第四章 理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)

第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)

本章討論無粘流動(dòng)，在這種流動(dòng)中忽略粘性的影響，認(rèn)為流體的粘性系數(shù)為零，稱為理想流體。

本章首先推導(dǎo)理想流體的運(yùn)動(dòng)方程——?dú)W拉方程，然后積分歐拉方程得到一個(gè)標(biāo)量方程，稱為伯努利方程，伯努利方程是一個(gè)關(guān)于重力場(chǎng)中流動(dòng)運(yùn)動(dòng)速度、壓強(qiáng)和空間位置關(guān)系的代數(shù)方程，在工程上有著廣泛的應(yīng)用。1第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)§4-1歐拉方程

在流場(chǎng)中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體來看，不計(jì)粘性力，表面力就沒有切向力，僅只法向力（壓力）一種，而質(zhì)量力是可以有的。xyz·Pdxdydz歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組是在不計(jì)流體粘性前提下推導(dǎo)出來的，該方程實(shí)質(zhì)上是微分形式的動(dòng)量方程。2第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)假設(shè)：六面體體積：dV=dxdydz中心點(diǎn)坐標(biāo)：x,y,z中心點(diǎn)速度：ux,uy,uz中心點(diǎn)加速度：中心點(diǎn)壓強(qiáng)：p中心點(diǎn)密度：ρ中心點(diǎn)處沿三個(gè)方向的單位質(zhì)量力：

fx,fy,fz微元六面體的表面力可以用中心點(diǎn)處壓強(qiáng)的一階泰勒展開表示,如圖為

x方向質(zhì)量力，其他方向同理可得。xyz·Pdxdydz3第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)由于沒有剪應(yīng)力，并且其他面上的壓力在x方向均無投影，從而x方向的表面力為：x方向的質(zhì)量力為：根據(jù)牛頓第二定律：x方向合外力等于質(zhì)量乘以x方向加速度，得4第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)兩邊同除以微元體積dxdydz，令其趨于零，得同理可以寫出y

