信號(hào)基礎(chǔ)素材

第2章信號(hào)分析根底被測(cè)對(duì)象〔信息源〕傳感器中間變換裝置顯示記錄觀察者激勵(lì)裝置反饋控制輸出執(zhí)行

測(cè)試工程所要解決的主要任務(wù)是獲取某些信息并對(duì)其進(jìn)行分析、處理，以揭示事物的內(nèi)在規(guī)律和固有特性以及事物之間的相互關(guān)系，繼而作出判斷、決策等。計(jì)算處理1精選課件

在測(cè)量過(guò)程中，除了待測(cè)量信號(hào)外，各種不可見(jiàn)的、隨機(jī)的信號(hào)可能出現(xiàn)在測(cè)量系統(tǒng)中。這些信號(hào)與有用信號(hào)疊加在一起，嚴(yán)重扭曲測(cè)量結(jié)果。如何保證各信號(hào)變換與處理單元不失真?zhèn)鬏斝畔?？?duì)不同信號(hào)可否采用相同中間變換單元？〔如同頻的方波和三角波其處理電路特性可否相同？〕問(wèn)題問(wèn)題的提出2精選課件信號(hào)采集經(jīng)變換處理計(jì)算求得估值，并消除噪聲顯示與記錄測(cè)量系統(tǒng)模型由三個(gè)環(huán)節(jié)組成：

G1

G2G3結(jié)論—測(cè)量過(guò)程是測(cè)量系統(tǒng)對(duì)信號(hào)進(jìn)行量的變換的過(guò)程，必須研究信號(hào)與測(cè)量系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

—信號(hào)分析是根據(jù)一定的理論、方法并采用適當(dāng)?shù)氖侄魏驮O(shè)備對(duì)信號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換與處理的過(guò)程。問(wèn)題的分析3精選課件1.了解信號(hào)的概念及分類2.了解時(shí)頻域信號(hào)分析的特點(diǎn)與意義3.掌握信號(hào)頻譜分析方法本章中主要介紹信號(hào)分析的根本理論、原理和方法。要求初步掌握信號(hào)分析的根底知識(shí)。本章學(xué)習(xí)要求4精選課件

信號(hào)是信息的表現(xiàn)形式與傳送載體。它可代表實(shí)際的物理量或數(shù)學(xué)上的函數(shù)或序列，通過(guò)它們能傳達(dá)消息或信息。各種傳輸信號(hào)的方法：烽火、鼓聲、旗語(yǔ)、電信號(hào)信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào),它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)傳輸優(yōu)點(diǎn)：容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)什么是信號(hào)？電話網(wǎng)電腦或終端調(diào)制解調(diào)器調(diào)制解調(diào)器電腦或終端收發(fā)電子郵件本課程討論電信號(hào)---簡(jiǎn)稱“信號(hào)〞5精選課件單邊指數(shù)信號(hào)函數(shù)表達(dá)式描述信號(hào)的常用方法〔1〕函數(shù)表達(dá)式f(t)〔2〕波形單邊指數(shù)信號(hào)波形圖1t0f(t)“信號(hào)〞與“函數(shù)〞兩詞常相互通用2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)一、信號(hào)的描述(descriptionofsignal)——時(shí)域描述6精選課件時(shí)域特性主要指信號(hào)隨時(shí)間變化快慢、幅度變化的特性。同一形狀的波形重復(fù)出現(xiàn)的周期長(zhǎng)短信號(hào)波形本身變化的速率〔如脈沖信號(hào)的脈沖持續(xù)時(shí)間及脈沖上升和下降邊沿陡直的程度〕以時(shí)間函數(shù)描述信號(hào)的圖象稱為時(shí)域圖，在時(shí)域上分析信號(hào)稱為時(shí)域分析。分析系統(tǒng)時(shí)，除采用經(jīng)典的微分或差分方程外，還引入單位脈沖響應(yīng)和單位序列響應(yīng)的概念，借助于卷積積分的方法。信號(hào)的時(shí)域特性2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)7精選課件——頻域描述

