充分條件、必要條件、充要條件+高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊VIP

第2章常用邏輯用語2.2充分條件、必要條件、充要條件一、命題真假與推出關(guān)系命題真假“若p，則q”為真命題“若p，則q”為假命題文字表述由p可以推出q成立由p不能推出q成立符號表示___________讀法p推出qp不能推出q傳遞性如果p?q，q?s，那么_______p?qp?qp?s例如：(1)x＝y(tǒng)?

x2＝y(tǒng)2，但x2＝y(tǒng)2

?

x＝y(tǒng)；(2)x＞1?x2＞1，但x2＞1?x＞1；這里，“x＞1”表示“x是大于1的實數(shù)”；“S△ABC”表示“△ABC的面積”.(3)△ABC≌△A′B′C′?S△ABC＝S△A′B′C′，

但S△ABC

＝S△A′B′C′?△ABC≌△A′B′C′.●如果“p＝q”，那么p，q

之間有怎樣的關(guān)系?分析(1)(2)(3)，可以發(fā)現(xiàn)，“p

?q”的含義是：一旦p

成立，q一定也成立.即p對q

的成立是充分的.也可以這樣說：如果q

不成立，那么力一定不成立.即g對的成立是必要的.二、充分條件、必要條件推出關(guān)系p?q條件關(guān)系p是q的__________條件，q是p的__________條件.充分必要例1下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些?解：因為p?

q，所以p是q的充分條件.(1)p：x＝2，q：x2－x－2＝0；(2)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形.解：因為p?q，所以p不是q的充分條件.(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分.解：因為p?

q，所以p是q的充分條件.解：因為p?

q，所以p是q的充分條件.例2下列所給的各組p，q

中，p是q

的必要條件的有哪些?(1)p：∣x∣＝1，q：x＝1；(2)p：兩個直角三角形全等，q：兩個直角三角形的斜邊相等；解：因為q?

p，所以p是q的必要條件.解：因為q?p，所以p不是q的必要條件.(3)p：同位角相等，q：兩條直線平行；(4)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分解：因為q?

p，所以p是q的必要條件.解：因為q?

p，所以p是q的必要條件.觀察例1(3)和例2(3)、例1(4)和例2(4)，可以發(fā)現(xiàn)，其中既有p?q，也有q?p.三、充要條件定義推出關(guān)系p?q，且q?p，記作_______稱為“p與q等價”或“p等價于q”.條件關(guān)系p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件p?q

本質(zhì)p是q的充分必要條件，也常說成p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立.應(yīng)用充要條件是數(shù)學(xué)中非常重要的概念，應(yīng)用充要條件可以從不同的角度來理解、刻畫很多數(shù)學(xué)內(nèi)容.“?”和“?”都具有傳遞性，即如果p?q，q?s，那么p?s；如果p?q，q?s，那么p?s.【思考】命題按條件和結(jié)論的充分性、必要性可分哪幾類?提示：①充分必要條件(充要條件)，即p?q且q?p.②充分不必要條件，即p?q且q?p.③必要不充分條件，即p?q且q?p.④既不充分又不必要條件，即p?q且q?p.例3指出下列命題中，p是q的什么條件：(1)p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的對應(yīng)角相等；解：根據(jù)三角形全等的性質(zhì)，得出兩個三角形的對應(yīng)角相等，所以p?q.反過來，由兩個三角形的對應(yīng)角相等，不能得出兩個三角形全等.例如，兩個等腰直角三角形，它們對應(yīng)的角相等，但對應(yīng)邊不相等，這兩個三角形就不全等.所以q?p.因此，p是q的充分條件，但p不是q的必要條件.(2)p：三角形的三邊相等，q：三角形是等邊三角形；解：根據(jù)等邊三角形的定義，可知三邊相等的三角形是等邊三角形，所以

p?q.反過來，根據(jù)等邊三角形的定義，可知等邊三角形的三邊相等.所以

q

?p.因此，p?q，即p是q的充要條件.(3)p：a2

＝b2，q：a

＝b；解：a2－b2

?

a2－b2＝0?(a－b)(a＋b)＝0?a－b＝0或a＋b＝0?a＝－b或a＝b，所以p?q.