和

z方向的表達(dá)：這就是笛卡爾坐標(biāo)系下理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程。5第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)矢量形式為：該式是由歐拉在1755年首先提出的，故又稱為歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程。以當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度表示式右邊的加速度，則歐拉運(yùn)動(dòng)方程又可寫為：6第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)或在柱坐標(biāo)系中，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為式中，fr、fθ、fz分別為單位質(zhì)量力在r、θ、z坐標(biāo)軸方向的分量。7第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)§4-2自然坐標(biāo)系中的歐拉方程以流線方向?yàn)閰⒖级x一個(gè)正交坐標(biāo)系，稱為流線坐標(biāo)系，或自然坐標(biāo)系。如圖所示，在流線上取一點(diǎn)P，過P點(diǎn)作一個(gè)局部的正交坐標(biāo)系，其三個(gè)互相垂直的坐標(biāo)方向分別為沿流線方向s、垂直于流線的主法線方向n和副法線方向b，三個(gè)方向的單位矢量分別表示為、和8第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)沿流線方向的力平衡式為9第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)注意到速度沿流線方向，有V=V(s,t)將上式代入力平衡式，得沿流線的歐拉方程對(duì)于定常流動(dòng)，且忽略重力影響時(shí)上式可簡(jiǎn)化為或上式表示，在理想不可壓縮流動(dòng)中沿流線方向速度降低伴隨壓強(qiáng)增高，而速度升高則伴隨壓強(qiáng)降低。10第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)流體微元沿n方向的力平衡式為式中，an是流體微元沿n方向的向心加速度，指向流線的曲率中心，gn則是重力加速度矢量在n方向的分量。對(duì)于定常流動(dòng)為可得定常流動(dòng)條件下沿流線法向方向的歐拉方程11第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)不計(jì)重力，上式可簡(jiǎn)化為上式表示，當(dāng)忽略重力影響時(shí)，在理想不可壓縮流動(dòng)中壓強(qiáng)沿指向流線曲率中心的方向降低，這是由于流體質(zhì)點(diǎn)受到壓力差產(chǎn)生向心加速度，因此壓強(qiáng)降落的方向與加速度方向相同；如果流線是直線，則曲率半徑無限大，因此在垂直于平直流線的方向壓強(qiáng)無變化。副法線方向流體加速度為零，定常流動(dòng)條件下沿流線副法向方向的歐拉方程為12第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)§4-3伯努利方程或歐拉方程不可壓縮連續(xù)性微分方程13第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程與連續(xù)性微分方程合在一起，是求解理想流體運(yùn)動(dòng)問題的一組基本方程。當(dāng)質(zhì)量力和密度給定時(shí)，四個(gè)方程中只有ux、uy、uz、p，因此從理論上講，歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程封閉，是可解的。但是由于它是一個(gè)一階非線性偏微分方程組（對(duì)流導(dǎo)數(shù)的三項(xiàng)中包含了未知函數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)的乘積），所以至今仍未找到它的通解，只是在幾種特殊情況下得到了它的特解。對(duì)第一式右端加上，并重新組合，可得14第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)于是，第一式可以寫成同理或15第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程的積分式中為流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度矢量。上式稱為蘭姆（H.Lamb）運(yùn)動(dòng)微分方程，與歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程一樣能適用于理想流體的各種流動(dòng)。蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程的好處是在方程中顯示了旋轉(zhuǎn)角速度。便于分析無旋流動(dòng)。對(duì)于無旋流動(dòng)，，式子右端第二項(xiàng)等于零，可使方程大為簡(jiǎn)化。由于數(shù)學(xué)上的困難，理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程僅在某些特定條件下才能求解?，F(xiàn)給出兩個(gè)限制條件：（1）作用在流體上的質(zhì)量力是有勢(shì)的，即16第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)（2）流體是正壓體，即密度僅是壓強(qiáng)的函數(shù)ρ=f(p)，為了便于計(jì)算，引入由下式定義的壓強(qiáng)函數(shù)PF（x，y，z，t）對(duì)上式微分，可得不可壓縮流體（ρ=常數(shù)）和等溫流動(dòng)中的可壓縮流體（p=ρRT0）就是正壓流體，其壓強(qiáng)函數(shù)分別為和密度不是壓強(qiáng)的函數(shù)的流體稱為斜壓流體，斜壓流體的壓強(qiáng)函數(shù)是不存在的。17第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)在上述兩個(gè)條件下，蘭姆運(yùn)動(dòng)微分方程式可以寫成分別在無旋流動(dòng)和有旋流動(dòng)情況下求解上式1.歐拉積分在無旋流動(dòng)時(shí)，，式子變?yōu)閺臄?shù)學(xué)分析可知，無旋的條件是uxdx+uydy+uzdz成為某一函數(shù)ψ（x,y,z,t）的全微分的必要充分條件。函數(shù)ψ（x,y,z,t）稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱速度勢(shì)。當(dāng)以t為參變量時(shí)，函數(shù)ψ（x,y,z,t）的全微分可寫成(4-2)(4-1)18第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)于是或因，故式4-2可寫成將上式兩端分別點(diǎn)乘一個(gè)任意微元線段矢量或19第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)這里的微元是任意取的，可見，在整個(gè)流場(chǎng)中上式稱為歐拉積分式，式中積分常數(shù)C（t）是時(shí)間的函數(shù)，可由邊界條件確定。對(duì)于定常無旋流動(dòng)，，則上式寫為2.伯努利積分在定常有旋流動(dòng)時(shí)，式4-1成為20第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)現(xiàn)將上式兩端分別乘一個(gè)沿流線的微元線段矢量。根據(jù)矢量叉乘的性質(zhì)，上式右端的矢量與矢量垂直，又據(jù)流線的定義，與的方向相同，故與垂直，因此，于是有或因?yàn)檫@里的微元是沿流線取的，所以沿流線上式稱為伯努利積分式。從形式上看，定常流動(dòng)情況下的歐拉積分式與伯努利積分式完全相同，但前者在整個(gè)流場(chǎng)上成立，而后者僅沿流線成立。21第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)伯努利方程是能量守恒與轉(zhuǎn)換定律在流體力學(xué)中的具體體現(xiàn)，它形式簡(jiǎn)單，意義明確，在實(shí)際工程中有著廣泛的應(yīng)用。理想流體的伯努利方程1.絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程對(duì)于質(zhì)量力僅有重力的定常不可壓縮流體，其力勢(shì)函數(shù)分別為G=gz和pF=p/ρ，將其代入歐拉積分式和伯努利積分式，得或(4-3)22第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)對(duì)于整個(gè)無旋流動(dòng)或者有旋流動(dòng)的同一流線上的任意1、2點(diǎn)來說，上式可以寫成(4-4)式(4-3)及(4-4)稱為定常不可壓縮理想流體絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程，即流體的固體邊界對(duì)地球沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的伯努利方程。該方程是伯努利（DanielBenoulli）于1738年首先提出的，是流體力學(xué)中十分重要的基本方程之一。23第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)式(4-3)的物理意義是：對(duì)于重力作用下的定常不可壓縮理想流體，在整個(gè)流場(chǎng)中（無旋流動(dòng)）或者沿流線（有旋流動(dòng)），單位質(zhì)量流體所具有的機(jī)械能為一常數(shù)，即機(jī)械能是守恒的。伯努利方程實(shí)質(zhì)上就是物理學(xué)中能量守恒定律在流體力學(xué)上的一種表現(xiàn)形式，故又稱其為能量方程?！癫匠痰奈锢硪饬x從物理角度看，式(4-3)的每一項(xiàng)都表示單位重量流體所具有的一部分能量。第一項(xiàng)z和第二項(xiàng)p/ρg，分別表示單位重量流體所具有的位能和壓能；第三項(xiàng)u2/2g則表示單位重量流體所具有的動(dòng)能。三種能量之和稱為機(jī)械能。24第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)式(4-3)的幾何意義是：對(duì)于重力作用下的定常不可壓縮理想流體，在整個(gè)流場(chǎng)中（無旋流動(dòng)）或者沿流線（有旋流動(dòng)），總水頭為一常數(shù)，即總水頭線（各點(diǎn)總水頭的連線）為一水平線?！癫匠痰膸缀我饬x從幾何角度看，式(4-3)的每一項(xiàng)都表示一個(gè)高度，或一種水頭。第一項(xiàng)z和第二項(xiàng)p/ρg，分別表示位置水頭和壓強(qiáng)水頭；第三項(xiàng)u2/2g則表示速度水頭（或稱動(dòng)水頭）。三種水頭之和稱為總水頭。25第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度V，假設(shè)小孔中心距自由面深為h。Vhpapa解.由于是小孔出流，流動(dòng)可以假設(shè)是定常的。假設(shè)不計(jì)粘性損失。從而：（由于實(shí)際上粘性不可忽略，實(shí)際速度將略低于上述理論值，其中cv

