2023屆廣東省揭陽、潮州金中高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.歐拉公式為*=cosx+isinx,（i虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，

建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e至表

示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知非零向量"，b滿足|a=必|,則“卜+2耳=|2。一可”是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解：

3.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=百力=1,3=3（）,則人為（）

A.60B.120C.60或150D.60或120

2

4.若ae[l,6],則函數(shù)y=1—在區(qū)間[2,+8）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）

4?3~2

A.—B?—C.—D.一

5555

5.幻方最早起源于我國，由正整數(shù)1,2,3,”2這〃2個數(shù)填入〃X”方格中，使得每行、每列、每條對角線上

的數(shù)的和相等，這個正方形數(shù)陣就叫〃階幻方.定義/（〃）為〃階幻方對角線上所有數(shù)的和，如/（3）=15,則/（10）=

B.500C.505D.5050

6.為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計(jì)繪制如圖，其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù).若

該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）

共怙傳及&弗9%

fill*

A.該市總有15000戶低收入家庭

B.在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶

C.在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶

D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶

7.已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)都在球。的球面上,PAJ_平面ABC,AABC是邊長為2省的等邊三角形，若球。

的表面積為20%,則直線PC與平面所成角的正切值為()

A.-B.—C.-V?D.—

4374

8,若復(fù)數(shù)2=巴二在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

1+z

A.(-U)B.C.(1,+?)D.(0,+巧

9.設(shè)全集U=R,集合A={X|X2-3X—4>0},則&A=()

A.{x|-l<x<4}B.{x|-4<x<l}C.{x|-l<x<4}D.{x卜4金Wl}

1+if

------+-------=

10.已知i是虛數(shù)單位，貝i()

13133131

--+-z~~+~i~~~i

A.22B.22C.22D.22

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=sin|尤|+|cos尤|有下述四個結(jié)論：()

①/(x)是偶函數(shù)；②/(x)在區(qū)間(-5,0)上是單調(diào)遞增函數(shù)；

③/(x)在R上的最大值為2；④/(%)在區(qū)間［一2肛2句上有4個零點(diǎn).

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①②④B.①③C.①④D.②④

12.若復(fù)數(shù)二滿足(l+i)z=|3+4i|,貝k的虛部為()

55

A.5B.-C.--D.-5

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.AABC中，角A6,C的對邊分別為a,"c,且A,&C成等差數(shù)列，若b=6,c=l,則AABC的面積為

14.曲線y=ev(x2+2)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為.

15.已知公差大于零的等差數(shù)列｛4｝中，%、&、%依次成等比數(shù)列，則組的值是.

x+y>a

16.設(shè)X、「滿足約束條件〈，，且2=*+?，的最小值為7,則〃=__________.

x—y4-1

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在ABC中，角A3,C的對邊分別為a*,c,且csinB=bsin(1—C)+辰.

(1)求角C的大小；

(2)若c=J7,a+匕=3,求AB邊上的高.

18.(12分)如圖，在直三棱柱A8C-A向G中，ZABC=90°,AB=AAltM,N分別是AC,81cl的中點(diǎn).求證:

(1)MN〃平面ABBiAi；

(2)ANLAtB.

19.(12分)已知動圓過定點(diǎn)E(O,1),且與直線/：)>=-1相切，動圓圓心的軌跡為C,過戶作斜率為4伏工0)的直線

加與。交于兩點(diǎn)48,過48分別作。的切線，兩切線的交點(diǎn)為P,直線。尸與C交于兩點(diǎn)

(1)證明：點(diǎn)P始終在直線/上且防_LAB；

(2)求四邊形AMBN的面積的最小值.

x=2cosa

20.(12分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系即中，曲線G：\.(a為參數(shù))，在以平

y=2sina

面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)、x軸的正半軸為極軸，且與平面直角坐標(biāo)系X。、取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，曲線。2：

TC

psin(^--)=1.

(i)求曲線G的普通方程以及曲線G的平面直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G上恰好存在三個不同的點(diǎn)到曲線c2的距離相等，求這三個點(diǎn)的極坐標(biāo).

21.(12分)設(shè)數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和S,滿足2S,="/+",neN+,%=2,

(D證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

,1

(2)設(shè)a=I1=,求證：T=b｝+h^++h<1.

22

22.(10分)已知橢圓E:=+與=l(a>0>0)的左，右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,|片名|=2,M是橢圓E上的一個動

礦b

點(diǎn)，且的面積的最大值為由.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(2)若45,0),B(0,b),四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E,AB//CD,記直線AD,BC的斜率分別為勺，k2,求證:k&

為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

計(jì)算1=cosX+isin生='+且3得到答案.

