2023屆云南省麗江市高三第一次數(shù)學(xué)模擬統(tǒng)測試題

2023屆云南省麗江市高三第一次數(shù)學(xué)模擬統(tǒng)測試題

一、單選題

1.集合4={x|-14x<2},B={x|x<l）,則AuB等于（）

A.{x|x<l}B.{x|x<2}C.{x|-l<x<l}D.{x|l<x<2}

【答案】B

【分析】根據(jù)并集定義求解.

【詳解】由題意A=B={x|x<2}.

故選：B.

【點睛】本題考查集合的并集運算，屬于簡單題.

2.設(shè)“，匕為兩條直線，以下選項中能推出a〃~的個數(shù)是（）

①a,匕與同一個平面所成角相等

②。，人垂直于同一條直線

③“，人平行于同一個平面

④“，方垂直于同一個平面

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題利用空間中線線、線面的平行和垂直的性質(zhì)和判定定理進行判斷即可.

【詳解】解：①若。，6與同一平面所成角相等，則“，6可能相交或異面，故①錯誤,

②若。，b都垂直同一直線，則。，。可能相交，平行，異面，故②錯誤，

③若。，〃平行于同一平面，則。，人可能相交，平行，異面，故③錯誤，

④若〃垂直于同一個平面，則a//b，④正確，

故選：A.

3.函數(shù)/（x）=x1n（G77-x）的圖象大致為（）

【答案】D

【分析】利用排除法，先判斷奇偶性，再取特殊值即可得結(jié)果.

【詳解】解：由題意知函數(shù)的定義域為R

/(x)=xInf-s/x2+1-xj,則/(-x)=-xln(Jx2+1+4

W/(^)-/(-x)=xln[(x2+l)-x2]=O,得〃x)=f(T),所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除選項A,B；

X/(l)=ln(V2-l)<0,排除選項C.

故選：D.

【點睛】此題考查了函數(shù)圖像的識別，注意奇偶性、特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.

4.cos3000二

A.-B.--C.昱D.一直

2222

【答案】A

【詳解】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式有：cos300=cos(360-60)=cos60=g.

本題選擇A選項.

TTTT

5.已知函數(shù)/(x)=sin(s+w)，(o>0)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為彳，把/(*)圖象上各點的

62

橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移三個單位長度，得到函數(shù)g(x)的

圖象，則()

A.g(x)=-cos4xB.g(x)=cos4xC.g(x)=-cosxD.g(x)=cosx

【答案】D

【分析】由周期求得。，再由三角函數(shù)圖像變換得出g(x)的表達(dá)式.

【詳解】依題意，《=所以T=不，所以生=乃，解得0=2,所以f(x)=sin(2x+g).把f(x)圖

22G6

象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線丫=疝。+9TT)，再把曲線尸面(犬+T》T

OO

向右平移U個單位長度，得到曲線〉=加(工-苧+￡),即y=COSX,故g(x)=COSX

336

故選：D.

【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的變換、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合

思想；考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性.

6.設(shè)函數(shù)〃、_/X2+2X,X=O,若/(/(a))——(a)+2=0,則實數(shù)。的值為()

=t-x2,x>0

A.V2-1B.-y/2-1C.V2+1D.-V2+1

【答案】B

【分析】首先設(shè)/(a)=f,代入原式可得/(f)=-2,再分別討論740和r>0,兩種情況求r,再求

a.

【詳解】令f(a)=f，/(/(?))-/(?)+2=0,則/⑺=-2

1°，40時，/+2/=/—2,則/+/+2=0無解.

2。/〉0時，-t2=t-2,.??』，"(〃)=1

時，"+2a=l,則a=—V5—l;。>0時，一々2=1無解

綜上：a=-A/2-1.

故選：B.

修，箕0

7.已知：，若函數(shù)g(x)=/(九)T有三個不同的零點為，xn,&(%<%<￡)，

--,x<0

.X

111

則+—+一的取值范圍是()

玉x2七

A.(3,同B.(2,+?)C.(|,+8)D.(1,+?)

【答案】A

【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得f>0時有三個零點，求出當(dāng)xNO時f(x)的最大值，判

斷零點的范圍，然后推導(dǎo)得出結(jié)果.

2x八

【詳解】函數(shù)；的圖象如圖所示，

—,無V0

函數(shù)g（x）=/（x）T有三個不同的零點七，x2,X3（%</<?。?