叫做速度系數(shù)，實(shí)驗(yàn)表明

cv＝0.97）沿小孔中心點(diǎn)處一根流線列伯努利方程，由于是小孔，中心點(diǎn)處速度可以近似代表小孔速度。26第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)※2.相對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程流體在渦輪機(jī)械（如離心式水泵、風(fēng)機(jī)、水輪機(jī)等）中的流動(dòng)，一方面具有隨葉輪旋轉(zhuǎn)的牽連速度ue=rω，一方面又具有對(duì)葉片的相對(duì)速度ur。將坐標(biāo)系固結(jié)于旋轉(zhuǎn)葉輪上（如圖），當(dāng)轉(zhuǎn)速不變時(shí)，相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，則流動(dòng)可以認(rèn)為是定常的。27第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)假設(shè)葉輪以等角速度ω旋轉(zhuǎn)。從轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中看，流體沿葉片以速度ur流入和流出葉輪。因此，葉道中沿流線（相對(duì)運(yùn)動(dòng)的流線）的伯努利積分式為因流體的單位質(zhì)量力為故其力勢(shì)函數(shù)為代入上式，并假定流體不可壓縮，有或(4-5)28第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)對(duì)于同一流線上任意兩點(diǎn)，上式又可寫為(4-6)式(4-5)及(4-6)稱為定常不可壓縮理想流體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的伯努利方程，即流體的固體邊界對(duì)地球有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的伯努利方程。它常用來分析渦輪機(jī)械中的流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。由式

(4-6)可以看出，當(dāng)r2＞r1時(shí)，2點(diǎn)上單位重量流體的機(jī)械能大于1點(diǎn)。也就是說，當(dāng)流體由內(nèi)向外流動(dòng)時(shí)，機(jī)械能是逐漸增加的，這是由于葉輪旋轉(zhuǎn)而對(duì)流體作了功，離心式水泵、風(fēng)機(jī)就是根據(jù)這個(gè)原理設(shè)計(jì)的；當(dāng)流體由外向內(nèi)流動(dòng)時(shí)，機(jī)械能逐漸減小，此時(shí)流體對(duì)葉輪作工使之旋轉(zhuǎn)，這就是水輪機(jī)的工作原理。29第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)※

