2022年春閩師大運(yùn)用“基本思想”解決“復(fù)雜問(wèn)題”策略探析

運(yùn)用“基本思想”解決“復(fù)雜問(wèn)題”策略探析福建省漳州市華安縣教師進(jìn)修學(xué)校黃明輝

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在“實(shí)施建議”中指出：“數(shù)學(xué)基本思想蘊(yùn)涵在知識(shí)形成、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括”。然而，在課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施過(guò)程中，許多教師側(cè)重于數(shù)學(xué)基本思想在知識(shí)形成、發(fā)展的教學(xué)過(guò)程研究，而忽視數(shù)學(xué)基本思想在運(yùn)用的訓(xùn)練過(guò)程探索，導(dǎo)致在解決復(fù)雜問(wèn)題過(guò)程中難于整體把握與構(gòu)建數(shù)學(xué)基本思想運(yùn)用策略現(xiàn)象，特別是解決復(fù)雜問(wèn)題的數(shù)學(xué)“靈魂深處”無(wú)法得到挖掘與運(yùn)用，不但重踏了“知識(shí)型、記憶型”培養(yǎng)途徑，而且阻礙了“創(chuàng)造型、開拓型”成長(zhǎng)道路。因此，加強(qiáng)運(yùn)用基本思想解決復(fù)雜問(wèn)題策略探析顯得至關(guān)重要，除突出復(fù)雜問(wèn)題題型結(jié)構(gòu)分析外，還要凸顯教材特點(diǎn)、課標(biāo)理念，更要凸顯與基本思想相對(duì)應(yīng)的運(yùn)用（解決問(wèn)題）策略。下面就圍繞“運(yùn)用基本思想解決復(fù)雜問(wèn)題策略”談些粗淺思考與做法。CONTENTS一、“抽象性”問(wèn)題，“數(shù)與形結(jié)合”策略12三、“綜合性”問(wèn)題，“分類與討論”策略3四、“開放性”問(wèn)題，“運(yùn)籌與優(yōu)化”策略4五、“探究性”問(wèn)題，“歸納與推理”策略5目錄二、“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題，“轉(zhuǎn)化與化歸”策略1PART“抽象性”問(wèn)題，“數(shù)與形結(jié)合”策略“抽象性”問(wèn)題是指圍繞知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”、打破教材中例題的原模型（改為“深”）創(chuàng)編而成的“復(fù)雜問(wèn)題”題型，而這種題型是第二學(xué)段與教材例題相配套訓(xùn)練常利用的重要途徑，也是學(xué)生破解和教師巧引的難題。數(shù)形結(jié)合思想（策略）就是根據(jù)數(shù)與形的“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系，且通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法。數(shù)形結(jié)合重要的思想有“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”?！耙孕沃鷶?shù)”特點(diǎn)：把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變“抽象思維”為“形象思維”，從而揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；“以數(shù)解形”特點(diǎn)：把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微”。由此可知：數(shù)形結(jié)合思想（策略）是解決“抽象性”問(wèn)題的橋梁與紐帶。為增強(qiáng)知識(shí)理解與運(yùn)用的深刻性，面對(duì)解決“抽象性”問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想（手段）化“抽象問(wèn)題為具體問(wèn)題”，幫助學(xué)生破解抽象問(wèn)題方案。1.“以形助數(shù)”：例如，人教版六年級(jí)上冊(cè)（補(bǔ)充教材）日本的“龜鶴同游”問(wèn)題（教材配套的問(wèn)題）：“有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？”本題是從我國(guó)的“雞兔同籠”問(wèn)題演變來(lái)的，依據(jù)教材例題可采用列表法和假設(shè)法解答，但由于列表法解題具有優(yōu)越性（化繁為簡(jiǎn)）和局限性（逐一推理），所以學(xué)生解題時(shí)習(xí)慣采用假設(shè)法（一次性邏輯推理）解答，此時(shí)，若無(wú)憑借“畫圖”工具（以形助數(shù)），卻會(huì)增強(qiáng)解題難度。