2022新教材北師大版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章 對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù) 課時(shí)練習(xí)題及章末測(cè)驗(yàn)含答案解析

第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)的概念...........................................................1

2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算...........................................................5

3、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).........................................10

4、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用...........................................14

5、指數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較...............................19

章末檢測(cè)...............................................................25

1、對(duì)數(shù)的概念

一、選擇題

1.將一=9寫(xiě)成對(duì)數(shù)式，正確的是（）

A.Iog9^=—2B.logl9=-2

C.logl（—2）=9D.log9（—2）=^

33

B[根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得log19=-2.]

3

2.已知log.3=2”％,則a的值為（）

A.2B.3

C.8D.9

B=.-.loga3=l,：.a=3.]

3.已知log、8=3,則x的值為（）

1

A.~B.2

C.3D.4

B[由定義知f=8,所以x=2.]

4.方程的解是（）

1小

A.x=~B.X=-^-

c.D.x=9

A[V2|O^=^=2-2,

/.log3x=—2,

則f(f(2))的值為()

，x

A.0B.1

C.2D.3

2

C[?/A2)=1og3(2-1)=1og33=1,

.,"(f(2))=f(l)=2ei=2Xe0=2.]

二、填空題

6.方程10g3(2x—1)=1的解為x=.

2[原方程同解于log3(2x—1)=log33,所以2x—1=3,x=2.]

7.Iog6[log.t(log381)]=.

0[原式=log6[log.i(log；3')]=log6(log〃4)=log61=0.]

8.若log,2=加，log.,3=/?,則產(chǎn)"=.

12[V\og2=m,loga3=77,

：.a=2,a=3.

:.滬』W?a"=22X3=12.]

三、解答題

9.求下列各式中的x.

3

(1)log2(log5-￥)=1；(2)log,s8=-

[解]⑴由log2(log5x)=1得log/=2,

x=25.

3?<

⑵由log.,8=[得AT=8,

/.刀=8+，即x=(2:i)十，

.*.x=2'=16.

10.已知logi89=a,logi854=Z>,求18""的值.

[解]VlogiS9=a,logi854=Z?>

，18"=9,18〃=54,

18〃542'

11.(多選)下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的有()

A.e°=l與In1=0

B.log39=2與9T=3

i11

C.8W=5與10g町=_1

1=

D.log77=1與77

ACD[log；,9=2化為指數(shù)式為32=9,故B錯(cuò)誤，ACD正確.]

V

12.已知〃2'+1)=可，則〃4)=()

o

A.^log25B.|log23

oo

24

C.~D.-

oJ

B[令2"+l=4,得x=logz3,所以/1(4)=§logz3.]

13.利用對(duì)數(shù)恒等式壁y=Ma>0,且aWLm0).計(jì)算:

/1\1+4

(1)(T)一嗨.=——

(2)2(3+10^3)+3(2-監(jiān)9)=

-i

(1)8(2)25[(1)

logj_4

2=2X4=8.

Q2Q

(2)2(3+1%3)+3(2-1嗎9)=23X2】叫3+=8義3+小

3bg399

=25.]

14.已知log2(log3(log4^))=0,且Iog4(log2力=1.則正?y牛的值為

64[Vlog2(log3(log4Jf))=0,

/.log3(log^)=1,

，logiX=3,

，x=43=64.

由1ogq(1og2y)=1,知1og2y=4,

.".y=2'=16.

因止匕/,jT=-\/64X16T=8X8=64.]

15.已知log“8=log(,a(a〉0且aWl；b〉0且8W1),求證：a=8或a=*

[證明]設(shè)log,,6=log〃a=4,則8=a*,a—1),

b—(6*)*=8居

,/b>Q且

.,.Jc=l,即左=±1.

當(dāng)左=-1時(shí)，a=t；

當(dāng)k—1時(shí)，a=b.

