廣東省惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

惠陽一中2023-2024學(xué)年度上學(xué)期八年級(jí)第二次拓展訓(xùn)練數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘，總分：120分）一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1.如圖是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念即可求解．在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形為軸對(duì)稱圖形；【詳解】A、不軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形，能找準(zhǔn)對(duì)稱軸，是本題的關(guān)鍵.2.在中，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，所以，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．3.下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（）A.2，3，5 B.1，2，3 C.2，3，4 D.2，2，5【答案】C更多課件教案等優(yōu)質(zhì)滋源請(qǐng)家威杏MXSJ663【解析】【分析】看兩條較小線段之和是否大于較長(zhǎng)線段即可．【詳解】解：A、2+3=5，不能構(gòu)成三角形；B、1+2=3，不能構(gòu)成三角形；C、2+3=5>4，能夠組成三角形；D、2+2=4<5，不能構(gòu)成三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．4.點(diǎn)A(2，-1)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.(2,1) B.(-2，1) C.(2，-1) D.(-2，-1)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于軸對(duì)稱的變換規(guī)律即可得．【詳解】解：點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于軸對(duì)稱的變換規(guī)律：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同．則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)與軸對(duì)稱變化，熟練掌握點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于軸對(duì)稱的變換規(guī)律是解題關(guān)鍵．5.下列運(yùn)算正確的是A.x?x2=x2 B.（xy）2=xy2 C.（x2）3=x6 D.x2+x2=x4【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)運(yùn)算法則逐一計(jì)算作出判斷：A、x?x2=x1+2=x3≠x2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（xy）2=x2y2≠xy2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（x2）3=x2×3=x6，故本選項(xiàng)正確；D、x2+x2=2x2≠x4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．6.如圖，工人師傅砌門時(shí)，常用木條固定門框，使其不變形，這種做法的根據(jù)是（）A.兩點(diǎn)之間線段最短 B.三角形兩邊之和大于第三邊C.長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角 D.三角形的穩(wěn)定性【答案】D【解析】【分析】本題考查三角形的穩(wěn)定性．熟練掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，根據(jù)為三角形的穩(wěn)定性，故選：D．7.將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠的度數(shù)是【】A.45° B.60° C.75° D.90°【答案】C【解析】【詳解】如圖，∵∠1=90°-60°=30°，∴∠α=45°+30°=75°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中兩個(gè)銳角互余，外角的性質(zhì)，解決此題的關(guān)鍵計(jì)算細(xì)致．8.等腰三角形的一個(gè)角為50°，則這個(gè)等腰三角形的底角為（）A.65° B.65°或80° C.50°或65° D.40°【答案】C【解析】【分析】已知給出了一個(gè)內(nèi)角是50°，沒有明確是頂角還是底角，所以要進(jìn)行分類討論，分類后還要用內(nèi)角和定理去驗(yàn)證每種情況是不是都成立．【詳解】解：當(dāng)50°是等腰三角形的頂角時(shí)，則底角為（180°﹣50°）×=65°；當(dāng)50°是底角時(shí)也可以．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．9.如圖，在△ABC中，已知和的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB、AC于點(diǎn)E、F，若△AEF的周長(zhǎng)為10，BC=6，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A.16 B.17 C.18 D.15【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，同樣的方法可得，最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得．【詳解】解：是的角平分線，，，，，，同理可得：，的周長(zhǎng)為10，，，即，，的周長(zhǎng)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10.已知如圖，等腰，，，于點(diǎn).點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，下面的結(jié)論：①；②；③是等邊三角形④.其中正確的是（）A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】①利用等邊對(duì)等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，據(jù)此即可求解；

②因?yàn)辄c(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，所以BO不一定是∠ABD角平分線，可作判斷；

