第5章 平面直角坐標系（單元測試·拔尖卷）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

第5章平面直角坐標系（單元測試·拔尖卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖是某時刻衛(wèi)星云圖的示意圖，每相鄰兩個圓之間的距離是10千米，以臺風中心為觀測點，島嶼A在（

）．

A．北偏西方向30千米處 B．北偏東方向30千米處C．西偏北方向20千米處 D．北偏西方向30千米處2．平面直角坐標系中，已知A（2，4），B（-3．-2），C（x，-2）三點，其中x≠-3．當線段AC最短時，△ABC的面積是（

）A．30 B．15 C．10 D．3．已知，點P的坐標為，點Q的坐標為，O為坐標原點，則滿足（）A．大于135小于180° B．等于135°C．大于90°小于135° D．大于0°小于90°4．已知，則下面結(jié)論中正確的是（）A．A，B兩點關(guān)于y軸對稱 B．點A到y(tǒng)軸距離是3C．點B到x軸距離是1 D．軸5．在平面直接坐標系中，點，，，軸，點的縱坐標為．則以下說法錯誤的是（

）A．當，點是線段的中點B．當，點一定在線段上C．存在唯一一個的值，使得D．存在唯一一個的值，使得6．在平面直角坐標系中有，，三點，且點，點，點，若的立方根是，的算術(shù)平方根為，是比小的最大整數(shù)，則下列結(jié)論：①；②的平方根為；③；④c是關(guān)于的方程的解；⑤若線段，且，則點的坐標為或．其中正確的個數(shù)有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個7．如圖，中的與x軸重合，將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，…，如此繼續(xù)下去，連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到，則點的坐標是（

）A． B． C． D．8．如圖，平面直角坐標系中，點A坐標為，過點A作軸于點B，過點A作軸于點C．點E從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿y軸正方向運動，同時，點D從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸負方向運動，設(shè)運動時間為，當時，則t應(yīng)滿足（

）A． B． C．或 D．或9．中山公園位于天安門西側(cè)，原為遼、金時的興國寺，元代改名萬壽興國寺．明成祖朱棣興建北京宮殿時，按照“左祖右社”的制度，改建為社稷壇．這里是明、清皇帝祭祀土地神和五谷神的地方．1914年辟為中央公園．為紀念孫中山先生，1928年改名中山公園．如圖是中山公園平面圖，其中點是孫中山先生像，點是來今雨軒，點是中山堂．分別以水平向右、豎直向上的方向為軸、軸的正方向建立平面直角坐標系，下列對各景點位置描述：