3.總流的伯努利方程將式(4-4)各項(xiàng)同乘以ρgdQ，得單位時(shí)間通過微元流束兩過流斷面的全部流體的機(jī)械能關(guān)系式為(4-4)注意到dQ=u1dA1=u2dA2，代入上式，在總流過流斷面上積分，可得通過總流兩過流斷面的總機(jī)械能之間的關(guān)系式為30第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)或上式共有兩種類型的積分，現(xiàn)分別確定如下(1)它是單位時(shí)間內(nèi)通過總流過流斷面的流體位能和壓能的總和。在急變斷流面上，各點(diǎn)的不為常數(shù)，其變化規(guī)律因具體情況而已，積分困難。但在漸變斷流面上，動(dòng)壓強(qiáng)近似地按靜壓強(qiáng)分布，各點(diǎn)的近似等于常數(shù)。將過斷流面取在漸變流斷面上，則(4-7)(4-8)31第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)(2)它是單位時(shí)間內(nèi)通過總流過流斷面的流體動(dòng)能的總和。工程上為了計(jì)算方便，常用斷面平均速度v來表示實(shí)際動(dòng)能，則因用代替存在差異，故在式中引入了動(dòng)能修正系數(shù)α—實(shí)際動(dòng)能與按斷面平均速度計(jì)算的動(dòng)能之比值，即α值取決于總流斷面上的速度分布，一般流動(dòng)的α=1.05~1.10，但有時(shí)可達(dá)到2.0或更大，在工程計(jì)算中常取α=1.0。(4-9)32第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)將式(4-8)、