教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖（如圖1:略），用小圓表示龜和鶴的頭，小短線表示龜和鶴的腳，從圖1中可知龜和鶴共有40只。那么，如圖（2），首先假設(shè)40只全是龜，每只龜身上有4只腳，共有40×4=160（只）腳，多出160-112=48（只）腳。多出48只腳就是多安在24只鶴身上。即鶴有48÷2=24（只），龜有40-24=16（只）。同樣，如圖（3），首先假設(shè)40只全是鶴，每只鶴身上有2只腳，共有40×2=80（只）腳，還剩余112-80=32（只）腳。剩余的32只腳可以長(zhǎng)在16只龜身上，變成16只龜。即龜有32÷（4-2）=16（只），鶴有40-16=24（只）。題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，畫圖的過(guò)程就是解決復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程，運(yùn)用“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想（策略），使“龜鶴算”問(wèn)題變“抽象思維為形象思維”，同時(shí)，揭示了數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。圖2圖32.“以數(shù)解形”:例如，人教版六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”問(wèn)題（教材配套的問(wèn)題）：請(qǐng)你根據(jù)下面圖形與數(shù)的規(guī)律（如下圖4），接著畫一畫、填一填；如果不畫，這樣排列下去，第10個(gè)數(shù)是多少？本題是圖形中蘊(yùn)藏著數(shù)規(guī)律的典型“抽象性”問(wèn)題，若無(wú)憑借“計(jì)算”工具（以數(shù)解形），卻難于破解“蘊(yùn)藏深處規(guī)律”的問(wèn)題。解題時(shí)教師可先引導(dǎo)學(xué)生按照?qǐng)D形與數(shù)的規(guī)律接著畫圖、填數(shù)（如下圖5）；再引導(dǎo)學(xué)生觀察第5幅圖，并尋找小圓片排列規(guī)律（第一行1個(gè)、第二行2個(gè)、第三行3個(gè)、第四行4個(gè)、第五行5個(gè)，從1開始的連續(xù)自然數(shù)）；圖4圖5然后引導(dǎo)學(xué)生利用圖形特征（平行四邊形、梯形）算出下圖2小圓片排列的總個(gè)數(shù)。解法一：把下圖2拼成一個(gè)平行四邊形（如下圖6），求出原來(lái)“三角形”中小圓片總個(gè)數(shù)，即：6×5÷2=15（個(gè)）。解法二：把下圖2拼成一個(gè)梯形（如下圖7），求出梯形中“三角形”小圓片總個(gè)數(shù)，即：（1+5）×5÷2=15（個(gè)）。題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，尋找計(jì)算的過(guò)程就是解決復(fù)雜問(wèn)題的過(guò)程，運(yùn)用“以數(shù)解形”的數(shù)形結(jié)合思想（策略），使蘊(yùn)藏著數(shù)規(guī)律的“抽象性”問(wèn)題變“抽象思維為數(shù)量思維，同時(shí)，對(duì)圖形規(guī)律形式有了更直觀的認(rèn)識(shí)。圖6圖7總之，數(shù)形結(jié)合思想（策略）常默默滲透在解決“抽象性”問(wèn)題中，教師不但要竭力挖掘數(shù)形結(jié)合思想（策略）的運(yùn)用功能，而且要講究數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用策略，久而久之，就會(huì)把學(xué)生帶入“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”的解題境界。2PART“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題，“轉(zhuǎn)化與化歸”策略“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題是指圍繞知識(shí)“連接點(diǎn)”、打破教材中例題的原模型（改為“蘊(yùn)藏”）創(chuàng)編而成的“復(fù)雜問(wèn)題”題型，而這種題型是與教材例題相配套的轉(zhuǎn)換角度思考的訓(xùn)練學(xué)生思維而常利用的重要策略，也是學(xué)生求解和教師巧教的難題?！稗D(zhuǎn)化與化歸”思想（策略）是指解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種特有的解題策略。