幅頻譜、相頻譜、頻率成分構(gòu)成頻域頻譜分析

時(shí)域時(shí)域圖幅頻譜圖頻譜圖相頻譜圖2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)8精選課件頻譜函數(shù)表征信號(hào)的各頻率成分，以及各頻率成分的振幅和相位。頻譜：對(duì)于一個(gè)復(fù)雜信號(hào)，可用傅立葉分析將它分解為許多不同頻率的正弦分量，而每一正弦分量那么以它的振幅和相位來(lái)表征。將各正弦分量的振幅與相位分別按頻率上下次序排列成頻譜。頻帶：復(fù)雜信號(hào)頻譜中各分量的頻率理論上可擴(kuò)展至無(wú)限，但因原始信號(hào)的能量一般集中在頻率較低范圍內(nèi)，在工程應(yīng)用上一般忽略高于某一頻率的分量。頻譜中該有效頻率范圍稱為該信號(hào)的頻帶。以頻譜描述信號(hào)的圖象稱為頻域圖，在頻域上分析信號(hào)稱為頻域分析。頻域分析法(frequency-domaindescription)：對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)和信號(hào)來(lái)說(shuō)，常采用傅里葉變換和拉普拉斯變換；對(duì)于離散系統(tǒng)和信號(hào)那么采用Z變換。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)信號(hào)的頻域特性9精選課件時(shí)域和頻域圖例2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)10精選課件2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)二、信號(hào)的分類(classificationofsignal)信號(hào)的分類方法很多，可以從不同的角度對(duì)信號(hào)進(jìn)行分類。1.確定性信號(hào)與非確定性信號(hào)11精選課件單自由度的無(wú)阻尼質(zhì)量-彈簧振動(dòng)系統(tǒng)位移信號(hào)

確定性信號(hào)可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為確定信號(hào)或規(guī)那么信號(hào)。12精選課件周期信號(hào)：經(jīng)過(guò)一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的,是每隔固定的時(shí)間又重現(xiàn)本身的信號(hào)，該固定時(shí)間間隔稱為周期。

x(t)=x(t+nT)T=2π/ω=1/f

；ω為角頻率,f

為頻率簡(jiǎn)單周期信號(hào)復(fù)雜周期信號(hào)復(fù)雜周期信號(hào)由多個(gè)乃至無(wú)窮多個(gè)頻率成分〔頻率不同的諧波分量〕疊加所組成，疊加后存在公共周期。確定性信號(hào)13精選課件b)非周期信號(hào)：在時(shí)間上不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)。

準(zhǔn)周期信號(hào)準(zhǔn)周期信號(hào):由多個(gè)周期信號(hào)合成，但各周期信號(hào)的頻率不成公倍數(shù)，其合成信號(hào)不是周期信號(hào)。如：x(t)=sin(t)+sin(√2t)瞬態(tài)信號(hào)瞬態(tài)信號(hào):持續(xù)時(shí)間有限的信號(hào)，如x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)確定性信號(hào)14精選課件不能用數(shù)學(xué)式描述，其幅值、相位變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機(jī)過(guò)程。噪聲信號(hào)(平穩(wěn))噪聲信號(hào)(非平穩(wěn))統(tǒng)計(jì)特性變異一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的集平均等于任一子集的時(shí)間平均值，那么稱為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。非確定性信號(hào)15精選課件2.能量信號(hào)與功率信號(hào)能量信號(hào)功率信號(hào)信號(hào)〔1〕信號(hào)f〔t〕的能量

將信號(hào)f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗瞬時(shí)功率為，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為〔2〕信號(hào)的功率P假設(shè)信號(hào)f(t)的功率有界，即P<∞,那么稱為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)，此時(shí)E=∞。假設(shè)信號(hào)f(t)的能量有界，即E<∞,那么稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)，此時(shí)P=0。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)16精選課件確定性信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)〔時(shí)間變量t連續(xù)，或稱模擬信號(hào)〕離散時(shí)間信號(hào)隨機(jī)信號(hào)數(shù)字信號(hào)——時(shí)間離散幅值連續(xù)時(shí)間離散幅值離散采樣信號(hào)——采樣信號(hào)幅值不連續(xù)幅值連續(xù)2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)3.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)17精選課件

連續(xù)時(shí)間信號(hào)n012345t0連續(xù)時(shí)間信號(hào)〔可包含不連續(xù)點(diǎn)〕離散時(shí)間信號(hào)〔抽樣信號(hào)〕f(t)t0數(shù)字信號(hào)f(n)

(2)

(1)(1)01234n判斷以下波形是連續(xù)時(shí)間還是離散時(shí)間信號(hào)，假設(shè)是離散時(shí)間信號(hào)是否為數(shù)字信號(hào)？值域連續(xù)值域不連續(xù)t<0時(shí)，f(t)=0的信號(hào)稱為有始信號(hào)2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)18精選課件a)物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)：又稱為單邊信號(hào)，滿足條件：t＜0時(shí)，x(t)=0，即在時(shí)刻小于零的一側(cè)全為零。b)物理不可實(shí)現(xiàn)信號(hào)：在事件發(fā)生前(t<0)就預(yù)知信號(hào)。4.物理可實(shí)現(xiàn)信號(hào)與物理不可實(shí)現(xiàn)信號(hào)2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)19精選課件1.

