四川省成都市彭州市2023-2024學年高二上學期期中考試數(shù)學試題

2023~2024學年度上期高中2022級期中聯(lián)考數(shù)學考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效。3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．袋中裝有4個大小、質(zhì)地完全相同的帶有不同標號的小球，其中2個紅球，2個綠球，甲摸一個后不放回，乙再摸一個，試驗所有可能的結(jié)果數(shù)為（）A．8 B．9 C．12 D．162．某大型聯(lián)考有16000名學生參加，已知所有學生成績的第60百分位數(shù)是515分，則成績在515分以上的人數(shù)至少有（）A．6000人 B．6240人 C．6300人 D．6400人3．給出下列命題：①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；②空間任意兩個單位向量必相等；③對于非零向量，若，則；④若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底．其中說法正確的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．34．某地高校有100人參加2023數(shù)學建模競賽，成績頻數(shù)分布表如下，根據(jù)該表估計該校大學生數(shù)學建模競賽成績的平均分為成績分組/分人數(shù)/人42550156A．59 B．59.4 C．69 D．69.45．若，，，則事件與的關(guān)系為（）A．相互獨立 B．互為對立 C．互斥 D．無法判斷6．把邊長為的正方形對角線折起，使得平面與平面所成二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．某校2023年秋季入學考試，某班數(shù)學平均分為125分，方差為．成績分析時發(fā)現(xiàn)有三名同學的成績錄入有誤，同學實際成績137分，被錯錄為118分；同學實際成績115分，被錯錄為103分；同學實際成績98分，被錯錄為129分，更正后重新統(tǒng)計，得到方差為，則與的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定8．如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則中點到平面的距離為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。9．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，新數(shù)據(jù)的平均值為，方差為．下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．10．下面結(jié)論正確的是（）A．若事件與相互獨立，則與也相互獨立B．若事件與是互斥事件，則與也是互斥事件C．若，，與相互獨立，則D．若，，則與互為對立事件11．某單位健康體測，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比為5：3，該單位全體工作人員平均體重和方差分別為（）A． B． C． D．12．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是中點，點是棱的上動點（與端點不重合）．下列說法正確的是（）A．從、、、、、六個點中任取三點恰能確定一個平面的概率為B．從、、、、、六個點中任取四點恰能構(gòu)成三棱錐的概率為C．存在點，使直線與所成的角為D．不存在點，使平面三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某射擊運動員每次擊中靶心的概率均為0.6．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次至少擊中2次的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1，2，3表示沒有擊中靶心，4，5，6，7，8，9表示擊中靶心；因為射擊4次，故以每4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果．經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：86360293714098575727034743739647469833126710037162332616959780456011366142817424據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中2次靶心的概率為__________．14．某區(qū)從11000名小學生、10000名初中生和4000名高中生中采用分層抽樣方法抽取名學生進行視力測試，若初中生比高中生多抽取60人，則__________．15．某高中的獨孤與無極兩支排球隊在校運會中采用五局三勝制（有球隊先勝三局則比賽結(jié)束）．第一局獨孤隊獲勝概率為0.4，獨孤隊發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加0.1，反之降低0.1．則獨孤隊不超過四局獲勝的概率為__________．16．已知空間向量，，兩兩之間的夾角均為，且，，，若向量，分別滿足與，則的最小值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）某稻谷試驗田試種了，兩個品種的水稻各10畝，并在稻谷成熟后統(tǒng)計了這20畝地的稻谷產(chǎn)量如下表，記，兩個品種各10畝產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．（單位：）60635076718575636364（單位：）56626068787576626370（1）分別求這兩個品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；（2）求，，，；（3）依據(jù)以上計算結(jié)果進行分析，推廣種植品種還是品種水稻更合適．