(4-9)代入式(4-7)，考慮到定常流動(dòng)時(shí)，Q1=Q2=Q3，化簡(jiǎn)后得這就是理想流體總流的伯努利方程。它在形式上類似式(4-4)，但是以斷面平均速度v代替點(diǎn)速度u（相應(yīng)地考慮動(dòng)能修正系數(shù)）★總流的伯努利方程使用時(shí)的限制條件①流體是理想、不可壓縮的；流動(dòng)是定常的；質(zhì)量力僅有重力。②過流斷面取在漸變流區(qū)段上，但兩過流斷面之間可以是急變流。(4-10)33第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)③兩過流斷面間沒有能量的輸入或輸出。當(dāng)總流在兩過流斷面間通過水泵、風(fēng)機(jī)或水輪機(jī)等流體機(jī)械時(shí)，流體額外地獲得或失去了能量，則總流的伯努利方程應(yīng)做如下修正：式中，+H表示單位重量流體流過水泵、風(fēng)機(jī)時(shí)獲得的能量；-H表示單位重量流體經(jīng)過水輪機(jī)所失去的能量。34第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)※二、粘性流體總流的伯努利方程從式(4-10)可知，理想流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能沿流程不變。但粘性流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于流層間內(nèi)摩擦阻力作功會(huì)消耗部分機(jī)械能，使之不可逆轉(zhuǎn)地變成熱能等能量形式而耗散掉，因此，粘性流體的機(jī)械能將沿流程減小。設(shè)hw為總流中單位質(zhì)量流體從1—1過流斷面至2—2過流斷面所消耗的機(jī)械能（通常稱為流體的能量損失或水頭損失），根據(jù)能量守恒定律，可得粘性流體總流的伯努利方程為上式的適用條件除了流體是粘性的以外，與理想流體總流的伯努利方程完全相同。35第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)靜壓強(qiáng)、動(dòng)壓強(qiáng)和滯止壓強(qiáng)如圖所示，流體繞流鈍形體時(shí)，由于物體的阻擋作用，一部分流體從物體上方流過，一部分流體從物體下方流過，中間一條分流流線稱為滯止流線，滯止流線終止于物面上一點(diǎn)，該點(diǎn)的速度為零，稱為滯止點(diǎn)（駐點(diǎn)）。對(duì)于對(duì)稱形狀的物體，滯止點(diǎn)位于物體的正前方；對(duì)于非對(duì)稱形狀的物體，滯止點(diǎn)的位置則需依據(jù)來流方向及物面具體形狀確定。36第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)設(shè)滯止流線上游無限遠(yuǎn)處流體速度和壓強(qiáng)分別為p和V，沿滯止流線對(duì)上游無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和滯止點(diǎn)列伯努利方程（忽略重力影響，或設(shè)沿流線高度不變），有由于V0=0，上式可以簡(jiǎn)化為上式稱為空氣動(dòng)力學(xué)中的伯努利方程。稱p為靜壓，ρV2/2為動(dòng)壓強(qiáng)；p0為滯止壓強(qiáng)或總壓強(qiáng)，等于靜壓強(qiáng)與動(dòng)壓強(qiáng)之和。37第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)靜壓就是運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)感受到的壓強(qiáng)。對(duì)于如圖所示的管內(nèi)流動(dòng)，可在流線平直區(qū)域的管壁上開靜壓測(cè)孔，通過與測(cè)孔相連接的液柱式測(cè)壓計(jì)或其他測(cè)壓傳感器測(cè)量流管流動(dòng)的靜壓。為了準(zhǔn)確地測(cè)量靜壓，靜壓測(cè)壓孔必須光滑，孔徑要小，且與管壁垂直，鉆孔時(shí)形成的毛刺或缺陷可能導(dǎo)致測(cè)量壓強(qiáng)大于或小于實(shí)際靜壓。38第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)●伯努利方程的應(yīng)用——皮托（H.Pitot）管皮托管是廣泛用于測(cè)量流場(chǎng)各點(diǎn)速度的儀器，又稱為測(cè)速管。測(cè)量流場(chǎng)內(nèi)某一點(diǎn)的總壓使用總壓測(cè)管，或稱簡(jiǎn)單皮托管。測(cè)得一點(diǎn)的總壓和靜壓，即可計(jì)算該點(diǎn)處的流動(dòng)速度39第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)40第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)總壓測(cè)管和靜壓測(cè)管也可以組合在一起，制成皮托——測(cè)壓管，簡(jiǎn)稱皮托管。測(cè)壓孔的位置對(duì)速度測(cè)量精度影響很大，理論計(jì)算表明，靜壓測(cè)量孔到頭部距離應(yīng)為3~8倍測(cè)管直徑。由于實(shí)際流體是有粘性的，因此，上式計(jì)算速度V時(shí)需進(jìn)行修正。41第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)總能頭線與測(cè)壓管線式中各項(xiàng)分別表示單位重量流體所具有的重力勢(shì)能、壓力能和動(dòng)能。方程中每一項(xiàng)都具有長(zhǎng)度的量綱，z表示位置高度，稱為位勢(shì)頭；與p/（ρg）相當(dāng)?shù)母叨确Q為靜壓頭，與V2/（2g）相當(dāng)?shù)母叨确Q為速度頭?？梢杂每偰茴^線（EL，energyline）和測(cè)壓管水頭線（HGL，hydraulicgradeline）來形象地表示伯努利方程各項(xiàng)沿流線的變化情況?？偰茴^線反映伯努利方程三項(xiàng)和的高度，h0=z+p/（ρg）+V2/（2g），對(duì)于理想流體總能頭線沿同一條流線高度保持不變。測(cè)壓管水頭線則表示位勢(shì)頭與靜壓頭之和的高度，z+p/（ρg），即總能頭與速度頭之差的高度。42第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)43第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)如管道低于測(cè)壓管水頭線，則管中壓強(qiáng)一定為正（高于大氣壓強(qiáng)）；管道高于測(cè)壓管水頭線，則管中壓強(qiáng)為負(fù)（低于大氣壓強(qiáng)）。44第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)§4-4伯努利方程的應(yīng)用