2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

一、選擇題

1.若a，>0,給出下列四個(gè)等式：

①lg（a8）=lga+lgb；②lg^=lga—1gb；

其中一定成立的等式的序號(hào)是（）

A.①②③④B.①②

C.③④D.③

D[Vab>Q,：.a>0,8>0或aVO,6V0,.?.①②中的等式不一定成立；

ab>0,=5X21町=1叼，.?.③中等式成“；當(dāng)ab=l時(shí)，lg（ab）

=0,但log”40無(wú)意義，.?.④中等式不成立.故選D.]

2.已知6>0,log56=a,lg6=c,5"=10,則下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cd

C.c=adD.d=a+c

B[由已知，得。=暑~|,d=lv，所以a=c（Z]

lg5lg5

3.若lgx—lgy=t,則lg?—IgQ=（）

3

A.31B.~t

C.tD.

A[lg（*—lg用=31g1-31g=31匕=3（坨x—lgy）=3t.]

4.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限."約為3附，而可觀測(cè)宇宙中

普通物質(zhì)的原子總數(shù)A吆勺為1O80.則下列各數(shù)中與最最接近的是（）

A

（參考數(shù)據(jù)：1g3心0.48）

A.IO33B.1053

C.10"D.1093

M3361

D［由題意，1g-=lg/=lg3361-lg1080=3611g3-801g

10-361X0.48-80X1=93.28.

又1g1()33=33,1g1053=53,1g1073=73,1g1093=93,

1/

故與q最接近的是10W故選DJ

/V

5.3ls2-2183=()

A.0B.1g2

C.1g3D.1g6

A［令，仁31吃42叫

則lg41g21g3,1gJV=lg31g2,

：.lg^=lgN,：.M=N,

.,.3lg2-2le3=；'J/-.At=0.］

二、填空題

6.已知log.2=zz?,log,3=〃，則log“18=.(用例〃表示)

22

m+2n［log48=log?(2X3)=1og?2+1og?3=1og,,2+21og;,3=m+2n.}

筲.lg32—lg42

7-計(jì)算―ill—+(27)3=-

12［由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，得

1g-；，

1g32—lg424(lg8lg2

~o---+(27)3=--~+(3)3=---+3=---+9=3+9=12.J

lg2lg2lg2lg2

x

8.若lgx+lgy=21g(x—2y),則］=.

4［因?yàn)閘gx+lgy=21g(x—2力，

(x>0,y>0,

所以{x—2y>0,

lxy=x-2y2.

由xy=(x—20)知系-5xy+4/=0,

所以x=y或x=4y.

又x>0,y>0且才一2y>0,

x

所以舍去x=y,故x=4y,則］=4.］

三、解答題

9.用log.x,logj,logqz表示下列各式：

XyI~V

(1)log/xyz)；(2)log,—；(3)log-V，

yzyaz

［解］(1)log?(xyz)=log“*+logj+log“z=21og“x+logj+log“z.

x2

(2)log“一=log房一log“(yz)=2log,,%—(log?y+log“z)=21og,,x-logj一

log“z.

1

(3)lo

=-log?x—21ogay—logaz.

10.計(jì)算:

(l)21og32—log3—+log38；

⑵log：；(9X27°)+log26—log23+log,i3Xlog：；16.

32

［解］(1)J^i^,=log34—log3-^-+log38=log39=2.

6

(2)原式=log3(3：'X36)+log2鼻+logi3,21og34=log3s+log2+2=ll.

o:i2

11.（多選）實(shí)數(shù)a,6滿(mǎn)足2"=5'=10,則下列關(guān)系不正確的有（）

1,12,1

A?/廠1B-3=2

1,21,21

K+2=2D-a+b=2

BCD［^=log210,6=log510,工+；=］\八+］==1g2+lg5=1,故

ablog210log510

A正確.

2121

一+i=7i---/---77=lg4+lg5=lg20W2,故B不正確.

ablog210log510

1212

-6-IgOO

a+-I-o21g2+lg25=lg50,故CD不正確.故選BCD.]