反過來，a＝b?a－b＝0?(a－b)(a＋b)＝0?a2－b2＝0?a2＝b2，所以q

?p.因此，q

?

p，但p?q，即p是q的必要條件，但p不是q的充分條件.還可以通過舉反例來說明，如22＝(－2)2，但2≠－2.(4)p：x

＞y，q：x2＞y2.解：取x＝1，y＝－2，此時，x＞y，但x2＜y2，所以p?q.反過來，取x＝－2，y＝－1，此時，x2＞y2，但x＜y，所以q

?p.因此，p

不是q

的充分條件，q也不是p的必要條件.四、性質(zhì)定理、判定定理和數(shù)學(xué)定義(1)性質(zhì)定理是指某類對象具有的具體特征.性質(zhì)定理具有“_____________”.(2)判定定理是指對象只要具有某具體的特征，就一

定有該對象的所有特征.判定定理具有“_____________”.(3)數(shù)學(xué)定義既具有必要性也具有充分性.必要性充分性【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件.(

)

(2)兩個三角形相似的充要條件是兩個三角形的三邊對應(yīng)成比例. (

)??(3)若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的充要條件.(

)(4)如果p是q的充分條件，則p是唯一的.(

)??不唯一，如x＞3，x＞5，x＞10等都是x＞0的充分條件.2.從符號“?”“?”“?”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：

???3.從“充分”“必要”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：(1)“x＞2”是“x＞3”的________條件；

(2)“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”

的________條件.

必要充分解析：(1)因為“x＞3”?“x＞2”，所以“x＞2”是“x＞3”的必要條件；(2)因為“四邊形ABCD是正方形”?“四邊形ABCD是菱形”，所以“四邊形ABCD是正方形”是“四邊形ABCD是菱形”的充分條件.解析【解題策略】(1)準(zhǔn)確理解題意，明確證明方向①條件已知推出結(jié)論成立是充分性，結(jié)論已知推出條件成立是必要性.②“p是q的充分(必要)條件”有時也寫為“q的充分(必要)條件是p”.充要條件的證明策略(2)關(guān)注證明的兩個環(huán)節(jié)一是充分性；

二是必要性.

證明時，不要認(rèn)為它是推理過程的“雙向書寫”，而應(yīng)該進(jìn)行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明.【跟蹤訓(xùn)練】1.使x(y－2)＝0成立的一個充分條件是 (

)

A.x2＋(y－2)2＝0 B.(x－2)2＋y2＝0C.(x＋1)2＋y2＝0 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝0A解析：根據(jù)題意，原題可改寫為“(

)是x(y－2)＝0的充分條件”.x2＋(y－2)2＝0?x＝0且y＝2?x(y－2)＝0，所以x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分條件.解析2.對于任意的實數(shù)a，b，c，在下列命題中，真命題是

(

)A.“ac＞bc”是“a＞b”的必要條件B.“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件C.“ac＜bc”是“a＜b”的充分條件D.“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件B解析：若a＝b，則ac＝bc；若ac＝bc，則a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件.解析3.“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的________條件，

“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的________條件.

(用“充分”“必要”填空)

充分必要解析：由x＝－1?x2－x－2＝0，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分條件，“x2－x－2＝0”是“x＝－1”的必要條件.解析4.p：1－x＜0，q：x＞a，若p是q的充分條件，則a的取值范圍為__________.

a≤1解析：x＞1?x＞a，令A(yù)＝{x∣x＞1}，B＝{x∣x＞a}，則A?B，所以a≤1.解析5.求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac＜0.