“轉(zhuǎn)化與化歸”思想（策略）最常用的有“化新為舊”和“化難為易”策略?！盎聻榕f”的特點(diǎn)：直接求解問(wèn)題較為困難，且新舊知識(shí)關(guān)聯(lián)較為密切，將未解決問(wèn)題（陌生）化歸為已解決問(wèn)題（熟悉），從而達(dá)到解決原問(wèn)題的目的；“化難為易”的特點(diǎn)：尋找到問(wèn)題的突破口，對(duì)所要解決問(wèn)題的某些條件進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使難解的問(wèn)題化歸為容易求解的問(wèn)題。眾所周知：數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)由易到難、從簡(jiǎn)到繁的過(guò)程，然而，人們理解和掌握知識(shí)過(guò)程卻常把陌生知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉知識(shí)、把繁難知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單知識(shí)，從而解決復(fù)雜熟悉問(wèn)題。由此可知：“轉(zhuǎn)化與化歸”思想（策略）是攻克“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題的精髓與法寶。為落實(shí)知識(shí)理解與運(yùn)用的探索性，面對(duì)解決“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“轉(zhuǎn)化與化歸”思想（手段）化“隱藏問(wèn)題為淺顯問(wèn)題”，使問(wèn)題迎刃而解。

“化難為易”

例如，人教版六年級(jí)上冊(cè)“和倍”問(wèn)題（稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題）的一道知識(shí)延伸題（教師編制的問(wèn)題）：“某工程隊(duì)修建一條高速公路，已經(jīng)修建了全長(zhǎng)的3/5還多24km，未修建的是已修建的1/3。這條高速公路長(zhǎng)多少千米？”本題帶有分率的兩個(gè)已知條件所表示單位“1”量是屬于不同種量（第一個(gè)句關(guān)鍵句是以全長(zhǎng)為單位“1”量，第二句關(guān)鍵句是以已修建為單位“1”量），且與所求問(wèn)題不含有梯級(jí)或次序關(guān)系，可以說(shuō)是一道繁難的“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題，若無(wú)憑借“轉(zhuǎn)化與化歸”手段（化難為易），卻難于找到已知量（24千米）所對(duì)應(yīng)的分率。實(shí)踐可知：數(shù)學(xué)教學(xué)與語(yǔ)文教學(xué)同樣可以有句式轉(zhuǎn)化（不會(huì)改變句子本意），如男職工是女職工的2/5，可以轉(zhuǎn)化為男職工是全廠職工的2/7或女職工是全廠職工的5/7。1解題時(shí)教師可先引導(dǎo)學(xué)生抓住題中“未修建的是已修建的1/3”可轉(zhuǎn)化量的關(guān)聯(lián)句式，轉(zhuǎn)化成以全長(zhǎng)為“1”量的關(guān)聯(lián)句式“未修建的占全長(zhǎng)的1/4或已修建的占全長(zhǎng)的3/4”。接著引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖（如下圖8），并結(jié)合圖意尋找出多24千米的對(duì)應(yīng)分率和解答即24千米（已知量）占公路全長(zhǎng)的（3/4-3/5），列式計(jì)算：24÷（3/4-3/5）=160（千米）或24千米（已知量）占公路全長(zhǎng)的（1-3/5-1/4），列式計(jì)算：24÷（1-3/5-1/4）=160（千米）。題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，尋找“化難為易”轉(zhuǎn)化的過(guò)程就是解決“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題的過(guò)程，巧妙運(yùn)用“化難為易”的“轉(zhuǎn)化與化歸”思想（策略），對(duì)解答“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題起到“避繁就簡(jiǎn)、化暗為明”的作用。圖：（8）

“化新為舊”