10g5

o

12.已知2'=9,2'=鼻，則x+2y的值為（）

J

A.6B.8

C.1D.log48

gg

A[由2*=9,得x=log29,由2'=§,得y=logg

gg88

/.x-\-2y=1og9+210g-=2log3+21og-=2(1og3+1og-)=21og(3X-)

22o22o22o2o

=21og28=2X3=6.]

13.設(shè)a,b,c為正數(shù)，且滿(mǎn)足，+62=c2.

(1)log2fllog2fl4

(2)若log(l+與曰=1,Iog8(a+S—c)=|,則

⑴1(2)3[⑴原式=1磯1+甯.(1+號(hào))]

a+b~-c2

=log:標(biāo)

a+62-a

=log22=l.

(2)由log(l+"j=l,得-3a+8+c=0,①

2

由log8(a+Zr—c)=可，得a+8—c=4,②

由題設(shè)知3+62=占③

由①②③及a,b,c為正數(shù)，可得a=6,6=8,c=10.

a+6+c6+8+10

所以8-=8=3.]

14.下列表中的對(duì)數(shù)值有且僅有一個(gè)是錯(cuò)誤的:

X358915

lgX2a-ba+c3—3a—3c4a—263a-6+c+1

請(qǐng)將錯(cuò)誤的一個(gè)改正為1g

153a—6+c［由lg9=21g3,對(duì)照表格可知3,9的對(duì)數(shù)值沒(méi)錯(cuò)，1g8

=31g2,所以1g8=3—3。一3c等價(jià)于1g2=1—a—c,比較lg5=a+c,由

lg2+lg5=1可知lg5,lg8的值沒(méi)錯(cuò)，而lg15=lg3+lg5=3a—8+c,

所以表格中l(wèi)g15錯(cuò)誤，應(yīng)改為：lg15=3a—6+c.］

15.若a,6是方程2(lgxL—lg4+1=0的兩個(gè)實(shí)根，求lg(ab)?(log/

+logAa)的值.

［解］原方程可化為2(lgx)2—41gx+l=0(x>0).

設(shè)i=lgx,則方程化為2d—4l+l=0,

***0=2,t\*22=行.

乙

又?：a,6是方程2(lgx^—lgx'+l=0的兩個(gè)實(shí)根，

/.ti=lga,t2=lgb,即lga+lg8=2,lga,lgb=g.

lg(aZ?)?(log.,/?4-logAa)

lgb!lga

=(lga+lg6)?

lgalg0

lgb'+lga

=(lga+lg6)?

lga?lg

lga+lgb'-21ga?lgb

=(lga+lg6)?

lga?lg

21

22-2X-

=2X——j——=12,

2

即lg(aZ?)?(logo2?+logda)=12.

3、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)

一、選擇題

函數(shù)4)=存的定義域是(

1.)

A.[4,+°°)B.(10,+8)

C.(4,10)U(10,+8)D.[4,10)U(10,+8)

jx—420,產(chǎn)4,

D[由(lgx—1W0,解得｛xW10,

且x#10,

[x>0,[x>0,

函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)閇4,10)U(10,+oo).故選D.]

2.函數(shù)/V)=log2X,且F(勿)>0,則勿的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)D.R

C[結(jié)合/'(>=log2”的圖象可知,/1(一>0時(shí),m>l.]

3.函數(shù)尸log?%的定義域是機(jī)值域是M則"C/V等于()

A.MB.N

C.0D.R

A\_M=(0,+°°),N=R,則"02(0,4-°°)=M.]

4.函數(shù)尸4,的反函數(shù)是()

A.y=4rB.y=x'

Cy=log,v4D.y=logi^

[答案]D

5.當(dāng)a>l時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a-'與y=logax的圖象為()

ABCD

1

C[y=a~x=，Va>1,則尸a-'在(—8,+8)上是減函

wa

數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(0,1)；對(duì)數(shù)函數(shù)y=log,x在(0,+8)上是增函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(1,0).故

選C.］

二、填空題

6.函數(shù)f(x)=12—log”的定義域是.