若的坐標為，的坐標為，則的坐標約為：若的坐標為，的坐標為，則的坐標約為；若的坐標為，的坐標為，則的坐標約為；若的坐標為，的坐標為，則的坐標約為．其中正確的描述有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．數(shù)學(xué)家高斯推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，被數(shù)學(xué)界譽為“數(shù)學(xué)王子”，據(jù)傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，其中，且是整數(shù)．記，如，即，即，即，以此類推．則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．點在第一象限，且到y(tǒng)軸的距離為3，直線軸，且．（1）點A的坐標為；（2）點C的坐標為．12．在平面直角坐標系中，點，，，，若，，平分交線段于點E．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是．13．點滿足，稱點為幸福點，若點滿足，則稱點為師一點，若點既是幸福點又是師一點，則點的坐標為：若點既是幸福點又是師一點，且在第二象限內(nèi)，則當整數(shù)a取最大值時，點的坐標為．14．已知，，…，，…，（k為正整數(shù)），且滿足，，則A2022的坐標為.15．已知，直線m經(jīng)過點A，且軸于點M，點B從點M出發(fā)，沿直線m以2個單位/秒的速度向上運動，記的面積為S，運動時間為t，若，則t的取值范圍是．16．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，連接，交y軸于B，且，，則點B坐標為．17．在平面直角坐標系中，A（，4），B（，3），C（1，0），．（1）三角形ABC的面積為；（2）將線段AB沿AC方向平移得到線段DP，若P點恰好落在x軸上，則D點的坐標為．18．若點的坐標滿足方程組，若在軸上方且在軸左側(cè)，當是整點時，到軸距離最遠的點坐標是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）已知點，解答下列各題．（1）點在軸上，求出點的坐標．（2）點的坐標為，直線軸，求出點的坐標．（3）若點在第二象限，且它到軸、軸的距離相等，求的值．20．（8分）已知當m，n都是實數(shù)，且滿足時，稱點為“如意點”．（1）當時，寫出“如意點”：______；（2）判斷點是否為“如意點”，并說明理由；（3）若點是“如意點”，請判斷點M在第幾象限，并說明理由．21．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標為、、，經(jīng)一次平移后得到，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，其中的坐標為．（1）平移的距離為______；（2）請畫出平移后的；（3）若為邊上的一個點，平移后點的對應(yīng)點的坐標為______；（4）平移過程中，邊掃過的面積為______；22．（10分）如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為，且a、b滿足，現(xiàn)同時將點A，B分別向上平移4個單位，再向右平移3個單位，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，連接，，．（1）___________，____________；（2）點C的坐標是_____________，點D的坐標是_______________；（3）如圖2，若點P是線段上的一個動點，連接，，當點P在上移動（不與B，D重合）請判斷，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．23．（10分）在平面直角坐標系中，已知點、、．（1）求的面積；（2）將線段向右平移m個單位，使的面積大于17，求m的取值范圍；（3）若點，連接，將線段向右平移個單位．若線段與線段有公共點，請直接寫出的取值范圍．24．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，點在軸正半軸上，且，將線段平移至線段，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，連接是軸上一動點．（1）點的坐標是________，點的坐標是________；與的關(guān)系是________；（2）當三角形的面積是三角形的面積的3倍時，求點的坐標；（3）若，，，判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系，簡要敘述所得結(jié)論，不必證明．參考答案1．D【分析】根據(jù)平面圖形上方向的辨別上北下南，左西右東，以臺風中心為觀測點，即可確定A點的方向；根據(jù)每相鄰兩個圓之間的距離表示10千米，可計算實際距離，據(jù)此解答即可．解：∵每相鄰兩個圓之間的距離是10千米，∴島嶼A在距離臺風中心千米處，據(jù)圖所示，以臺風中心為觀測點，島嶼A在北偏西方向30千米處或西偏北方向30千米處，故選：D．【點撥】此題考查的是位置與方向，分清東、南、西、北、東北、東南、西北、西南，是解決問題的關(guān)鍵，結(jié)合題意分析解答即可．2．B【分析】根據(jù)C點坐標可知C點在直線y=-2上，當AC⊥BC時，線段AC最短，此時可知C點坐標為（2,-2），則可求出AC=6，BC=5，則△ABC的面積可求．解：∵C點坐標（x,-2），∴C點在直線y=-2上，∴B點坐標（-3,-2），∵B點在直線y=-2上，根據(jù)垂線段最短可知，當AC⊥BC時，線段AC最短，∵A點坐標（2,4），AC⊥BC，∴C點橫坐標與A點橫坐標相等，即為2，∴C點坐標（2,-2），∴AC=4-（-2）=6，BC=2-（-3）=5，∵AC⊥BC，∴△ABC的面積為：6×5÷2=15，故選：B．【點撥】本題考查了直角坐標系中坐標的特點、垂線段最短等知識，根據(jù)C點坐標判斷出C點在直線y=-2上，是解答本題的關(guān)鍵．3．C【分析】先判斷出，則點P在第三象限，再證明，即點P到y(tǒng)軸的距離大于點P到x軸的距離，則點P在第三象限的平分線的上方，且在x軸的下方，由此即可得到答案．解：∵，∴，，∴點P在第三象限，∵，，∴，∵，，

