廣東省東莞市重點學校2023-2024學年高二上學期第二次段考（期中）數(shù)學試題（含答案）

-2024學年度第一學期第二次段考高二年級數(shù)學試題試卷分值：150分 考試時間：120分鐘注意事項：1.本卷共4頁.2.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡上.3.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.4.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.5.考生必須保證答題卡的整潔.一、單選題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A.60° B.120° C.150° D.2.已知，，且，則的值為（）A. B. C.6 D.3.下列敘述正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.數(shù)列0，1，2，3，…的一個通項公式為C.數(shù)列0，0，0，1，…是常數(shù)列 D.數(shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2是相同的數(shù)列4.已知直線與垂直，則（）A. B. C. D.15.設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則能得出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，6.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，則的內切圓半徑的取值范圍為（）A. B. C. D.7.設拋物線，直線與拋物線交于、兩點且，則的中點到軸的最短距離為（）A. B.1 C. D.28.下列數(shù)列中，其前項和可能為1028的數(shù)列是（）A. B. C. D.二、多選題：（本題共4小題，每小題滿分5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.已知雙曲線，下列對雙曲線判斷正確的是（）A.實軸長是虛軸長的2倍 B.焦距為4C.離心率為 D.漸近線方程為10.已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（）A.若點在函數(shù)（，為常數(shù)）的圖象上，則為等差數(shù)列B.若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，，，則當時，最大D.若，則為等差數(shù)列11.已知圓，過點作圓的兩條切線，切點分別為、，且直線恒過定點，則（）A.點的軌跡方程為B.的最小值為C.圓上的點到直線的距離的最大值為D.12.如圖（1）是一副直角三角板.現(xiàn)將兩個三角板沿它們的公共邊翻折成圖（2）的四面體，設，與面所成角分別為，，在翻折的過程中，下列敘述正確的是（）A.若，當時，點到面的距離是2B.存在某個位置使得C.若，當二面角時，則D.當在面的射影在三角形的內部（不含邊界），則三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是__________.14.假設小明每次用相同體積的清水清洗碗筷，且每次能洗去污垢的，那么至少要清洗________次才能使存留的污垢在1%以下.15.如圖，四棱錐中，平面平面，底面是邊長為2的正方形，是等腰三角形，則平面上任意一點到底面中心距離的最小值為__________.16.如圖：過雙曲線（，）的右焦點作直線，且直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，直線與另一條漸近線交于點（、均在軸右側）.已知為坐標原點，若的內切圓的半徑為，則雙曲線的離心率為____________.四、解答題：（本題共6小題，共70分.17題10分，18~22題每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本題滿分10分）已知直線和圓.（1）判斷直線與圓的位置關系；若相交，求直線被圓截得的弦長；（2）求過點且與圓相切的直線方程.18.（本題滿分12分）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和.19.（本題滿分12分）已知橢圓，左右焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，弦被點平分.（1）求直線的方程；（2）求的面積.20.（本題滿分12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，是的中點，平面平面.（1）若是線段的中點，求證：平面；（2）若是線段的一點（如圖），且，二面角的余弦值為，求的值.21.（本題滿分12分）已知數(shù)列，滿足，為數(shù)列的前項和，，（），記的前項和為，的前項積為，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.22.（本題滿分12分）已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，左頂點為，直線過左焦點，與雙曲線的左，右兩支依次交于，兩點.當軸時，，.（1）求雙曲線的標準方程；（2）點和點關于軸對稱（兩個點不重合），直線與軸交于點，求的取值范圍.2023-2024學年度第一學期第二次段考（高二數(shù)學）試卷參考答案題號123456789101112答案CCABDDADACDABCDACD13. 14.4 15. 16.7.【答案】A【詳解】設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，，設，，則韋達定理得，則由弦長公式得所以平方得，，因為，代入得，，令，，則，在單調遞增，因此當時，，故選A.8.【答案】D【詳解】A選項：因為，設數(shù)列的前項和為，則，令，方程無正整數(shù)解，故A錯誤；B選項：因為，設數(shù)列的前項和為，則，令，方程無正整數(shù)解，故B錯誤；C選項：因為，設數(shù)列的前項和為，當為偶數(shù)時，，，所以當為偶數(shù)時，和不可能為1028；當為奇數(shù)時，，，令，方程無正奇數(shù)解，故C錯誤；D選項：因為，設數(shù)列的前項和為，則，令，解得，故數(shù)列的前10項的和為1028，故D符合題意.故選：D12.【答案】ACD【詳解】B：如下平面圖，若與關于對稱，則翻折的過程中，在平面上的投影在線段上，顯然不存在垂直于的射影，即不存在，錯誤；C：構建如下圖示的空間直角坐標系，則，，故，正確D：由A知：當面面時，在面的射影在中點上，此時，，，則；當在面的射影剛好在上，有，即；而在的射影從中點到剛好在上的過程中，都在減小，故在面的射影在三角形的內部（不含邊界），則，正確；16.【答案】【詳解】若，在軸同側，不妨設在第一象限，如圖，設內切圓的圓心為，在在的平分線上，過點分別作于，于，由得四邊形為正方形，由焦點到漸近線的距離為得，又，所以，又，所以，所以，從而可得；綜上，雙曲線的離心率為.17.【答案】（1）相交，截得的弦長為2（2）或.【詳解】（1）略（2）若過點的直線斜率不存在，則方程為，此時圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點且與圓相切的直線斜率存在，則設切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過點且與圓相切的直線方程為或.18.【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）由題可知，所以，所以所以，又，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，所以所以，則，故.19.【答案】（1） （2）【詳解】（1）因為弦被點平分，所以設交點坐標，，，，則，兩式相減得：，所以直線的斜率，故直線的方程為.（2），聯(lián)立橢圓與直線方程，得，所以，，所以，又因為直線過點，所以.20.【答案】（1）證明見解析 （2）2【詳解】（1）連接，為正三角形且是的中點，，∵面面，且面面，平面，∴平面，而平面，∴，∵四邊形是菱形，∴，又，∴，∵，平面，且，∴平面.（2）由且四邊形是菱形，平面平面，易知：面，以中點為原點，所在直線為軸、所在直線為軸、所在直線為軸，如圖建立直角坐標系.設，則，，，，，設面法向量為，，，則，得，設，則，，由得，，則則，，設為面法向量，則，取，∴，解得或5.因為二面角為銳二面角，所以由圖可知，.21.【答案】（1），（2）【詳解】（1）因為，，且，所以，又，所以，因為，所以.因為，所以，所以.（2）由（1）代入得，，所以22.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當軸時，不失一般性，不妨