2024屆四川省遂寧中學(xué)外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

2024屆四川省遂寧中學(xué)外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)高一上期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于任意不等實(shí)數(shù)，，，不等式恒成立，則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．一個(gè)容量為1000的樣本分成若干組，已知某組的頻率為0．4，則該組的頻數(shù)是A.400 B.40C.4 D.6003．已知兩條直線，，且，則滿足條件的值為A. B.C.-2 D.24．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A. B.C. D.6．某幾何體的三視圖如圖所示,它的體積為()A.72π B.48πC.30π D.24π7．如圖，AB為半圓的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能是（）A.2個(gè) B.3個(gè)C.4個(gè) D.5個(gè)9．已知扇形的半徑為，面積為，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B.C. D.10．若，的終邊（均不在y軸上）關(guān)于x軸對稱，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．當(dāng)，，滿足時(shí)，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________12．函數(shù)，的圖象恒過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.13．已知符號函數(shù)sgn（x），則函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為_____14．一個(gè)棱長為2cm的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的體積為_______cm3.15．已知函數(shù)，則=_________16．下列四個(gè)命題：①函數(shù)與的圖象相同；②函數(shù)的最小正周期是；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；④函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)其中正確的命題是__________（填寫所有正確命題的序號）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，判斷的奇偶性并給予證明；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求m的最大值.18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q，過點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線l與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B，記AB的中點(diǎn)為E（Ⅰ）若AB的長等于，求直線l的方程；（Ⅱ）是否存在常數(shù)k，使得OE∥PQ？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由19．設(shè)兩個(gè)向量，，滿足，.（1）若，求、的夾角；（2）若、夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．設(shè)，為兩個(gè)不共線的向量，若.（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若為互相垂直的單位向量，且，求實(shí)數(shù)的值.21．已知函數(shù).（1）求的對稱中心的坐標(biāo)；（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】由條件對于任意不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立可得函數(shù)在上為減函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)化簡不等式求其解.【詳解】∵函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，∴，∴不等式可化為∵對于任意不等實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，∴函數(shù)在上為減函數(shù)，又，∴，∴，∴不等式的解集為故選：C.2、A【解析】頻數(shù)為考點(diǎn)：頻率頻數(shù)的關(guān)系3、C【解析】根據(jù)兩條直線l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得求得a=﹣2，故選C4、C【解析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)點(diǎn)求得解析式.【詳解】設(shè)，依題意，所以.故選：C5、A【解析】依題意有.6、C【解析】由題意，結(jié)合圖象可得該幾何體是圓錐和半球體的組合體，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)即可計(jì)算出組合體的體積選出正確選項(xiàng).由圖知，該幾何體是圓錐和半球體的組合體，球的半徑是3，圓錐底面圓的半徑是3，圓錐母線長為5，由圓錐的幾何特征可求得圓錐的高為4，則它的體積.考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積7、D【解析】根據(jù)題意可得出，然后根據(jù)向量的運(yùn)算得出，從而可求出答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C為的中點(diǎn)，，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)，所以，所以，所以的取值范圍是,故選：D.8、B【解析】由可得或，然后畫出的圖象，結(jié)合圖象可分析出答案.【詳解】由可得或的圖象如下：所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有4個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5；當(dāng)且時(shí)，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有4個(gè)零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)，無零點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；綜上：的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為2、4、5、6，故選：B9、A【解析】由扇形的面積公式即可求解.【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為，則扇形面積為，解得，因?yàn)?，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為4.故選：A10、A【解析】因?yàn)?，的終邊（均不在軸上）關(guān)于軸對稱，則，，然后利用誘導(dǎo)公式對應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解【詳解】因?yàn)?，的終邊（均不在軸上）關(guān)于軸對稱，則，，選項(xiàng)，故正確，選項(xiàng)，故錯(cuò)誤，選項(xiàng)，故錯(cuò)誤，選項(xiàng)，故錯(cuò)誤，故選：二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)基本不等式求得的最小值，由此建立不等式，求解即可.【詳解】解：，，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即：時(shí)取等號，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：.12、【解析】令，解得，且恒成立，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)；故填.13、【解析】根據(jù)的取值進(jìn)行分類討論，得到等價(jià)函數(shù)后分別求出其零點(diǎn)，然后可得所求集合【詳解】①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣2x=1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是；②當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）=0，故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是0；③當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是綜上可得函數(shù)f（x）=sgn（x）﹣x的零點(diǎn)的集合為：故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到函數(shù)的解析式，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是基礎(chǔ)題14、【解析】因?yàn)橐粋€(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長為2，所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對角線的長度：2所以球的半徑為：所求球的體積為=故答案為：15、【解析】按照解析式直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：-3.16、①②④【解析】首先需要對命題逐個(gè)分析，利用三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】對于①，，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象相同，所以①對；對于②，，所以最小正周期是，所以②對；對于③，因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以③錯(cuò)，對于④，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以④對，故答案為①②④【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及到的知識點(diǎn)有利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，余弦函數(shù)的周期，正弦型函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題目.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）﹣3和1（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）3【解析】（1）令求解；（2）由（1）得到，再利用奇偶性的定義判斷；（3）將時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為，在上恒成立求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，解得或，∴函數(shù)的零點(diǎn)為﹣3和1；【小問2詳解】由（1）知，則，由，解得，故的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，，∴，∴是上的奇函數(shù).【小問3詳解】∵，且當(dāng)時(shí)，恒成立，即，在上恒成立，∴，在上恒成立，令，易知在上單調(diào)遞增∴，∴，故m的最大值為3.18、（Ⅰ）y=-+2或y=-x+2；（Ⅱ）不存在實(shí)數(shù)滿足題意【解析】（Ⅰ）待定系數(shù)法，設(shè)出直線，再根據(jù)已知條件列式，解出即可；（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)，將轉(zhuǎn)化斜率相等，聯(lián)立直線與圓，根據(jù)韋達(dá)定理，由直線與圓相交可求得范圍．由斜率相等可求得的值，從而可判斷結(jié)論【詳解】（Ⅰ）圓Q的方程可寫成（x-6）2+y2=4，所以圓心為Q（6，0）設(shè)過P（0，2）且斜率為k的直線方程為y=kx+2∵|AB|=，∴圓心Q到直線l的距離d==，∴=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-所以，滿足題意的直線l方程為y=-+2或y=-x+2（Ⅱ）將直線l的方程y=x+2代入圓方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0.①直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于△=[4（k-3）2]-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，解得-＜k＜0，即k的取值范圍為（-，0）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB的中點(diǎn)E（x0，y0）滿足x0==-，y0=kx0+2=∵kPQ==-，kOE==-，要使OE∥PQ，必須使kOE=kPQ=-，解得k=-，但是k∈（-，0），故沒有符合題意的常數(shù)k【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及弦長計(jì)算,還考查了直線與圓相交知識，直線平行知識，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題19、（1）；（2）且.【解析】（1）根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算以及結(jié)果，結(jié)合模長，即可求得，再根據(jù)數(shù)量積求得夾角；（2）根據(jù)夾角為鈍角則數(shù)量積為負(fù)數(shù)，求得的范圍；再排除向量與不為反向向量對應(yīng)參數(shù)的范圍，則問題得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，又，，所以，所以，又，所以向量、的夾角是.（2）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為鈍角，所以，且向量與不反向共線，即，又、夾角為，所以，所以，解得，又向量與不反向共線，所以，解得，所以的取值范圍是且.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求向量夾角，以及由夾角范圍求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.20、（1）－；（2）2.【解析】(1)若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)，為兩個(gè)不共線的向量可列出關(guān)