即方程/（X）=f有三個不同的實數(shù)根4，々，當(dāng)，由圖知f>o,

fl2x2

當(dāng)x>0時，八町一971一二T,

XH----

X

Vx+l>2（x>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取得最大值，

當(dāng)y=1時，工［=—1,工2=馬=1，

111r

此時+—十—=3,

為x2網(wǎng)

由—T='（°<?）,可得f一包+i=o,

X4----/

X

2

/.x2+x3=—fx2x3=1,

*/0<r<1,-+,的取值范圍是（3,+00）.

故選：A.

【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：

（1）直接求零點：令見0=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；

（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間m,句上是連續(xù)不斷的曲線，且人〃）貿(mào)勿<0,還

必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點；

（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有

幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

8.如圖，已知四邊形A8CD是底角為60的等腰梯形，S.\AB\=2\CD\,沿直線AC將八4。。翻折成

ADC,所成二面角。'-AC—8的平面角為0,則（）

A.ADAB>0B.ZD'AB<0C.ZD'CB>0D.ZD'CB<0

【答案】B

【分析】作出圖形，設(shè)10=2。，作出二面角D-AC-B的平面角，由余弦定理求出NZX4B、6、

NDCB的余弦值，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出NEMB、。、NO'CB的大小關(guān)系.

【詳解】設(shè)AB的中點為點F,連接OF交AC于點E,在底面ABCD內(nèi),過點D、N分別作DMJ.AB.

CNLAB,垂足分別為點M、N,

設(shè)|CD|=2a,由四邊形ABCD為底角為60的等腰梯形，且|回|=2|8|,可得

\AM\=\BN\JAB^CD^=a,:.\AU\=\BC]=2a,

QAB//CD,尸為A8的中點，則A尸〃CD且AF=C￡>,，四邊形AFC￡>為菱形,

所以，。尸為線段AC的垂直平分線，

則AC_LOF,ACA.D'E,DFD'E=E,.:4（71平面由尸，

在翻折的過程中，點M在底面A6a>內(nèi)的投影在線段DFh,

所以，/力EE為二面角。'—AC—B的平面角，即。二/0名尸，

當(dāng)點以在底面A8C￡）內(nèi)的投影在線段QE上時，ND'EF290,

而NZX484NZM8=60,所以此時。>NO'A8；

當(dāng)點以在底面ABCD內(nèi)的投影在線段EF上時，則|。目=0同=|EF|=。，=|ZM|=|A同=2a,

|￡>7同0,缶],

=------L/YFIIFF\~=1-12'，'

則在D'E/中，由余弦定理得cosNO'EF

2\DE\-\EF\2a'

2

.....3..raz?,iD'Ap+lAFp-lDTl\D'F?

在.OA尸中，由余弦定理得cosZD'AF=J__1—L=1-L—L,

2|D'A|-|AF|8a2

則cosNDEFMcosNDA/7,當(dāng)且僅當(dāng)|。q=0時，等號成立，

所以此時0=ZD'EF>ZC/AF=ZD'AB.

綜上所述，0>AD>AB.

故選:B.

【點睛】本題考查二面角、余弦定理，正確作出二面角的平面角是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬

于中等題.

二、多選題

9.與一835。終邊相同的角有（）

A.-245°B.245°C.475°D.-475°E.-115°

【答案】BDE

【分析】終邊相同的角，相差360。的整數(shù)倍.

【詳解】與一835。終邊相同的角可表示為一835。+360”，k《Z,

%=1時,為一475。；%=2時，為一115。；％=3時，為245。；k=4時，為605。,

故選：BDE.

7T

10.已知直角AABC中有一個內(nèi)角為H，如果雙曲線E以A,3為焦點，并經(jīng)過點C,則該雙曲線的

離心率可能是（）

A.x/3+1B.2C.GD.2+6

【答案】ACD

【分析】分別討論NA=g、=ZC=y即可

7T

【詳解】當(dāng)NC=g時

c

當(dāng)NA=5TT時

故選:ACD

11.如圖所示，圓柱007內(nèi)有一個棱長為2的正方體ABCD-A/B/G。/,正方體的頂點都在圓柱上下

底面的圓周上，E為8。上的動點，則下面選項正確的是（）

A.AAGE面積的最小值為2近

B.圓柱00/的側(cè)面積為8應(yīng)萬

C.異面直線AQ/與C/O所成的角為60,

D.四面體A/8GO的外接球的表面積為12萬

【答案】ACD

【分析】A根據(jù)圓柱體的性質(zhì)知：E與O重合時△AGE的AG邊上的高最小，即可判斷；B由圓柱

體的側(cè)面積求法求側(cè)面積;C確定直線AQ與所成角的平面角，即可確定大小;D四面體A/8GO

的外接球和正方體的外接球同一個球體，利用球體表面積公式求面積.

