ABP和△QCA中，BP=AC∠ABD=∠ACECQ=AB，∴△ABP≌△QCA（∴AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．（2）由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP＝90°（直角三角形兩銳角互余），∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代換），即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ（垂直定義）．2.（2020?瑤海區(qū)期末）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，連接AE，CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)N．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個(gè)結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有（請(qǐng)寫序號(hào)，少選、錯(cuò)選均不得分）．【分析】（1）欲證明AE＝CD，只要證明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE＝∠BCD，由∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∠ABC＝90°，可得∠NMC＝90°；（3）結(jié)論：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分線的判定定理證明即可；【詳解】（1）證明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）結(jié)論：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，∴12?AE?BK=12?CD?BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM不妨設(shè)①成立，則△ABM≌△DBM，則AB＝BD，顯然可不能，故①錯(cuò)誤．故答案為②．3．（2020·黑龍江松北初一期末）如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE相交于點(diǎn)G，則①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CEBF中正確有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)進(jìn)行判斷；②過(guò)F作FM⊥BC于M，則FM＜FC，由角平分線定理和三角形邊的關(guān)系判斷便可；③根據(jù)∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以證明△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD=CD，然后證明△BDF與△CDA全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF=AC，從而判斷③正確；④根據(jù)BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以證明△ABE與△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CE，從而判斷④正確．【解析】解：①∵CD⊥AB于D，∴∠BDC=90°，∵H是BC邊的中點(diǎn)，∴DH=CD，∴①正確；②過(guò)F作FM⊥BC于M，則FM＜FC，

∵BE平分∠ABC，∴DF=FM，∴DF＜FC，∴②錯(cuò)誤；③∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，

∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DBF=∠ACD，

在△BDF與△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∴③正確；

④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，

∴在△ABE與△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC，

∵AC=BF，∴CE=BF，∴④正確．所以，正確的結(jié)論是①③④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2020?溧水區(qū)期末）初步思考（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF．求證：EF＝BE+FD．小明發(fā)現(xiàn)此題是證明線段的和（差）問(wèn)題，根據(jù)證明此類題型的常見(jiàn)方法，于是就有了如下的思考過(guò)程：請(qǐng)?jiān)谙铝锌驁D中補(bǔ)全他的證明思路．解決問(wèn)題：（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠BAD＝2∠EAF，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由．拓展延伸：（3）在（2）的條件下，若將點(diǎn)E、F改在線段BC、CD延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出線段EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）延長(zhǎng)CB到H，使BH＝DF，連接AH，證明△ABH≌△ADF和△AME≌△AFE從中找出條件即可解答．（2）延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，證明△ABM≌△ADF，再證明△EAH≌△EAF，可得出結(jié)論；（3）在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF，即可得出EF＝BE﹣FD．【詳解】解：（1）①AH，②∠HAE，③EH，④BH；故答案為：AH，∠HAE，EH，BH．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖1，延長(zhǎng)CB至M，使BM＝DF，∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM與△ADF中，AB=AD∠1=∠DBM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF＝AM，∠2＝∠∵∠EAF=12∠BAD，∴∠2+∠4=12∠BAD＝∠EAF．∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠在△AME與△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAFAE=AE，∴△AME≌△AFE（∴EF＝ME，即EF＝BE+BM．∴EF＝BE+DF．（3）EF＝BE﹣FD．證明：如圖2，在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG與△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF，∴△ABG≌△ADF（∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE＝∠∵AE＝AE，易證△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG，∴EF＝BE﹣FD．故答案為：EF＝BE﹣FD．5．（2020?龍崗區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC＝AE+CD．【分析】在AC上取AF＝AE，連接OF，即可證得△AEO≌△AFO，得∠AOE＝∠AOF；再證得∠COF＝∠COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法ASA即可證△FOC≌△DOC，可得DC＝FC，即可得結(jié)論．【詳解】證明：在AC上取AF＝AE，連接OF，∵AD平分∠BAC、∴∠EAO＝∠FAO，在△AEO與△AFO中，AE=AF∠EAO=∠FAOAO=AO∴△AEO≌△AFO（SAS），∴∠AOE＝∠∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠ECA+∠DAC=12∠ACB+12∠BAC=12（∠ACB+∠BAC）=1則∠AOC＝180°﹣∠ECA﹣∠DAC＝120°；∴∠AOC＝∠DOE＝120°，∠AOE＝∠COD＝∠AOF＝60°，則∠COF＝60°，∴∠COD＝∠COF，∴在△FOC與△DOC中，∠COD=∠COFCO=CO∠FCO=∠DCO，∴△FOC≌△DOC（ASA），∴DC＝∵AC＝AF+FC，∴AC＝AE+CD．6．（2020?福州期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB為邊作等邊△ABD（點(diǎn)C，D在邊AB的同側(cè)），連接CD．（Ⅰ）若∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，求∠BDC的度數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)∠BAC＝2∠BDC時(shí)，請(qǐng)判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由；（Ⅲ）當(dāng)∠BCD等于多少度時(shí)，∠BAC＝2∠BDC恒成立．【分析】（I）先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明AC為BD的垂直平分線，從而可得到CD＝CB，則∠BDC＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD；（II）設(shè)∠BDC＝x，則∠BAC＝2x，∠CAD＝60°﹣2x，∠ADC＝60°+x，然后可證明∠ACD＝∠ADC，則AC＝AD，于是可得到AB＝AC；（III）當(dāng)∠BCD＝150°時(shí)，∠BAC＝2∠BDC恒成立，如答圖所示：作等邊△BCE，連接DE，則BC＝EC，∠BCE＝60°．先證明△BCD≌△ECD，從而可得到∠BDE＝2∠BDC，然后再證明△BDE≌△BAC，從而可得到∠BAC＝∠BDE．【詳解】解：（I）∵△ABD為等邊三角形，∴∠BAD＝∠ABD＝60°，AB＝AD．又∵∠BAC＝30°，∴AC平分∠BAD，∴AC垂直平分BD，∴CD＝CB．∴∠BDC＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°．（II）△ABC是等腰三角形．理由：設(shè)∠BDC＝x，則∠BAC＝2x，∠CAD＝60°﹣2x，∠ADC＝60°+x．∴∠CAD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝60°+x，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD．∵AB＝AD，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．（III）當(dāng)∠BCD＝150°時(shí)，∠BAC＝2∠BDC恒成立．如圖：作等邊△BCE，連接DE，則BC＝EC，∠BCE＝60°．∵∠BCD＝150°，∴∠ECD＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE＝150°，∴∠DCE＝∠DCB．又∵CD＝CD，∴△BCD≌△ECD，∴∠BDC＝∠EDC，即∠BDE＝2∠BDC．又∵△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABC＝∠DBE＝60°+∠DBC．又∵BC＝BE，∴△BDE≌△BAC，∴∠BAC＝∠BDE，∴∠BAC＝2∠BDC．7．（2020·全國(guó)初三專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，證明：．【答案】見(jiàn)解析【分析】在線段上取點(diǎn)，使得，連接，通過(guò)證明可得，即，可推出，再根據(jù)，即可得證．