河北省石家莊重點中學2023-2024學年高二上學期第三次調(diào)研數(shù)學試題(含答案)

石家莊重點中學2023~2024學年第一學期第三次調(diào)研考試高二數(shù)學全卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第二章~第三章3.2．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．以橢圓的長軸端點為焦點、以橢圓焦點為頂點的雙曲線方程為（）A．B．C．D．2．已知橢圓內(nèi)一點,直線l與橢圓C交于A,B兩點，且M為線段的中點，則直線l的斜率為（）．A．B．C．3D．3．如圖所示某拱橋的截面圖可以看作雙曲線的圖象的一部分，當拱頂M到水面的距離為米時，水面寬為米，則此雙曲線的虛軸長為（）A．B．2C．3D．64．雙曲線的一條漸近線與y軸的夾角為，則該雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．5．已知,雙曲線的左、右焦點分別為,點P是雙曲線右支上一點，則周長的最小值為（）A．10B．12C．14D．166．已知橢圓，雙曲線，橢圓與雙曲線有公共焦點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．7．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”在這首詩中含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題．如圖，在平面直角坐標系中，軍營所在區(qū)域的邊界為,河岸所在直線方程為,將軍從點處出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再返回軍營，如果將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則這個將軍所經(jīng)過的最短路程為（）A．B．C．D．8．已知分別為橢圓的左、右頂點，不同兩點在橢圓C上，且關于x軸對稱，設直線的斜率分別為,則當取最大值時，橢圓C的離心率為（）A．B．C．D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知平面直角坐標系中，,點P為平面內(nèi)一動點，且,則下列說法正確的是（）A．當時，點P的軌跡為一條直線B．當時，點P的軌跡為一條射線C．當時，點P的軌跡不存在D．當時，點P的軌跡是雙曲線10．己知直線l的方程為,則下列說法正確的是（）A．l與直線有唯一的交點B．l與橢圓一定有兩個交點C．l與圓一定有兩個交點D．滿足與雙曲線有且只有一個公共點的直線l有2條11．已知雙曲線的左、右焦點分別為,過雙曲線C上的一點M作兩條漸近線的垂線，垂足分別為,則（）A．雙曲線C的離心率為2B．焦點到漸近線的距離為2C．四邊形可能為正方形D．四邊形的面積為定值212．已知曲線為C上一點，則下列說法正確的是（）．A．曲線C關于x軸對稱B．的取值范圍為C．的取值范圍為D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知方程表示雙曲線，求m的取值范圍__________．14．己知圓,圓,若圓與圓相外切，則__________．15．雙曲線的左、右焦點分別是是雙曲線上的一點，且,則__________,過焦點作的角平分線的垂線，垂足為M,則__________．（第一空2分，第二空3分）16．如圖，雙曲線的左、右焦點分別為,且，則雙曲線E的離心率為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（10分）分別求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）經(jīng)過兩點；（2）與雙曲線有公共的漸近線，且過點．18．（12分）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，記動點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）若動點M在y軸右側，定點,求的最小值．19．（12分）己知直線與雙曲線的兩支各有一個交點，分別是．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）若的面積為，求實數(shù)k的值．20．（12分）如圖所示，半橢圓和兩個半圓組成了曲線,點依次為的左、右焦點．若點分別為曲線的圓心．（1）求曲線的方程；（2）直線l過點與半橢圓交于A,與半圓交于B,且,求直線l的方程．