函數(shù):是一個(gè)理想函數(shù)，是物理不可實(shí)現(xiàn)信號(hào)。等價(jià)：tS(t)tS(t)tS(t)

1/二、信號(hào)分析中的常用函數(shù)2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)20精選課件(1)對(duì)稱性單位沖激函效是偶函數(shù),對(duì)任意(2)尺度轉(zhuǎn)換特性證

：a>0時(shí)a<0時(shí)

綜合a>0、a<0兩種情況，得性質(zhì)表明：把單位沖擊信號(hào)以原點(diǎn)為基準(zhǔn)壓縮到原來(lái)的,等價(jià)于把沖擊信號(hào)的強(qiáng)度乘以。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)

函數(shù)特性21精選課件(3)抽樣性或“篩選性〞假設(shè)f(t)是在t=0處連續(xù)的有界函數(shù)，那么及它與某個(gè)函數(shù)相乘后的積分，等于該函數(shù)的沖激點(diǎn)位置的函數(shù)值。說(shuō)明單位沖激函數(shù)具有取樣〔篩選〕特性。如果要從連續(xù)函數(shù)f(t)中抽取任一時(shí)刻的函數(shù)值f(t0)，只要乘以δ(t-t0)，并在(-∞,∞)區(qū)間積分即可。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)22精選課件定義周期為Ts的周期單位沖激信號(hào)(序列)為：對(duì)于一個(gè)連續(xù)模擬信號(hào)x(t)，其采樣信號(hào)可由下式獲得：2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)例1計(jì)算：

(1)costδ(t);(2)(t-1)δ(t)；

解：

(1)costδ(t)=δ(t)，因?yàn)閏os0=1。

(2)(t-1)δ(t)=-δ(t)，因?yàn)?t-1)|t=0=-1。在積分區(qū)間內(nèi)的值為0。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)24精選課件2.sinc函數(shù)波形性質(zhì)：偶函數(shù)；閘門(或抽樣)函數(shù)；濾波函數(shù)；內(nèi)插函數(shù)。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)25精選課件圖示：頻率放大;3.復(fù)指數(shù)函數(shù)2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)26精選課件復(fù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)（1）實(shí)際中遇到的任何時(shí)間函數(shù)總可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的離散和與連續(xù)和。（2）復(fù)指數(shù)函數(shù)的微分、積分和通過(guò)線性系統(tǒng)時(shí)總會(huì)存在于所分析的函數(shù)中。2.1信號(hào)的分類及其根本參數(shù)27精選課件2.2周期信號(hào)及其頻譜考察周期信號(hào)：式中：ω0=2πf0。ω0稱為基波頻率，簡(jiǎn)稱基頻，

ωi是ω0的整數(shù)倍，稱為諧波。。對(duì)于周期信號(hào)而言，其頻譜由離散的頻率成分，即基波與諧波構(gòu)成。1、單一頻率正弦波：2、任一周期信號(hào)可分解為假設(shè)干不同頻率正弦波疊加：28精選課件

將周期信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合(1)從信號(hào)分析的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑。(2)從系統(tǒng)分析角度，單頻正弦信號(hào)鼓勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)同時(shí)鼓勵(lì)下的總響應(yīng)。而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。2.2周期信號(hào)及其頻譜29精選課件周期信號(hào)f(t)表示為付里葉級(jí)數(shù)由數(shù)學(xué)分析知，當(dāng)周期信號(hào)f〔t〕滿足狄里赫利條件時(shí)，可展開(kāi)為三角付里葉級(jí)數(shù)或復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。狄氏條件：〔1〕在一周期內(nèi)，間斷點(diǎn)的數(shù)目有限；〔2〕在一周期內(nèi)，極大、極小值的數(shù)目有限；〔3〕在一周期內(nèi)，電子技術(shù)中的周期信號(hào)大都滿足狄氏條件，當(dāng)f（t)滿足狄氏條件時(shí)，才存在。2.2周期信號(hào)及其頻譜30精選課件常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值基頻周期信號(hào)的頻域模型為有多種形式1〕付氏級(jí)數(shù)的三角函數(shù)展開(kāi)式：2.2周期信號(hào)及其頻譜31精選課件2.2周期信號(hào)及其頻譜32精選課件