6.求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的

充要條件是a－b＋c＝0.證明：充分性：∵a－b＋c＝0，即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，∴－1是ax2＋bx＋c＝0的一個根.必要性：

∵ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1，∴a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.綜上可得ax2＋bx＋c＝0有一個根為－1的充要條件是a－b＋c＝0.練習(xí)1.下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些?(1)p：三角形有一個內(nèi)角是60°，q：三角形是正三角形；因為三角形有一個內(nèi)角是60°?三角形是正三角形即p?q.所以p不是q的充分條件.(2)p：兩個角相等，q：兩個角是對頂角；因為兩個角相等，這兩個角有可能是內(nèi)錯角或同位角，故兩個角相等?兩個角是對頂角，即p?q

，所以p不是q的充分條件；(3)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對角線互相平分；因為平行四邊形的對角線互相平分故四邊形是平行四邊形?四邊形的對角線互相平分，即p?q，

所以p是q的充分條件；(4)p：x

＞2，q：x

＞1.因為x＞2?x＞1，所以p是q的充分條件；所以p是q的充分條件的有(3)(4)2.下列所給的各組p，q中，p是q的必要條件的有哪些?(1)p：兩條直線平行，q：同位角相等；(2)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形；解：q?p，p是q的必要條件；解：q?p，p是q的必要條件；(3)p：a

＝b，q：∣a∣＝∣b∣；(4)p：x2

＝l，q：x

＝1.解：q?p，p不是q的必要條件；解：q?p，p是q的必要條件；3.從符號“?”“?”“?”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：(1)x2＞1_______x＞1；(2)

a，b

都是偶數(shù)_______a＋b是偶數(shù)；(3)

x2＝1______∣x∣＝1；(4)n

是偶數(shù)_______n

是4的倍數(shù).????習(xí)題2.2感受·理解1.下列所給的各組p，q中，p是q的充分條件的有哪些?

p是q的必要條件的有哪些?p是q的充要條件的有哪些?(1)p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的面積相等；解：由p：兩個三角形全等能推出q：

兩個三角形的面積相等，故p是q的充分條件；由q：兩個三角形的面積相等不能推出p：兩個三角形全等，故p不是q的必要條件.

從而p不是q的充要條件；(2)p：三角形是直角三角形，q：三角形的兩個銳角互余；解：由p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的兩個銳角互余，故p是q的充分條件；由q：三角形的兩個銳角互余能推出p：三角形是直角三角形，故p是q的必要條件.從而p是q的充要條件；(3)p：m≤1，q：關(guān)于的方程x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解；解：∵關(guān)于x的方程x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解，∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1，故由p：m＜1能推出q：關(guān)于的方程x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解，故p是q的充分條件；由q：關(guān)于x的方程x2＋2x＋m＝0有實數(shù)解能推出p：m≤1，故p是q的必要條件.從而p是q的充要條件；(4)p：ab＝0，q：a＝0.解：由p：ab＝0不能推出q：a＝0，故p不是q的充分條件；由q：a＝0能推出p：ab＝0，故p是q的必要條件.從而p不是q的充要條件.綜上知：p是q的充分條件的有(1)(2)(3)，p是q的必要條件的有(2)(3)(4)，p是q的充要條件有(2)(3).2.從符號“?”“?”“?”中選擇適當(dāng)?shù)囊粋€填空：(1)x∈A______x∈A∩B(2)x?A∪B_____x∈A∩B；(3)x∈?U(A∪B)_____x∈(?UA)∩(?UB)；(4)x∈?U(A∩B)______x∈(?UA)∪(?UB).????思考·運用3.下列所給的各組p，q

中，p是q

的什么條件?(1)p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC，q：

△ABC

中，BC

＞AC；充要條件(2)p：a2

＜1，q：a＜2；

充分不必要條件既不充分也不必要條件(4)p：m

≤

1，q：關(guān)于的方程mx2＋2x＋1＝0有兩個實數(shù)解.必要不充分條件4.設(shè)a，b，c∈R，求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0

有一個根是1的充要條件為a＋b＋c＝0.證明：(1)必要性，即“若1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，則a＋b＋c＝0”