小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)思維奧數(shù)寒假講義-第5講 排列問(wèn)題（教師版）

第5講排列問(wèn)題【知識(shí)梳理】排列問(wèn)題在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問(wèn)題．在排的過(guò)程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)．一般地，從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同．如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列．排列的基本問(wèn)題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù)．從個(gè)不同的元素中取出()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同的元素的排列中取出個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做．根據(jù)排列的定義，做一個(gè)元素的排列由個(gè)步驟完成：步驟：從個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有種方法；步驟：從剩下的()個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第二位，有()種方法；……步驟：從剩下的個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第個(gè)位置，有(種)方法；由乘法原理，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)是，即，這里，，且等號(hào)右邊從開(kāi)始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，共有個(gè)因數(shù)相乘。排列數(shù)一般地，對(duì)于的情況，排列數(shù)公式變?yōu)椋硎緩膫€(gè)不同元素中取個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)．這種個(gè)排列全部取出的排列，叫做個(gè)不同元素的全排列．式子右邊是從開(kāi)始，后面每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小，一直乘到的乘積，記為，讀做的階乘，則還可以寫(xiě)為：，其中．【典例精講】計(jì)算：⑴；⑵．【答案】⑴⑵【解析】由排列數(shù)公式知：⑴⑵,，所以計(jì)算：⑴；⑵．【答案】⑴⑵【解析】⑴⑵．有4個(gè)同學(xué)一起去郊游，照相時(shí)，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？(照相時(shí)3人站成一排)【答案】【解析】由于人中必須有一個(gè)人拍照，所以，每張照片只能有人，可以看成有個(gè)位置由這人來(lái)站．由于要選一人拍照，也就是要從四個(gè)人中選人照相，所以，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成從四個(gè)人中選人，排在個(gè)位置中的排列問(wèn)題．要計(jì)算的是有多少種排法．由排列數(shù)公式，共可能有：(種)不同的拍照情況．也可以把照相的人看成一個(gè)位置，那么共可能有：(種)不同的拍照情況．4名同學(xué)到照相館照相．他們要排成一排，問(wèn)：共有多少種不同的排法？【答案】24【解析】個(gè)人到照相館照相，那么個(gè)人要分坐在四個(gè)不同的位置上．所以這是一個(gè)從個(gè)元素中選個(gè)，排成一列的問(wèn)題．這時(shí)，．由排列數(shù)公式知，共有(種)不同的排法．6名小朋友站成一排，若兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法？若兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？【答案】A、B相鄰共240種；A、B不相鄰共480種【解析】排列之捆綁法：若A、B兩人必須站在一起，那么可以用“捆綁”的思想考慮，甲和乙兩個(gè)人占據(jù)一個(gè)位置，但在這個(gè)位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左．因此站法總數(shù)為QUOTEA22×A55A、B兩個(gè)人不能相鄰與A、B兩個(gè)人必須相鄰是互補(bǔ)的事件，因?yàn)椴患尤魏螚l件的站法總數(shù)為QUOTEA66=720（種），所以A、B兩個(gè)人不能相鄰的站法總數(shù)為720-240=480（種）．將A、B、C、D、E、F、G七位同學(xué)在操場(chǎng)排成一列，其中學(xué)生B與C必須相鄰．請(qǐng)問(wèn)共有多少種不同的排列方法？【答案】1440種【解析】（法）七人排成一列，其中要與相鄰，分兩種情況進(jìn)行考慮．若站在兩端，有兩種選擇，只有一種選擇，另五人的排列共有種，所以這種情況有種不同的站法．若站在中間，有五種選擇，無(wú)論在中間何處，都有兩種選擇．另五人的排列共有種，所以這種情況共有種不同的站法．所以共有種不同的站法．（法）由于與必須相鄰，可以把與當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)考慮，這樣相當(dāng)于個(gè)元素的全排列，另外注意、內(nèi)部有種不同的站法，所以共有種不同的站法.在航海中，船艦常以“旗語(yǔ)”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號(hào)．如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號(hào)，問(wèn)這樣總共可以表示出多少種不同的信號(hào)？【答案】6【解析】方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個(gè)不同的元素，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個(gè)排法表示一種信號(hào)，也就是從三個(gè)元素中選三個(gè)的全排列的問(wèn)題．由排列數(shù)公式，共可以組成(種)不同的信號(hào)．方法二：首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè)，有種方法；其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有種方法．剩下那面旗子，放在最低位置．根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號(hào)種數(shù)是：(種)．【補(bǔ)充說(shuō)明】這個(gè)問(wèn)題也可以用乘法原理來(lái)做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問(wèn)題常常可以用排列數(shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問(wèn)題時(shí)，可避免一步步地分析考慮，使問(wèn)題簡(jiǎn)化．