如果周期信號(hào)x(t)為奇函數(shù)an=0，a0=0，此時(shí)注意:

如果周期信號(hào)x(t)為偶函數(shù)，bn=0，此時(shí)2.2周期信號(hào)及其頻譜33精選課件三角函數(shù)展開(kāi)的另一種表達(dá)形式：稱為X(t)的第n次諧波稱為X(t)的第n次諧波幅值稱為X(t)的第n次諧波初相位

三角函數(shù)加法公式2.2周期信號(hào)及其頻譜34精選課件物理意義*周期函數(shù)是由若干個(gè)不同頻率的諧波組成*各次諧波的幅值和初始相位都不相同*

是信號(hào)的均值，相當(dāng)于直流分量2.2周期信號(hào)及其頻譜35精選課件幅值譜相位譜特點(diǎn)：1、離散性2、收斂性3、諧波性周期信號(hào)頻譜及特點(diǎn):2.2周期信號(hào)及其頻譜

0

π/2

π/2

π/2

π/2

π/2

0

36精選課件例1求周期方波的頻譜，并作出頻譜圖。

1信號(hào)表述2傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)4幅頻譜圖相頻譜圖3求傅里葉系數(shù)結(jié)果2.2周期信號(hào)及其頻譜37精選課件奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分值為0，所以2.2周期信號(hào)及其頻譜……ω03ω05ω07ω04A/π4A/3π4A/5π4A/7πωAnωφnω03ω05ω07ω0周期方波的幅頻與相頻特性圖2.2周期信號(hào)及其頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜例2求周期三角波的傅里葉級(jí)數(shù)(三角函數(shù)形式并畫(huà)出頻譜圖。周期三角波的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

A

0t2.2周期信號(hào)及其頻譜41精選課件解：將展開(kāi)成三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，求其頻譜。計(jì)算傅里葉系數(shù)：∵是偶函數(shù)2.2周期信號(hào)及其頻譜42精選課件由此得的三角函數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)上展開(kāi)式為假設(shè)取n次諧波分量的幅值n次諧波分量的相位2.2周期信號(hào)及其頻譜43精選課件

0

π/2

π/2

π/2

π/2

π/2

0

周期三角波的幅頻與相頻特性圖2.2周期信號(hào)及其頻譜44精選課件2〕*付氏級(jí)數(shù)的復(fù)指函數(shù)展開(kāi)式由三角函數(shù)展開(kāi)式：復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式：歐拉公式2.2周期信號(hào)及其頻譜45精選課件(n=0,±1,±2,……)

復(fù)系數(shù):令：則：Cn是一個(gè)以諧波次數(shù)n為自變量的復(fù)函數(shù)，它包含了第n次諧波的振幅和相位信息。2.2周期信號(hào)及其頻譜46精選課件幅頻譜相頻譜頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜47精選課件復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)式的意義(n=0,±1,±2,……)2.2周期信號(hào)及其頻譜48精選課件周期信號(hào)各復(fù)指數(shù)組成項(xiàng)均隨圓頻率而變構(gòu)成各頻譜:幅頻譜實(shí)頻譜相頻譜虛頻譜幅頻譜圖：

|cn|—

相頻譜圖：

n

—

實(shí)頻譜圖：

Recn

—

虛頻譜圖：Imcn

—

2.2周期信號(hào)及其頻譜49精選課件例1：正弦信號(hào)的頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜50精選課件例2：余弦信號(hào)的頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜51精選課件兩種不同形式傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)頻譜比較：

n：

0~∞單邊頻譜

n：

-∞~+∞雙邊頻譜三角函數(shù)展開(kāi)復(fù)指數(shù)函數(shù)展開(kāi)2.2周期信號(hào)及其頻譜52精選課件1周期信號(hào)的頻譜是離散譜；2每個(gè)譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上；3工程上常見(jiàn)的周期信號(hào)，其諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小。因此，在頻譜分析中沒(méi)有必要取次數(shù)過(guò)高的諧波分量。周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：4A

4A3

4A5

0

A(

)

03

05

0幅值譜2.2周期信號(hào)及其頻譜53精選課件周期信號(hào)的頻譜譜線的頻率間隔為：非周期信號(hào)由：2.3非周期信號(hào)及其頻譜54精選課件

