2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題試題及答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)乙卷)

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題

/2+?+葉。

A.1B.2C.逐D.5

答案：C

由題意首先化筒2+i?+2i3,然后計(jì)算其模即可.

解：由題意可得2+i?+2i3=2-l_2i=l_2i，

則|2+i2+2i3|=|l-2i|=#+(_2『=也.

故選：C.

2.設(shè)全集U={0,1,2,4,6,8},集合河={0,4,6},N={0,1,6},則()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

答案：A

由題意可得的值，然后計(jì)算即可.

解：由題意可得eN={2,4,8},則M_Q/N={0,2,4,6,8}.

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該零件的表面積為()

日益］

1*6iI*?I?Ii???

?????**?*?

日

????*????1*■????

A.24B.26C.28D.30

答案：D

由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

解：如圖所示，在長(zhǎng)方體4旦G"中，AB=BC=2,A4=3,

點(diǎn)、H」JK為所在棱上靠近點(diǎn)4,G,2,A的三等分點(diǎn)，O,L,M,N為所在棱的中點(diǎn)，

則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長(zhǎng)方體ABC。-AgG〃去掉長(zhǎng)方體ON/G-之后所得的幾何體,

該幾何體的表面積和原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積相比少2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故選：D.

7T

4.在二ABC中，內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別是4,0,c,若acosB—bcosA=c,且。=《，則NB=()

7t冗-3兀2兀

A.—B.-C.----D.—

105105

答案：C

首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得ZA的值，最后利用三角形內(nèi)角和

定理可得NA的值.

解：由題意結(jié)合正弦定理可得sinAcosB-sinBcosAusinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sin(A+8)=sinAcosB+sinBcosA,

整理可得sinBcosA=0,由于8e(0,7i),故sin8>0,

7T

據(jù)此可得cosA=0,A=一,

2

EC4C兀713兀

則3=71—A—C=7T---------=—.

2510

故選：C.

5.已知/(%)=專工是偶函數(shù)，則。=()

A.-2B.-1C.1D.2

答案：D

根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

解：因?yàn)椤傲?蕓為偶函數(shù)，則y(x)_"r)=壬—匕學(xué)二=史二!21=0,

又因?yàn)閤不恒為0,可得e'—e("T)x=o,即e，=e("-W，

則x=(a-l)x,即1解得a=2.

故選：D.

6.正方形A3C。的邊長(zhǎng)是2,E是A6的中點(diǎn)，則EC.￡■￡)=()

A.亞B.3C.2有D.5

答案：B

(\UUUUUU

方法一：以｛AB,A。｝為基底向量表示EC,￡￡),再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系，利用平

面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求cosZDEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

,,uiHuumuimuun

解：方法一：以｛AB,A。｝為基底向量，可知45=AO=2,A8-AO=0,

uuniwuuniuunuu?uunuuruumiuunuum

則EC=EB+BC=-4B+AD,ED=￡4+AD=——AB+AD,

22

uumuun(iuunuun\fiuunuum\]uun。uun、

所以=?一++AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

UUUUUU

則E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),E￡>=(-1,2),

UUUUUU1

所以后。?石。=-1+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=逐,CD=2,

DE2+CE2-DC25+5-4_3

在中，由余弦定理可得cosNOEC=-——

2DEeCE2x>/5x^55

uuuimUuuUnlluumnuun3

所以EC?ED=ECEDas/DEC=非x昌二=3.

5

故選：B.

7.設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域^乂了他4^+^4^內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)4，則直線0A的傾斜角不

大于三的概率為（）

4

1111

A.—B.-C.—D.—

8642

答案：C

根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

解：因?yàn)閰^(qū)域｛（演力14％2+3；244｝表示以。（（）,（））圓心，外圓半徑R=2，內(nèi)圓半徑r=1的圓環(huán),

7C兀

則直線OA的傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角NMON=一,

44

結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率02X41.

r=-------=—

2兀4

故選：C.