(0,4］［由2—log?*2。,得log?石2,又x>0,

，0W4.］

7.已知函數(shù)/'(x)=

1

用)=F(log2?=f(—2)=3-2=].]

9-

8.函數(shù)f(x)=log2X在區(qū)間[a,2a](a>0)上取大值與最小值之差為..

1[,.?/'(才)=1。82n在區(qū)間[a2@]上是增函數(shù)，

/.f(x)1MX—f{x}mi?=f(2a)—f?=log2(2a)—log2a=l.]

三、解答題

9-求函數(shù)尸1。軻十］.1,—2的定義域.

x〉0,

[解]由題意知,3才一2>0,

log:i3x-2WO,

%>0,

22

%,故有鼻<x<l或x〉l,

oo

、3x-2Wl,

所以原函數(shù)的定義域是I<矛<1或X>1

10.當(dāng)勿為何值時(shí)，關(guān)于*的方程|10g2(x—1)|=/無(wú)解？有一解？有兩解？

［解］在同一坐標(biāo)系，分別作出函數(shù)y=IlogKx-1)|和y=勿的圖象，如圖

所示.

由圖象得：當(dāng)水0時(shí)，方程無(wú)解；

當(dāng)股=0時(shí),方程有一解；

當(dāng)就0時(shí)，方程有兩解.

11.(多選)已知f(x)=lg(10+x)+lgdo—x),則/'(x)()

A.是奇函數(shù)

B.是偶函數(shù)

C.在(0,10)上單調(diào)遞增

D.在(0,10)上單調(diào)遞減

'10+x>0,

BD[由仁.得x￡(—10,10),故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一

」0—x>0

10,10),因?yàn)閂(―10,10)都有一xW(―10,10),且f(—x)=lg(10—*)+

lg(10+x)=f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

f(x)=lg(10+x)+lg(10-A-)=lg(100-/),y=100一系在(0,10)上遞

減，尸lgx遞增，故函數(shù)f(x)在(0,10)上遞減.]

12.方程log/=0的解的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.不確定

B[在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)與y=log2X的圖象，如圖所示.

由圖知它們的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程t[=log/僅有一個(gè)解.]

13.已知函數(shù)f(x)=Ilogl的定義域?yàn)椋輒,值域?yàn)椋?,1］,則r的取

2U」

值范圍為.

11,2］［作出f(x)=|loglx|的圖象(如圖)可知=晨AD=0,

由題意結(jié)合圖象知：1W/W2.

14.已知f(x)為定義在區(qū)間(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，當(dāng)矛@(0,

+8)時(shí),f(x)=1og2X

當(dāng)xe(—8,o)時(shí)，函數(shù)/'(x)的解析式為.

f(x)=log2(—A)［設(shè)xW(—8,0),則一x￡(o,+8),

所以f(—x)=log2(-x)，

又/'(X)為定義在區(qū)間(-8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，

得/'(—x)=f(x),所以f(x)=log2(-X)(xG(―8,0)).］

15.已知f(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，并且它的圖象過(guò)點(diǎn)(2啦，m，g(x)=/(x)一

2b*Ax)+3,其中8WR.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求尸g(x)在［鏡，16］上的最小值.

［解］⑴設(shè)f(x)=log〃x(a>0,且aWl),

的圖象過(guò)點(diǎn)(2電，I］,

.,"(2啦)=35,即log.2m=3a，

乙乙

r

AaT=2y/2=2T,即a=2,Af(^x)=log2A.

⑵設(shè)t=f(x),則尸g(設(shè)=2A+3=(Z—8)2+3一方=勿(力),

丁鏡WxW16,...■|wiog2xW4,

即ze4,函數(shù)R(Z)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為t=b.

