2023-2024學(xué)年河北省保定市高一上冊(cè)期中數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研模擬試題（附解析）

2023-2024學(xué)年河北省保定市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每個(gè)5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的1．設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知、、，則“”是“”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件3．已知，則的最大值是（

）A． B．C． D．4．下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)滿足，則解析式是

A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若在上定義運(yùn)算.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與10．下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．不等式恒成立 B．存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立C．若為正實(shí)數(shù)，則 D．若，則11．下列命題中是真命題的是（

）A．若，且，則，中至少有一個(gè)大于B．的充要條件是C．，D．，12．對(duì)于定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．C． D．在上單調(diào)遞減第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知集合,則的值為．14．若，則的最小值為．15．函數(shù)，的值域?yàn)椋?6．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?（1）集合;（2）若集合,求并寫出它的所有子集.18．解答下列問題：(1)設(shè)正數(shù)滿足，求的最小值；(2)已知，比較與的大小19．已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．設(shè)函數(shù)，且．(1)求解析式；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明．21．已知冪函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響.為降低疫情影響，某廠家擬盡快加大力度促進(jìn)生產(chǎn).已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成木為100萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，（萬元）.當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，（萬元），每件商品售價(jià)為0.05萬元.通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?1．B【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念即可求出．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：B．2．B【分析】當(dāng)時(shí)，代入驗(yàn)證不充分，根據(jù)不等式性質(zhì)得到必要性，得到答案.【詳解】若，當(dāng)時(shí)，，故不充分；若，則，故，必要性.故“”是“”的必要非充分條件.故選：B3．B【分析】利用基本不等式求得最大值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：B4．C根據(jù)冪函數(shù)的定義,形如的函數(shù)時(shí)冪函數(shù),冪函數(shù)過定點(diǎn).偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且.【詳解】解:冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，排除A；與不是偶函數(shù)，排除B，D.故選:C5．B【分析】根據(jù)命題為真命題,可知,解不等式即可.【詳解】解:命題是真命題，則，即,解得．故選:B本題考查已知全稱命題的真假求參數(shù),是基礎(chǔ)題.6．B【詳解】，.故選：B.7．D令，，解不等式組即得解.【詳解】對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)，，在為增函數(shù).令，.要使函數(shù)在上為增函數(shù)，則有在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)且，∴，解得.故選：D結(jié)論點(diǎn)睛：一個(gè)兩段的分段函數(shù)是增函數(shù)，要滿足兩個(gè)條件，一是兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)，二是左邊函數(shù)的最大值小于等于右邊函數(shù)的最小值.8．C【分析】利用定義運(yùn)算得到二次不等式恒成立問題，利用判別式來解答即可.【詳解】由已知得，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立整理得對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，，解得.故選：C.9．AD【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，兩函數(shù)的定義域均為，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)榍?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩函數(shù)的定義域均為，且，所以兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，故D正確，故選：AD.10．BCD【分析】由基本不等式的成立條件可判斷A選項(xiàng)；取可判斷B選項(xiàng)；應(yīng)用基本不等式可以判斷C，D選項(xiàng)；【詳解】對(duì)于A，不等式成立條件為，顯然時(shí)不等式不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，成立，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)為正實(shí)數(shù)，應(yīng)用基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，，應(yīng)用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：BCD.11．AC【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)，中沒有一個(gè)大于得，與矛盾可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，必要性不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，取時(shí)可判斷.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)，中沒有一個(gè)大于，即，，則，與矛盾，故命題正確；對(duì)于B選項(xiàng)，顯然充分性不成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，必要性不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，成立，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，時(shí)，，故錯(cuò)誤.故選：AC12．AB【分析】由題有：，.即圖像關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱.A選項(xiàng)，令可得，可得；B選項(xiàng)，令即可判斷選項(xiàng)；C選項(xiàng)，令結(jié)合單調(diào)性可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，由圖像的對(duì)稱性可判斷在上的單調(diào)性.【詳解】令，由是奇函數(shù)，則，即，圖像關(guān)于對(duì)稱.令，由是偶函數(shù)，則，即，圖像關(guān)于直線對(duì)稱.A選項(xiàng)，令，可得，又令，可得.故A正確；B選項(xiàng)，令，可得，故B正確；C選項(xiàng)，令，可得，又因在上單調(diào)遞減，由圖像關(guān)于對(duì)稱，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，故.故C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由在上單調(diào)遞減，結(jié)合圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則在上單調(diào)遞增.故D錯(cuò)誤.故選：AB結(jié)論點(diǎn)睛：本題涉及抽象函數(shù)的奇偶性的相關(guān)結(jié)論.為定義在R上函數(shù)，若為奇函數(shù)，則，圖像關(guān)于對(duì)稱；若為偶函數(shù)，則，圖像關(guān)于對(duì)稱.13．0或3【分析】由集合，得或，由此能求出的值．【詳解】解：∵集合，∴或，解得或或，當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，，不成立．綜上，的值為0或3．故0或3本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查子集等基礎(chǔ)知識(shí)，注意集合元素的互異性，是基礎(chǔ)題．14．2【分析】運(yùn)用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，所以的最小值為2.故2.15．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求其值域.【詳解】解：，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，而，故，故函數(shù)的值域?yàn)?故答案為.16．【分析】根據(jù)對(duì)任意的,總存在,使成立,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)關(guān)于的不等式組,解不等式組可得答案．【詳解】由題意，函數(shù)．．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí),,記．由題意當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),∴,記．由對(duì)任意,總存在,使成立，所以則，解得：故答案為．本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，以及存在性問題求解和集合包含關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中把對(duì)任意的,總存在,使成立,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題．17．（1）（2），，，，.【分析】（1）因?yàn)?函數(shù)定義域應(yīng)滿足:,即可求得答案;（2）化簡(jiǎn),根據(jù)交集定義,即可求得答案;【詳解】（1）函數(shù)定義域應(yīng)滿足:,解得:函數(shù)的定義域.（2）化簡(jiǎn)又由（1）得,的子集為:,,,.本題主要考查了求函數(shù)定義域和求集合的子集,解題關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)定義域的求法和子集定義,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18．(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用求解即可.（2）作差法比較與的大小關(guān)系.【詳解】（1）因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.（2）由題意，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．19．(1)(2)或【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義以及已知的解析式，求解即可；（2）利用偶函數(shù)的定義將不等式變形，然后利用單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以由等價(jià)于，所以，因此，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.20．(1)(2)在上遞增，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得解析式.（2）判斷出的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.【詳解】（1）依題意.所以.（2）在上遞增，證明如下：任取，，其中，所以，即，所以在上遞增.21．（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)即可求的解析式；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，利用二次函數(shù)對(duì)稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）由f(x)為冪函數(shù)知，2m2-6m+5=1，即m2-3m+2=0，得m=1或m=2，當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=x2，是偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=，為奇函數(shù)，不合題意，舍去.故f(x)=；（2）由（1）得，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a-1，由題意知函數(shù)在(2,3)上為單調(diào)函數(shù)，∴a-1≤2或a-1≥3，分別解得a≤3或a≥4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a≤3或a≥4.本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱軸之間的關(guān)系，要求熟練掌握冪函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題.22．（1）；（2）40千件，700萬元.（1）根據(jù)條件可知年利潤(rùn)=收入-成本，分段求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）的解析式，分段求函數(shù)的最大值，比較兩段的最大值，最后再比較求函數(shù)的最大值.【詳