∴，，∴，∴點P到y(tǒng)軸的距離大于點P到x軸的距離，∴點P在第三象限的平分線的上方，且在x軸的下方，∵，∴，故選C．【點撥】本題主要考查了坐標與圖形，算術(shù)平方根和立方根，正確得到點P在第三象限的平分線的上方，在x軸的下方是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】直接利用點的坐標意義結(jié)合兩個點的橫坐標相同，縱坐標符號不同，進而分析得出答案．解：A．兩點關(guān)于x軸對稱，故選項錯誤，不符合題意；B．點A到y(tǒng)軸距離是1，故選項錯誤，不符合題意；C．點B到x軸距離是3，故選項錯誤，不符合題意；D．軸，故選項正確，符合題意；故選：D．【點撥】此題主要考查了關(guān)于坐標軸對稱點的性質(zhì)，點到坐標軸的距離等知識，正確掌握橫縱坐標的符號關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)已知點的坐標，即可判斷A，B選項，根據(jù)的坐標分別求得，進而判斷C，D選項．解：∵點，，，當，則，，，∵，即點是線段的中點，故A選項正確；∵點，，，當，則，則點在點的右側(cè)，又，即點在店的左側(cè)，∴當，點一定在線段上，故B選項正確；∵軸，點的縱坐標為，∴，∵，，當時，則（無解）或解得：，故C選項正確；當時，則或解得：或，故D選項錯誤，符合題意，故選：D．【點撥】本題考查了坐標與圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)題意分別求出、、的值，然后判斷各個結(jié)論即可．解：∵的立方根是，的算術(shù)平方根為，是比小的最大整數(shù)，∴，，，∴，，①，結(jié)論正確；②，的平方根是，結(jié)論錯誤；③由，則結(jié)論錯誤；④由已知關(guān)于的方程的解為，結(jié)論錯誤；⑤若線段，且，則點的坐標為或，結(jié)論正確，故選：D．【點撥】本題主要考查立方根、算術(shù)平方根的知識、平面直角坐標系和解一元一次方程，熟練掌握立方根和算術(shù)平方根的知識是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】根據(jù)題意得出A點坐標變化規(guī)律，進而得出點的坐標位置，進而得出答案．解：∴由放置得，將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)后得到，相當于將線段繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，依次得到發(fā)現(xiàn)是8次循環(huán)，所以，∴點的坐標是故選：A【點撥】此題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，得出B點坐標變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．8．D【分析】分兩種情況，利用運動表示出OD，OE，進而表示出△AOD和△AOE的面積，建立不等式求解，即可得出結(jié)論．解：∵點A坐標為（6，4），軸于B，軸于C，∠COB=90°，∴四邊形ABOC為矩形，∴AC=OB=6，AB=OC=4，由運動知，，，當點D在OB上時，即，則，∴，．∵，∴，∴，即；當點D在BO的延長線上時，即，則，∴，．∵，∴，∴．綜上所述，t應(yīng)滿足或．故選：D．【點撥】本題主要考查了動點問題，點的坐標，三角形的面積，理解利用了坐標系中點的坐標與圖形的線段長度的關(guān)系來求解是解答關(guān)鍵．9．C【分析】對于，每個格子距離為1，對于④，每個格子距離為2，再平移點即可得出結(jié)論．解：點與點水平距離為6格，豎直距離為格，點與點水平距離為2格，豎直距離為格，對于，若，每個格子距離為1時，則的坐標為，故正確；對于，若，每個格子距離為1時，則的坐標為，故正確；對于，若，每個格子距離為2時，則的坐標約為；故錯誤；對于，若，每個格子距離為2時，則的坐標約為．故正確．一共有3個正確．故選：C．【點撥】本題主要考查坐標軸的識別問題，關(guān)鍵是以所給點，確定坐標軸，考慮間距問題，即可求解．10．B【分析】利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．解：第1圈有1個點，即，這時；第2圈有8個點，即到；第3圈有16個點，即到，；依次類推，第n圈，；由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，則即，故A選項不正確；是在第23圈上，且，即，故B選項正確；第n圈，，所以，故C、D選項不正確；故選B．【點撥】本題考查圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（3，4）；（3，7）或（3，1）/（3,1）或（3,7）；【分析】（1）由點到坐標軸的距離，以及點在第一象限的符號特征，即可求出答案；（2）結(jié)合點A的坐標，以及軸，，即可求出答案；解：（1）∵點在第一象限，∴，∵點A到y(tǒng)軸的距離為3，∴，∴點A的坐標為（3，4）；（2）∵直線軸，∴點C的橫坐標為3，∵，∴點C的坐標為：（3，7）或（3，1）；故答案為：（3，4）；（3，7）或（3，1）；【點撥】本題考查了點到坐標軸的距離，點在象限的符號特征等知識，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題．12．①②③【分析】①根據(jù)坐標特點可得軸、軸，即可判定①；先說明，可得可判定③；先確定D點坐標，可得軸，進而得到可判定②；由①②③可得四邊形是矩形，可得,；然后再說明，即為等腰直角三角形，進而求得即可判定④．解：∵點，，，，∴軸，軸∴，故①正確；若，，則A、B、C、D都在第一象限，∴，即，故③正確；∴∴軸∵軸∴，即②正確；∴四邊形是長方形∴,∵平分交線段于點E∴在為等腰直角三角形∴∴∴,故④錯誤．綜上，正確結(jié)論是①②③．故答案為【點撥】本題主要考查了坐標與圖形、長方形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，掌握坐標與圖形的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)幸福點和師一點的定義得到，據(jù)此求解即可；根據(jù)幸福點和師一點的定義得到則，再根據(jù)第二象限內(nèi)點的坐標特點求出a的值即可得到答案．