新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義．2．能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值．3．能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題．核心素養(yǎng)1．借助函數(shù)最值的求法，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．利用函數(shù)的最值解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大值和最小值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M(或m)滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)_?x0∈I，使得f(x0)＝M_(3)?x∈I，都有f(x)≥m；(4)?x0∈I，使得f(x0)＝m結(jié)論M為函數(shù)y＝f(x)的最大值m為函數(shù)y＝f(x)的最小值想一想：函數(shù)的最值與值域有怎樣的關(guān)系？提示：聯(lián)系：函數(shù)的最值和值域反映的是函數(shù)的整體性質(zhì)，針對(duì)的是整個(gè)定義域．區(qū)別：(1)函數(shù)的值域一定存在，函數(shù)的最值不一定存在．(2)若函數(shù)的最值存在，則最值一定是值域中的元素．(3)若單調(diào)函數(shù)的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無最值；若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值．練一練：1．函數(shù)y＝－|x|在R上(A)A．有最大值0，無最小值B．無最大值，有最小值0C．既無最大值，又無最小值D．以上都不對(duì)[解析]函數(shù)y＝－|x|在(－∞，0]上遞增，在(0，＋∞)上遞減，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y取最大值0，無最小值．2．若定義在區(qū)間(0,3]上的函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)，則它的最大值(D)A．是f(0) B．是f(3)C．是0 D．不存在[解析]∵y＝f(x)在區(qū)間(0,3]上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取最小值f(3)，f(x)無最大值．故選D.3．函數(shù)y＝eq\f(1,x)在[2,3]上的最小值為eq\f(1,3)_，最大值為eq\f(1,2)_；在[－3，－2]上的最小值為－eq\f(1,2)_，最大值為－eq\f(1,3)_.[解析]函數(shù)y＝eq\f(1,x)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減，∴ymin＝eq\f(1,3)，ymax＝eq\f(1,2)；在區(qū)間[－3，－2]上單調(diào)遞減，∴ymin＝－eq\f(1,2)，ymax＝－eq\f(1,3).

題型探究題型一利用圖象求函數(shù)的最值(值域)典例1已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈(2，5].))(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．[解析]由題意知，當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)＝－x2＋3，為二次函數(shù)的一部分；當(dāng)x∈(2,5]時(shí)，f(x)＝x－3，為一次函數(shù)的一部分．所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：(2)由圖可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,0]，[2,5]，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，值域?yàn)閇－1,3]．[歸納提升]利用圖象法求函數(shù)最值的一般步驟是：對(duì)點(diǎn)練習(xí)?已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x(0≤x≤2)，,\f(2,x－1)(x>2)，))求函數(shù)f(x)的最大值、最小值．[解析]作出f(x)的圖象如圖：由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取最大值為2；當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)取最小值為－eq\f(1,4).所以f(x)的最大值為2，最小值為－eq\f(1,4).題型二利用單調(diào)性求最值典例2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值．[分析]利用函數(shù)單調(diào)性來求函數(shù)最值，即先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．[解析](1)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，證明如下：任?。?<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,(x1＋1)(x2＋1))，因?yàn)椋?<x1<x2，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由(1)知f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(2)＝eq\f(2×2＋1,2＋1)＝eq\f(5,3)，最大值f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5).[歸納提升]函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(減)，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減(增)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè)．提醒：不判斷單調(diào)性而直接將區(qū)間的兩端點(diǎn)值代入是求函數(shù)最值時(shí)最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2x－1).(1)證明：函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減；(2)求函數(shù)f(x)在[1,5]上的最值．[解析](1)證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x2＞x1＞eq\f(1,2)，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(3,2x1－1)－eq\f(3,2x2－1)＝eq\f(6(x2－x1),(2x1－1)(2x2－1)).由于x2＞x1＞eq\f(1,2)，所以x2－x1＞0，且(2x1－1)·(2x2－1)＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2x－1)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減．(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在[1,5]上單調(diào)遞減，因此，函數(shù)f(x)＝eq\f(3,2x－1)在區(qū)間[1,5]的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，即最大值為f(1)＝3，最小值為f(5)＝eq\f(1,3).