【解析】證明：如圖，在線段上取點(diǎn)，使得，連接，，，，，在中，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合問(wèn)題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型4全等三角形的判定方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解題技巧：1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測(cè)可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件。3）往往有2個(gè)條件比較好找，第3個(gè)條件需要推理尋找第3個(gè)條件思路：原則:1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個(gè)條件尋找2）尋找第3個(gè)條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導(dǎo)，確定是找角還是邊全等三角形證明思路：1°：SSS證全等1．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖：在△ABC中,AC=BC,D是AB上的一點(diǎn),AE⊥CD于點(diǎn)E,BF⊥CD于點(diǎn)F,若CE=BF,AE=EF+BF.試判斷AC與BC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.【答案】AC⊥BC，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】AC⊥BC；理由：∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC=∠BFC=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∵CF=CE+EF，CE=BF，∴CF=EF+BF，∵AE=EF+BF，∴AE=CF，在Rt△ACE和Rt△CBF中，∴Rt△ACE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠CAE，∴∠ACB=∠BCF+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°，∴AC⊥BC.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.在應(yīng)用全等三角形的判定是，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.2．（2020·上海浦東新初一期末）閱讀并填空：如圖：根據(jù)六年級(jí)第二學(xué)期學(xué)過(guò)的用直尺、圓規(guī)作線段中點(diǎn)的方法，畫出了線段AB的中點(diǎn)C，請(qǐng)說(shuō)明這種方法正確的理由．解：連接AE、BE、AF、BF．在△AEF和△BEF中，EF＝EF（），＝（畫弧時(shí)所取的半徑相等），＝（畫弧時(shí)所取的半徑相等）．所以△AEF≌△BEF（）．所以∠AEF＝∠BEF（）．又AE＝BE，所以AC＝BC（）．即點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．【答案】公共邊，AE、BE，AF、BF，SSS，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，等腰三角形三線合一．【分析】根據(jù)SSS證△AEF≌△BEF，推導(dǎo)出∠AEF＝∠BEF，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出即可．【解析】如圖，連接AE、BE、AF、BF，在△AEF和△BEF中，EF＝EF（公共邊），AE＝BE（畫弧時(shí)所取的半徑相等），AF＝BF（畫弧時(shí)所取的半徑相等）．所以△AEF≌△BEF（SSS）．所以∠AEF＝∠BEF（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）．又AE＝BE，所以AC＝BC（等腰三角形三線合一）．即點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．故答案為：公共邊，AE、BE，AF、BF，S．S．S，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，等腰三角形三線合一．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定方法，準(zhǔn)確理解證明過(guò)程中每一步的依據(jù)是解題的關(guān)鍵.3．（2020·江蘇棲霞初二期中）數(shù)學(xué)家魯弗斯設(shè)計(jì)了一個(gè)儀器，它可以三等分一個(gè)角．如圖所示，A、B、C、D分別固定在以O(shè)為公共端點(diǎn)的四根木條上，且OA=OB=OC=OD，E、F可以在中間的兩根木條上滑動(dòng)，AE=CE=BF=DF．求證：∠AOE=∠EOF=∠FOD．【答案】證明見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)條件先證明△AOE≌△COE，從而得∠AOE=∠COE，COE=∠FOD，故∠AOE=∠EOF=∠FOD．【解析】解：在△AOE和△COE中，∴△AOE≌△COE．∴∠AOE=∠COE．同理∠COE=∠FOD．∴∠AOE=∠EOF=∠FOD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)．2°：SAS證全等1．（2021·江蘇南京市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．50°B．65°C．70°D．75°【答案】B【分析】根據(jù)手拉手模型證明，可得，再利用三角形外角的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件即可解答．【詳解】在和中（SAS）故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握手拉手模型證三角形全等是解題關(guān)鍵．2．（2020·全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖是工人師傅用同一種材料制成的金屬框架，已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，其中△ABC的周長(zhǎng)為24cm，CF＝3cm，則制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為_(kāi)___cm.【答案】45【分析】利用SAS證明△ABC≌△DEF，即可得△DEF的周長(zhǎng)=△ABC的周長(zhǎng)=24cm．再由制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為△DEF的周長(zhǎng)+△ABC的周長(zhǎng)-CF即可求解.【解析】∵BF=EC，BC=BF+FC，EF=EC+CF，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△DEF的周長(zhǎng)=△ABC的周長(zhǎng)=24cm．∵CF=3cm，∴制成整個(gè)金屬框架所需這種材料的總長(zhǎng)度為：△DEF的周長(zhǎng)+△ABC的周長(zhǎng)-CF=24+24-3=45cm.故答案為45.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ABC≌△DEF得到△DEF的周長(zhǎng)=△ABC的周長(zhǎng)=24cm是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2020·南山第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校集團(tuán)海德學(xué)校初一期中）如圖，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求證：BD=CE．【答案】見(jiàn)解析【分析】先由∠1=∠2得到∠BAD=∠CAE，然后根據(jù)“SAS”可判斷△BAD≌△CAE，再根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．4．（2021·河南宜陽(yáng)初二期末）(1)問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說(shuō)明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；