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，，點為的中點，點在線段上且．（1）用向量，，表示向量；（2）求的長．19．（12分）藥品監(jiān)督局檢測某種產(chǎn)品的兩個質(zhì)量指標，，用綜合指標核定該產(chǎn)品的等級．若，則核定該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下：產(chǎn)品編號質(zhì)量指標產(chǎn)品編號質(zhì)量指標（1）利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；（2）在該樣品的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件為“在抽取的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標均滿足”，求事件的概率．20．（12分）如圖四邊形是平行四邊形，，四邊形是梯形，，且，，，沿將四邊形翻折后使得平面平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．21．（12分）某中學參加成都市數(shù)學競賽初賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取100名學生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）補全頻率分布直方圖，若只有的人能進決賽，入圍分數(shù)應設(shè)為多少分（保留兩位小數(shù)）；（2）采用分層隨機抽樣的方法從成績?yōu)?0~100的學生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機抽取3名學生進行問卷調(diào)查，求至少有1名學生成績不低于90的概率；（3）進入決賽的同學需要再經(jīng)過考試才能參加冬令營活動．考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學科，每科筆試成績從高到低依次有，，，，五個等級．若兩科筆試成績均為，則直接參加；若一科筆試成績?yōu)?，另一科筆試成績不低于，則要參加第二輪面試，面試通過也將參加，否則均不能參加．現(xiàn)有甲、乙、丙三人報名參加，三人互不影響．甲在每科筆試中取得，，，，的概率分別為，，，，；乙在每科筆試中取得，，，，的概率分別為，，，，；丙在每科筆試中取得，，，，的概率分別為，，，，；甲、乙、丙在面試中通過的概率分別為，，．求甲、乙、丙能同時參加冬令營的概率．22．（12分）如圖，已知平行六面體的側(cè)棱長為3，底面是邊長為4的菱形，且，點，分別在和上．（1）若，，求證：，，，四點共面；（2）求；（3）若，點為線段上（包括端點）的動點，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．2023~2024學年度上期高中2022級期中聯(lián)考數(shù)學參考答案及評分標準一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678CDBDADCD二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分。9101112CDACADABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13． 14．250 15．0.236 16．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）解：（1）由題意可知，極差：產(chǎn)品為35，產(chǎn)品為22，中位數(shù)：產(chǎn)品為63.5，產(chǎn)品為65.5；（2）由題意：，，，；（3）結(jié)合第（2）問可知，兩個品種水稻的產(chǎn)量平均數(shù)一樣，但是的方差較小，較穩(wěn)定，所以推廣品種水稻更合適．18．（12分）解：（1）；（2），，，．19．（12分）解：（1）一等品率為0.6；（2），．20．（12分）解：（1），，，，，連接，，平面平面，平面平面，平面，，，平面；（2）以為原點建立空間直角坐標系，，，，，，，，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，，取，，，取，，，，即二面角的正弦值為．21．（12分）解：（1）的頻率為，；（2）抽取4人，抽取2人，設(shè)事件：“至少有1名學生成績不低于90”，；（3），，，所以．22．（12分）解：（1），，，，所以四點共面；（2）平面，上的所有的點到平面的距離都相等，同理上所有的點到的距離也相等，，，點在平面的射影落在上，過點作，過點作，底面是邊長為4的菱形，側(cè)棱長為3，，，；（3）建立如圖所示空間直角坐標系，由（2）可知，，，，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，取，，，，，，，，，，，．部分解析：1．解：設(shè)4個小球分別為，，，，則試驗結(jié)果為．2．解：，．4．解：．5．解：，得，又．6．解：取中點，連接，，以，分別為，軸建立空間直角坐標系，則，，，，用余弦定理可求出結(jié)果為．7．解：設(shè)班級人數(shù)為，因為，所以更正前后平均分不變，且，所以．8．解：以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，由，得，令，，所以，又，點到平面的距離為．9．解：方差只與系數(shù)有關(guān)．11．解：依題意，設(shè)男性人數(shù)為，女性人數(shù)為，該單位全體人員體重的平均數(shù)為：，所以該單位全體人員體重的方差為：．12．解：任取3點，有20個樣本點，除開、、和、、分別共線，其余18種均不共線，故概率為；任取4點，共有15個樣本點；每條直線上任取2個點，則共有9個樣本點，故概率為．故A、B正確．以為空間原點建立空間直角坐標系，設(shè)，，則，，，解