3322

【詳解】

根據(jù)題意*=cosx+isinx，故=cosK+z'sin工，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.

3322

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.

2.C

【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，由向量的關(guān)系|a+2bH2a-b|oa/=Ooa，b,可得選項(xiàng).

【詳解】

I|2I|2222.2

|a+2Z>|=|2"/?|—卜+24=2a-Z?<=>a+4a-b+4b=4a-4a-b+b,

Ia1=161H0，；?等價于ab=Ooa±h>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和命題的充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA='二，再由角4的范圍可求得角4

2

【詳解】

由正弦定理可知一J=上，所以巫=—1—,解得sinA=Y3,又0<A<180，且a>b,所以A=60°或

sinAsinBsinAsin302

120°o

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理，注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

22

【解析】函數(shù)蚱三產(chǎn)在區(qū)間[2,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，.?.y'=l-±±于2在[2，+°0）恒成立，.?.a"在

[2,+oo）恒成立，a?4,ae[1,6],ae[1,4],.?.函數(shù)y=三產(chǎn)在區(qū)間[2,+8）內(nèi)單調(diào)遞增的概率是芒|=|，

故選B.

5.C

【解析】

因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，可得十°十十〃，即得解.

n

【詳解】

因?yàn)榛梅降拿啃小⒚苛?、每條對角線上的數(shù)的和相等，

所以〃階幻方對角線上數(shù)的和/（〃）就等于每行（或每列）的數(shù)的和，

又〃階幻方有〃行（或〃列），

田海r（\-1+2+34-----1-n~

因f（幾）=-------------,

n

于是/（10）=1+2+3+］。+99+100=505

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)陣問題，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

6.D

【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到正確答案.

【詳解】

解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%,

則該市總有低收入家庭900+6%=15000（戶），A正確，

該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000x12%=1800（戶），B正確，

該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000x29%%=4350（戶），C正確，

該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000x4%=600（戶），D錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識和分析，這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基

礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

設(shè)。為中點(diǎn),先證明CD，平面PAB,得出NCPO為所求角，利用勾股定理計(jì)算PA,PD,CD，得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)D,E分別是AB,的中點(diǎn)AEflCD=F

24,平面ABC:.PALCD

A48C是等邊三角形:.CD±AB

又P4AB^A

\CC>A平面E鉆；.NCPr>為PC與平面Q43所成的角

AABC是邊長為2道的等邊三角形

2一.—

/.CD-AE=3,AF=—AE=2且尸為AA3C所在截面圓的圓心

3

球0的表面積為207r.??球0的半徑QA=右

：.0F=yl0^-AF2=1

24,平面48。:.PA=2OF=2

PD=yjPA'+AD2=S

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐與外接球的位置關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直關(guān)系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解

出線段長，屬于中檔題.

8.B

【解析】

復(fù)數(shù)z=9N=佇！一"1"在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，可得關(guān)于a的不等式組，解得a的范圍.

1+z22

【詳解】

a-ia-1。+1.

z=-----=--------------1

14-Z22

由其在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,

。一1<0

得.，貝！JavT.

。+1<0

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

解一元二次不等式求得集合A,由此求得4/

【詳解】

由X2—3x—4=(x-4)(x+l)>0,解得》<一1或x>4.

因?yàn)锳={x|xv-1或x>4},所以gA={x|-14x44}.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡得出結(jié)果

【詳解】

1+ii-?(/+0i(l-i),i-fi131

i1+i/(7+；)(7-/)22222

故選。

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

11.C

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(X)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對四個結(jié)論逐一分析，由此得出正確結(jié)論的編號.

【詳解】

/(X)的定義域?yàn)镽.

由于〃一力=/(力，所以/(x)為偶函數(shù)，故①正確.

由于/\￡l=si吟+cos.="j(q)=si吟+cos?=^l,"Vm，所以小)在

區(qū)間卜5,。］上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯誤.

當(dāng)xNO時,/(x)=sinx+|cosx\=sinx±cosx=A/2sinx±—<V2,

且存在x=—，使/7—sin—+cos—=72.

414J44

所以當(dāng)x20時，/(x)<V2；

由于/(x)為偶函數(shù)，所以xeR時

所以/(x)的最大值為0,所以③錯誤.

依題意，/(0)=sin|0|+|cos0|=l,當(dāng)0<xW2不時,

.八/兀—P-3萬

sinx+cosx,0<x<——<X<2TI

22

〃x)=’

.7134

sinx-cosx,—<x<——

22

77T

所以令sinx+cosx=0,解得％=彳，令sinx-cosx=0,解得x=j-.所以在區(qū)間((),2可，/(x)有兩個零點(diǎn).