8.函數(shù)/（》）=/+原+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.(-oo,—2)B.(一?,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

答案：B

寫(xiě)出/'（幻=3/+。，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.

解:/(x)=x3+ax+1,P!iJf'(x)=3x2+a,

若〃x)要存在3個(gè)零點(diǎn)，則〃x)要存在極大值和極小值，則打。,

9.某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽

同學(xué)抽到不同主題概率為。

52I

A.—B.—C.1-D.—

6323

答案：A

根據(jù)古典概率模型求出所有情況以及滿足題意得情況，即可得到概率.

解：甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有6x6=36種，

若甲、乙抽到的主題不同，則共有A；=30種,

則其概率為二30==5，

366

故選：A.

10.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+0)在區(qū)間直線》=￡和》="為函數(shù)y=/(x)的圖像

63

的兩條對(duì)稱軸，則/()

A百1C

A.-----B.——-ID

22T

答案：D

5兀

根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入戶-訪即可得到答案.

兀27r

解：因?yàn)?f（x）=sin（3x+e）在區(qū)間單調(diào)遞增,

6'T

所以工=生-工71271

=一，且0>0,則7=兀，W=-一"=2,

2362T

7t兀，r

當(dāng)X=2時(shí)，/（x）取得最小值，則2?—卜(P=2E----,KGZ?

662

"5兀，k&Z,不妨取左=0,則/(x)=sin(2x-?

則(p=2kji一

66\6

故選：D.

11.已知實(shí)數(shù)乂〉滿足x2+y2—4x—2y—4=0,則的最大值是（）

A.1+乎B.4C.1+372D.7

答案：C

法一：令x-y=k,利用判別式法即可；法二：通過(guò)整理得（x-2y+（）-1）2=9,利用三角換元法即可,

法三：整理出圓的方程，設(shè)x-y=左，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.

解：法一：令x—y=k,則x=k+y,

代入原式化簡(jiǎn)得2y2+（2%—6）y+爐一4A—4=0,

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)）'，則AN0,即（2女—6）2—4x2（公一妹一4）之0,

化簡(jiǎn)得人2一2%-17〈0，解得1-30/<1+30，

故x-y的最大值是30+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=0,整理得(x—zj+()-1)2=9,

令x=3cos8+2,y=3sin(9+l,其中6e[0,27i],

則x-y=3cos-3sin+1=30cos[6+5)+1,

ee[0,2〃],所以e+，則6+。=2兀，即6=上時(shí)，取得最大值3及+1，

44444

法三：由x2+y2_4x_2y_4=0可得(x_2y+(y_l)2=9,

\2-1-k\

設(shè)x-y=Z,則圓心到直線X—y=k的距離d

解得1-3正WZW1+30

故選：C.

12.設(shè)A,8為雙曲線=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段A8中點(diǎn)的是()

9

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

答案：D

根據(jù)點(diǎn)差法分析可得心8M=9,對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：

結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

解：設(shè)4(石,芳),3(々,必)，則4?的中點(diǎn)M與匕，汽上

X+%

可得38=近二&，2=2)1+3

X1+x

%一馬2X1+x2

2

2

2L9-22

y

1-%O

A,8在雙曲線上,2=

因以-

一

9-

所以心8?%=3*=9.