（2）延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；【解析】解：（1）EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，在△AEF和△AGF中，故答案為EF=BE+DF．（2）結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，如圖②，

在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”構(gòu)造全等的方法是解題的關(guān)鍵．3°：ASA證全等1．（2020·河南焦作初一期末）如圖：小剛站在河邊的點(diǎn)處，在河的對(duì)面（小剛的正北方向）的處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了20步到達(dá)一棵樹(shù)處，接著再向前走了20步到達(dá)處，然后他左轉(zhuǎn)90°直行，當(dāng)小剛看到電線塔樹(shù)與自己現(xiàn)處的位置在一條直線時(shí)，他共走了100步．（1）根據(jù)題意，畫出示意圖；（2）如果小剛一步大約50厘米估計(jì)小剛在點(diǎn)處時(shí)他與電線塔的距離，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）小剛在點(diǎn)處時(shí)他與電線塔的距離為30米【分析】（1）根據(jù)題意所述畫出示意圖即可；（2）根據(jù)ASA可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的長(zhǎng)度也就得出了AB之間的距離．【解析】解：（1）所畫示意圖如下：（2）在和中，，∴，∴，又∵小剛共走了100步，其中走了40步，∴走完用了60步，∵一步大約50厘米，∴（厘米）米．答：小剛在點(diǎn)處時(shí)他與電線塔的距離為30米．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，像此類應(yīng)用類得題目，一定要仔細(xì)審題，根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，難度一般不大，細(xì)心求解即可．2．（2021·重慶萬(wàn)州區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，則MH的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先證明，再由全等三角形的性質(zhì)可得PQ=QH=5，根據(jù)MQ=NQ=9，即可得到答案．【詳解】解：∵M(jìn)Q⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在和中，，∴（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推理證明三角形的全等三角形，找到邊與邊的關(guān)系解決問(wèn)題．3．（2020·江蘇崇川南通田家炳中學(xué)初三其他）如圖，在△ABC中，D是線段BC的中點(diǎn)，F(xiàn)，E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且CF∥BE．求證：DE＝DF【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠FCD=∠EBD，由BD=DC，∠CDF=∠BDE，根據(jù)ASA推出△CDF≌△BDE即可．【解析】∵CF∥BE∴∠FCD＝∠EBD∵D是線段BC的中點(diǎn)∴CD＝BD又∵∠CDF＝∠BDE∴△CDF≌△BDE∴CF＝BE【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．4°：AAS證全等1．（2020·上海浦東新初一期末）如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，∠DCE＝∠A＝∠B，CD＝CE．（1）說(shuō)明△ACD與△BEC全等的理由；（2）說(shuō)明AB＝AD+BE的理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和得∠D＝∠BCE，再由AAS證明三角形全等；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BE，AD＝BC，進(jìn)而由線段的和差得結(jié)論．【解析】（1）∵∠DCE＝∠A，∴∠D+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，∴∠D＝∠BCE，在△ACD和△BEC中，，∴△ACD≌△BEC（AAS）；（2）∵△ACD≌△BEC，∴AD＝BC，AC＝BE，∴AC+BC＝AD+BE，即AB＝AD+BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).2．（2020·江西大余初二期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）112.5°．【分析】根據(jù)同角的余角相等可得到結(jié)合條件，再加上可證得結(jié)論；