【詳解】A：若E與O重合時，△AGE的AG邊上的高最小，所以5年盧=3義2夜x2=2正，正

確；

B：圓柱00/的底面圓的半徑為正方形的A8CD的對角線2后，母線為2,所以圓柱00,的側(cè)面積

為2萬”=4也兀，錯誤.

C：直線4O//8G,所以NBCQ為直線AD與C/D所成的角，因為三角形為等邊三角形，

所以異面直線AQ與C/。所成的角為60',正確;

Di

4|

D：四面體A/8。。的外接球和正方體的外接球同一個球體，正方體的對角線為26就是球的直徑，

所以四面體的外接球的表面積為12萬，正確.

故選：ACD.

12.設(shè)“X)是定義在R上的函數(shù)，若/(x)+Y是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)

g(x)=1個：)％叫;\，則下列說法正確的是()

[2g(尤

A.當(dāng)xe[2,3]時,g(x)=-2(x-2)(x-3)

B.g(等)=*(&€-)

C.若g(m)N2,則實數(shù)機的最小值為]

D.若〃(x)=g(x)-k(x-2)有三個零點，則實數(shù)%=

O

【答案】BC

【分析】由己知條件可得/(x)=x-x2,再由gX=；/LJ可求出g(x)的解析式，從

而可畫出g(x)的圖象，然后利用圖象分析判斷

【詳解】因為/(x)+d是奇函數(shù)，f(x)-x是偶函數(shù)，

訴I、j.f(-x)+x2=-/(x)-x2

|/(-x)+x=/(x)-x，

解得f(x)=x-x2,

由g(x)=D：*(；+)得,

當(dāng)xw(l,2)時，g(x)=2g(x—1),貝

所以g(x)=2g(x—l)=2/(x—1),

同理，當(dāng)xe(2,3)時，g(x)=2g(x-l)=4g(x-2)=4/(x-2),

以此類推，可得到g(x)的圖象如下圖所示，

y八

4.....................................................A

對于A,根據(jù)上述規(guī)律，當(dāng)xe(2,3)時，g(x)=4f(x-2)=4|x-2-(x-2)2]=-4(x-2)(x-3),所以

A錯誤，

對于B,根據(jù)圖象，U(kwN")剛好是相鄰兩個自然數(shù)中間的數(shù)，則g("卜eN")剛好是每

一段圖象中的極大值，代入函數(shù)解析式得8(三」)=2"3(女€'.),所以B正確，

對于C,根據(jù)圖象，當(dāng)XG(3,4)時，g(x)=8(-f+7x-12),gg)=2,由圖可得C是正確的，

對于D,"(x)=g(x)--x-2)有三個零點，等價于函數(shù)g(x)與函數(shù)y=Mx-2)有三個不同的交點，設(shè)

A(2,0),B(g，J,則函數(shù)y=Mx-2)的圖象恒過點4(2,0)的直線，如圖所示，當(dāng)函數(shù)y=Mx-2)與g(x)

的圖象相切時，有三個交點，相切時斜率左小于直線A3的斜率，直線AB的斜率為4—=所

--26

2

以"x)=g(x)-Z(x-2)有三個零點時，k<J,所以D錯誤，

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出g(x)的解析式,

畫出g（x）的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象分析求解，考查數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，屬于較難題

三、填空題

13.敲擊一次音叉A所發(fā)出的聲波可用函數(shù)yn^sineoo乃，）描述，敲擊一次音叉B所發(fā)出的

1（）0（）

a

聲波可用函數(shù)月=島sin（360%4）描述，則兩個音叉所發(fā)出的音量較大的是一.（填入A或B）

【答案】B

【分析】所發(fā)出的音量較大的，即聲波振幅較高的，由題意寫出A.B的振幅，比較大小即可求出結(jié)

果.

【詳解】因為聲波振幅越大，則音量越大，

1173

由,=訴內(nèi)11（400萬1）可得，其振幅為77右；由函數(shù)％=fSin（360萬，）可得，其振幅為工；

1000100012501250

31

---->-----,

12501000

所以B的音量較大.

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題型.

