多邊形鑲嵌及習(xí)題

課題學(xué)習(xí)：鑲嵌一、教學(xué)目標(biāo)1．會用正多邊形無縫隙、不重疊地覆蓋平面。2．讓學(xué)生在應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識和能力，探索和解決鑲嵌問題的過程中，感受數(shù)學(xué)知識的價值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，獲得各種體驗。二、教學(xué)活動的建議探究性活動是一種心得學(xué)習(xí)方式，它不是老師講授、學(xué)生聽講的學(xué)習(xí)方式，而是學(xué)生自己應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識和能力，去探索研究生活中有趣而富有挑戰(zhàn)問題的活動過程。建議本節(jié)教學(xué)活動采用以下形式：〔1〕學(xué)生自己提出研究課題；〔2〕學(xué)生自己設(shè)計制訂活動方案；〔3〕操作實踐；〔4〕回憶和總結(jié)。教學(xué)活動中，教師提供必要的指點(diǎn)和幫助。引導(dǎo)學(xué)生對探究性活動進(jìn)行反思，不僅關(guān)注學(xué)生是否能用已有的知識去探究和解決問題，并更多地關(guān)注學(xué)生自主探究、與他人合作的愿望和能力。三、關(guān)于鑲嵌1.鑲嵌，作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項探究性活動，主要有以下兩個方面的原因：〔1〕如果用“數(shù)學(xué)的眼光〞觀察事物，那么用正方形的地磚鋪地，就是“正方形〞這種幾何圖形可以無縫隙、不重疊地拼合?！?〕“幾何“中研究圖形性質(zhì)時，也常常要把圖形拼合。比方，兩個全等的直角三角形可以拼合成一個等腰三角形，或一個矩形，或一個平行四邊形；又如，六個全等的等邊三角形可以拼合成一個正六邊形，四個全等的等邊三角形可以拼合成一個較大的等邊三角形等。2.各種平面圖形能作“平面鑲嵌〞的必備條件，是圖形拼合后同一個頂點(diǎn)的假設(shè)干個角的和恰好等于360°。〔1〕用同一種正多邊形鑲嵌，只要正多邊形內(nèi)角的度數(shù)整除360°，這種正多邊形就能作平面鑲嵌。比方正三角形、正方形、正六邊形能作平面鑲嵌，而正五邊形、正七邊形、正八邊形、正九邊形、……的內(nèi)角的度數(shù)都不能整除360°，所以這些正多邊形都不能鑲嵌。〔2〕用兩種或三種正多邊形鑲嵌，詳見87~88頁內(nèi)容?！?〕用一種任意的凸多邊形鑲嵌。從正多邊形鑲嵌中可以知道：只要研究任意的三角形、四邊形、六邊形能否作平面鑲嵌，而不必考慮其他多邊形能否鑲嵌〔這是因為：假設(shè)這類多邊形能作鑲嵌，那么這類正多邊形必能作鑲嵌，這與上面研究的結(jié)論矛盾〕A卷根底題一、精心選一選，慧眼識金！〔每題4分，共24分〕1．六邊形的對角線的條數(shù)為〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．邊形的內(nèi)角和比邊形的內(nèi)角和多〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．3．〔2023年??恩施自治州市〕為了讓州城居民有更多休閑和娛樂的地方，政府又新建了幾處廣場，工人師傅在鋪設(shè)地面時，準(zhǔn)備選用同一種正多邊形地磚.現(xiàn)有下面幾種形狀的正多邊形地磚，其中不能進(jìn)行平面鑲嵌的是〔〕A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形4．如果一個多邊形的每個外角都相等，且小于，那么這個多邊形的邊數(shù)最少是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．5．如果一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的倍，那么這個多邊形的邊數(shù)為〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．6．一個多邊形截去一個角〔截線不過頂點(diǎn)〕之后，所形成的一個多邊形的內(nèi)角和是，那么原多邊形的邊數(shù)是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7．如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于，那么這個正多邊形是〔〕Ａ．正八邊形 Ｂ．正九邊形 Ｃ．正七邊形 Ｄ．正十邊形二、耐心填一填，一錘定音！〔每題4分，共32分〕1．將一個正方形砍去一個角，其內(nèi)角和將變成______．2．如圖是正八邊形為“根本單位〞鋪成的圖案的一局部〔其中有個“根本圖形〞〕，其間存有假設(shè)干個小正方形空隙，邊沿上有小三角形空隙，以及圖案的個角的更小的三角形空隙．假設(shè)密鋪個“根本單位〞的圖案，并填充滿空隙那么需要______個小正方形，______個小三角形．〔不含圖案的個角〕．3．從邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)的時角線有______條，可將多邊形分成______個三角形．4．一個多邊形的每個外角都是，這個多邊形是______邊形，其內(nèi)角和為______．5．各內(nèi)角都相等的多邊形中，一個外角等于相鄰內(nèi)角的，那么它的每一個內(nèi)角都是______．6．一個六邊形所有內(nèi)角都相等，那么每個內(nèi)角為_____度．7．一個多邊形截去一個角〔截線不過頂點(diǎn)〕之后，所形成的一個多邊形的內(nèi)角和是，那么原多邊形的邊數(shù)是______．8．黑白兩種顏色的正方形紙片，按如下圖的規(guī)律拼成假設(shè)干個圖案，〔1〕第4個圖案中有白色紙片_____塊?！?〕第n個圖案中有白色紙片_____塊。三、用心做一做，馬到成功！〔本大題共44分〕1．〔此題10分〕一個四邊形的內(nèi)角的度數(shù)的比是，求它的最大內(nèi)角和最小外角的度數(shù)．2．〔此題10分〕如果一個凸多邊形的所有內(nèi)角從小到大排列起來，恰好依次增加的度數(shù)相同，設(shè)最小角為100°，最大角為140°，那么這個多邊形的邊數(shù)為多少？3．〔此題12分〕一個多邊形除了一個內(nèi)角之外，其余內(nèi)角之和為，求這個內(nèi)角的大小．4．〔此題12分〕幾邊形的內(nèi)角和是2160？是否存在一個多邊形的內(nèi)角和為1000？B卷提升題一、精心選一選，慧眼識金！1如果一個多邊形的每個外角，都是與它相鄰內(nèi)角的三分之一，那么這樣的多邊形有〔〕Ａ．無窮多個，它的邊數(shù)為 Ｂ．一個，它的邊數(shù)為Ｃ．無窮多個，它的邊數(shù)為 Ｄ．無窮多個，它的邊數(shù)不可能確定2如圖，假設(shè)，那么等于〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3一個多邊形恰有三個內(nèi)角是鈍角，那么這個多邊形的邊數(shù)最多為〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、心填一填，一錘定音！1．列舉幾個你所見到的能夠密鋪的“根本單位〞：_____、_____、_____．〔至少寫出三種〕2．假設(shè)一個正多邊形的每一個外角都是，那么從某一個項點(diǎn)出發(fā)的所有對角線會將其分成_____個三角形3由于一個多邊形的外角最多能有_____個鈍角，因此，一個多邊形的內(nèi)角最多能有_____個銳角．4邊形內(nèi)角和與外角和的差為，那么_____．三、用心做一做，馬到成功！1．某同學(xué)在計算多邊形的內(nèi)角和時，得到的答案是1125°，老師指出他少加了一個內(nèi)角的度數(shù)，你知道這個同學(xué)計算的是幾邊形的內(nèi)角和嗎？他少加的那個內(nèi)角的度數(shù)是多少？2．在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，你就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下一絲空白，又不互相重疊〔在幾何里叫做平面鑲嵌〕，這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角〔360°〕時，就拼成了一個平面圖形．〔1〕如圖1，請根據(jù)以下圖形，填寫表中空格：〔圖1〕〔圖1〕正多邊形邊數(shù)3456…正多邊形每個內(nèi)角的度數(shù)〔2〕如果限于一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形？〔3〕從正三角形、正方形、正六邊形中選一種，再在其它正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成一個平面圖，并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．A卷根底題答案一、1．Ｂ2．Ａ3．Ｃ4．Ｂ5．Ｄ6．Ａ二、1．或或2．，3．，4．五，5．3．6.1516、13，3n＋1三、1．最大內(nèi)角為，最小外角為．2．依題意可知多邊形的內(nèi)角平均度數(shù)為120°．設(shè)多邊形的邊數(shù)為，那么有120=〔〕180，解得．故此多邊形為六邊形．3．．4．解:設(shè)該多邊形為n邊形，依題意得(n－2)·180°=2160°∴n=14不存在這樣的多邊形，理由如下:假設(shè)存在這樣的n邊形，依題意得(n－2)·180°=1000°∴n=eq\f(68,9)∵多邊形的邊數(shù)為正整數(shù)∴不存在這樣的多邊形．B卷提升題答案一、1．Ａ2．Ｃ3．Ｂ二、1．略2．3．，4．三、1．解：設(shè)少加的度數(shù)為x.

那么1125°＝180°×7-135°.

因為0°<x<180°，

所以x＝135°.

所以此多邊形的內(nèi)角和為1125°+135°＝1260°.

設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，

那么〔n－2〕×180°＝1260°，解得n＝9.

所以此多邊形是九邊