題型三二次函數(shù)的最值典例3已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1.(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；(2)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax＋1的圖象開口向上，其對(duì)稱軸為x＝eq\f(a,2)，所以區(qū)間[0,1]的哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，則在哪個(gè)端點(diǎn)取到最大值，當(dāng)eq\f(a,2)≤eq\f(1,2)，即a≤1時(shí)，f(x)的最大值為f(1)＝2－a；當(dāng)eq\f(a,2)>eq\f(1,2)，即a>1時(shí)，f(x)的最大值為f(0)＝1.(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－x＋1，其圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(1,2).①當(dāng)t≥eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②當(dāng)t＋1≤eq\f(1,2)，即t≤－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在[t，t＋1]上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；③當(dāng)t<eq\f(1,2)<t＋1，即－eq\f(1,2)<t<eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t＋1))上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4).綜上可得f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－t＋1，t≥\f(1,2),t2＋t＋1，t≤－\f(1,2)，,\f(3,4)，－\f(1,2)<t<\f(1,2).))[歸納提升]1.含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題的解法解決含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，首先將二次函數(shù)化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符號(hào)確定拋物線的開口方向，依對(duì)稱軸x＝－h(huán)得出頂點(diǎn)的位置，再根據(jù)x的定義區(qū)間結(jié)合大致圖象確定最大或最小值．2．對(duì)于含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題，一般有如下幾種類型：(1)區(qū)間固定，對(duì)稱軸變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(2)對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng)(含參數(shù))，求最值；(3)區(qū)間固定，最值也固定，對(duì)稱軸變動(dòng)，求參數(shù)．通常都是根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)和對(duì)稱軸的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?設(shè)二次函數(shù)y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函數(shù)的最小值為0，求a的值．[解析]∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴對(duì)稱軸為直線x＝1.∵x＝1不一定在區(qū)間[－2，a]內(nèi)，故應(yīng)進(jìn)行討論，當(dāng)－2＜a≤1時(shí)，函數(shù)在[－2，a]上單調(diào)遞減，則當(dāng)x＝a時(shí)，y取最小值，即ymin＝a2－2a，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2(舍去)．當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)在[－2,1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當(dāng)x＝1時(shí)，y取最小值，即ymin＝－1，不合題意．綜上可知a＝0.誤區(qū)警示混淆“單調(diào)區(qū)間”和“區(qū)間上單調(diào)”典例4若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_{－3}_.[錯(cuò)解]函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1－a，由于函數(shù)在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，因此1－a≥4，即a≤－3.故填a≤－3.[錯(cuò)因分析]導(dǎo)致上述錯(cuò)解的原因是把“單調(diào)區(qū)間”誤認(rèn)為是“在區(qū)間上單調(diào)”．[正解]因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝－3.故實(shí)數(shù)a的取值集合是{－3}．[方法點(diǎn)撥]單調(diào)區(qū)間是一個(gè)整體概念，比如說函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是I，指的是函數(shù)遞減的最大范圍為區(qū)間I，而函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，則指此區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間．所以我們?cè)诮鉀Q函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，不能混淆在區(qū)間D上單調(diào)和區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)這兩個(gè)不同的概念．1．函數(shù)f(x)在[－2,2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是(C)A．f(－2)，0 B．0,2C．f(－2)，2 D．f(2)，2[解析]由圖象可知，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取最小值f(－2)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最大值f(1)＝2，故選C.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－1(x<0)，則f(x)(D)A．有最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既無最大值又無最小值[解析]∵f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴f(x)<f(0)＝－1.故選D.3．函數(shù)y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域?yàn)?D)A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3][解析]∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y取得