伯努利方程在工程實(shí)際中得到廣泛應(yīng)用。本節(jié)給出一些定常和非定常的不可壓縮流動(dòng)的實(shí)例，以說明如何運(yùn)用伯努利方程處理實(shí)際流動(dòng)問題。處理問題過程中，伯努利方程經(jīng)常需要與一維連續(xù)方程聯(lián)立求解?！窨卓诔隽髟趫D示流線的①點(diǎn)與②點(diǎn)之間列伯努利方程，可得45第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上式可簡(jiǎn)化為設(shè)容器自由液面和噴管出口截面分別為A1和A2，引用一維連續(xù)方程，有由上兩式解出孔口出流速度為通常A2/A1<<1，孔口出流速度于是近似表示為(4-11)46第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)對(duì)于水平布置的噴管，由于高度不同，中心線上的流體出流速度V2將稍高于上緣的速度V1，而略低于下緣的速度V3,。如果d<<h，則可以將出口中心線的速度視為平均速度而不會(huì)引起顯著誤差。由于流體在離開孔口時(shí)不能瞬間改變流動(dòng)方向，流出孔口的射流會(huì)繼續(xù)收縮，直至圖示的a-a截面流線才達(dá)到平直狀態(tài)，稱為收縮截面，其直徑dj小于孔口直徑dh。當(dāng)dj<<h時(shí)可認(rèn)為速度均勻分布。47第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)由于粘性影響，在收縮截面能達(dá)到的真實(shí)速度要小于式（4-11）給出的理論速度。實(shí)際速度與理論速度的比值稱為速度因數(shù)，表示為cv。計(jì)算出流流量還需要考慮截面收縮的影響，收縮截面面積Aj和孔口截面面積Ah的比值，稱為面積收縮因數(shù)cc?？卓诔隽黧w積流量則可計(jì)算為其中cd為流量因數(shù)對(duì)于薄壁小孔口，由實(shí)驗(yàn)測(cè)得

cc=0.63~0.64，cv=0.97~0.98，cd=0.60~0.62。(4-12)48第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)49第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)※管嘴定常出流的計(jì)算當(dāng)孔口壁厚l等于(3~4)d時(shí)，或者在孔口處外接一段長(zhǎng)l=(3~4)d的圓管時(shí)(如圖所示)，此時(shí)的出流稱為管嘴出流。管嘴出流的特點(diǎn)是：當(dāng)流體進(jìn)入管嘴后，同樣形成收縮，在收縮斷面c—c處，流體與管壁分離，形成漩渦區(qū)，然后又逐漸擴(kuò)大，在管嘴出口斷面上，流體完全充滿整個(gè)斷面。50第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)以通過管嘴中心的水平面為基準(zhǔn)面，在容器液面1-1及管嘴出口斷面2-2列伯努利方程:

因則式中稱為管嘴的流速系數(shù)(4-13)51第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)管嘴出流流量式中稱為管嘴的流量系數(shù)

由表查得管道銳緣進(jìn)口局部損失系數(shù)ζn=0.5，所以。比較式(4-12)和式(4-14)可知在相同直徑、相同作用水頭H下，管嘴的出流流量比孔口出流量要大。究其原因，就是由于管嘴在收縮斷面c—c處存在真空的作用。下面來分析c—c斷面真空度的大小。如前圖所示，仍以0—0為基準(zhǔn)面，選斷面c—c及出口斷面2—2列伯努利方程(4-14)52第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)則由連續(xù)性方程將上式及式(4-13)代入式(4-15)得由實(shí)驗(yàn)測(cè)得cc=0.64，cd=0.82，取αc=α=1，則管嘴的真空度(4-15)(4-16)53第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)

上式說明管嘴收縮斷面處的真空度可達(dá)作用水頭0.75倍，相當(dāng)于把管嘴的作用水頭增大了75%。從式(4-16)可知:作用水頭H愈大，收縮斷面的真空度亦愈大。但是當(dāng)真空度達(dá)7米水柱以上時(shí)，由于液體在低于飽和蒸汽壓時(shí)發(fā)生汽化，或空氣由管嘴出口處吸入，從而使真空破壞。因此圓柱形外管嘴的作用水頭應(yīng)有一個(gè)極限值，這就是:54第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)●虹吸管通過一根彎管使具有自由面的液體繞過周圍較高的障礙物，如容壁和河堤等，流至低于自由液面的位置，這種用途的管子稱為虹吸管，這類現(xiàn)象稱為虹吸現(xiàn)象。假設(shè)水槽很大，在虹吸過程中自由水面的下降速度為零。不計(jì)粘性，虹吸過程視為定常的一維理想不可壓縮流動(dòng)。沿流線對(duì)①和③截面列伯努利方程，可得55第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)考慮到p1=p3=pa，V1=0，z1=0，z3=-L，于是有沿流線對(duì)②和③截面列伯努利方程對(duì)于等截面管道中的不可壓縮流動(dòng)，V2=V3

，再考慮到z2=H

，由上式可解出56第四章理想流體運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)★總流的伯努利方程應(yīng)用文丘里（Venturi）流量計(jì)文丘里流量