第12講 角的認(rèn)識(shí)（原卷版）

第12講角的認(rèn)識(shí)1．掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2.認(rèn)識(shí)鐘面角、方位角，并掌握其運(yùn)算；3.掌握運(yùn)用尺規(guī)作已知角，相等角等。知識(shí)點(diǎn)1：角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：注意：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．知識(shí)點(diǎn)2：角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．知識(shí)點(diǎn)3：鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題．知識(shí)點(diǎn)4：方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說成“東偏北30°”．（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．考點(diǎn)1：度分秒的換算例1.（2022秋?榆陽區(qū)校級(jí)期末）若∠α＝5.15°，則∠α用度、分、秒表示為（）A．5°15' B．5°1′5″ C．5°9′ D．5°30′【變式1-1】（2022秋?綏德縣期末）20°13'12″化為用度表示是（）A．20.12° B．20.2° C．20.20° D．20.22°【變式1-2】（2022秋?漢壽縣期末）將30.24°用度、分、秒表示為（）A．30°12′24″ B．30°14′24″ C．30°14′25″ D．30°15′28″【變式1-3】（2022秋?高碑店市期末）已知∠1＝38°36'，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，則下列說法正確的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等考點(diǎn)2：角的概念和表示例2.（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）下列圖形中，能用∠1，∠ACB，∠C三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【變式2-1】（2022秋?河池期末）如圖，下列說法正確的是（）A．∠1與∠BOC表示同一個(gè)角 B．∠1＝∠2 C．∠2與∠AOB表示同一個(gè)角 D．圖中只有兩個(gè)角，即∠1和∠2【變式2-2】（2022秋?曲靖期末）下列圖形中，能用∠AOB，∠O，∠1三種表示方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【變式2-3】（2022秋?吉安期末）拿一個(gè)10倍的放大鏡看一個(gè)1°的角，則這個(gè)角為（）A．100° B．10° C．1° D．不能確定，視放大鏡的距離而定考點(diǎn)3：作圖-基本作圖例3.（2023春?和平區(qū)月考）已知：∠AOB及邊OB上一點(diǎn)C．求作：∠DCB，使得∠DCB＝∠AOB．要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法（說明：作出一個(gè)即可）．【變式3-1】（2023春?云巖區(qū)校級(jí)期中）尺規(guī)作圖：如圖，已知∠α，請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖作∠AOB，使∠AOB＝∠α．（不寫作法，保留作圖痕跡）【變式3-2】（2023春?連平縣期中）如圖（1）利用尺規(guī)作∠CED，使得∠CED＝∠A．（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）判斷直線DE與AB的位置關(guān)系：．【變式3-3】（2023春?惠來縣期中）如圖，已知∠AOB，點(diǎn)P是OB邊上的一點(diǎn)．在∠AOB的內(nèi)部，求作∠BPC使∠BPC＝∠AOB．要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）考點(diǎn)4：鐘面角例4.（2022秋?敘州區(qū)期末）如圖，當(dāng)7時(shí)30分時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針的夾角為（）A．50° B．45° C．42.5° D．40°【變式4-1】（2022秋?通道縣期末）如圖，1時(shí)30分的時(shí)候，鐘表的時(shí)針與分針?biāo)M成的小于平角的角的角度是．【變式4-2】（2022秋?綏寧縣期末）如圖，鐘表上10點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘牵键c(diǎn)5：方位角例5.（2022秋?澄邁縣期末）如圖，以點(diǎn)O為觀測(cè)點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東20°30′的方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)O南偏西50°的方向上，則∠AOB的度數(shù)是（）A．70°30′ B．150° C．150°30′ D．160°30′【變式5-1】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏東30°30'方向，輪船B在燈塔P的南偏東70°20'方向，則∠APB的度數(shù)是（）A．60°30' B．18°40' C．79°10' D．80°10'【變式5-2】（2023?河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向【變式5-3】（2022秋?高碑店市期末）如圖，點(diǎn)A在點(diǎn)O的北偏東28°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)O的東偏南45°方向，∠AOB＝°．1．（2022?聊城）如圖，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡推斷，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠BAQ＝40° B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°2．（2022?百色）如圖，是求作線段AB中點(diǎn)的作圖痕跡，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠B＝45° B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD3．（2022?舟山）用尺規(guī)作一個(gè)角的角平分線，下列作法中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．4．（2022秋?定州市期末）如圖，下列說法中不正確的是（）A．∠1與∠AOB是同一個(gè)角 B．∠α與∠COB是同一個(gè)角 C．∠AOC可以用∠O來表示 D．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠BOC，∠AOC5．（2023?岳陽）如圖，①在OA，OB上分別截取線段OD，OE，使OD＝OE；②分別以D，E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，在∠AOB內(nèi)兩弧交于點(diǎn)C；③作射線OC．若∠AOB＝60°，則∠AOC＝°．6．（2022?益陽）如圖，PA，PB表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏東56°，則這兩條公路的夾角∠APB＝°．7.（2022?陜西）如圖，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，求作射線CP，使CP∥AB．（保留作圖痕跡，不寫作法）1．（2023?臨沂）如圖中用量角器測(cè)得∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．80° C．130° D．150°2．（2023春?萊西市期中）如圖，B，D，C三點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)A在直線l外，下列說法正確的是（）A．直線BD和直線CD表示的是同一條直線 B．射線BD和射線CD表示的是同一條射線 C．∠A和∠BAD表示的是同一個(gè)角 D．∠1和∠B表示的是同一個(gè)角3．（2023春?濰坊期中）圖中能用一個(gè)大寫字母表示的角有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．44．（2023?西和縣一模）8點(diǎn)30分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（）A．55° B．60° C．75° D．80°5．（2022秋?焦作期末）下列圖中的∠1也可以用∠O表示的是（）A． B． C． D．6．（2022秋?嵩縣期末）如圖，下列說法中正確的是（）A．OA的方向是北偏東30° B．OB的方向是北偏西60° C．OC的方向是南偏西15° D．OC的方向是南偏西75°7．（2022秋?遷安市期末）如圖，將一個(gè)三角板60°角的頂點(diǎn)與另一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)重合，∠1＝27°40′，則∠2的度數(shù)是（）A．27°40′ B．62°20′ C．57°40′ D．58°208．（2022秋?金臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）下列說法中正確的是（）A．射線AB與射線BA是同一條射線 B．兩條射線組成的圖形叫做角 C．各邊都相等的多邊形是正多邊形 D．連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)之間的距離9．（2022秋?六盤水期末）12點(diǎn)15分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的小于平角的角為（）A．90° B．67.5° C．82.5° D．60°10．（2022秋?達(dá)川區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是直線，O是直線上一點(diǎn)，OC、OD是兩條射線，則圖中小于平角的角有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)11．（2022秋?婁星區(qū)期末）把8.32°用度、分、秒表示正確的是（）A．8°3′2″ B．8°30′20″ C．8°18′12″ D．8°19′12″12．（2023春?東平縣期中）請(qǐng)計(jì)算13.17°＝°′″．13．（2022秋?漢川市期末）如圖，鐘表的時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)為．14．（2023春?光明區(qū)校級(jí)期中）如圖，一航班沿北偏東60°方向從A地飛往C地，到達(dá)C地上空時(shí)，由