③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；

④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP．【詳解】解：①如圖，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°?∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點(diǎn)O線段AD上一點(diǎn)，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°，∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°?（∠OPC＋∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖，AC上截取AE＝PA?，連接PB，∵∠PAE＝180°?∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正確；本題正確的結(jié)論有：①③④，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分）11.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_____．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，建立方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：∵多邊形的內(nèi)角和公式為，∴，解得，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和，掌握多邊形的內(nèi)角和公式為是解題的關(guān)鍵．12.如圖，中，，則的長(zhǎng)是_____cm．【答案】4【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可解答．【詳解】解：∵中，，∴，∵，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握直角三角形30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵．13.計(jì)算：________．【答案】x8【解析】【分析】利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：x3?x5=x3+5=x8，故答案為：x8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟記計(jì)算法則．14.如圖，中，，的垂直平分線交于E，連接，，則的周長(zhǎng)是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)．熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．由題意知，根據(jù)的周長(zhǎng)為，計(jì)算求解即可．【詳解】∵是的垂直平分線，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：．15.如圖，平分于點(diǎn)D，，，則_______．【答案】2【解析】【分析】作于E，利用角平分線的性質(zhì)及含的直角三角形的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：作于E，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴在中，，∴，故答案是：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)及含的直角三角形的性質(zhì)，能夠熟練運(yùn)用性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16.如圖，△ABC的面積為12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分線EF分別交AB，AC邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△PCD周長(zhǎng)的最小值為___．【答案】8【解析】【分析】連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，解得：，是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，的長(zhǎng)為的最小值，的周長(zhǎng)最短．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）17.（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了絕對(duì)值，零指數(shù)冪，乘方，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．熟練掌握絕對(duì)值，零指數(shù)冪，乘方，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算絕對(duì)值，零指數(shù)冪，乘方，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式計(jì)算求解即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．18.如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)平行得出，然后用“邊角邊”證明即可．【詳解】證明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用已知條件，推導(dǎo)證明出全等三角形判定所需條件，運(yùn)用全等三角形判定定理證明．19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，乘法運(yùn)算律，代數(shù)式求值．正確的運(yùn)算化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．利用乘法運(yùn)算律計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)可得化簡(jiǎn)結(jié)果，最后代值求解即可．【詳解】解：，將代入得，原式．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)都在網(wǎng)格格點(diǎn)上，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為．（1）作出關(guān)于y軸對(duì)稱的，各頂點(diǎn)坐標(biāo)為（______，______）、（______，______）、（______，______）；（2）的面積為______；（3）在x軸上作出一點(diǎn)P，使得最短，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（______，______）．【答案】（1）作圖見解析，（2）（3）作圖見解析，2，0【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)解析式．對(duì)知識(shí)的熟練掌握是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作圖，如圖1，然后寫出坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)，計(jì)算求解即可；（3）如圖2，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交軸于，連接，點(diǎn)即為所求；待定系數(shù)法求直線的解析式，然后求與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【小問1詳解】解：如圖1，即為所求；∴，故答案為：；【小問2詳解】解：由題意知，，故答案為：；【小問3詳解】解：如圖2，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則，連接，交軸于，連接，點(diǎn)即為所求；∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的和最小，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，解得，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，故答案為：．21.如圖，在和中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，且．（1）求證：；（2）若．①求的長(zhǎng)；②求的面積．【答案】（1）見解析（2）①6；②36【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，，，則，證明；（2）①由題意知，，由，可得，計(jì)算求解即可；②根據(jù)，計(jì)算求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，，，∴；【小問2詳解】①解：∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，由（1）可知，，∴，∴，∴的長(zhǎng)為6；②解：由題意知，，∴的面積為36．22.如圖A,B,D在同一條直線上，∠A=∠D=90°，AB=DE,∠BCE=∠BEC,（1）求證：△ACB≌△DBE（2）求證：CB⊥BE【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等角對(duì)等邊可得：BC=EB，再利用HL即可證出Rt△ACB≌Rt△DBE；（2）由Rt△ACB≌Rt△DBE，可得：∠ABC=∠DEB，再根據(jù)∠DEB＋∠DBE=90°，從而得出：∠ABC＋∠DBE=90°，即可得出∠CBE=90°，即CB⊥BE.【詳解】證明：（1）∵∠BCE=∠BEC∴BC=EB在Rt△ACB和Rt△DBE中∴Rt△ACB≌Rt△DBE（2）∵Rt△ACB≌Rt△DBE∴∠ABC=∠DEB∵∠D=90°∴∠DEB＋∠DBE=90°∴∠ABC＋∠DBE=90°∴∠CBE=180°－（∠ABC＋∠DBE）=90°∴CB⊥BE【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)和垂直的定義，掌握等角對(duì)等邊、用HL判定兩個(gè)三角形全等、直角三角形的兩銳角互余是解決此題的關(guān)鍵.五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）23.如圖，和均是等邊三角形，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，與交于點(diǎn)O，、分別與交于點(diǎn)M、N．（1）求證：；（2）求證：；（3）求證：是等邊三角形．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵（1）由題意知，，根據(jù)，證明即可；（2）由，可得，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（3）由題意知，，證明，則，進(jìn)而結(jié)論得證．【小問1詳解】證明：∵和均是等邊三角形，∴，∴，即，∵，∴；【小問2詳解】證明：由（1）知，，∴，∵，∴，∴；【小問3詳解】證明：由題意知，，∵，，，∴，∴，∴是等邊三角形．24.如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析（2）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠QMC不變．∠QMC＝60°（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變．∠QMC＝120°【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；

（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=；

（3）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=．【小問1詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；【小問2詳解】解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC；【小問3詳解】解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變化．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．25.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖2，若C為x正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連接OD，求∠AOD的度數(shù)；（3）如圖3，過點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于E，F(xiàn)為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，G在EF的延長(zhǎng)線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過A作x軸垂線交EH于點(diǎn)M，連FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，請(qǐng)說明；若不成立，說明理由．【答