例如，人教版四年級(jí)下冊(cè)“四邊形的內(nèi)角和”問(wèn)題的一道知識(shí)拓展題（教材配套的問(wèn)題）：“你能想辦法求出下邊這個(gè)多邊形的內(nèi)角和嗎？（如下圖9--1）”。本題是圖形中蘊(yùn)藏著新舊知識(shí)間邏輯關(guān)系的典型“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題，若無(wú)憑借“轉(zhuǎn)化與化歸”手段（化新為舊），卻難于精確求出多邊形內(nèi)角和的度數(shù)。解題時(shí)教師可先引導(dǎo)學(xué)生尋找與本題有關(guān)的舊知識(shí)即“三角形的內(nèi)角和、四邊形的內(nèi)角和及周角度數(shù)”。接著引導(dǎo)學(xué)生多角度嘗試畫轉(zhuǎn)化圖，并求出多邊形的內(nèi)角和度數(shù)。解法1：把六邊形（未知）轉(zhuǎn)化為三角形（已知），已知三角形內(nèi)角和180o，由下圖9--2可求出六邊形內(nèi)角和：180o×4=720o；2圖：（9）解法2：把六邊形（未知）轉(zhuǎn)化為周角（已知），已知一個(gè)周角360o，由下圖9--3可求出六邊形內(nèi)角和：180o×6-360o（周角）=720o；解法3：把六邊形（未知）轉(zhuǎn)化為四邊形（已知），已知四邊形的內(nèi)角和360o，由下圖9--4可求出六邊形內(nèi)角和：360o+360o=720o；解法4：把六邊形（未知）轉(zhuǎn)化為四邊形與三角形（已知），已知四邊形的內(nèi)角和360o和三角形內(nèi)角和180o，由下圖9--5可求出六邊形內(nèi)角和：360o+180o×2=720o。題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，尋找“化新為舊”轉(zhuǎn)化的過(guò)程就是解決“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題的過(guò)程，靈活運(yùn)用“化新知為舊知”的“轉(zhuǎn)化與化歸”思想（策略），對(duì)解答“關(guān)聯(lián)性”問(wèn)題起到“化抽象為直觀、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”作用。

總之，“轉(zhuǎn)化與化歸”思想（策略）是一切數(shù)學(xué)基本思想的的核心，教師不但要遵循“轉(zhuǎn)化與化歸”思想原則（熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、直觀化原則），而且要深入探究轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用策略，久而久之，學(xué)生轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)用能力、解決問(wèn)題能力都能得到全面發(fā)展。3PART“綜合性”問(wèn)題，“分類與討論”策略“綜合性”問(wèn)題是指圍繞知識(shí)“延伸點(diǎn)”，打破教材中例題的原模型（變“淺顯”為“遞進(jìn)”、變“基本”為“綜合”），創(chuàng)編而成的“化零為整”的“復(fù)雜問(wèn)題”題型，而這種題型是與教材例題相配套的訓(xùn)練學(xué)生“化整為零”思維而常利用的重要渠道，也是學(xué)生“熟解”和教師“巧釋”的難題?！胺诸惻c討論”思想（策略）是將一個(gè)較深?yuàn)W的數(shù)學(xué)問(wèn)題分割（或分解）成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題、再通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的逐一解答、最終實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略?！胺诸惻c討論”最凸顯的思想（策略）有“逐一分類”和“逐級(jí)分類”?！爸鹨环诸悺钡奶攸c(diǎn)：面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，卻無(wú)法通過(guò)“整體”研究解決，需要把研究對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(不交叉、不從屬，不重復(fù)、不遺漏)并逐類進(jìn)行討論，再把每一類的結(jié)論進(jìn)行綜合，使復(fù)雜問(wèn)題得到有效解決?！爸鸺?jí)分類”的特點(diǎn)：面對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，卻無(wú)法通過(guò)“單級(jí)”研究解決，需要在分類經(jīng)驗(yàn)（單一分類）的基礎(chǔ)再按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，乃至使復(fù)雜問(wèn)題最終得到解決。由此可知：“分類與討論”思想（策略）是破解“綜合性”問(wèn)題的技巧與簡(jiǎn)捷策略。為構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)和良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，面對(duì)解決“綜合性”問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“分類與討論”思想（方法）化“綜合問(wèn)題”為“基礎(chǔ)問(wèn)題”，從而使既繁難又深?yuàn)W的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到巧解。

“逐一分類”：例如，人教版五年級(jí)下冊(cè)“比較分?jǐn)?shù)大小”問(wèn)題的一道知識(shí)運(yùn)用綜合性問(wèn)題（教材配套的問(wèn)題）：“把梨放進(jìn)相應(yīng)的筐里”（如下圖10）。本題是圖形中蘊(yùn)藏著綜合知識(shí)邏輯性很強(qiáng)的典型“綜合性”問(wèn)題（7道基本題），若無(wú)采用“分類與討論”策略（逐一分類），而運(yùn)用常規(guī)方法（逐一與1/4

比較），卻費(fèi)勁又費(fèi)時(shí)，且難于全部找到正確答案。解題時(shí)教師可先引導(dǎo)學(xué)生按照“相同分子”標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，由此可得：第一類，分子是1的分?jǐn)?shù)有1/3、1/5

