第十三章 軸對(duì)稱(chēng)單元培優(yōu)卷（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破第十三章軸對(duì)稱(chēng)單元培優(yōu)卷一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1．新年伊始，虎年來(lái)臨，大家都開(kāi)始用上了虎的圖騰與吉祥物．以下小老虎的表情設(shè)計(jì)沒(méi)有利用軸對(duì)稱(chēng)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的圖形叫軸對(duì)稱(chēng)圖形，結(jié)合各選項(xiàng)的特點(diǎn)即可作出判斷．【詳解】根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分能完全重合可知，B、C、D都利用了軸對(duì)稱(chēng)，A沒(méi)有利用軸對(duì)稱(chēng)，故選：A．2．下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．三角形的高在三角形的內(nèi)部B．有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形一定關(guān)于這條公共邊對(duì)稱(chēng)C．兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，則這兩個(gè)圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)D．關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形一定全等【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義、全等三角形的定義和軸對(duì)稱(chēng)的定義判斷即可．【詳解】A、三角形的高可能在三角形的內(nèi)部、外部或三角形的邊上，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；B、有一條公共邊的兩個(gè)全等三角形關(guān)于公共邊所在的直線對(duì)稱(chēng)，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；C、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，則這兩個(gè)圖形不一定分別位于這條直線的兩側(cè)錯(cuò)誤，如圖所示：，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不合題意；D、關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形一定全等，此選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；故選：D．3．如圖，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)，分別是射線，上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，，則的度數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】作關(guān)于，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最短，連接、，由軸對(duì)稱(chēng)知，是等腰三角形，，，得出結(jié)論．【詳解】作關(guān)于，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則當(dāng)，是與，的交點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)最短，連接、，

關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，，，同理，，，，，是等腰三角形．，，，故選：C4．如圖，在中，、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)是20，，，則的周長(zhǎng)為（

）A．4 B．7 C．9 D．11【答案】C【分析】先根據(jù)的周長(zhǎng)公式求得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)的周長(zhǎng)公式計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵的周長(zhǎng)是20，∴∵，，∴，是線段的垂直平分線，，同理，，的周長(zhǎng)，故選：C．5．小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際時(shí)間最接近9：00（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時(shí)針、分針的位置和實(shí)物應(yīng)關(guān)于過(guò)12時(shí)、6時(shí)的直線成軸對(duì)稱(chēng)．【詳解】9點(diǎn)的時(shí)鐘，在鏡子里看起來(lái)應(yīng)該是3點(diǎn)，所以最接近9點(diǎn)的時(shí)間在鏡子里看起來(lái)就更接近3點(diǎn)，所以應(yīng)該是圖B所示，最接近9點(diǎn)時(shí)間．故選：B．6．如圖，交于點(diǎn)E，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先通過(guò)“”可證明，則可對(duì)選項(xiàng)D進(jìn)行判斷；再通過(guò)“”可證明，則可對(duì)選項(xiàng)A、B進(jìn)行判斷；最后得出結(jié)論．【詳解】解：∵在和中，∴，∴，故選項(xiàng)D正確；∵在和中，∴，∴，∴，故選項(xiàng)A、B正確；從現(xiàn)在條件無(wú)法推出，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：C．7．如圖，將長(zhǎng)方形沿折疊，B，C分別落在點(diǎn)H，G的位置，與交于點(diǎn)M．下列說(shuō)法中，不正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】由折疊的性質(zhì)知，，，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證，可證選項(xiàng)B正確；由點(diǎn)到直線的距離可得，故選項(xiàng)A不正確；由折疊的性質(zhì)知，再由，可得選項(xiàng)C正確，利用平行線的性質(zhì)可得，，可證選項(xiàng)D正確．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作，由折疊的性質(zhì)知，，，由題意知，，∴，，∴，∴，故選項(xiàng)B正確，不合題意；∵，∴，故選項(xiàng)A不正確，符合題意；由折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，故選項(xiàng)C正確，不合題意；∵，∴，由題意知，∴，∴，故選項(xiàng)D正確，不合題意；故選A．8．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，再求出，由等邊對(duì)等角得，再由三角形內(nèi)角和求解即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，，．故選：D．9．如圖，在中，，，，平分，點(diǎn)分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，證明，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)與重合，與重合，最小值為的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，在和中，，，，欲求的最小值，只要求出的最小值，當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)與重合，與重合，最小值為的長(zhǎng)．在中，，，，，的最小值是7，故選：D．10．如圖，在中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且.有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④.其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】A【分析】連接，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理可求，可得，可判斷②；過(guò)點(diǎn)作，在上截取，由“”可證，延長(zhǎng)至H，使，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性質(zhì)即可判斷③；過(guò)點(diǎn)A作，在上截取，由三角形的面積的和差關(guān)系可判斷④．【詳解】解：如圖，連接，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，，，∴是的中垂線，∴，而，∴，∴，，∴，∴，故①正確；∵，∴，

∵，∴，∴而，∴是等邊三角形，故②正確；如圖，延長(zhǎng)至，使，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故③正確；過(guò)點(diǎn)A作，在上截取，