由于“X)為偶函數(shù)，所以/(x)在區(qū)間［-2肛0)有兩個零點(diǎn).故“X)在區(qū)間［-2羽2句上有4個零點(diǎn).所以④正確.

綜上所述，正確的結(jié)論序號為①④.

故選:c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

12.C

【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

22

由(1+?)z=|3+4i|=73+4=5-

5_5(1-/)_55

得『市=而訴=5一5''

???z的虛部為一*.

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.巨

2

【解析】

TT

由A,B,C成等差數(shù)列得出5=60。，利用正弦定理得C進(jìn)而得A=彳代入三角形的面積公式即可得出.

2

【詳解】

,：A,B,C成等差數(shù)列，，4+C=2B,

又A+3+C=180°,.?.33=180°,3=60°.

ch1TT7T

故由正弦定理二一一.?.sinC=—c<b,\C=-,故A=—

sinCsinB262

所以SAABC=—bc=,

22

故答案為：立

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.y-2x+2

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，得出在(0,2)處的一階導(dǎo)數(shù)值，即得出所求切線的斜率，再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式求出切線的方程.

【詳解】

令/(另=/(r+2),_f(x)=e'(Y+2x+2),所以((0)=2,又八0)=2,.?.所求切線方程為y—2=2x,即

y=2x+2.

故答案為：y=2x+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵在于求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就是切線的斜率，屬于基

礎(chǔ)題.

【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡求出公差與的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化求解組的值.

%

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,則d＞0,

由于42、。6、依次成等比數(shù)列，則即（生+41）2=々2（。2+104），

a｝1o,+10d18d9

d＞0,解得%=84，因此，—=-------=萬7=7.

a2a28d4

故答案為：j9

4

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.3

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=-'x+」z,對參數(shù)。分類討論，當(dāng)a=0時顯然不滿足題意；當(dāng)

aa

aNl時，直線y=—‘x+'z經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時，截距最小，即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當(dāng)0＜。＜1

aa

時，y=-4x+'z的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)。＜0時，y=-Lx+』z的截距沒有最大值，即z沒有

aaaa

最小值，綜上可得出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由＜',，可得出交點(diǎn)A—二,一；；一,

x—＞,=-1I22J

由z=x+ay可得y=-x-\—z,當(dāng)a=0時顯然不滿足題意；

aa

當(dāng)aNl即-1＜—工＜0時，由可行域可知當(dāng)直線y=-Lx+‘z經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時，截距最小，即z有最小值，

aaa

rr。-1。+1_、_，人、

即二一+a?——=7,解得a=3或-5（舍）；

22

當(dāng)0＜。＜1即1時，由可行域可知y=—,x+'z的截距沒有最小值，即z沒有最小值；

aaa

當(dāng)a＜0即-工＞0時，根據(jù)可行域可知＞=—‘x+’z的截距沒有最大值，即z沒有最小值.

aaa

綜上可知滿足條件時a=3.

故答案為：3.

本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對參數(shù)進(jìn)行討論.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)—；(2)叵

37

【解析】

(1)利用正弦定理將邊化成角，可得sinC=sin(g—C)+JJ,展開并整理可得sin(C—^)=1,從而可求出角C；

(2)由余弦定理得=“2+02-2"cosC,進(jìn)而可得(。+與2—而=7,由。+力=3,可求出他的值，設(shè)4?邊上的

高為〃，可得ABC的面積為La〃sinC=」M,從而可求出〃.

22

【詳解】

(1)由題意，由正弦定理得sinCsinB=sinBsin(g-C)+GsinB.

因?yàn)?€(0,兀)，所以sinB＞0,所以sinC=sin(=—C)+百，展開得sinC=@cosC-'sinC+百，整理得

322

71

sin(C--)=l.

6

因?yàn)?＜。＜兀，所以—四＜c—工＜2,故。―2=二，即。=竺.

666623

(2)由余弦定理得c2="+A2-2HcosC,貝(1〃+從+訪=7,得3+與2一帥=7,故而=(。+4一7=9-7=2,

故ABC的面積為工a/?sinC=sin"=—^.

232

設(shè)AB邊上的高為〃，有立h=蟲,故〃=囪，

227

所以A3邊上的高為叵.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔

題.

18.(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(1)利用平行四邊形的方法，證明MN//平面

(2)通過證明481?平面,由此證得

【詳解】

(1)設(shè)E是中點(diǎn)，連接由于M是AC中點(diǎn)，所以ME〃BC且MN=；BC,而gN//BC且

4N=；BC,所以ME與4N平行且相等，所以四邊形MEAN是平行四邊形，所以MN//B】E,由于MN/平

面ABB/,g￡u平面ABB|A，所以MN//平面AB4A.

