概率知識梳理- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

概率知識梳理1.隨機(jī)試驗的概念與特點(1)概念：我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗,簡稱試驗，常用字母E表示.例如，拋一枚硬幣、擲一個均勻的骰子等,都可以看成.(2)隨機(jī)試驗的特點：=1\*GB3①試驗可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（可重復(fù)性）②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；（可預(yù)知性）③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．（隨機(jī)性）2.樣本點和樣本空間(1)定義：我們把隨機(jī)試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間．(2)表示：一般地，我們用表示樣本空間，用表示樣本點．(3)有限樣本空間：如果一個隨機(jī)試驗有n個可能結(jié)果，則稱樣本空間=為有限樣本空間．說明：樣本點的探求方法(1)列舉法：把試驗的全部結(jié)果一一列舉出來．此方法適合于較為簡單的試驗問題．(2)列表法：將樣本點用表格的方式表示出來，通過表格可以弄清樣本點的總數(shù)，以及要求的事件所包含的樣本點數(shù)．列表法適用于較簡單的試驗的題目，樣本點較多的試驗不適合用列表法．(3)樹狀圖法：樹狀圖法是使用樹狀的圖形把樣本點列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析樣本點間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對于較復(fù)雜的問題，可以作為一種分析問題的主要手段，樹狀圖法適用于較復(fù)雜的試驗的題目．3.隨機(jī)事件的有關(guān)概念(1)基本事件：只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．(2)隨機(jī)事件:我們將樣本空間的子集稱為隨機(jī)事件,簡稱事件，隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,表示．(3)事件A發(fā)生：在每次試驗中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)．⑷必然事件:作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生,所以總會發(fā)生,我們稱為必然事件．(5)不可能事件:空集中不包含任何樣本點,在每次試驗中都不會發(fā)生,我們稱為不可能事件．說明:①必然事件和不可能事件具有確定性，在一定條件下能確定其是否發(fā)生，隨機(jī)事件是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．當(dāng)然，條件的不同以及條件的變化都可能影響事件發(fā)生的結(jié)果，要注意從問題的背景中體會條件的特點．②必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個極端情形.這樣，每個事件都是樣本空間Ω的一個子集.4．事件的關(guān)系與運算定義符號表示圖形表示包含關(guān)系一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并事件(或和事件)一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?對立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立．事件A的對立事件記為eq\o(A,\s\up6(－))A∪B＝Ω，A∩B＝?說明：事件間運算的方法(1)利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運算．(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運算．注意：事件A與事件B互斥是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生；對立事件是指在一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，且必然要有一個事件發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特例，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件．對立事件是對兩個事件而言的，而互斥事件是對兩個或兩個以上事件而言的．從集合的觀點來判斷：設(shè)事件A與B所含的樣本點組成的集合分別是A，B，若A，B互斥，則A∩B＝?，若A，B對立，則A∩B＝?，且A∪B＝Ω，即?ΩB＝A，?ΩA＝B.互斥事件A與B的和A＋B可理解為集合A∪B.5.古典概率(1)概率的定義對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示．(2)古典概型的定義①有限性:樣本空間的樣本點個；②等可能性:每個樣本點發(fā)生的可能性．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗,其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型．(3)古典概型的判斷標(biāo)準(zhǔn)一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點：和，并不是所有的試驗都是古典概型．下列三類試驗都不是古典概型:：①樣本點(基本事件)個數(shù)有限,但非等可能；②樣本點(基本事件)個數(shù)無限,但等可能；③樣本點(基本事件)個數(shù)無限,也不等可能．(4)古典概型的概率公式一般地,設(shè)試驗E是古典概型,樣本空間包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則定義事件A的概率，其中n(A)和n(）分別表示事件A和樣本空間包含的．用集合的觀點來考察事件A的概率，有利于幫助我們生動、形象地理解事件A與基本事件的關(guān)系，有利于理解公式P(A)＝eq\f(k,n)．如圖所示，把一次試驗中等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果組成一個集合I，其中每一個結(jié)果就是I中的一個元素，把含k個結(jié)果的事件A看作含有k個元素的集合，則集合A是集合I的一個子集，故有P(A)＝eq\f(k,n).(5)古典概型的解題步驟:①明確試驗的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆枺ㄗ帜?、?shù)字、數(shù)組等）表示試驗的可能結(jié)果；②根據(jù)實際問題情景判斷樣本點的等可能性；③計算樣本點總個數(shù)及事件A包含的樣本點個數(shù),求出事件A的概率.5．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1對任意事件A，都有P(A)≥0；性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1；P(?)