玉一了2

對(duì)于選項(xiàng)A：可得左=1/心=9,則AB：y=9x—8,

y=9x-8

聯(lián)立方程42V2，消去y得72X2-2X72X+73=0,

X--=1

9

此時(shí)A=(-2x72)?■-4x72x73=-288<0,

所以直線A8與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

995

對(duì)于選項(xiàng)B：可得攵=—2,左A6=—a，則AB:y=—5X—5,

[95

y=——x——

22

聯(lián)立方程（2，消去y得45%2+2X45X+61=0，

X-----1

I9

此時(shí)A=（2x45）2-4x45x61=-4x45x16<0，

所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得％=3,心8=3,則AB:y=3x

由雙曲線方程可得a=1,。=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤：

997

對(duì)于選項(xiàng)D：=4,kAB——,則AB:y=w%—a，

[97

y=—x——

44

聯(lián)立方程（2，消去y得63元2+126%—193=0，

x-----1

I9

此時(shí)△=1262+4X63X193>0，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

二、填空題

13.已知點(diǎn)A（l,有）在拋物線C：V=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

9

答案：

4

由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-3,最后利用點(diǎn)的坐

4

標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

解：由題意可得：（逐y=2pxl,則2〃=5,拋物線的方程為y2=5x,

準(zhǔn)線方程為x=-*,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1一（一^]=g.

4I4J4

9

故答案為：一.

4

14.若。€（0,51,12!10=；,則sind-cos6=.

答案：—必

5

根據(jù)同角三角關(guān)系求sin。，進(jìn)而可得結(jié)果.

/、

解：因?yàn)?￡0,-,則sin。＞0,cos。＞0,

I2J

又因?yàn)閠ane=^=,，則cose=2sin6,

cos。2

且8s2e+sin2e=4sin2e+sin2e=5sin2e=l，解得sin6=且或sin6=—@（舍去）,

55

75

所以sin。一cos6=sin6—2sin6=-sin6=-V

故答案為：一Yj

5

x-3y<-1

15.若x,y滿足約束條件<x+2y<9,則z=2x-y的最大值為.

3x+y>7

答案：8

作出可行域，轉(zhuǎn)化截距最值討論即可.

解：作出可行域如下圖所示：

z=2x-y,移項(xiàng)得y=2x—z,

x-3y=-1x=5

聯(lián)立有《解得《

x+2y=9j=2

設(shè)A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,此時(shí)截距-z最小，則z最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

16.已知點(diǎn)S,AB,C均在半徑為2的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，S4,平面ABC,則S4=

答案：2

先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.

解：如圖，將三棱錐S-A8C轉(zhuǎn)化為直三棱柱SWN-ABC,

設(shè).ABC的外接圓圓心為。一半徑為廣，

2「=_5..萬(wàn)

則sinZACB73'，可得r=g,

T

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接OA,OOt,則OA=2,00,=gSA,

因?yàn)?42=00：即4=3+；SA2,解得Sl=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，

把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解；

（2）若球面上四點(diǎn)尸、A、B、C構(gòu)成的三條線段以、PB、PC兩兩垂直，且以=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2=a2+〃+c2求解；

（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；

（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；

（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)

相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為巧，y[=1,2,…,10）.試驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率七545533551522575544541568596548

伸縮率先536527543530560533522550576536

記2,.=x,.-x（i=1,2,…,10）,記z”Z2,Zo的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為?.

⑴求Z，S2；

（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果

z>2J—，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

V10

則不認(rèn)為有顯著提高）

答案：(I)z=ll,$2=61；

（2）認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

（1）直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出,亍，再得到所有的z,值，最后計(jì)算出方差即可；

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2,右的值，和三比較大小即可.

【小問(wèn)1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548「一

x=-------------------------------------------------------552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536

y=------------------------------------------------------=541.3,

10

彳=5—9=552.3-541.3=11,

47一。的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

,,2(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

故s=-----------------------------------------------------------------------------------

10

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知：2=11，2.—=2A/6?T=V244-故有

V10\10

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

18.記Sn為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知4=11，=40.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛|?！唬那啊?xiàng)和

答案:(1)an=15-2n

fl4?-n2,n<7

(2)T

n-14〃+98,〃28

(1)根據(jù)題意列式求解4,d,進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)先求S.，討論區(qū),的符號(hào)去絕對(duì)值，結(jié)合S“運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