(2)連接A耳，由于直三棱柱中8C_L8與，而,8gcA8=6,所以平面A34A，所以8C_L4呂，

由于3C7/BC,所以.由于四邊形AB44是矩形且A8=A4,,所以四邊形ABB^是正方形，所以

46_14片,由于44門線。1=4，所以48，平面44可，所以ABLAN.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

19.(1)見解析(2)最小值為1.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，判斷出C的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡C的方程.設(shè)出A6兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得

切線PAP8的方程，由此求得P點(diǎn)的坐標(biāo).寫出直線機(jī)的方程，聯(lián)立直線，〃的方程和曲線C的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求

得尸點(diǎn)的坐標(biāo)，并由此判斷出「始終在直線/上，且

(2)設(shè)直線AB的傾斜角為a,求得|A8|的表達(dá)式，求得|MN|的表達(dá)式，由此求得四邊形AM3N的面積的表達(dá)式

進(jìn)而求得四邊形AMBN的面積的最小值.

【詳解】

⑴?.?動圓過定點(diǎn)E(O,1),且與直線/：y=T相切，???動圓圓心到定點(diǎn)廠(0,1)和定直線y=—1的距離相等，二動圓圓

心的軌跡。是以尸(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線，.?.軌跡。的方程為：V=4y,

設(shè)A(x“爭,8(當(dāng)凈,Vx2=4y,,y=].?.直線Q4的方程為：y-%](f),即：4y=2中一X：①,

同理，直線的方程為：4y=2/x-后②，

由①②可得：P(九上，三三)，

24

"V=lex+1

直線機(jī)方程為：>="+1,聯(lián)立〈2—可得：f—46一4=0,P(2k,-V),

廠=4y

???2)乂女=一7乂&二一1,???點(diǎn)p始終在直線/上且PFJ_Ag；

k

(2)設(shè)直線AB的傾斜角為夕，由(1)可得：|A8|=J1+燈％—X2|=4(l+F)=4(l+tan2a)=^^,

44

/.|MN\=—z------------

cos"(a+90)sin2a

Io32

...四邊形AM3N的面積為：,x|A8|*|MN|=.,°,=~^~232,當(dāng)且僅當(dāng)a=45或135,即人士1時

2sm~cocos_asin~2a

取等號，，四邊形AMBN的面積的最小值為1.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查動點(diǎn)軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計(jì)算，考查

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.(1)x2+V2=4,x-6y+2=();(2)“2,§,cf2,-^-.

【解析】

(1)把曲線G的參數(shù)方程與曲線的極坐標(biāo)方程分別轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；(2)利用圖象求出三個點(diǎn)的極徑與極角.

【詳解】

x=2cosa,,

解：(1)由10,消去參數(shù)a得一+丁=4,

y=2sina

即曲線G的普通方程為f+J?=4,

又由psin16一看71)=1得夕卜inOcos看-cosOsinj=l

6

即為x—6y+2=0,即曲線。2的平面直角坐標(biāo)方程為x—6y+2=0

|2|1

d=,??=1-r

(2)?.?圓心。到曲線。2：x-6y+2=0的距離22，

如圖所示，所以直線x-百y+4=0與圓的切點(diǎn)A以及直線工-6)，=0與圓的兩個交點(diǎn)3,。即為所求.

-,-OA1BC,則4％=-6，直線做的傾斜角為『，

27r27r7tTC27rTT77r

即A點(diǎn)的極角為:，所以8點(diǎn)的極角為2-工=9,c點(diǎn)的極角為;+彳=」,

3326326

所以三個點(diǎn)的極坐標(biāo)為A(2,-，B(2，w),C(2，N-).

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、直線極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把

參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元

法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將Qcos。和psin。換成)，和x即可.

21.(1)證明見解析，4=〃；(2)證明見解析

【解析】

(1)由2S,,=〃6,+〃，2s“+|=(〃+1)。"+]+〃+1作差得到(〃-1)4+]-也“+1=0,進(jìn)一步得到

加“+2一("+l)4+i+1=°，再作差即可得到勺+1+%=2。,用，從而使問題得到解決;

_______1_______J〃+l—yfn_11

(2)b“=,求和即可.

+1+(〃+l)Vn+1)品5+1

【詳解】

(1)2s〃=幾?！?〃,2S〃+]=(〃+1)4川+〃+1,

兩式相減：(〃——次+1=0①

用〃+1換〃，得/以"+2一(〃+1)為+1+1=0②

②一@，得〃?！?2一2%+1+〃％=0,即4用+%=2q+1,

所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，又2S|=q+l,

.??6=1,a2=2,公差d=1,所以%=〃.

(〃)b二1二