①當(dāng)D4時(shí),加⑺在;，4上是增函數(shù)，為n=4m=^-力；

②當(dāng)〈＜從4時(shí)，加⑺在)，6上為減函數(shù)，在(6,4］上為增函數(shù)，y*、、=m(b)

=3-Z?2；

③當(dāng)624時(shí)，加(1)在3，4上是減函數(shù)，為產(chǎn)加(4)=19—86.

r1

13.6

4一-42-

綜上所述，%in=S21

3—If,-<Z><4,

119—86,824.

4、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及性質(zhì)的應(yīng)用

一、選擇題

1.已知函數(shù)F(x)=log2(l+2f),則函數(shù)f(x)的值域是()

A.[0,2)B.(0,+8)

C.(0,2)D.[0,+8)

B[f(x)=log2(l+2'),???Iog2(l+2N>0,.*.函數(shù)f(x)的值

域是(0,十8),故選B.]

2.已知實(shí)數(shù)a=logi5,8=(；)-c=log:t0.4,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.伙c〈aB.b〈a〈c

C.c〈a〈bD.c《Xa

D[由題知，a=logi5>l,b=1,(?=log30.4<0,故]

函數(shù)/'(x)=|log2x|的單調(diào)遞增區(qū)間是(

3

B.(0,11

(0,+°°)D.［1,+°°)

D［f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8).

已知logJL己logl水0,

D［因?yàn)?<5<1,logl/zKlogl?7<0,所以故選D.］

z22

5.若函數(shù)f(x)=logjx+l|在(-1,0)上有/'(x)>0,則/1(x)()

A.在(一8,0)上是增函數(shù)

B.在(一8,0)上是減函數(shù)

C.在(一8,—1)上是增函數(shù)

D.在(一8,—1)上是減函數(shù)

C［當(dāng)―1<矛<0時(shí)，0<x+l<l.

Vlogs|^+l|>0,/.0<a<l,

，函數(shù)/'(x)=logjx+lI在(-8,—1)上遞增，在(-1,十8)上遞減.'

二、填空題

6.設(shè)/'(x)=lgx,若f(l—a)—f(a)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

(0,［由題意，f(x)=lgx在(0,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(i—a)一

所以1—a>a>0,所以ae(0,；［.］

7.已知函數(shù)尸log,(2—ax)在［0,1］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(1,2)［令u=2—ax,則y=log〃，因?yàn)閍>0,所以"=2—ax遞減，由題

意知y=log.u在［0,1］內(nèi)遞增，所以a>l.又u=2—ax在x￡［0,1］上恒大于0,

所以2—a>0,即水2,綜上，l<a<2.］

3—x,x<2,

8.已知a〉0且aWl,若函數(shù)f(x)=〈‘、?！闹涤?yàn)榭冢?°°)?

［log/,x>2

則a的取值范圍是.

3一天,才W2,

(1,2］［若函數(shù)/1(x)=〈9的值域?yàn)椋?,+8),且a>0,aWl,

Llog“x,x>2

fx>2,

當(dāng)xW2時(shí)，y=3—x?l,所以彳可得l〈aW2.］

、log“x》l,

三、解答題

9.已知函數(shù)f(x)=ln(3+x)+ln(3—x).

(1)求函數(shù)y=f{x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)了=f(x)的奇偶性.

f3+x〉0,

［解］(1)要使函數(shù)有意義，則.…解得一3VxV3,故函數(shù)尸/"(X)

.3—x>0,

的定義域?yàn)?-3,3).

(2)由(1)可知，函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?-3,3),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

對(duì)任意xW(—3,3),則一xG(—3,3).

f(—x)=In(3—x)+In(3+x)=f(x),

由函數(shù)奇偶性可知，函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù).

10.已知指數(shù)函數(shù)/'(x)=a"a>0,且aWl).

(1)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)Wlog,(2—3x).

［解］(1)令y=a'(a>0,且aWl),則x=logj(a>0,且aWl),所以函數(shù)

f(x)的反函數(shù)為g(x)=log.x(a〉0,且aWl).