；第二類，分子是2的分?jǐn)?shù)有2/7、2/9

；第三類，分子是3的分?jǐn)?shù)有3/8、3/10和3/16。圖：（10）1

然后引導(dǎo)學(xué)生逐類討論：第一類，1/3、1/5分別與1/4

比較，因分子相同（皆是1），所以1/3大于1/4、1/5小于1/4；第二類，2/7、2/9分別與2/8（2/8=1/4）比較，根據(jù)分子相同的分?jǐn)?shù)特點(diǎn)，所以2/7大于2/8即大于1/4、2/9小于2/8即小于1/4；第三類，3/8、3/10和3/16分別與3/12（3/12=1/4）比較，又因分子相同（皆是3），所以3/8、3/10都大于3/12即都大于1/4，3/16小于3/12即小于1/4。再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行綜合：由此可知，可以放進(jìn)“大于1/4”筐里的分?jǐn)?shù)有“1/3、2/7、3/8和3/10”，可以放進(jìn)“小于1/4”筐里的分?jǐn)?shù)有“1/5、2/9和3/16”。

圖：（10）

題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，學(xué)生既鞏固了分?jǐn)?shù)的通分和分?jǐn)?shù)大小比較的知識(shí)，又訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用分類討論思想（逐一分類）巧解“綜合性”問(wèn)題。

圖：（10）點(diǎn)擊此處添加標(biāo)題

逐級(jí)分類”：

例如，人教版五年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角—找次品”問(wèn)題的一道知識(shí)運(yùn)用綜合性問(wèn)題（教材配套的問(wèn)題）：“1箱糖果有12袋，其中11袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱幾次能保證找出這袋糖果來(lái)？”本題是一道“層次性”很強(qiáng)的典型“綜合性”問(wèn)題（3個(gè)層次的推理過(guò)程），若無(wú)采用“分類與討論”策略（逐級(jí)分類）從“宏觀到微觀”的優(yōu)化探索，而運(yùn)用常規(guī)找次品基本思路，卻難于找到最優(yōu)策略答案。2

解題時(shí)教師可先引導(dǎo)學(xué)生用○表示糖果（如下圖11），并按照找次品的“最優(yōu)策略”（平均分3份，且盡量平均分）進(jìn)行第一次分類（平衡和不平衡），由“平衡”可推：質(zhì)量不足的糖果在第三組“4”里面，由“不平衡”可推：質(zhì)量不足的糖果在第一組“4”里面或在第二組“4”里面。再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第二次分類（平衡和不平衡）：（1）第三組“4”里面（1，1，2），由“平衡”可推：質(zhì)量不足的糖果在“2”里面，由“不平衡”可推：質(zhì)量不足的糖果在第一個(gè)“1”里面或在第二個(gè)“1”里面；（2）第一組或第二組“4”里面（1，1，2），由“平衡”可推：質(zhì)量不足的糖果在“2”里面，由“不平衡”可推：質(zhì)量不足的糖果在第一個(gè)“1”里面或在第二個(gè)“1”里面。圖：（11）圖：（12）點(diǎn)擊此處添加標(biāo)題

接著引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第三次分類（平衡和不平衡），由質(zhì)量不足的糖果“2”（1，1）可推輕一些的糖果在第一個(gè)“1”里面或在第二個(gè)“1”里面。由“配以數(shù)字和文字說(shuō)明的流程圖”（如下圖12）可知：至少3次能保證找出這袋糖果。題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，“逐級(jí)分類”的策略是揭開知識(shí)奧秘、解決“綜合性”（層次性）問(wèn)題的“金鑰匙”，對(duì)“表達(dá)數(shù)學(xué)思維過(guò)程、培養(yǎng)邏輯推理能力、運(yùn)用最優(yōu)策略解題”起到橋梁和紐帶作用。圖：（11）圖：（12）點(diǎn)擊此處添加標(biāo)題