解：若點既是幸福點又是師一點，則，∴，∴點的坐標為；若點既是幸福點又是師一點，則，∴，∵在第二象限內(nèi)，∴，∴，∴滿足題意的a的值為3，∴，∴點的坐標為；故答案為：；．【點撥】本題主要考查了解二元一次方程組，根據(jù)點所在的象限求參數(shù)，求不等式的整數(shù)解等等，正確理解題意得到二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．14．/（0.5，0）【分析】根據(jù)，yk＝1﹣yk﹣1，求出前幾個點的坐標會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這些點每6個為一個循環(huán)，根據(jù)規(guī)律求解即可．解：∵A1（2，1），A2（﹣1，0），…，Ak（xk，yk），…，（k為正整數(shù)），且滿足，yk＝1﹣yk﹣1，∴A3（，1），A4（2，0），A5（﹣1，1），A6（，0），A7（2，1），A8（﹣1，0），通過以上幾個點的坐標可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這些點每6個為一個循環(huán)，∵2022＝6×337，∴A2022的坐標為（，0）．故答案為：（，0）．【點撥】本題主要考查規(guī)律型：點的坐標，讀懂題意，準確找出點的坐標規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．15．或【分析】畫出圖形，求出AB的表達式，利用三角形的面積公式求值即可．解：如圖所示：依題意得：，∴，∴，∴，∵，∴，∴或，∴或，∵，∴或．故答案為：或．【點撥】本題考查三角形的面積，解不等式組，關(guān)鍵是能根據(jù)題意列出不等式組，并進行解答．16．【分析】由立方根及算術(shù)平方根、完全平方式求出，的值，得出，兩點的坐標，連接，設(shè)，根據(jù)三角形的面積可求出的值，則答案可求出．解：（1），，，，，，，．如圖，連接，設(shè)，，，，，，點的坐標為，故答案是：．【點撥】本題考查了立方根及算術(shù)平方根、完全平方公式、三角形的面積、坐標與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分割的思想解答．17．5/【分析】（1）過分別作軸的垂線，過點作軸的垂線，交點，根據(jù)題意分別求得的坐標，然后根據(jù)，即可求解．（2）設(shè)，則，根據(jù)平移可得向下移動個單位，向右移動個單位，得到，即，求得，根據(jù)三角形面積求得，即可求解．解：（1）過分別作軸的垂線，過點作軸的垂線，交于點，如圖，∵A（，4），B（，3），C（1，0），∴，，，∴，，，故答案為：5；（2），設(shè)，則，∵將線段AB沿AC方向平移得到線段DP，若P點恰好落在x軸上，∴向下移動了個單位，向右移動了個單位，∴向下移動個單位，向右移動個單位，得到，即，如圖，過點作軸，于點，則，過點作軸交于點，∵，∴，∴，根據(jù)題意是沿方向平移得到的，∴，∵，解得：，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了坐標與圖形，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)題意，解得，由在軸上方且在軸左側(cè)，可知點P在第二象限，即x<0，y>0，進而求得0<m<3，再根據(jù)題意求出滿足要求的點P即可．解：解方程組，得，∵在軸上方且在軸左側(cè)，∴點P在第二象限，即x<0，y>0，∴，解得0<m<3，∵是整點，∴m可取1，2，又P到軸距離最遠，∴2m-6最小時，P到軸距離最遠，∴m=1，∴點P的坐標為．故答案為：．【點撥】本題考查了二元一次方程組的含參問題，涉及的知識點有平面直角坐標系中點坐標特征，解不等式組求整數(shù)解，正確地計算能力是解決問題的關(guān)鍵．19．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)軸上的點的縱坐標為0，可得關(guān)于的方程，解得的值，再求得點的橫坐標即可得出答案．（2）根據(jù)平行于軸的直線的橫坐標相等，可得關(guān)于的方程，解得的值，再求得其縱坐標即可得出答案．（3）根據(jù)第二象限的點的橫縱坐標的符號特點及它到軸、軸的距離相等，可得關(guān)于的方程，解得的值，再代入要求的式子計算即可．（1）解：（1）點在軸上，，，，點的坐標為．（2）點的坐標為，直線軸，，，，點的坐標為．（3）點在第二象限，且它到軸、軸的距離相等，，，，．的值為．【點撥】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，熟練掌握平面直角坐標系中的點的坐標特點是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）點是“如意點”．理由見分析；（3）點M在第一象限．理由見分析【分析】（1）根據(jù)“如意點”的定義解答即可；（2）根據(jù)“如意點”的定義計算判斷即可；（3）根據(jù)“如意點”的定義可得，，結(jié)合滿足的條件可求出a，進而可得答案．解：（1）當時，，解得，∴，∴“如意點”為；故答案為：；（2）點是“如意點”．理由如下：當時，．將代入，解得，∴，∴點是“如意點”．（3）點M在第一象限．理由如下：∵點是“如意點”，∴，，∴，．又∵，即，解得，∴點M的坐標為，∴點M在第一象限．【點撥】本題考查了點的坐標，正確理解“如意點”的定義是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）見分析；（3）；（4）7【分析】（1）根據(jù)對應(yīng)點的坐標即可求出平移的距離，根據(jù)勾股定理求解即可；（2）根據(jù)平移的規(guī)律，確定對應(yīng)點，連接即可；（3）根據(jù)平移坐標變換規(guī)律“左減右加，上加下減”，即可求得；（4）利用一個矩形的面積減去4個三角形的面積計算即可．（1）解：，，即：，，平移距離為：，故答案為：；（2）解：如圖所示，即為所求；