(2)當(dāng)a>l時(shí)，logaxWlog/—3x)，

xW2—3x,解得(Kxw)

所以

x>0,乙

x22—3x,12

當(dāng)o〈水i時(shí)，原不等式等價(jià)于。。、八解得jWxq.

2—3x>0,3J

綜上，當(dāng)a>l時(shí)，原不等式的解集為卜，1；

當(dāng)?！此?時(shí)，原不等式的解集為:，I].

11.(多選)函數(shù)/'(才)=1。8，』“一1|在(0,1)上是減函數(shù)，那么()

A.f(x)在(1,+8)上遞增且無(wú)最大值

B.f(x)在(1,+8)上遞減且無(wú)最小值

C.f(x)在定義域內(nèi)是偶函數(shù)

D.f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)*=1對(duì)稱(chēng)

AD[由|x—1]>0得，函數(shù)y=logjx-11的定義域?yàn)閧x|xWl}.設(shè)g(x)=

X—1,x>1,

11={

—x+1,A<1,

則g(x)在(一8,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)，

且g(x)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱(chēng)，所以f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，D正確；

由上述分析知f(x)=log,|x-l|在(1,+8)上遞增且無(wú)最大值，A正確，B

錯(cuò)誤；

又/'(-x)=log0|—X—11=log/x+l|WF(x),所以C錯(cuò)誤,故選AD.]

12.已知曲線(xiàn)C：尸與函數(shù)f(x)=log.,x及函數(shù)g(x)=a*(其

中a>l)的圖象分別交于4(否，弘)，6(孫④，則第+第的值為()

A.16B.8

C.4D.2

C[如圖所示，4(x”弘)、B(xz,④兩點(diǎn)關(guān)于y=x

對(duì)稱(chēng)，

又4(由，必)關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(必，為)，則x2=yl,

故x：+x；=x；+M=4.故選C.]

13.定義：區(qū)間[不，生](不〈及)的長(zhǎng)度為尼一小.已知函數(shù)y=1logo.sxl的定

義域?yàn)椋踑,b］,值域?yàn)椋?,2］,則區(qū)間［a,6］的長(zhǎng)度的最大值為.

1511

~T［由0W|logo.sxl<2,解得所以［a,6］長(zhǎng)度的最大值為4一1=

鳥(niǎo)

4。」

1_1_OV

14.函數(shù)/'(x);打工迷(aW2)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于.

1?~1-乙>￥

—什*―/、，/、.1一ax,、1+a*,\—ax1+ax

-2［依題思有f(—x)+F(x)=lrr;z-+ln.=0,即ar?;—?,,?=

L-2X1十2x1—2x1+2x

1,故1—ay=l—4*,解得d=4,但aW2,故a=-2.］

15.某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能

1—V

力，他們以函數(shù)f(x)=lg彳為基本素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分

研究成果如下：

①同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?/p>

②同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：函數(shù)/'(X)是偶函數(shù)；

③同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的xe(―1,1)都有=

④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意的a,1,1),都有

11IO.UJ

⑤同學(xué)戊發(fā)現(xiàn)：對(duì)于函數(shù)f(x)定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)及，如總滿(mǎn)足

fX\—fx

------------2->0.

X\—x2

試分別判斷哪些同學(xué)的研究成果正確？

1V1V

［解］在①中，因?yàn)?'(x)=lg而，所以=>0,解得函數(shù)的定義域?yàn)?一

1—V1—I—V

1,1)，所以①是正確的；在②中，f(x)=lgH=—lg1—=-f(—x)，所以

1-rx1-x

函數(shù)/'(X)為奇函數(shù)，所以②是錯(cuò)誤的；在③中，對(duì)于任意xe(—1,1)，有/(告j

(2x、

1x+l—2x+l'x-12「,、/1—R

"lg=lg〔.+2x+J=lg*+］2,又2F(x)=21g"=lg

C十H

―訂r，所以③是正確的；在④中，對(duì)于任意的a,6W(—1,1),有/'(a)+

AI1

1—51—6(l~~a1-J(1~a—Z?+aB\(a+6、

7(/?)=lgl+^+lgI+6=ldg仁工,不同=運(yùn)［x+a+b+ab^'又41+aj

1+aZ?1—a—b~\~db__

=lg--VT=運(yùn)-山：/，所以④是正確的；在⑤中，對(duì)于函數(shù)Ax)

la-rb1十a(chǎn)十b-rab

1l+aby

的定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)X”如總滿(mǎn)足/>一/用>0,即說(shuō)明f(x)