21．（12分）動點滿足方程．（1）求動點P的軌跡T的方程；（2）設過原點的直線l與軌跡T相交于兩點，設,連接并分別延長交軌跡T于點,記的面積分別是,求的取值范圍．22．（12分）已知橢圓的右頂點為A,上頂點為B,原點O到直線的距離為，且直線的傾斜角．（1）求橢圓T的方程；（2）作直線的平行線交橢圓于兩點，記直線的斜率分別為,求證：為定值．高二數(shù)學參考答案、提示及評分細則1.A【解析】橢圓的焦點坐標為，，兩個長軸端點為，雙曲線的頂點為，，焦點坐標為，雙曲線的方程為．故選A．2.B【解析】設，則①，②，聯(lián)立①②整理得，又，，所以，即直線的斜率為，故選B.3.D【解析】由題意得，，即，解得，，即因此虛軸長為故選D．4.D【解析】雙曲線的漸近線的方程為，由題意得，，，該雙曲線的離心率為，故選D．5.C【解析】：由雙曲線，得，，即，且，，由題意，作圖如下：，當且僅當，，三點共線時，等號成立，所以△PAF1周長最小值為，故選C．6.B【解析】不妨設P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，得解得，，由余弦定理得，，即，即，故選B.7.D【解析】設A（0，2）關于直線x+y＝3的對稱點為（a，b），則解得a＝1，b＝3.圓x2+y2＝1的圓心為（0，0），半徑r=1，所以“將軍飲馬”的最短路程為．故選D．8.D【詳解】試題分析：設點則，，從而，當且僅當取等號，此時．故選D．9.AB【解析】對于A，當時，，則點的軌跡為線段的垂直平分線，正確；對于B，當時，，則點的軌跡是一條射線，且射線的端點為B，正確；對于C，當時，，則點的軌跡是一條射線，且射線的端點為A，錯誤；對于D，當時，，且，所以，點的軌跡是以點A，B為焦點的雙曲線的一支，錯誤.故選AB.10.AC【解析】直線l過定點A(0，1)，對于A，兩條直線垂直，有唯一交點，故A正確；對于B，為橢圓的上頂點，則直線l與橢圓相交或相切，有一個或兩個交點，故B錯誤；對于C，在圓內(nèi)，l與圓一定有兩個交點，故C正確；對于D，滿足題意的直線有4條，兩條相切，兩條相交，故D錯誤.故選AC.11.BCD【解析】對于A，等軸雙曲線的離心率為，故A錯誤；對于B，雙曲線C的一條漸近線方程為，，則焦點到漸近線的距離為，故B正確；對于C，當點M在頂點時，四邊形OPMQ為正方形，故C正確；對于D，因為漸近線互相垂直，四邊形OPMQ為矩形.又設，則.故D正確.故選BCD.12.BCD【解析】對于A，曲線關于軸對稱，不關于軸對稱，故A錯誤；對于B，由，可得，解得，故B正確；對于C，，當時，，當時，，所以的取值范圍為，故C正確；對于D，當-1≤時，顯然成立，當時，由可知，，即，可得，故D正確.故選BCD.13.m＜﹣2或m＞﹣1．【解析】表示雙曲線，∴（2+m）（m+1）＞0，解得：m＜﹣2或m＞﹣1．∴m的取值范圍是：m＜﹣2或m＞﹣1．14.2【解析】由題意知，，兩圓外切，,∴15.9；2【解析】是雙曲線上的一點，且，所以在雙曲線的右支上，所以．延長交于，在△QPF2中，既是角平分線又是高線，故，又，即，在△PF1F2中，是中位線，.故答案為9；2.16.【解析】在直角△中，cos∠F1AB=，設，，，又，，所以，解得，從而可得，在直角△中，，即.則，故答案為．17.解：（1）可設雙曲線的標準方程為，則有解得則雙曲線的標準方程為.…………5分（2）設所求雙曲線的標準方程為.將點代入雙曲線方程得，解得，因此，所求雙曲線的標準方程為．………………5分18.解：（1）由題意得：，………………2分化簡得：.…………6分（2）過點作垂直于直線，垂足為，設，則，即，…………8分所以，…………10分顯然，當三點共線時，取得最小值，為.…………………12分19.解：（1）聯(lián)立方程，得消去整理，得．………2分由題意知，解得，即實數(shù)k的取值范圍為.………………………6分（2）設P(x1，y1)，Q (x2，y2)，則，．．………………………8分所以，即，解得或，………11分又，所以．………………12分20.解：（1）依題意，，，所以，于是曲線的方程為.……………………4分（2）設，點，則，，所以.…………8分又，，所以，即，所以，即，又，可得直線l的方程為.…………12分21.解：（1）方程，表示平面內(nèi)到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，它的軌跡是以、為焦點，長軸，焦距的橢圓.………………2分，，，軌跡T的方程是.……………4分（2）設，，，，，所以直線的方程為.與T的方程聯(lián)立，消去y得.即，，則，…………6分同理，…………8分∴，……………10分即，∵，∴，，則，即.………………12分2