14.據(jù)報道，我國目前已成為世界上受荒漠化危害最嚴(yán)重的國家之一.下左圖表示我國土地沙化總

面積在上個世紀(jì)五六十年代、七八十年代、九十年代的變化情況.由圖中的相關(guān)信息，可將上述有

關(guān)年代中，我國年平均土地沙化面積在下右圖中圖示為：.

［土地沙化總面積八年平均土地沙化總面積

（萬平方公里）（百平方公里）

260

/26-------；------------------；-----------------------------------------；------------------；

-------------------1---------------------1-----------------1----------------------1----------------1

257.5----------------------------22??i?1

18-------r—T------------------r—1-----------------\

????1

14.........：-……4------------------1-……-：.....................\

-------------------1__________U__________L___________1__________1

250.1-1---------!---------?---------!--------J——?lol---------!--------!--------：---------：--------!——>

195019601970198019902000庠份195019601970198019902000車份

\年平均土地沙化總面積

（百平方公里）

26-------------------------.-----------------

25卜……

22——H——L—」——j

【答案】21——;一…i----1一……i

18____L—一二____—_____；

14-------：-——4-------卜——-：-----\

iol一i_!一:一i一二

195019601970198019902000年份

【分析】由圖1,得出每10年總的沙化面積，求出平均值,作圖即可.

【詳解】由圖1知，19507960年：土地沙化面積增加了一=1.6（萬平方公里），每年平

均沙化面積為0.16（萬平方公里）=160（百平方公里）；

1960~1970年：土地沙化面積增加了三三今」=1.6（萬平方公里），每年平均沙化面積為0.16（萬

平方公里）=160（百平方公里）；

19707980年：土地沙化面積增加了上二=2.1（萬平方公里），每年平均沙化面積為0.21（萬

平方公里）=210（百平方公里）；

1980—1990年：土地沙化面積增加了'=2」（萬平方公里），每年平均沙化面積為021（萬

平方公里）=210（百平方公里）；

1990~2000年：土地沙化面積增加了260-257.5=2.5（萬平方公里），每年平均沙化面積為0.25（萬

平方公里）=250（百平方公里）.

故答案為:

年平均土地沙化總面積

（百平方公里）

26

25

22

21

18

16

14

10

195019601970198019902000年份

15.某校高二學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試成績（單位：分）X服從正態(tài)分布N（110,l（）2）,從中抽取一個

同學(xué)的數(shù)學(xué)成績4,記該同學(xué)的成績9O<JV11O為事件A,記該同學(xué)的成績80<4400為事件B,

則在A事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率P（用A）=.（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

附參考數(shù)據(jù)：P(//-<T<X<//+(T)=0.68;P(〃-2b<X4M+2CT)=0.95；

P(〃-3b<X"+3cr)=().99.

【答案】言27

,、，、/,\P（AB）

【分析】計算出尸（A3）和P（A）,然后利用條件概率公式可得出P（8|A）=*^的值.

【詳解】由題意可知〃=11。，（7=10,事件A8為90<j4100,Q90=〃-2b,100=〃-b,

所以，

P(AB)=P(90<日00)=尸(〃-2crW-cr)

_尸(〃-2cr<X<〃+2cr)-P(〃-cr<X4〃+cr)_0.95-0.68_27

一2一2-200'

、/“\P(u-2(y<X<u+2(y}95

P(zAx)=P(z90<"110)=P(〃-2Y4〃)=*---------------+——1■=—,

22UU

由條件概率公式得可叫力=需=蓋?禁=||,故答案為

【點睛】本題考查條件概率的計算，同時也考查了正態(tài)分布3b原則計算概率，解題時要將相應(yīng)的事

件轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性計算，考查計算能力，屬于中等題.

16.三棱錐A-8CZ）對棱相等，且A8=2石，AC=3,A。=,點P,Q分別是線段4。，8c的

中點，直線產(chǎn)。/平面a,且a與平面A5C、平面AC。、平面ABD、平面8c。均有交線，若這些

交線圍成一個平面區(qū)域Q,則。的面積的最大值為.

【答案】巫

2

【分析】將三棱錐A-8C。拓展為以三棱錐的邊為面的對角線的長方體，根據(jù)三棱錐的棱長求出長

方體的邊長，根據(jù)已知可得平面a平行長方體的底面，再由線面平行的性質(zhì)定理，可得平面a與平

面43C、平面AC。、平面A8。、平面的交線構(gòu)成平行四邊形FGHW,且該平行四邊形兩相鄰

的邊所成的角與底面兩對角先所成的角相等或互補，再由線面平行和線線平行的線段的比例關(guān)系，

可得平行四邊形戶,GMW兩相鄰邊的和，最后由平行四邊形的面積公式結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)

論.