總之，分類與討論”過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程，教師不但要遵循“分類與討論”過(guò)程特點(diǎn)（既不“交叉”，又不“從屬”；既不“重復(fù)”，又不“遺漏”），而且要凸顯“分而治之、各個(gè)擊破、綜合歸納”思維過(guò)程，從而破解繁難的“綜合性”問(wèn)題。4PART“開放性”問(wèn)題，“運(yùn)籌與優(yōu)化”策略“開放性”問(wèn)題是指圍繞知識(shí)“拓展點(diǎn)”、打破教材中例題的原模型（改為化“靜止”為“動(dòng)態(tài)”即變“單一”為“多向“）創(chuàng)編而成的“復(fù)雜問(wèn)題”題型，而這種題型是與教材例題相配套的訓(xùn)練學(xué)生“神機(jī)妙算”思維而常利用的重要途徑，也是學(xué)生“優(yōu)解”和教師“巧導(dǎo)”的難題?！斑\(yùn)籌與優(yōu)化”思想（策略）是根據(jù)已有條件對(duì)所研究的對(duì)象（數(shù)學(xué)問(wèn)題）經(jīng)過(guò)策劃安排探索出有限種或無(wú)限種可行方案（決策）、再經(jīng)過(guò)對(duì)比從中挑選出最優(yōu)解法獲得最好效果的一種特有的解題策略。“運(yùn)籌與優(yōu)化”最凸顯的思想（策略）有“規(guī)劃運(yùn)籌”（如“沏茶問(wèn)題”與“烙餅問(wèn)題”）和“對(duì)策運(yùn)籌”（如“田忌賽馬”策略。“對(duì)策運(yùn)籌”的特點(diǎn)：面對(duì)比較復(fù)雜的“開放性”問(wèn)題（策略開放），卻無(wú)法通過(guò)“單種解題策略”研究解決（尋找到最佳的行動(dòng)方案），需要把研究對(duì)象進(jìn)行策劃并探索出多種解題策略（一題多解），再?gòu)闹袚癯鲎顑?yōu)一種解題策略?！耙?guī)劃運(yùn)籌”的特點(diǎn)：面對(duì)比較復(fù)雜的“開放性”問(wèn)題（結(jié)論開放），需要把同一時(shí)間內(nèi)能做的事情綜合起來(lái)統(tǒng)籌安排了，然后比較兩種或兩種以上方案所需時(shí)間的長(zhǎng)短，再?gòu)闹袚癯鍪r(shí)高效的有效解題策略。由此可知：“運(yùn)籌與優(yōu)化”思想（策略）是求解“開放性”問(wèn)題的重要手段與策略。正如古語(yǔ)云：“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”。為構(gòu)建低耗高效解題策略平臺(tái)，面對(duì)解決“開放性”復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，教師必須竭力引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“運(yùn)籌與優(yōu)化”思想（措施）進(jìn)行策劃決策（規(guī)劃運(yùn)籌和對(duì)策運(yùn)籌），從而使既抽象又概括的數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解。1.“對(duì)策運(yùn)籌”：例如，人教版六年級(jí)下冊(cè)“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”問(wèn)題（整理與復(fù)習(xí)）的一道知識(shí)拓展題（教師編制的問(wèn)題）：“工程隊(duì)挖一條2.4千米的水渠,3天挖了全長(zhǎng)的，照這樣的工作效率，多少天挖完剩下的水渠？”本題是一道“策略開放”（一題多解即“答案唯一型”）的典型“開放性”問(wèn)題（3個(gè)角度的開放過(guò)程），若無(wú)采用“運(yùn)籌與優(yōu)化”思想（對(duì)策運(yùn)籌）從“不同角度、不同方位”的發(fā)散探究，而運(yùn)用常規(guī)解題基本思路，卻難于找到“低耗高效”的解題策略。解題時(shí)教師可先從“分?jǐn)?shù)類”角度引導(dǎo)學(xué)生深度思考并解答，通過(guò)分析，尋找到解題的基本思路即“剩下時(shí)間=剩下渠道長(zhǎng)÷工作效率”，由此找到4種解題策略：（1）（2.4-2.4×1/4）÷（2.4×1/4÷3）=9（天）；（2）［2.4×（1-1/4）］÷（2.4×1/4÷3）=9（天）；（3）（2.4-2.4×1/4）÷（1/4