有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號(hào)，問(wèn)共可以組成多少種不同的信號(hào)？【答案】6【解析】．【能力提升】用2、3、5、7、9可以組成多少個(gè)沒(méi)重復(fù)數(shù)字且百位不為3的三位數(shù)？【答案】48個(gè)【解析】（法1）本題中要注意的是3不能放在百位，因此，百位上的數(shù)字只能從2、5、7、9這四個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)，有4種方法；十位和個(gè)位上的數(shù)字可以從余下的個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)進(jìn)行排列，有種方法．由乘法原理得，此種三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：(個(gè))．（法2）：從2、3、5、7、9中任選三個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，再減去其中不合要求的，即百位是的．從2、3、5、7、9這五個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中百位是3的三位數(shù)有個(gè)．三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：(個(gè))．本題不是簡(jiǎn)單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接在排列的時(shí)候考慮這些限制因素．【課后鞏固】計(jì)算：；【答案】【解析】2.計(jì)算：【答案】【解析】．3.有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號(hào)，問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？【答案】60【解析】這里五面不同顏色的小旗就是五個(gè)不同的元素，三面小旗表示一種信號(hào)，就是有三個(gè)位置．我們的問(wèn)題就是要從五個(gè)不同的元素中取三個(gè)，排在三個(gè)位置的問(wèn)題．由于信號(hào)不僅與旗子的顏色有關(guān)，而且與不同旗子所在的位置有關(guān)，所以是排列問(wèn)題，且其中，．由排列數(shù)公式知，共可組成(種)不同的信號(hào)．4.由數(shù)字0，1，3，9可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位自然數(shù)？【答案】18【解析】（法）本題中要注意的是不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從1,3,9這三個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)，有3種方法；十位和個(gè)位上的數(shù)字可以從余下的3個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)進(jìn)行排列，有種方法．（法）：從、、、9中任選三個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，再減去其中不合要求的，即首位是的．從、、、9這五個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，其中首位是的三位數(shù)有個(gè)．三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：(個(gè))．本題不是簡(jiǎn)單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接在排列的時(shí)候考慮這些限制因素．5.班集體中選出了5名班委，他們要分別擔(dān)任班長(zhǎng)，學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體育委員．問(wèn)：有多少種不同的分工方式？【答案】120種【解析】(種)．6.由，，，，，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個(gè)？【答案】300【解析】方法一：先考慮從六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為，由于不能在千位上，而以為千位數(shù)的四位數(shù)有，它們的差就是由，，，，，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，即為：個(gè)．方法二：完成這件事——組成一個(gè)四位數(shù)，可分為個(gè)步驟進(jìn)行，第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)；第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個(gè)位數(shù)；這四個(gè)步驟依次完成了，“組成一個(gè)四位數(shù)”這件事也就完成了，從而這個(gè)四位數(shù)也完全確定了，思維過(guò)程如下：根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是：(個(gè))．7.一列往返于北京和上海方向的列車(chē)全程停靠個(gè)車(chē)站(包括北京和上海)，這條鐵路線(xiàn)共需要多少種不同的車(chē)票．【答案】182種【解析】(種)．8.4個(gè)男生2個(gè)女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？【答案】【解析】4男2女6人站成一排相當(dāng)于6個(gè)人站成一排的方法，可以分為六步來(lái)進(jìn)行，第一步，確定第一個(gè)位置的人，有6種選擇；第二步，確定第二個(gè)位置的人，有5種選擇；第三步，排列第三個(gè)位置的人，有4種選擇，依此類(lèi)推，第六步，最后一個(gè)位置只有一種選擇．根據(jù)乘法原理，一共有種排法．9.4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著有多少種不同的排法？【答案】240種【解析】排列之捆綁法：分為三步：第一步：4個(gè)男得先排，一共有種不同的排法；第二步：2個(gè)女的排次序一共有2種方法；第三步：將排完次序的兩名女生插到排完次序的男生中間，一共有5個(gè)位置可插．根據(jù)乘法原理，一共有種排法．10.停車(chē)站劃出一排個(gè)停車(chē)位置，今有輛不同的車(chē)需要停放，若要求剩余的個(gè)空車(chē)位連在一起，一共有多少種不同的停車(chē)方案?【答案】362880【解析】把個(gè)空車(chē)位看成一個(gè)整體，與輛車(chē)一塊進(jìn)行排列，這樣相當(dāng)于個(gè)元素的全排列，所以共有．【小測(cè)驗(yàn)】幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