【詳解】三棱錐A-3CZ）拓展為以三棱錐的邊為面的對角線的長方體，如下圖所示，

AB=2yf3,AC=3,AD=y/l5,設(shè)AC=a,==c,

a2+b2=15

則有“力+。2=12,解得a=娓力=3,C=6，

c2+a2=9

因為點P,Q分別是線段AO,BC的中點，所以尸Q工底面ABC,

又有直線尸。工平面a,所以a〃底面ABC,

設(shè)平面a與平面ABC、平面AC。、平面曲、平面BCD的交線分別為:

GH,HM,FG,MF,a〃底面AtBC,

平面BCQ分別與平面a,底面ABC交于GH,8C,所以G〃〃8C,

同理Q0〃5C,所以GH"FM,同理尸G〃//M,

所以四邊形fGMW為平行四邊形，且NFG”=NAQC,

在RfABC中，sinZA1cB=^=/,cos幺。3=生=-^,

BCJ15BC115

277

sinZA.QC=sin(4-2ZA.CB)=sin2Z/\CB=2sin/4C3cosZA.CB=-y-

2[7

所以sin/FGH=sin“QC=

設(shè)BG=k,則GM=3-Z,由GH//BC,

旨匚?GHGM3-kr-r

所以---=----,GH=------xV15,

BCBD3

ki-

由GF//AZ),同理可得G尸=§x岳，

所以GF+G4=厲,

設(shè)平行四邊形尸G”M圍成一個平面區(qū)域。面積為S,

0./口「口2\/62\/6GF+GH3限

S=GF-GH-smZ.FGH=-----GF-GH<------(-------------)2=------,

5522

當(dāng)且僅當(dāng)GF=G”=巫時，取等號.

2

故答案為：巫.

2

【點睛】本題考查三棱錐的截面面積，等價轉(zhuǎn)化為長方體的截面面積是解題的關(guān)鍵，根據(jù)面面平行

和線面平行的性質(zhì)確定截面的特征是常用的方法，考查直觀想象能力、推理能力，屬于較難題.

四、解答題

17.已知,/BC的三個頂點的直角坐標(biāo)分別為A(3,4),B(0,0),C(c,0)

(1)若c=5,求siM的值；

(2)若A為鈍角，求c的取值范圍;

【答案】（1）手

⑵

【分析】（1）根據(jù)向量夾角公式計算cosA,再結(jié)合同角函數(shù)基本關(guān)系即可求出siM;

⑵應(yīng)用向量的數(shù)量積公式因為A為鈍角，所以A8SC<0,計算。的取值范圍即可.

【詳解】（1）4B=（-3,-4）,AC=（c-3,-4）,

當(dāng)c=5時，AC=(2,-4),

cosA=cos(AC,AB]=6+，，=—L,

''5x2指V5

又0<A<71,

所以sinA=Jl-cos%=~~■

（2）若A為鈍角，則ABSC=-3（c-3）+16<0,

解得c>255，

顯然此時有48和AC不共線，故當(dāng)A為鈍角時，c的取值范圍為（事,+8

18.已知數(shù)列｛《,｝中，4=2,4+|=2a”.

（1）求《；

（2）若2=”+/,求數(shù)列也｝的前5項的和$5.

【答案】（l）q=2";（2）77.

【分析】（1）4+1=2%,則數(shù)列｛q｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，求解即可.

（2）利用分組求和，分為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列，利用數(shù)列求和公式求解.

［詳解］（1）q=2,。”+］=2an,

則數(shù)列｛q｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

a?=2x2"-'=2"；

n

(2)bn=n+an=n+2,

2345

S5=(l+2)+(2+2)+(3+2)+(4+2)+(5+2)

=(l+2+3+4+5)+(2+22+23+24+25)

(l+5)x52-25X2

~2-+1-2=77.

【點睛】當(dāng)兩個數(shù)列不為同類數(shù)列求和時，采用分類求和.

19.甲、乙、丙三位學(xué)生各自獨立地解同一道題，已知甲做對該題的概率為g,乙、丙做對該題的

概率分別為〃?，且三位學(xué)生能否做對相互獨立，設(shè)X為這三位學(xué)生中做對該題的人數(shù)，其

【答案】(1)m==j

(2)E(X)=0x-+lx-+2x—+3x—=—.