÷3×2.4）=9（天）；（4）［2.4×1-1/4）］÷（1/4÷3×2.4）=9（天）。然后從“工程類”角度引導(dǎo)學(xué)生探究并解答，把全長(zhǎng)2.4千米看作整體“1”，通過(guò)分析，尋找到解題的基本思路即“剩下工作時(shí)間=工作總時(shí)間-已做工作時(shí)間”，由此找到3種解題策略：（1）1÷（1/4

÷3）-3=9（天）；（2）1÷（1/4

÷3）×（1-1/4）=9（天）（3）3÷1/4-3=9（天）。再?gòu)摹昂瘮?shù)類”角度引導(dǎo)學(xué)生分析并求解，通過(guò)思考，尋找到解題的基本思路即“工作總量÷工作時(shí)間=工作效率，已知工作效率一定（照這樣的工作效率），所以工作總量與工作時(shí)間成正比例，由此找到2種解題策略：(1)直接假設(shè)χ天修完剩下水渠，1/4：3=（1-1/4）：χ，χ=9（天）；（2）間接假設(shè)χ天修完全程水渠，1/4：3=1：χ，χ=:12（天）,12-3=9（天）。最后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)比綜合，由此可知：從三個(gè)不同角度都能找到本題正確解題答案，但從“低耗高效”角度思考“工程類”中第三種解法“3÷1/4-3=9（天）”最為優(yōu)化。

題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，學(xué)生的解題思路豐富多彩（多種解法），不但對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納整理，而且有效拓寬發(fā)散性思維，還靈活運(yùn)用“對(duì)策運(yùn)籌”思想，從而找到解題的最優(yōu)化策略。2.“規(guī)劃運(yùn)籌”：