%=%+"=11(al+d=U阿=13

由題意可得?！?、10x9,”,、，即I。，解得

S]o=lOqH------d=40[2〃]+9d=8\d=—2

、2

所以4=13-2(〃-1)=15-2〃，

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閟=由3+15二也=14〃—〃2,

"2

令a“=15—2〃>0,解得〃<3，且〃eN*，

當(dāng)〃W7時(shí)，則。”>0,可得北=聞+|。23---=---Fa”=5“=14〃―/；

當(dāng)?shù)禢8時(shí),則a“<0,可得工,=同+同---卜|%|=(《+%4---卜％)—(/■*---卜a”)

222

=S7-(S?-S7)=257-S?=2(14x7-7)-(14n-n)=/?-14n+98；

14n-/?2,n<7

綜上所述：T“=,

n2-14z?+98,n>8

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，ABJ.BC，AB=2,8C=20，PB=PC=C，BP,AP,3c的

中點(diǎn)分別為2E,0,點(diǎn)尸在AC上，BFLAO.

(1)求證：所〃平面ADO；

(2)若NPO/=120。，求三棱錐P—A6c的體積.

答案：(1)證明見(jiàn)解析

⑵

3

(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形石戶為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)作出并證明R0為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【小問(wèn)1詳解】

一.....1

連接OE,OF,設(shè)4尸=/AC,則3/=BA+AF=(1—t)3A+r3C,AO=-BA+-BC,BFA.AO,

則BFAO=[(\-t)BA+tBC](-BA+-BC)=(t-i)B^+LBC5=4(/-1)+4/=0,

22

解得/=L則/為AC的中點(diǎn)，由。,七,。,尸分別為PB,PABC,AC的中點(diǎn)，

2

于是DE//AB,DE=LAB,OFHAB,OF=-AB,即DEHOF,DE=OF,

22

則四邊形O。石尸為平行四邊形，

EF//DO,EF^DO,又EFa平面ADO,DOu平面ADO,

所以￡///平面A。。.

【小問(wèn)2詳解】

過(guò)尸作PM垂直FO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,

因?yàn)槭?=PC,。是3c中點(diǎn)，所以PO1BC,

在中，PB=yj6,BO=-BC=y/2,

2

所以PO=YPB2-OB2=后方=2,

因?yàn)锳B，8c,O///AB,

所以O(shè)FJ_BC，又POcOF=O,2。，。尸匚平面；^。？，

所以8C1平面？0/，又AWu平面「0/，

所以8CLPM,又BCFM=O,BC,FMu平面A8C,

所以QM_L平面ABC,

即三棱錐P-ABC的高為PM,

因?yàn)锳POF=120°,所以ZPOM=60°,

所以PM=POsin6()0=2x^=百，

2

又S-='AB-BC=、x2x2丘=20,

所以％ABc=!SaABc.PM=-x2y/2xy/3=^-.

r-At3(--3ZAA6C3"3

A

20.已知函數(shù)/(x)=(l+a)ln(l+x).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線＞=/(x)在點(diǎn)(lj(x))處的切線方程.

(2)若函數(shù)〃x)在(0,+。)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

答案：(1)(ln2)x+y-ln2=0；

⑵[a\a>^.

(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線

方程即可；

(2)原問(wèn)題即/'(x)NO在區(qū)間(0,+8)上恒成立，整理變形可得g(x)=0t2+x-(x+i)in(x+l)N(^

區(qū)間(0,+8)上恒成立，然后分類討論a40,a2；,0<a<；三種情況即可求得實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=T時(shí)，/(x)=(：-l]ln(x+l)(x>-l),

則/'(九)=一-^x]n(x+l)+

XkXJ.XI1

據(jù)此可得/(l)=o,/'(l)=-ln2,

所以函數(shù)在處的切線方程為y—0=—山2(%—1),即(ln2)x+y-ln2=0.

【小問(wèn)2詳解】

由函數(shù)的解析式可得了'(x)=[+)ln(x+l)+g+a)x￡yj(x>-l),

滿足題意時(shí)/'(X)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立.