由此可見(jiàn)，方程中的積分式是ω的函數(shù)定義付里葉變換可得：付里葉逆變換FTIFT2.3非周期信號(hào)及其頻譜55精選課件為常數(shù)因子，的物理意義與相同，僅單位不同?？蓪?xiě)成：的物理意義與前面所討論的相當(dāng)，可寫(xiě)成：2.3非周期信號(hào)及其頻譜56精選課件*名稱與物理意義相同與連續(xù)離散**量綱不同與是復(fù)頻譜密度函數(shù)

的量綱與相同周期與非周期信號(hào)頻譜異同:2.3非周期信號(hào)及其頻譜57精選課件從物理意義來(lái)討論FT

F(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念；

F(ω)是一個(gè)連續(xù)譜；

F(ω)包含了從零到無(wú)限高頻的所有頻率分量,分量的頻率不成諧波關(guān)系。2.3非周期信號(hào)及其頻譜58精選課件①線性由此可見(jiàn)，在時(shí)域頻譜的周期性與離散性之間存在如右關(guān)系時(shí)域頻域周期離散周期離散周期離散離散周期付里葉變換的性質(zhì)：②對(duì)稱性2.3非周期信號(hào)及其頻譜59精選課件同理付氏變換式當(dāng)初始條件為零時(shí)，的拉普拉斯變換為：同樣：③微積分特性可見(jiàn)格式完全相同2.3非周期信號(hào)及其頻譜60精選課件在時(shí)域信號(hào)x(t)幅值不變條件下，如x(t)X(f)將時(shí)間尺度壓縮(或擴(kuò)展)k倍則：④時(shí)間尺度改變特性頻率尺度擴(kuò)展(或壓縮)k倍,幅值也減小〔或增大〕k倍2.3非周期信號(hào)及其頻譜61精選課件時(shí)域中的壓縮等于頻域中的擴(kuò)展

f(t/2)壓縮擴(kuò)展2.3非周期信號(hào)及其頻譜62精選課件⑤頻率尺度改變特性

同樣，當(dāng)頻譜的頻率尺度壓縮(或擴(kuò)展)k倍時(shí)，也會(huì)導(dǎo)致時(shí)域信號(hào)的時(shí)間尺度擴(kuò)展(或壓縮)k倍，且幅值也減小(或增大)k倍。⑥時(shí)移和頻移特性假設(shè)當(dāng)時(shí)域中信號(hào)沿時(shí)間前移t0時(shí)，有：

同理頻率平移時(shí)有：2.3非周期信號(hào)及其頻譜63精選課件⑦卷積特性

兩個(gè)時(shí)域信號(hào)卷積的頻譜為其頻譜的乘積**根據(jù)付氏變換的對(duì)稱性，可知兩時(shí)域信號(hào)乘積的頻譜，為其頻譜的卷積。證：2.3非周期信號(hào)及其頻譜64精選課件時(shí)域卷積例：求三角脈沖的頻譜三角脈沖可看成兩個(gè)同樣矩形脈沖的卷積卷乘2.3非周期信號(hào)及其頻譜65精選課件卷乘2.3非周期信號(hào)及其頻譜66精選課件頻域卷積例：求余弦脈沖的頻譜相乘卷積2.3非周期信號(hào)及其頻譜67精選課件乘FTFT卷2.3非周期信號(hào)及其頻譜68精選課件⑧奇偶虛實(shí)性x(t)的付氏變換式X(f)可由實(shí)部虛部組成：如果x(t)是實(shí)偶函數(shù)，那么X(f)為實(shí)偶函數(shù)；如果x(t)是實(shí)奇函數(shù)，那么X(f)為虛奇函數(shù)。同理：如x(t)是虛偶函數(shù)，X(f)也為虛偶函數(shù)；如x(t)是虛奇函數(shù)，X(f)為實(shí)奇函。2.3非周期信號(hào)及其頻譜69精選課件例：利用奇偶虛實(shí)性求單邊指數(shù)信號(hào)

f(t)=2e-αtu(t)的頻譜。單邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜2.3非周期信號(hào)及其頻譜70精選課件解:從波形圖〔a〕上可見(jiàn),單邊指數(shù)信號(hào)f(t)是非偶非奇函數(shù),但可分解為如圖〔b〕,〔c〕所示的偶函數(shù)和奇函數(shù)兩局部：f(t)=2e-αtu(t)=fe(t)