＝0；性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝；推論如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝，P(A)＝；性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B)；性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝．說明：(1)如何應(yīng)用互斥事件的概率加法公式①將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，分別求出各個事件的概率，然后利用互斥事件的概率加法公式求出結(jié)果．②運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分清事件之間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事件分拆為幾個互斥事件，且做到不重不漏．③常用步驟：ⅰ確定各事件彼此互斥；ⅱ求各個事件分別發(fā)生的概率，再求其和．(2)對立事件與P(A)＋P(B)＝1的關(guān)系①若A，B是對立事件，則P(A)＋P(B)＝1.②若P(A)＋P(B)＝1，則事件A和B不一定對立．例如：擲一枚均勻的骰子，記事件A為出現(xiàn)偶數(shù)點，事件B為出現(xiàn)1點或2點或3點，則P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，顯然事件A與事件B不互斥，也不對立．6.事件的相互獨立性(1)定義:對任意兩個事件A與B，如果成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．相互獨立兩個事件的發(fā)生彼此互不影響．易知，必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立．(2)性質(zhì):如果事件A與事件B相互獨立，那么A與,不與B,與B也相互獨立．(3)判斷兩個事件是否相互獨立的方法：①直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．②定義法：如果事件A，B同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨立事件．即P(AB)=P(A)P(B)．推廣：(4)n個事件相互獨立對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．(5)獨立事件的概率公式①若事件A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)．②若事件A1，A2，…，An相互獨立，則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．7.相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件互斥事件條件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨立事件A，B同時發(fā)生，記作AB互斥事件A，B中有一個發(fā)生，記作A∪B(或A＋B)計算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)總之，相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，是從概率的角度來定義的；而互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，是從事件本身的角度來定義的．8.頻率與概率(1)頻率與概率的關(guān)系:在大量重復(fù)的試驗過程中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概率，而且，試驗的次數(shù)越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．概率是頻率的穩(wěn)定值．(2)頻率的穩(wěn)定性:大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性．一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A).我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)大數(shù)定律闡述了隨著試驗次教估計概率P(A)．(3)對概率的正確理解:①概率是一個常數(shù)，是事件的本質(zhì)屬性，是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關(guān)．概率反映了事件發(fā)生的可能性的大小，但概率只提供了一種“可能性”，而不是試驗總次數(shù)中某一事件一定發(fā)生的比例．②任何事件的概率都是區(qū)間[0,1]上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性，概率越接近于1，表明事件發(fā)生的可能性就越大；反過來，概率越接近于0，表明事件發(fā)生的可能性就越?。坌「怕?概率接近于0)事件很少發(fā)生，但不代表一定不發(fā)生；大概率(概率接近于1)事件經(jīng)常發(fā)生，但不代表一定發(fā)生．9.產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法(1)利用計算器或計算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．(2)構(gòu)建模擬試驗產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)．①標(biāo)號：把n個質(zhì)地和大小相同的小球分別標(biāo)上1，2，3，…，n.②攪拌：放入一個袋中，把它們充分?jǐn)嚢?③摸?。簭闹忻鲆粋€球.這個球上的數(shù)就稱為從1～n之間的隨機(jī)整數(shù)，簡稱隨機(jī)數(shù)．10.偽隨機(jī)數(shù)偽隨機(jī)數(shù)：計算器或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性(周期很長)，它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)．因此，計算器或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù)．11.隨機(jī)模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來做模擬試驗，通過模擬試驗得到的頻率來估計事件發(fā)生的概率，這種用計算機(jī)或計算器模擬試驗的方法稱為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡洛方法.隨機(jī)模擬方法是通過將一次試驗所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來替代每次試驗的結(jié)果，其基本思想是用產(chǎn)生整數(shù)隨機(jī)數(shù)的頻率估計事件