∵，∴是等邊三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故④正確．所以其中正確的結(jié)論是①②③④．故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共計(jì)12分）11．如圖，在中，，垂足為D，PQ是BC邊的垂直平分線，交BC于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)P，．若的周長(zhǎng)是，，則的長(zhǎng)是．【答案】【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，，再求出，，即可求出．【詳解】解：∵，，∴是線段的垂直平分線，∴，∵PQ是BC邊的垂直平分線，∴，，∴，∵的周長(zhǎng)是，∴，∴，即，∵，，∴．故答案為：12．若，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則．【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出a和b的值，再將a和b的值代入，即可解答．【詳解】解：∵，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴，解得：，∴，故答案為：．13．如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為6，面積是21，腰的垂直平分線分別交，于點(diǎn)、，若點(diǎn)為底邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．【答案】10【分析】連接，的周長(zhǎng)為，為定值，要使的周長(zhǎng)最小，則的值最小，的垂直平分線為，得到關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，最小，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵的周長(zhǎng)為，為定值，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，連接，∵的垂直平分線為，∴關(guān)于對(duì)稱(chēng)，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，∵等腰，點(diǎn)為底邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)的最小值為；故答案為：．

14．在△ABC中，（），點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，且BE＋EF＋CF的值最小．如圖1，若AB＝AC，，則∠ABE的大小是；如圖2，∠BGC的大小是（用含的式子表示）．【答案】30°【分析】分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接分別交AB和BC于F和E，此時(shí)，BE＋EF＋CF的值最小，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案；然后根據(jù)根據(jù)（1）的結(jié)論即可得出∠BGC的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接分別交AB和BC于F和E，此時(shí)，BE＋EF＋CF的值最?。?，，∴，，，∵點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，∴，∵（），∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵AB＝AC，∴，∵，BC=CB∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴如圖所示，分別作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接分別交AB和BC于F和E，此時(shí)，BE＋EF＋CF的值最?。?，，∴，，，∵點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，∴，∵（），∴，∴，∴，∴，∴，∴，三、解答題（本大題共8小題，共計(jì)58分）15．（本題滿(mǎn)分6分）如圖，在中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為F，交于點(diǎn)D．連接．(1)若的周長(zhǎng)為19，的周長(zhǎng)為7，求的長(zhǎng)．(2)若，，求∠CDE的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵的周長(zhǎng)為19，的周長(zhǎng)為7，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．16．（本題滿(mǎn)分6分）如圖，在中，，于點(diǎn)D，是的外角的平分線，(1)求證：；(2)若平分交于點(diǎn)N，判斷的形狀并說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三線合一得到，根據(jù)角平分線得到，繼而根據(jù)平行線的判定證明即可；（2）利用平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)平分線的定義得到，從而推出，即可證明．【詳解】（1）證明：，，．平分，．．．（2）是等腰直角三角形，理由是：，，，平分，．，是等腰直角三角形．17．（本題滿(mǎn)分6分）如圖，已知是的邊上的高，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且，．(1)證明：；(2)若，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）利用SAS定理判斷出，再用等角的余角相等，即可得出結(jié)論（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，，求出和的長(zhǎng)，即可求出答案．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，∵是的邊上的高，∴，∴，在和中，∴，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴．18．（本題滿(mǎn)分6分）如圖，點(diǎn)E、F是線段上的兩個(gè)點(diǎn)，與交于點(diǎn)M．已知，，．(1)求證：；(2)若．求證：是等邊三角形．【分析】(1)證明即可．(2)根據(jù)得到，根據(jù)有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形證明．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．19．（本題滿(mǎn)分6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)畫(huà)，使與關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；(2)求的面積；(3)在y軸上作一點(diǎn)P，使得最短；【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)見(jiàn)解析【分析】（1）先作出A、B、C三點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再順次連接即可得到關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的三角形．（2）利用割補(bǔ)法求出的面積即可．（3）連接CA′，與y軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．【詳解】（1）如圖所示；即為所求；（2）的面積；（3）連接交y軸于P，點(diǎn)P即為所求．20．（本題滿(mǎn)分8分）如圖1，在中，，，點(diǎn)D在邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)D作，交射線于點(diǎn)E．分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(1)點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上且；(2)點(diǎn)E在線段上且．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，由等邊對(duì)等角及三角形的外角求出，利用垂直求出，由此得到，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）由，可得，即得根據(jù)，可得，故．【詳解】（1）解：，理由如下：∵在中，，，∴，∵，∴∵∴∵，∴∴∴，∴∴；（2），理由如下：如圖：

∵∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴．21．（本題滿(mǎn)分10分）已知等邊的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)沿，向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)如圖1，若，則的值為_(kāi)_____（s）．(2)如圖2，若，求的值．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的高交于點(diǎn)，與是否總是相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)如圖3，當(dāng)點(diǎn)停在上某一點(diǎn)時(shí)，依然沿著射線繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻，則與有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明．【答案】(1)(2)(3)，理由見(jiàn)解析(4)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得，推得，結(jié)合題意即可求解；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題意即可求解；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合題意推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（4）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，若存在，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，結(jié)合題意可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可推得該情況下，不存在；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，若存在，過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，即可推得．【詳解】（1）解：∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴為等邊三角形，∴，∴，即，根據(jù)題意可得，，∴，∴，解得：，故答案為：．（2）解：∵為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，根據(jù)題意可得，，∴，即，解得：；（3）解：，理由如下：作于，如圖：

∵為等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，根據(jù)題意可得，，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴．（4）解：，證明如下：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖：

若存在，即存在，∵，即，在中，，即，則，不符合題意，故當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，不存在；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖：

若存在，過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如圖：

∵，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴．22．（本題滿(mǎn)分10分）如圖，等腰中，，平分．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊得到．(1)若，試求出的長(zhǎng)度；(2)若，設(shè)與相交于點(diǎn)．①請(qǐng)求出的度數(shù)；②連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，．試求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（