39363612

【詳解】分析：(1)根據(jù)已知列方程組解之即得m,n的值.(2)先計算出a,b的值再求X的數(shù)學(xué)期

望.

卜一1(1-孫~)=；，

詳解：(1)由題意，得')

11

-mn=—.

336

又m>n,國軍得〃？=g,n=-.

34

/八……1232132214

(2)由您忠，=+-x-x-r+~x~XT=~,

3343343349

、1417

b=\-P[X=O)-P(X=1)-P(zX=3)=1------=—.

所以E(X)=Ox-+lx—+2x—+3x—=—.

V739363612

所以(1-1(1-m)(1-〃)="表中說明三個都做對的概率是乙，所以《初〃=▲.

3\5J336336

20.已知0<c(工，sinfa+-1=—.

4I4j3

(1)求cosa的值;

7T3

(2)若一]<夕<。，cos(a-/7)=g求cosp的值.

【答案】（1）土史

28-V2

⑵

30

【分析】（1）先確定a+￡的范圍，已知其正弦值求出余弦值，然后利用。=。+?-?求解；

444

（2）先確定夕一"的范圍，己知其余弦值求出正弦值，然后利用尸=。-（。-尸）并結(jié)合第（1）問的

數(shù)據(jù)求解.

【詳解】⑴。?故可，+*。，所以

兀兀).兀4+V2

cos—+sina+—sin—=

44j46

jr7T5元

⑵因為。＜a＜“-萬“＜。，則09y

3

又cos(a_,)=gsin(cr-/?)>0,sin(a-/?)=^1-cos2("夕)=:

結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)知,

..nAKI.(兀、兀(兀)兀72f2721)4-0

sina=sina+———=sma+—cos——cosa+—cos-=——----------=-----------,所以

LI4)4jI4j4I4)42I33)6

cosP=cos[a-(a-夕)]=cosacos(a-￡)+sinasin(a-4)=-83^^.

21.如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形4?CD是邊長為4的菱形，PA=PC,BDA.PA,E是BC

上一點，且EC=38E,設(shè)ACBD=O.

（1）證明：P01平面ABC。；

（2）若NB4D=60。，PALPE,求二面角人一PE-C'的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）-姮.

5

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合題中條件，即可證明線面垂直；

（2）由題意，先得到04,OB,0P兩兩互相垂直，以。為原點，以O(shè)A,0B,。尸所在直線分別

為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC。是菱形，

二0是AC的中點，BDYAC,

,：BDA.PA,PAAC=A,PA,ACu平面PAC,

/.80/平面PAC,

；POu平面PAC,ABD1PO,

VPA=PC,O是AC的中點，/.PO1AC,

：ACu平面A6C。，8￡>u平面ABC。，ACBD=O,

：.POJ-平面ABCD

（2）由（1）知P01平面ABC。，BD1AC,

OA,OB,。尸兩兩互相垂直，

.?.以。為原點，以。4,OB,OP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:

設(shè)PO-a,

:四邊形A8CD是菱形，ZBAD=60°,

,AABD和ABCD都是等邊三角形，；.OA=OC=2g,

PA=(2G,0,-a),PE=-y,|,-o,EC=-半,一|,0

...尸4PE=(26,0,-0一￥，|,-〃=0,

—3+ci2=0,即〃=^/3,

APA=(2A/3,0,-V3),PE=-￥，|，-K

設(shè)平面PAE的法向量為相=(%,y,z3

PA-m=?(%,〉],zJ=2乖fX[-0Z[=0

則,濘(右3南(、\[33R

PEm=--,-,-V3\xi,y]9z])=--x]+-yl-yl3zi=0

令…，得Ql,%=苧

/.m=<4

設(shè)平面PEC的法向量為"=(々,%"2)，

“363c

ECn=———x2--y2=0

則

PEn=-^-x,+—->/3z,=0

2-22'

令%=-1,得必=6，ZZ=2,

/.〃=卜1,阮2),

設(shè)二面角A-PE-Cl的平面角為e,結(jié)合圖象可知,

...二面角A—PE—C的余弦值為一皿.

5

【點睛】本題主要考查證明線面垂直，考查向量的方法求二面角，屬于?？碱}型.

29

22.如圖，已知橢圓C：￡+g=l(a>8>0)與等軸雙曲線G共頂點(±2"0),過橢圓C|上一點P

(2,-1)作兩直線與橢圓G相交于相異的兩點A,B,直線以，PBAB與x,y軸正半軸相交，分別

記交點為M，N.

(1)若一PA/N的面積為:，求直線AB的方程；