》一房

是增函數(shù)，但/'(x)=lgE=lg(—1+專(zhuān))是減函數(shù)，所以⑤是錯(cuò)誤的.綜

上可知，學(xué)生甲、丙、丁的研究成果正確.

5、指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)的比較

一、選擇題

1.下列函數(shù)中y隨才的增大而增大，且增長(zhǎng)速度最快的是()

A.y=20201n%B.y=!.e'

乙U乙u

C.y=2020xD.y=2020?2,

B［由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，所以當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，函數(shù)尸

7焉e'與y=2020?2,的增長(zhǎng)越來(lái)越快，由于e>2,當(dāng)x超過(guò)某一個(gè)值時(shí)，函

乙U乙U

數(shù)尸了標(biāo)e'的值會(huì)超過(guò)了=2020,2'的值，故選B.］

2.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%,要增長(zhǎng)到原來(lái)的x

倍，需經(jīng)過(guò)y年，則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為()

ABCD

D[設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意可得ax=a(l+O.104)。故y

=log,104x(x21),函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象，

故選D.]

3.有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車(chē)，其跑車(chē)時(shí)間均為x小時(shí)，跑

過(guò)的路程分別滿(mǎn)足關(guān)系式：(-￥)—X,￡(x)=4x,￡(x)=log3(x+1),￡(x)=

2'—1,則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為()

A.甲B.乙

C.丙D.T

D[法一：分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結(jié)合，知5個(gè)小時(shí)后

丁車(chē)在最前面.

法二:由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù),且￡⑸=W=25,￡(5)=20,￡(5)=log3(5

+l)=l+log32,京(5)=2-1=31,抬(5)最大，所以5個(gè)小時(shí)后丁車(chē)在最前面，

故選D.]

4.某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：

X1.99345.16.12

y1.54.047.51218.01

對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線(xiàn)，其中擬合程度最好的是()

A.y=2x~2B.尸

C.y=log2*D.1)

D[法一：相鄰的自變量之差大約為1,相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5、3.5、

4.5、6,基本上是逐漸增加的，二次曲線(xiàn)擬合程度最好，故選D.

法二：比較四個(gè)函數(shù)值的大小，可以采用特殊值代入法.可取x=4,經(jīng)檢

驗(yàn)易知選D.]

5.乂=2',y2=x,必=log2X,當(dāng)2〈矛〈4時(shí)，有()

A.%>%>必B.必

C.D.%>必>必

B［在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間⑵4)

內(nèi)，從上到下圖象依次對(duì)應(yīng)的函數(shù)為%=*,必=2",必=logz*,故%>%>為.］

二、填空題

6.現(xiàn)測(cè)得(x,力的兩組對(duì)應(yīng)值分別為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個(gè)待選模型，

甲：y=/+l,乙：尸3x—1,若又測(cè)得(％y)的一組對(duì)應(yīng)值為⑶10.2),則應(yīng)

選用作為函數(shù)模型.

甲［把*=1,2,3分別代入甲、乙兩個(gè)函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好.］

7.函數(shù)y=/與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間(1,+8)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是.

y=x［當(dāng)x變大時(shí)，x比Inx增長(zhǎng)要快，

二產(chǎn)要比xlnx增長(zhǎng)的要快.］

8.某工廠8年來(lái)某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間乂年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，給

出下列四種說(shuō)法：產(chǎn)

①前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快；L一,

②前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；oH—匕群

③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；

④第三年后產(chǎn)量保持不變.其中說(shuō)法正確的是.