根據(jù)得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到由平角的定義得到【解析】證明：在△ABC和△DEC中，，（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．3．（2021·全國(guó)七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，，，結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)已知的條件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，進(jìn)而可根據(jù)全等三角形得出的結(jié)論來(lái)判斷各選項(xiàng)是否正確．【詳解】解：∵，∴△AEB≌△AFC；（AAS）∴∠FAM=∠EAN，∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正確）又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，∴△EAM≌△FAN；（ASA）∴EM=FN；（故①正確）由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；又∵∠CAB=∠BAC，∴△ACN≌△ABM；（故④正確）由于條件不足，無(wú)法證得②CD=DN；故正確的結(jié)論有：①③④；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判別，考查了學(xué)生根據(jù)圖形分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．其中全等三角形的判別方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．學(xué)生應(yīng)根據(jù)圖形及已知的條件選擇合適的證明全等的方法．4．（2020·山西朔州初二期末）綜合與實(shí)踐閱讀以下材料：定義：兩邊分別相等且?jiàn)A角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做“互補(bǔ)三角形”．用符號(hào)語(yǔ)言表示為：如圖①，在△ABC與△DEF中，如果AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF，那么△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．反之，“如果△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形，那么有AC=DE，∠C+∠E=180°，BC=EF”也是成立的．自主探究利用上面所學(xué)知識(shí)以及全等三角形的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題：（1）性質(zhì)：互補(bǔ)三角形的面積相等如圖②，已知△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．求證：△ABC與△DEF的面積相等．證明：分別作△ABC與△DEF的邊BC，EF上的高線，則∠AGC=∠DHE=90°．……(將剩余證明過(guò)程補(bǔ)充完整)（2）互補(bǔ)三角形一定不全等，請(qǐng)你判斷該說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由，如果不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例，畫出示意圖．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）不正確，理由見(jiàn)解析【分析】（1）已知△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形，可得∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF，證得∠ACG=∠E，證明△AGC≌△DHE，得到AG=DH，所以，即△ABC與△DEF的面積相等．（2）不正確．先畫出反例圖，證明△ABC≌△DEF，△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．互補(bǔ)三角形一定不全等的說(shuō)法錯(cuò)誤．【解析】（1）∵△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形，∴∠ACB+∠E=180°，AC=DE，BC=EF．又∵∠ACB+∠ACG=180°，∴∠ACG=∠E，在△AGC與△DHE中，∴△AGC≌△DHE（AAS）∴AG=DH．∴，即△ABC與△DEF的面積相等．（2）不正確．反例如解圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴△ABC與△DEF是互補(bǔ)三角形．∴互補(bǔ)三角形一定不全等的說(shuō)法錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)定理，利用AAS和SAS證明三角形全等，已知兩個(gè)三角形全等，可得到對(duì)應(yīng)邊相等．5°：HL證全等1．（2019·丹陽(yáng)市第三中學(xué)初二月考）用三角尺可以按照下面的方法畫∠AOB的角平分線：在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使OM=ON；再分別過(guò)點(diǎn)M、N畫OA、OB的垂線，這兩條垂線相交于點(diǎn)P，畫射線OP（如圖），則射線OP平分∠AOB，以上畫角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是()A．SSS B．SAS C．HL D．ASA【答案】C【分析】利用判定方法“HL”證明Rt△OMP和Rt△ONP全等，進(jìn)而得出答案.【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中，，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP是∠AOB的平分線，故答案選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形全等的判定條件，解本題的要點(diǎn)在于熟知全等三角形的判定條件.2．（2020·江蘇常州初二期末）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，（1）求證：△BEC≌△DEA；（2）求證：BC⊥FD．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；（2）根據(jù)第（1）問(wèn)的結(jié)論，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得到∠B=∠D，從而不難求得DF⊥BC．【解析】證明：（1）∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEA＝90°，在Rt△BEC與Rt△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（HL）；（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，∴∠B＝∠D．∵∠D+∠DAE＝90°，∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF+∠B＝90°，即DF⊥BC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)定理，（1）熟練掌握三角形的判定定理，能根據(jù)題意篩選出合適的定理去證明是解決此問(wèn)的關(guān)鍵；（2）本題主要應(yīng)用“兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形”.3．（2020·南通市啟秀中學(xué)初一期末）如圖，點(diǎn)在直線的同側(cè)，過(guò)作，垂足為，延長(zhǎng)至，使得，連接交直線于點(diǎn)．（1）求證：（2）在直線上任意一點(diǎn)（除點(diǎn)外），求證：【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【分析】（1）由HL可證，可得，由對(duì)頂角的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，，由三角形的三邊關(guān)系可得結(jié)論．【解析】（1），在和中（2）在上取一點(diǎn)，連接，，在中，【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．題型5.尺規(guī)作圖與三角形全等1．（2021·河北唐山市·八年級(jí)期末）如圖，在，上分別截取，，使，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線，就是的角平分線．這是因?yàn)檫B結(jié)，，可得到，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得．在這個(gè)過(guò)程中，得到的條件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS【答案】D【分析】由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS證明三角形全等即可．【詳解】解：由作圖可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，∴△COD≌△COE（SSS），故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2020·江蘇蘇州市·七年級(jí)期末）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)為1，為格點(diǎn)三角形．(1)如圖①，的面積為；(2)在圖②中畫出所有與全等，且只有一條公共邊的格點(diǎn)三角形．【答案】(1)6;(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用△ABC所在的正方形的面積減去四周三個(gè)直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解；（2）分三種情況討論：分別以AC,AB,BC為公共邊，作與余下兩邊相等的三角形，看是否符合題意即可．【詳解】解：（1）4--=6.（2）如圖【點(diǎn)睛】本題主要考查的是作圖-應(yīng)用設(shè)計(jì)、全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2020·吉林長(zhǎng)春市·九年級(jí)其他模擬）我們?cè)鴮W(xué)過(guò)定理“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是成立的，即“在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對(duì)的角為”.如圖，在