令(--)ln(x+1)+(—j----0,貝ij—(x+l)ln(x+l)+(x+ax~)20,

IX)IX)XI1

令g(x)-ax2+x-(x+l)ln(x+l),原問(wèn)題等價(jià)于g(x)NO在區(qū)間(0,+動(dòng)上恒成立，

則g'(x)=2ar-ln(x+l),

當(dāng)aWO時(shí)，由于2奴W0,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g(O)=O,不合題意;

令〃(x)=g'(x)=2ax_ln(x+l),則/(x)=2a..—,

當(dāng)azL2aNl時(shí)，由于」一<1,所以〃'(x)>0,〃(x)在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增，

2x+1

即g'(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'(O)=O，g(x)在區(qū)間(。,+8)上單調(diào)遞增,g(x)>g(O)=O,滿足題意.

當(dāng)寸，由l(x)=2a—一匚=0可得x=」--1,

2x+12a

當(dāng)xe(0,卷一1)時(shí)，〃'(％)<0,〃(x)在區(qū)間(°，——1)上單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞減，

注意到g'(0)=0,故當(dāng)時(shí)，g[x)<g，(0)=0,g(x)單調(diào)遞減，

由于g⑼=0,故當(dāng)xw時(shí)，g(x)<g⑼=0,不合題意.

綜上可知：實(shí)數(shù)〃得取值范圍是

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的

和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

①函數(shù)在區(qū)間(a⑼上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上r(x)“(或/'(x)wo)恒成立.

②函數(shù)在區(qū)間(a⑼上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是/'(X)"(或/'(x)W0)在該區(qū)間上存在解集.

21.已知橢圓。：與+忘=1(。>?！?)的離心率是半，點(diǎn)A(—2,0)在C上.

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(一2,3)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，直線ARAQ與y軸的交點(diǎn)分別為證明：線段MN的

中點(diǎn)為定點(diǎn).

y2X2

答案：(1)乙+二=1

94

(2)證明見(jiàn)詳解

(1)根據(jù)題意列式求解。力,c,進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線PQ方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為產(chǎn)為定值即可.

【小問(wèn)1詳解】

b=2a—3

由題意可得，a2=h2+c2解得<8=2

c亞c=石

e---——

,a3

2x2

所以橢圓方程為2v-+二=1.

94

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：直線尸。的斜率存在，設(shè)PQ：y=Z（x+2）+3,尸（石,X）,。（士,必），

y=&（尤+2）+3

聯(lián)立方程〈J,消去y得：（4攵-+9）d+8%（2Z+3）尢+16（攵2+3%）=0,

I94

則△=64公（2k+3『-64（45+9）（k2+3k）=一1728攵>0,解得左<0,

用得——8M2Z+3）16儼+3攵）.

%止+95一吐+9

因?yàn)锳（—2,0）,則直線AP：廣武1a+）

令x=o,解得即用（。，3；

X1+2（士+2

同理可得N（0,3

2y?2%

則3+2%+2_[%（%+2）+3][M/+2）+3]

=-1

2%+2々+2

［辰］+（2々+3）］（々+2）+［如2+（2A+3）］（x+2）2公：々+（4%+3）（芯+々）+4（2k+3）

（X|+2）（X?+2）XR+2（$+x2）+4

32M抬+3&）—33）

4公+9108

16（F+3/r）16M2k+3）+4

4^+94k2+9+

所以線段尸2中點(diǎn)是定點(diǎn)（0,3）.

（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無(wú)關(guān)；

也可令系數(shù)等于零，得出定值；

（3）得出結(jié)論.

【選修4-4】（10分）

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程

.」九八萬(wàn)、fx=2cosaH

為夕=2sin?|一4。4一I，曲線C2：4（1為參數(shù)，一<a<?t）.

（42）[y=2sina2

（1）寫(xiě)出G的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線y=x+加既與q沒(méi)有公共點(diǎn)，也與G沒(méi)有公共點(diǎn)，求，”的取值范圍.

答案：（1）為2+（>一1）2=1/?0,1],>?1,2