例如，人教版四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角—優(yōu)化”問(wèn)題的一道知識(shí)拓展題（教材配套的問(wèn)題）：“爸爸開車和媽媽一起從家外出辦事。爸爸要去辦公室取資料，媽媽要去商場(chǎng)購(gòu)物。下面是他們的行走路線和所用時(shí)間（如下圖13）。他們辦完這些事回到家，至少需要用多長(zhǎng)時(shí)間？”本題是一道“結(jié)論開放”（一題多解即“答案不唯一型”）的典型“開放性”問(wèn)題，若無(wú)采用“運(yùn)籌與優(yōu)化”思想（規(guī)劃運(yùn)籌）從不同的路徑進(jìn)行規(guī)劃探究，卻難于找到“省時(shí)合理”的解題策略。圖13解題時(shí)教師可先引導(dǎo)學(xué)生從“爸爸先送媽媽到商場(chǎng)后，再辦自己的事情”這條路徑計(jì)算所需時(shí)間?？傻?，路徑設(shè)計(jì)流程圖（1）：家→街心花園→商場(chǎng)→街心花園→辦公室→街心花園→家；所需時(shí)間計(jì)算：10+2+2+15+10+15+10=64（分鐘）。然后引導(dǎo)學(xué)生從“爸爸、媽媽分頭辦事“這條路徑計(jì)算所需時(shí)間。可得，路徑設(shè)計(jì)流程圖（2）：“家→街心花園→辦公室（取資料）→街心花→家”或“家→街心花園→商場(chǎng)（購(gòu)物）→街心花園→家；所需時(shí)間計(jì)算：10+15+10+15+10=60（分鐘）或10+12+30+12+10=72（分鐘）。最后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析尋找最優(yōu)化解題策略：從路徑設(shè)計(jì)流程圖（1）分析，可以看出“媽媽購(gòu)物、步行到街心花園時(shí)間等于爸爸開車到辦公樓、取資料、又回街心花園時(shí)間”，屬于最合理安排時(shí)間；從路徑設(shè)計(jì)流程圖（2）分析，可以看出“分頭辦事”,媽媽比爸爸辦事時(shí)間長(zhǎng)（時(shí)間差12分鐘），存在不夠合理安排時(shí)間現(xiàn)象。由此可知：他們辦完這些事回到家，至少需要用64分鐘時(shí)間。題后悟道：從整個(gè)解題過(guò)程可以看出，“規(guī)劃運(yùn)籌”的策略是解決比較復(fù)雜的“開放性”問(wèn)題（結(jié)論開放）的前提與保證，對(duì)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律（從復(fù)雜到簡(jiǎn)單、從低效到高效、從基本到優(yōu)化）、統(tǒng)籌安排事情等能力起到鍛煉和提升作用?？傊?，“運(yùn)籌與優(yōu)化”過(guò)程的本質(zhì)就是各種事物數(shù)量間關(guān)系與空間形式的深度分析、梳理、統(tǒng)籌與推理、建模過(guò)程，教師不但要注重引導(dǎo)學(xué)生尋找多種解決問(wèn)題途徑，而且要注重培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)在各種可行的方案里尋找一種最佳方案，從而獲得最優(yōu)結(jié)果。5PART“探究性”問(wèn)題，“歸納與推理”策略“探究性”問(wèn)題是指圍繞知識(shí)“創(chuàng)新點(diǎn)”、打破教材中例題的原模型（改為化“常規(guī)”為“挑戰(zhàn)”即變“單調(diào)”為“巧妙“）創(chuàng)編而成的“復(fù)雜問(wèn)題”題型，而這種題型是與教材例題相配套的訓(xùn)練學(xué)生“推理創(chuàng)新”思維而常利用的重要手段，也是學(xué)生“深解”和教師“巧挖”的難題。“歸納與推理”思想（方法）是以“已有素材或一系列經(jīng)驗(yàn)性事物”為依據(jù)，先尋找其具有的基本規(guī)律或共同規(guī)律，再假設(shè)同類事物中的其他事物也具有同樣的規(guī)律（性質(zhì)），然后將這些規(guī)律作為同類事物基本規(guī)律的認(rèn)知策略?！皻w納與推理”最常用的思想（策略）有“想象推理”和“抽象推理?！跋胂笸评怼钡奶攸c(diǎn)：面對(duì)比較復(fù)雜的“探究性”問(wèn)題（空間想象），卻無(wú)法通過(guò)“基本解題思路”研究解決（尋找到準(zhǔn)確解題方案），需要把研究對(duì)象進(jìn)行合理想象（猜測(cè)），并借助有效材料為載體進(jìn)行推理，從而探索出具有超常思維解題策略（創(chuàng)新解法）?！俺橄笸评怼钡奶攸c(diǎn)：面對(duì)比較復(fù)雜的“探究性”問(wèn)題（規(guī)律探索或性質(zhì)探索），卻無(wú)法通過(guò)“對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律”進(jìn)行證明（尋找到正確解題方案），需要把研究對(duì)象（多維典型實(shí)例）進(jìn)行規(guī)律抽象（歸納概括），并借助在一般情況下的典型實(shí)例為載體進(jìn)行驗(yàn)證即推理，從而概括出該類研究對(duì)象都具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論（解題策略）。由此可知：“歸納與推理”思想（策略）是深解“探究性”問(wèn)題的重要策略與途徑。為落實(shí)與完善歸納推理過(guò)程，面對(duì)解決“探究性”問(wèn)題時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“歸納與推理”思想（策略）化“求異問(wèn)題”為“規(guī)律問(wèn)題”，從而使既有想象（抽象）又推理的數(shù)學(xué)問(wèn)題得到化解（創(chuàng)新解法）。例如，人教版五年級(jí)下冊(cè)“容積和容積單位”問(wèn)題的一道知識(shí)創(chuàng)新題（教師編制的問(wèn)題）：“一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的金魚玻璃缸，長(zhǎng)、寬、高分別是40cm、25cm、30cm，里面裝有一些水（如下圖14左），一端抬高以后里面水的形狀如下圖14右所示，抬高這頭的水面正好與底面的寬重合，另一端水面離上口沿8cm。這些水的體積是多少立方厘米？”本題是一道“想象推理”（多角度想象的邏輯推理）的典型“探索性”問(wèn)題（2條思路的探索過(guò)程），若無(wú)采用“歸納與推理”思想（想象推理）從足夠的思考空間發(fā)揮大膽的想象，卻難于找到“求異而創(chuàng)新”的解題策略。1.“想象推理”：

圖：（14）解題時(shí)教師可先引導(dǎo)學(xué)生將抬高后水的形狀想象成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是40cm、25cm、22cm的長(zhǎng)方體的一半，即底面在下面。由此找到“長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高”常規(guī)解題推理過(guò)程（策略）：30-8＝22cm（水面高），40×25×22＝22000