②③［由［0,3］的圖象，聯(lián)想到累函數(shù)y=x"(0VaVl),反映了。隨時(shí)

間的變化而逐漸增長(zhǎng)但速度越來(lái)越慢，由［3,8］的圖象可知，總產(chǎn)量。沒(méi)有

變化，即第三年后停止生產(chǎn).］

三、解答題

9.畫(huà)出函數(shù)f(x)=5■與函數(shù)g(x)2的圖象，并比較兩者在［0,+

8)上的大小關(guān)系.,

［解］函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示.］/步產(chǎn)2

根據(jù)圖象易得：

oi'24r

當(dāng)0Wx<4時(shí)，f(x)>g(x)；r

當(dāng)x=4時(shí)，f［x)=g(x)；當(dāng)x>4時(shí)，f［x)<g(x).

10.某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元的利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的

獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且資金y(單位:

萬(wàn)元)隨銷(xiāo)售利潤(rùn)才(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但資金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同

時(shí)資金不超過(guò)利潤(rùn)的25%現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25%,y=log^+l,y=

1.002、其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

［解］作出函數(shù)y=5,y=0.25x,y=log7^+by=1.002”的圖象（如圖）.

觀察圖象發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間［10,1000］上，模型尸0.25x,y=L002'的圖象都

有一部分在直線(xiàn)7=5的上方，只有模型尸logrx+1的圖象始終在y=5和y=

0.25*的下方，這說(shuō)明只有按模型y=log/+l進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求.

11.在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得列變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則對(duì)x,y最適合的擬合函數(shù)是()

A.y=2xB.y^=-x—1

C.y=2x-2D.y=log2^

D［將x=0.50,y=-0.99,代入計(jì)算，可以排除A；將x=2.01,y=0.98,

代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2X,可知滿(mǎn)足題意.故選

D.］

12.已知f(x)=f—8x+c且f(O)=3,f(l+x)=f(l—x),則有()

A.B.F(6)Wf(c*)

c.D.f(b'),f(c*)大小不定

B［由f(l+x)=f(l—x),知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，所以楙=

1,即8=2.

由/(0)=3,知c=3.此時(shí)f(x)=/—2x+3.

當(dāng)XO時(shí)，3y2y1,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(一8,1)上是減函數(shù)，所以

f(6)"(c")；

當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)切=f（刃;

當(dāng)x>0時(shí)，3'>2'>1,函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1,+8）上是增函數(shù)，所以

F3）〈f（c'）.綜上，］

13.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過(guò)程中某種有害物質(zhì)的剩留量y

與凈化時(shí)間寅月）的近似函數(shù)關(guān)系：尸a'（C2O,a>0且arl）的圖象.

有以下說(shuō)法：|y

①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于看；kg可

②每月減少的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；一

°1234〃月

③當(dāng)剩留量為（彳，:時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是t1,

Z4o

=

22,必3,貝U方l+tl%3.

其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是.

①③［由于函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,看，故函數(shù)的關(guān)系式為尸（|

當(dāng)￡=4時(shí)，故①正確;

2142

當(dāng)方=1時(shí)，夕=不，減少可，當(dāng)看=2時(shí)，/=-,減少G，故每月減少有害物質(zhì)

OOv7C/

11

質(zhì)量不相等，故②不正確；分別令尸;，-

8-

乙TC2?

t)+1=t,故③正確.]

e哈23

14.甲、乙兩地相距500km,一輛運(yùn)輸汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度”

不能超過(guò)120km/h.已知運(yùn)輸汽車(chē)每小時(shí)運(yùn)輸成本為（福武+36。1元，則全程運(yùn)

I乙。Uj

輸成本y與速度r的函數(shù)關(guān)系是y=,當(dāng)運(yùn)輸汽車(chē)的行駛速度為

km/h時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小.

18L+-^-^j（0<l<120）100［運(yùn)輸汽