（3）解：∵先向右平移2個單位，再向下平移3個單位得到，又∵，∴平移后點P的對應(yīng)點Q的坐標為，故答案為：；（4）解：平移過程中，邊AB掃過的面積為：，故答案為：7．【點撥】本題主要考查作圖—平移變換，平移的坐標，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換的性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點．22．（1），5；（2），；（3）【分析】（1）根據(jù)被開方數(shù)和絕對值大于等于0列式求出a和n（2）首先得到A、B的坐標，再根據(jù)向上平移4個單位長度，則縱坐標加4，向右平移3個單位長度，則橫坐標加3，求出點C、D的坐標即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得，再過點P作，根據(jù)平行公理可得，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，即可得出結(jié)論．解：（1）∵∴，，∴，；（2）∵，∴，∵點，分別向上平移4個單位，再向右平移3個單位，∴點，；（3）；理由如下：由平移的性質(zhì)得：，過點作，交于，如圖所示：

則，∴，，∴．【點撥】本題是坐標與圖形，考查了平移的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度適中．23．（1）9；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)、，求出，判斷出軸，到的距離是，進而用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（2）延長交x軸于H，根據(jù)平移得出點H的坐標，設(shè)線段向右平移個單位得到，再分兩種情況，得出平移后的（即）的面積，再用平移后的的面積大于17列出不等式，即可得出結(jié)論；（3）先得出當平移后得點C在線段上時，平移距離最小，當平移后得點B在線段上時，平移距離最大、即（點位置見分析），再分別求出即可得出結(jié)論．（1）解：∵、，∴，軸又∵，∴到的距離是，∴的面積是：；（2）如圖，延長交x軸于H，

∵，，∴點B向下平移4個單位，再向左平移3到點C，又∵點C平移到x軸需要向下平移2個單位，∴為保證點B到點C與點C到點H的方向一致，點C需要在向下平移2個單位的基礎(chǔ)上再向左平移個單位到點H，∴∵，，，設(shè)線段向右平移個單位得到，則，，當點在點G左邊時，作圖

，∵線段向右平移m個單位到達處，的面積大于17，∴，解得：，（m為正數(shù)，故舍去）當點在點G右邊時，

，∵線段向右平移m個單位到達處，的面積大于17，∴，∴，綜上所述：m的取值范圍是；（3）；補充求